§233互斥事件与对立事件
高二数学互斥事件、对立事件教案
互斥事件、对立事件【学习目标】1．理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据它们的定义来辨别一些事件是234【基础知识精讲】本节内容主要有两部分：一是互斥事件、对立事件的基本概念，二是互斥事件概率加法1如果两个事件A和B不可能同时发生，则称A和B互斥（互不相容）．从集合的角度看，是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交，则A∩B＝∅．易知，必然事件与不可能事件是互斥的．如果A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么我们就说，事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合的角度看，n个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此各不相交．例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和再如，掷一个六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体玩具。
事件A：向上的数字大于4；事件B：向上的数字小于3；两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件．若事件A向上的数字大于4，事件B向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的．因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B2如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立（互逆）事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．也即满足条件：A∩B＝∅且A∪B＝U，通常事件A的对立事件记作A．由定义知，互斥事件是对立事件的必要不充分条件．即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．如掷正方体玩具向上的面的数字大于4和向上的数字小于3两个事件，A、B是互斥的但不是对立．因为A、B两个事件可以都不发生．若事件A是向上的数字为偶数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件，对立事件A和A的概率性质为P（A）＋P（A）＝1，即两个对立事件的概率和为13．互斥事件A与B由于集合是可以运算的，可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么“在同一试验中，A或B至少有一个发生”这一事件，则称为A与B的和，记作A＋B （或A∪B）．教材仅限于两互斥事件的和事件．推而广之，“A1＋A2＋…＋A n”表示这样一A2，…，A n个事件：在同一试验中，A4两互斥事件的和的概率，等于这两事件的概率的和．即P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．更一般地，有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和．即)()(11i ni n i i A P A P ∑∑===利用这一定理来求概率的步骤是：（1）要确定这诸事件彼此互斥；（2）这诸事件中有一发生；（3）先求出这诸事件分别发生的概率，再求其和．值得注意的是：（1）（2）两5对立事件的概率和等于1，即P （A ）＋P （A ）＝1．通常，当直接求某一事件的概率6在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，利用概率的可加性及对立事1互斥事件是不可能同时发生的事件，它可以是两个事件之间，也可以是多个事件之间；对立事件首先应［例1］某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E为“一种报也（1）A 与C ；（2）B 与E ；（3）B 与D ；（4）B 与C ；（5）C 与E解：（1）由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C不是互（2）事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E（3）事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D（4）事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C（5）由（4）的分析，事件E “一种报也不订”只是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E2从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．而在对立事件中，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组［例2］如果事件A 、B 互斥，那么（A ．A ＋B 是必然事件B ．A ＋BC ．A 与B 一定互斥D ．A 与B解：对于选项A ：事件A ＋B 相当于集合A ∪B ，显然它不一定为全集，故不一定为必然事件，不能选A对于选项B ：事件A ＋B 相当于集合)()()(B A U B U A U ⋂-=-⋃-，由于A 、B 互斥，故A ∩B ＝∅，所以U B A U =⋂-)(，即A ＋B 为必然事件，故选B对于选项C 、D 评注：利用集合思想可以帮助我们理解基本概念，也可以帮助我们判断一些命题的真假，其关键在于事件A 、B 所对应的集合与全集U3［例3］向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1解：设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P （A ）＝0.025，P （B ）＝P （C ）＝0.1又设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，因为∴P （D ）＝P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225评注：对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥值得注意的是，如果两个事件不互斥，就不能运用概率加法公式．例如把抛掷一个正方体玩具（各面分别标有数1～6）作为一次试验，事件A 表示出现奇数（指向上的数是奇数），事件B 表示向上的数不超过3，那么A 与B 就不互斥，因为如果出现1或3，都表示A 与B 同时发生了．现在再看A ＋B 这一事件，这个事件包括4种结果，出现1、2、3和5，所以 P （A ＋B ）＝32，而P （A ）＝21，P （B ）＝21，显然P （A ＋B ）≠P （A ）＋P （B 4所谓对立事件就是某事件的反面，用集合观点看就是某集合的补集，当某个事件包含的情况（即基本事件）太多时，或者含有“至多”“至少”这样的字眼时，可考虑对立事件．［例4］一批产品共100件，其中5件是废品,任抽10件进行检查，求下列事件的概率．（1）10（2）10策略：10件产品中恰有0、1、2、3、4、5解：设A i 为事件“10件产品中恰有i 件废品”，其中i ＝0、1、2、3、4、5，易知A i （i ＝0，1，…，5（1）设A 为事件“10件产品中至多有1件废品”，则有A ＝A 0＋A 1，又由于A 0与A 1互P （A ）＝P （A 0＋A 1）＝P （A 0）＋P （A 1）＝101009951510100109505C C C C C C +⋅＝0.923（2）（法一）设B 为事件“10件产品中至少有1件废品”，则有B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5，而且A 1，A 2，…，A5P （B ）＝P （A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A5＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＋P （A 5 ＝416.0C C C C C C C C C C C C C C C 10100595551010069545101007953510100895251010093515=⋅++⋅+⋅+⋅ （法二）由于B 的对立事件为“10件产品中无废品”，即B ＝A∴P （B ）＝1－P （B ）＝1－P （A 0）＝1－10100109505C C C ⋅＝0.416评注：抽查产品问题与摸球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握．（1）“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品”，即m ≤1（又m ∈N ，∴m ＝0，1），其反面是“有2件以上废品”，即m ≥2（故m ＝2，3，4，5）．“至少有一件废品”的意义是“可以有一件废品，可以有两件废品，…，可以有五件废品”即m ≥1，（故m ＝1，2，3，4，5），其反面是“没有废品”，即m ≤0（故m ＝0）．要正确理解“至多”“至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反面去解简单．（2）注意求概率的直5互斥事件与对立事件的关系前面早有叙述，不再重复．等可能事件与互斥事件、对立事件不属于同一概念范畴，它们只是从不同的角度去研究问题，且等可能事件是计算互斥事件［例5］一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球得到的是（1）红或黑的概率；（2解：（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝43129=． （2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P 2＝121112245=++【学习方法指导】根据事件的性质，把比较复杂的事件分解为几个简单的互斥事件，从而直接套用概率求［例1］某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10策略：射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用 解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A ，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A 1、A 2、A 3、A4∵A 2、A 3、A4∴P （A 2＋A 3＋A 4）＝P （A 2）＋P （A 3）＋P （A 4）＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76又∵A 1＝432A A A ++∴P （A 1）＝1－P （A 2＋A 3＋A 4）＝1－0.76＝0.24A 1与A 2互斥，且A ＝A 1＋A2∴P （A ）＝P （A 1＋A 2）＝P （A 1）＋P （A 2）＝0.24＋0.28＝0.52即这个射手在一次射击中命中10环或9环的概率是0.52评注：要注意理清各个事件之间的关系，分清哪些事件是互斥的，哪些不互斥，在将一当一个事件从正面考虑比较困难，比较繁杂时，它的反面肯定比较简单，这时我们可以先考虑反面，即先求其对立事件的概率，从而求出原事件的概率，这也是“正难则反”思想［例2］学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216策略：可先设既会唱歌又会跳舞的人数为x ，则该队的队员人数为（5＋7－x ）人．如图10－6－110－6－1解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x 名，则该队中只会唱歌和只会跳舞的队员的人数为（12－2x ）名，只会唱歌的人有5－x 人，只会跳舞的人有7－x 人，从中选出3人，记A 为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人”，则A 的对立事件A 为“3人都只会唱歌或只∵P （A ）＝3123212C C x x --，∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－2116C C 3123212=--xx ∴215)10)(11)(12()210)(211)(212(=------x x x x xx解得x ＝3．∴12－x ＝9．∴该文娱队共有9评注：（1）注意集合元素个数的计算方法：card （A ∪B ）＝card A ＋card B －card （A ∩B ）．（2）本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因为人数不知，所以从正面做较繁．［例3］从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（A ．至少有一个白球，都是白球 BC ．恰有1个白球，恰有2个白球 D解：至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}（注：（白，红）表示一白一红两个球），都是白球＝{（白，白）}两集合的交集非空，故不能选A至少有一个白球＝{（白，红）、（白，白）}，至少有一个红球＝{（白，红）、（红，红）}，其交集也非空，不为互斥事件，不能选B恰有1个白球＝{（白，红）}，恰有2个白球＝{（白，白）}，交集为空集，两事件是互斥事件，又两集合的并集＝{（白，红）、（白，白）}≠{（白，白）、（白，红）、（红，红）}（此为全集），故两事件不对立．所以选C对于选项D ，也可以同法判定两事件对立，不选D评注：两事件互斥，必有A ∩B ＝∅；两事件对立，必有A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝U【知识拓展】［例1］证明：若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率等于事件A 、B分析：此结论课本上是用一个等可能事件的例子加以说明的．这个说明实质上已经给出证明：设在某一随机试验之下，共有N 种等可能出现的结果，其中有m 1个结果属于事件A （也就是这m 1个结果中任何一个发生都表示A 发生），有m 2个结果属于事件B ．这里，因A 与B 是互斥的，所以属于事件A 的m 1个结果与属于事件B 的m 2个结果中不存在相同的结果．事件A ＋B 的发生表示A 与B 中有一个发生，就是说，在上述属于A 的m 1个结果连同属于B 的m 2个结果中，有任何一个结果发生都表示A ＋B 发生．因此，P （A ＋B ）＝Nm m 21+． 又已知P （A ）＝N m 1，P （B ）＝Nm 2 P （A ＋B ）＝N m N m N m m 2121+=+＝P （A ）＋P （B说明：上述证明虽然是就等可能性事件证明的，但此公式对非等可能性的互斥事件仍然［例2］两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时可以离去，图10－6－2解：以x 、y 分别表示二人到达时刻（精确到分），0≤x ≤60，0≤y ≤60二人会面的充要条件为|x －y |≤20．这是一个几何概率问题．可能结果的全体为边长为60分的正方形，可能会面的点的区域为图10－6－2故所求概率为P ＝9560)2060(60222=--【同步达纲训练】1．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（A ．至多有一次中靶 BC ．两次都不中靶 D2．袋中5个白球、3个黑球，从中任意摸出4个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．73B ．1413C ．101D ．413．从4个男生、3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的概率是（A ．3512B ．3534C ．53D ．52 4．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是（A ．32024116C C C B ．32024216C C C C ．32031614216C C C C +⋅ D ．以上均不对5．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人下成和棋的概率为50%，则甲获胜的概率为_______6．一个箱子内有9张票，其号数分别为1，2，3…，9．从中任取两张，其号数至少有一个为奇数的概率为_______7．一个口袋内装有3个红球和n 个绿球，从中任取3个，若取出的3个球中至少有一个是绿球的概率是3534，则n ＝_______8．口袋里放了12个大小完全一样的球，其中3个是红色的，4个是白色的，5个是蓝色的，从袋里取出4（1（2参考答案一、1．解析：“至少有一次中靶”包括一次中靶、两次中靶两种情况．A ：至多有一次中靶也包括有一次中靶的情况，故不能选．同理B 不能选，“两次都不中靶”显然与“至少有一次中靶”不能同时发生，故选C答案：C2．解析：摸出的4个球全为白色的概率141705C C 48451===P ．∴所求概率P ＝1－P 1＝1413． 答案：B3．解析：所求概率35343511C C 14744=-=-=P 答案：B4．解析：所求概率P ＝1－320316142161411632034C C C C C C C C +⋅+⋅=答案：D二、5．解析：因为甲不输包括甲胜与战和两种情况，故甲获胜的概率应为80%－50%＝30%．答案：30%6．解法一：一奇一偶的概率P 1＝95C C C 291415=；二个全为奇数的概率P 2＝185C C 2925=∴所求概率P ＝P 1＋P 2＝6518595=+解法二：两个数全为偶数的概率P 0＝61C C 2924= ∴所求概率P ＝1－P 0＝1－6561= 答案：65 7．解析：据题意3333C C 13534+-=n ，∴n ＝4 答案：4三、8．解：（1）设从12个球中取出4个球至少是两种颜色的事件为A ，A 的对立事件为A ，其中全为白色的有1种，全为蓝色的有5种，则P （A ）41241251C C +=＝165249554951=+ ∴P （A ）＝1－P （A ）＝1－1651631652= 答：取出的球的颜色至少是两种的概率为165163（2）设取出4球中，1个红色、1个白色、2个蓝色的事件为A 1；1个红色、2个白色、1个蓝色的事件为A 2；2个红色、1个白色、1个蓝色的事件为A 3，且事件A 1、A 2、A 3彼此互斥，所以所求的P （A 1＋A 2＋A 3）＝P （A 1）＋P （A 2）＋P （A 3）412151423412152413412251413C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=＝1164956049590495120=++ 答：取出的球的颜色是三种的概率为116。
互斥事件和对立事件
(4)对立事件的概率公式:
P(A)=1–P(A)
从集合的角度看，由事件 A 所含的结果组成的 集合，是全集U中的事件A所含的结果组成的集 合的补集。
I
红 红 红
A红 红 红 红 A
绿 绿 B 黄
A C
互斥事件与对立事件的区别与联系:
互斥事件：不可能同时发生的两个事件 对立事件：必有一个发生的互斥事件
(3)
1/4 3/4 1 1
(4)
1/16 3/4 13/16 3/4
在一个随机实验中,如果随机事件A、B互斥 ，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生) 的概率等于事件A、B分别发生的概率之和. 即 P(A+B)=P(A)+P(B) 说明:(1)上面的公式叫互斥事件的概率加 法公式;(2)加法公式的前提条件是:事件A 与B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不 能应用.
一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此两两互斥，那 么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率， 等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P（A1＋A2＋…＋An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
例4
从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到
的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到 的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05. 求下列事件的概率: (1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”; （2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”. 解 (1)事件D即事件A+C, 因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三 等品”是互斥事件,
抽奖时，“中奖”和“不中奖”.
从集合意义理解，
高中数学总结归纳 感悟互斥事件与对立事件
感悟互斥事件与对立事件在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生。
而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：①事件A发生事件B不发生；②事件B发生事件A不发生。
对立事件是互斥事件的特殊情形。
例1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C（2）B与E（3）B与D（4）B与C（5）C与E分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E是互斥事件。
由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B 一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥。
（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”。
由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有时可能同时发生，故C与E不互斥。
评注：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此，两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系。
互斥与对立事件的计算公式
互斥与对立事件的计算公式在我们的数学世界里，互斥与对立事件就像是两个性格迥异的小伙伴，它们有着独特的脾气和规律。
而搞清楚它们的计算公式，就像是拿到了打开数学宝藏的钥匙。
咱们先来聊聊互斥事件。
互斥事件呢，简单说就是两个事件不能同时发生。
比如说，今天下午要么下雨，要么不下雨，这就是互斥事件。
要是用数学语言来表示，假设事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们同时发生的概率为 0 ，也就是P(A∩B) = 0 。
而计算事件 A 或者事件 B 发生的概率，就用 P(A∪B) = P(A) + P(B) 。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了这样一道题：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，问取出红球和取出蓝球是不是互斥事件。
有个学生一开始还迷糊着呢，觉得可能同时取出红球和蓝球。
我就拿着袋子亲自演示了一遍，告诉他，每次只能取一个球，要么是红球，要么是蓝球，不可能同时取到两个颜色的球。
这一下子，那学生恍然大悟，其他同学也都明白了互斥事件的概念。
再来说说对立事件。
对立事件是一种特殊的互斥事件，两个事件不仅不能同时发生，而且它们的并集是整个样本空间。
比如说，扔一个骰子，出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。
用公式表示就是 P(A)+ P(B) = 1 ，而且 P(A) = 1 - P(B) 。
就像有一次考试，有一道关于对立事件的选择题，好多同学都选错了。
我在讲解的时候，就举了个大家都熟悉的例子，比如咱们班参加运动会，要么赢得比赛，要么输掉比赛，这就是一个对立事件，没有第三种可能。
这么一解释，同学们纷纷点头，下次再遇到类似的题目就不会出错啦。
在实际应用中，互斥事件和对立事件的计算公式能帮助我们解决很多问题。
比如说在概率统计中，计算各种可能性的大小；在决策分析中，评估不同方案的风险等等。
总之，搞懂互斥与对立事件的计算公式，就像是在数学的海洋里有了一艘坚固的小船，能带着我们驶向更广阔的知识天地。
同学们，加油吧，让我们一起在数学的世界里畅游！。
互斥事件与对立事件的例子
互斥事件与对立事件的例子
1、互斥事件：
互斥事件是指两件事情之间存在冲突，但只有一件可以实现的事情。
比如：王思聪要
买特斯拉跑车，但他想要买宝马SUV，他只能根据自己的喜好，只能选择其中的一种汽车，而不能两种汽车都买；再比如一个人同时拥有苹果手机和安卓手机，但他只能拥有其中的
一种，而不能同时拥有两种，这也是互斥事件的一种。
2、对立事件：
对立事件是指事件之间有对立的性质，但可以同时发生的事件。
比如三国时期赤壁之战，司马懿和诸葛亮是处于对立状态，每一方都希望自己能够获胜，但两者可以同时存在，只是一方最终获胜而已。
再比如原子与粒子的分裂，改变了物质的状态，可以同时发生，
但又有改变物质状态的对立性质。
高中数学 第3章 概率 §2 2.3 互斥事件数学教案
2.3 互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？[提示](1)因为1为奇数，所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B 的关系是()A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的() A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥C[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③C[从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．]4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]互斥事件与对立事件的判断每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[跟进训练]1．(1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有一个红球；③至少有1个白球，都是红球．[解](1)C(2)④[(1)A与D互斥，但不对立．(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点，事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．互斥事件的概率 得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512. (1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．[思路探究] 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解] (1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13， P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512， ∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23. ∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14， P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14， P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－⎝⎛⎭⎫13＋14＋14 ＝1－56＝16. 故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14. (2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ，∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12， 故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12. 1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．[跟进训练]2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为( )A ．0.42B ．0.38C ．0.2D ．0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解] (1)C [记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 为互斥事件，且A ＋B ＋C 为必然事件，由题意知P (A )＋P (B )＝0.58，P (A )＋P (C )＝0.62，P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，解得P (A )＝0.2.](2)设A ，B ，C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A ，B ，C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法 1．若令A ＝“小明考试及格”，A ＝“小明考试不及格”，则事件A 与事件A 能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A 与A 是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A 与A 也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A 与A 必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U ＝“出现点数的全体”，A ＝“出现的点数是偶数”，B ＝“出现的点数是奇数”，则A ，U 是互斥事件吗？A ，B 是互斥事件吗？B ，U 是互斥事件吗？”提示：A ，U 不是互斥事件，A ，B 是互斥事件，B ，U 不是互斥事件．【例3】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[思路探究] 先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．[解] 法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34. (2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P 2＝5＋4＋212＝1112. 法二：利用互斥事件求概率．记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}；A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.[跟进训练]3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(2)求至少2人排队等候的概率．[解]记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．(1)至多2人排队等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立；对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1．思考辨析(1)已知事件A 与事件B ，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．( ) (2)若三个事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )(3)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (4)事件A 与事件B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )[解析] (1)×，A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定．(3)×，A 与B 不一定对立．(4)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为________．0．05 [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.]3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________． 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.] 4．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率(60分才及格)．[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.。
互斥事件与对立事件说课稿ppt课件
1 教法 2 学法
二、教法学法的选择
以问题为主线 验导入、引入概念 1 2 归纳探索、提升认知
掌握方法、适当延展 3
归纳小结、形成能力 4
1 实验导入、引入概念
三、教学过程的设计
本阶段通过研究掷骰子的例子，使学生体会到不 可能同时发生的两个事件，明确本课我们要研究和学 习的课题，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精 神．
2 归纳探索、提升认知
三、教学过程的设计
1 某小组有3名女生和4名男生，从中任选3名同学参加辩论赛，判断下列每对事件是 否是互斥事件，若是，则判断它们是否是对立事件。
（1）至少有1名女生与全是女生 （2）至少有1名女生与全是男生.
设计意图：借用集合的韦恩图来辨别，归纳出 （1）当且仅当事件A交事件B为空集时，A、B才是互斥事件 （2）当且仅当A交B为空集且A并B为全集时，A、B才是对立
22 学生状况分学析情状况分析
一、教学内容的分析
在本节课前，学生已经了解了随机事件概率的意义，学习了古典概型的概率。 在这节课中主要是研究怎样从一些简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率.
一、教学内容的分析
3
教学目标的确定
知识与技能
过程与方法
使学生理解互斥事件和对立 事件的概念，根据概率加法 公式解决简单的概率问题； 并培养学生用对立统一思想 分析解决问题的能力．
3 掌握方法、适当延展
三、教学过程的设计
某战士射击一次，设中靶的概率为0.95，令事件A为“射击一次，中靶”求 （1）A巴的概率是多少？ （2）若事件B（环数大于5）的概率是0.75，那么事件C（环数小于6）的概率是多 少？事件D（环数大于0且小于6）的概率是多少？
设计意图：对于复杂问题，学生更容易混淆互斥事件和 对立事件的概念，这种情况下从集合的角度搞清楚B、C D之间的包含或对立关系，通过图象直观形象的呈现， 就能轻易的使得学生能利用所学知识独立解决问题，让 学生体验成功的喜悦，同时也能使学生产生更浓的兴趣.
互斥事件与对立事件的概率问题解析
互斥事件与对立事件的概率问题解析概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率和规律。
在实际生活中，我们经常会遇到各种概率问题，比如掷骰子、抽奖、赌博等等。
在这些问题中，有两个概念十分重要，那就是互斥事件和对立事件。
本文将详细解析这两个概念，并通过实例来说明它们的应用。
一、互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，也就是说，它们是相互排斥的。
比如掷一枚骰子，事件A是出现1点，事件B是出现2点，那么A和B就是互斥事件，因为掷出的点数不可能既是1又是2。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，用P(B)表示事件B发生的概率。
如果A和B是互斥事件，那么它们的概率之和就等于它们的并集的概率，即：P(A∪B) = P(A) + P(B)这个公式也可以推广到多个互斥事件的情况，即：P(A1∪A2∪…∪An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)二、对立事件对立事件是指两个事件中有一个必然发生，而另一个则不可能发生的情况。
比如掷一枚骰子，事件A是出现奇数，事件B是出现偶数，那么A和B就是对立事件，因为掷出的点数必然是奇数或偶数。
在概率论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，用P(B)表示事件B发生的概率。
如果A和B是对立事件，那么它们的概率之和就等于1，即：P(A) + P(B) = 1这个公式也可以推广到多个对立事件的情况，即：P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1三、互斥事件与对立事件的应用互斥事件和对立事件在概率论中有着广泛的应用，下面我们通过实例来说明它们的具体应用。
例1：掷一枚骰子，求出出现1点或2点的概率。
解：事件A是出现1点，事件B是出现2点，由于A和B是互斥事件，因此它们的概率之和等于它们的并集的概率，即：P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3因此，出现1点或2点的概率为1/3。
例2：从一副扑克牌中抽一张牌，求出抽到黑桃牌或红心牌的概率。
§232互斥事件与对立事件
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：5件产品中有2件次品，从中任取2件。
（1）判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件，如果不是对立事件，再分别说出它们的对立事件。
（a）“恰有一件是次品”与“恰有两件次品”。
（b）“至少有一件次品”与“全是次品”
（c）“至少有一件正品”与“至少有一件次品”
自我挑战一
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.30.3Fra bibliotek0.10.04
(1)至少3人排队等候的概率是多少?
(2)有人排队等候的概率是多少?
自我挑战二
某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 和 .试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.
5.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 、 各表示什么?
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件？是否为对立事件？
2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：
（1）求他参加不超过2个小组的概率是多少？
（2）求他至少参加2个小组的概率是多少？
话题2：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
对立和互斥
例如：在一次掷骰子的试验中，不会同时 出现1点和2点。所以事件C1={出现1点}和 C2={出现2点}互斥；但在一次试验中，有 可能事件C1和C2都不发生，也可能其中一 个发生。
正确辨析互斥事件与对立事件
都是黑球
一黑一红
都是黑球 一黑一红
都是红球
包含关系
交事件为“一黑一红”
C.“恰有1个黑球” 与“恰有2个黑球”
互斥不对立
一黑一红 都是黑球 都是红球
D.“至少有1个黑球” 与“都是红球”；
互斥且对立
一黑一红 都是黑球 都是红球
互斥事件与对立事件的区别与联系
综上可得：
1.对立事件 对立事件
互斥事件 互斥事件
正确辨析互斥事件与对立事件
二.从事件个数的角度看
互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系， 而对立事件只针对两个事件而言。
正确辨析互斥事件与对立事件
三.从集合的角度看
几个事件彼此互斥，是指这几个事件所
包含的结果组成的集合的交集为空集；
B A C
正确辨析互斥事件与对立事件
三.从集合的角度看
而事件A的对立事件B所包含的结果组成 的集合是全集中由事件A所包含的结果组成 的集合的补集。
A
B
例 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2球,
那么互斥而不对立的两事件是( )
A.“至少有1个黑球”，与“都是黑球” B.“至少有1个黑球”，与“至少有一个红球” C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
D.“至少有1个黑球”与“都是红球”；
A.“至少有1个黑球”
与“都是黑球”
B.“至少有1个黑球”， 与“至少有一个红球”
互斥事件和对立事件
= 2+ +2 + 2
1
16 16 16 16
7 =
16 0.44. 因此,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,此人不能拉开
拉力器的概率约为0.44.
互斥事件:不同时发生的两个或多个事件. 若事件A与B互斥： P(A+B) = P(A) + P(B)
事件A1，A2，…，An彼此互斥 P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 对立事件：必有一个发生的两个互斥事件(Ａ与Ｂ对 立）．
(4)对立事件的概率公式:
P(A)=1–P(A)
❖集从合集，合是的全角集度I中看的，事由件事A件所A 含所的含结的果结组果成组的成集的合
的补集。
I 红红红
红 红A红 红
A
绿绿
BA
黄C
例6 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个 小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组, 具体情况如图所示.随机选取1个成员: (1)他至少参加2个小组的概率是多少? (2)他参加不超过2个小组的概率是多少?
2、每一个试验结果出现的可能性相同.
古典概型 概率公式
P( A)
m(事件A包含的可能结果数) n(试验的所有可能结果数)
概率模型 一般来说,在建立概率模型时，我们把什么看作是一
个基本事件是人为规定的,也就是说,对于同一个随机试验,
可以根据需要,建立满足我们要求的概率模型.
问题：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有
2.一般地,如果随机事件A1,A2, • • • ,An中任 意两个是互斥事件,那么有
P(A1+A2+ • • • +An)=P(A1)+P(A2)+ • • • +P(An)
概率2.3 互斥事件
2．3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？知识点二概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝．题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．反思与感悟事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立D ．不互斥、不对立3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝DD ．A ∪C ＝B ∪D5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________．8．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1D ．不确定2．若A 、B 是互斥事件，则( ) A ．P (A ＋B )<1 B ．P (A ＋B )＝1 C ．P (A ＋B )>1D ．P (A ＋B )≤13．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A ．0.09 B ．0.97 C ．0.99D ．0.964．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．37．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎨⎧P (A )＝13， P (B ＋C )＝512， P (C ＋D )＝512， P (A ＋B ＋C ＋D )＝1，即⎩⎨⎧P (B )＋P (C )＝512， P (C )＋P (D )＝512， 13＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，解得⎩⎨⎧P (B )＝14， P (C )＝16， P (D )＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰．故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析 由几何概型知，P ＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。
对立事件与互斥事件
例2、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加 演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有2名男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生．
互斥不对立 不互斥 互斥且对立
A．① B．② C．③ D．④
分析：从袋中任取3球，可分为四种情形：
{三个白球} {两白一黑} {两黑一白} {三个黑球}
四：本课小结：
A
B
C
①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，
而对立事件只针对两个事件而言。
②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生， A、B、C彼此互
也可能有一个发生，也就是不可能同时发生； 斥但不独立
而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，
还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，
对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况， A
B
但互斥事件不一定是对立事件。
③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这 几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空
A、B互斥且独立
集；而事件A的对立事件是指A在全集中的补集。
A
B
③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这
几个事件所包含的结果组成的集合的交集为空 集；而事件A的对立事件是指A在全集中的补集。
A、B互斥且独立
例1、把标号为1，2，3，4的四个小球随机地
分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。
事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”
是（ ）
A
（A）互斥但非对立事件
不互斥
分析：从中任选2名同学参加比赛，可能出现以下
互斥事件与对立事件-高中数学知识点讲解
互斥事件与对立事件1．互斥事件与对立事件【知识点的认识】1．互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…A n 彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，A n 中有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+A n）＝P（A1）+P（A2）+…+P（A n）2．对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做퐴．注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；②在一次试验中，事件A 与퐴只发生其中之一，并且必然发生其中之一．1/ 4（2）对立事件的概率公式：P（퐴）＝1﹣P（A）3．互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．【命题方向】1．考查对知识点概念的掌握例 1：从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球”D．“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有 1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D 正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．2/ 4例 2：下列说法正确的是（）A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B．点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．2．互斥事件概率公式的应用1 1例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是23分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且푃(퐴)=12，푃(퐵)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，则푃(퐴)=12，푃(퐵)=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=12+13=565故答案为：6点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．3/ 43．对立事件概率公式的应用例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1分析：根据对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因为对立事件的概率公式p（퐴）＝1﹣P（A）＝0.6，故选C．点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．4/ 4。
互斥事件与对立事件的概率+课件-2024-2025学年高一上学期数学北师版(2019)必修第一册
的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
作者编号：、32200
新知学习
例2 某医院要派医生下乡义诊，派出的医生人数及其概率如表所示，
人数 0
1
2
3
4 大于或等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2
0.04
(1)求至多派出2名医生的概率；
取法，从而得红球或黑球或白球的概率为
作者编号：、32200
5+4+2 11
＝ .
12
12
法二：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
5
12
4
12
2
12
1
12
则P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ，P(A4)＝ .
A
ഥ)=1-P(A)
P(A
一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
作者编号：、32200
新知学习
例1 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．
从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．
3
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝ ，
16
3
16
13
高中数学北师大版必修3课件：3.2.3互斥事件
为“取出的两个球是黑球”,同理可得 P(B)=5.
记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同”,A,B 互斥,根据互斥事
2
件的概率加法公式,得 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=5.
-15-
2 .3
探究一
互斥事件
探究二
首页
探究三
思维辨析
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
当堂检测
(2)记事件 D 为“取出的两个球中有白球 0 个,黑球 2 个”,则这个
-9-
2 .3
探究一
互斥事件
探究二
首页
探究三
思维辨析
课前篇
自主预习
课堂篇
探究学习
当堂检测
互斥事件、对峙事件的判断
【例1】 (1)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加
演讲比赛,下列每对事件是对峙事件的是 (
)
A.恰有1名男生与恰有2名男生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与全是女生
先求各事件分别产生的概率,再求其和.
-17-
2 .3
探究一
互斥事件
探究二
课前篇
自主预习
首页
探究三
思维辨析
课堂篇
探究学习
当堂检测
变式训练2黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血
型
该血型的人所占比例
A
28%
B
29%
AB
8%
O
35%
已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,AB
型血的人可以接受任一种血型的血.其他不同血型的人不能互相输
峙事件.
互斥事件和对立事件
课时四互斥事件和对立事件一．考纲要求：了解互斥事件、对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算。
二．知识点回顾：1.互斥事件：2.彼此互斥事件：3.对立事件：4.互斥事件和对立事件之间的关系：5.事件A、B至少有一个发生记作，若两事件互斥，则A、B至少有一个发生的概率公式为三．基础练习：1.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是2.从装有５只红球、５只白球的袋中任意取出３只球，有事件：①“取出２只红球和１只白球”与“取出１只红球和２只白球”；②“取出２只红球和１只白球”与“取出３只红球”；③“取出３只红球”与“取出３只球中至少有１只白球”；④“取出３只红球”与“取出３只白球”．其中是对立事件的有3.两个事件对立是这两个事件互斥的条件四．典型例题：例1．每一万张有奖明信片中，有一等奖5张，二等奖10张，三等奖100张。
某人买了1张，设事件A“这张明信片获一等奖”，事件B“这张明信片获二等奖”，事件C“这张明信片获三等奖”，事件D“这张明信片未获奖”，事件E“这张明信片获奖”，则在这些事件中⑴．与事件D互斥的有哪些事件？⑵．与事件D对立的有哪些事件？⑶．与事件A+B对立的有哪些事件？A 互斥的有哪些事件？⑷．与事件B例2． 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： ⑴． 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ ⑵． 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？例3． 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位。
设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。
设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：⑴．；、、)()()(C P B P A P⑵．1张奖券的中奖概率；⑶．1张奖券不中特等奖或一等奖的概率。
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8.经临床验证，一种新药对某种疾病的治愈率为54%，现效率为22%，有效率为12%，其余为无效。则某人患该病使用此药后无效的概率
4.某人射击射中10环，9环，8环的概率依次为0.2，0.25，0.3，则他打1枪至少8环的概率为
5.口袋中有若干红球、黄球与蓝球。摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33，则摸出红球或黄球的概率摸出蓝球的概率
6.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未完全击毁的概率
⑴．
⑵．1张奖券的中奖概率；
⑶．1张奖券不中特等奖或一等奖的概率。
自我挑战三
我的知识网络图——归纳总结 串联整合
规律方
法总结：
创新思维能力培养反思体验过程
自我评价——激励创新思维意识
1.你完成本节学习设计方案的情况为（ ）
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
2.你今天所学的重要数学知识是：
课题
§2.3.3互斥事件与对立事件
第3课时
第8周
学习目标
1.进一步理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。能熟练应用概率运算法则解决简单的概率问题。
2.通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
⑴A与B⑵A与C⑶A与D
2.有一批小包装食品，其中重量在90~95g的有40袋，重量在95~100g的有30袋，重量在100~105g的有10袋。从中任意抽取一袋，则此袋食品的重量在95~100g的概率为；此袋食品的重量不足100g的概率为；此袋食品的重量不低于95g的概率为
3.甲、乙两人下棋，甲胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下和的概率为
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品
话题2玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿.
（1）从中取1个球,求取得红或黑的概率；
（2）从中取2个球，求至少一个红球的概率.
话题3：某高级中学有学生1000人，统计全体学生的年龄，得到如下数据：
年龄（岁）
13
14
15
16
17
18
19
20
合计
人数
8
40
231
315
280
107
13
6
1000
从中任意抽取1人，
求：（1）年龄大于18岁的概率；
（2）年龄不低于15岁的概率.
小组共性问题：
展示提高——形成创新思维能力
自我挑战一
例1．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
问题2:某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
自己存在的困惑：
自己所提的问题：
质疑交流——激发创新思维火花
议题1：甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4是：
反思体验——固化创新思维元素
学习建议：（用15分钟时间独立完成，并注意规范书写）
1.抛掷一颗骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D。判断下列每对事件是否为互斥事件，如果是，再判断它们是否为对立事件
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
本小组还存在的问题或困惑
合作探究——培养创新思维品质
探究点一
话题1：从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。
学习重点
利用互斥事件及对立事件的概率运算法则求随机事件的概率
学习难点
正确寻找事件的对立事件，互斥事件及对立事件概率的计算
创新思维能力培养过程
自主阅读——寻找创新思维素材
（阅读教材P140~P141，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法）
问题1:什么是互斥事件与对立事件？如何计算它们的概率？
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
自我挑战二
某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位。设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：