《3.2.1 复数的加法与减法》教学案1
学案6：3.2.1 复数的加法和减法
3.2.1 复数的加法和减法课堂导学三点剖析一、复数代数形式的加减运算例1 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.二、复数代数形式的乘除运算例2 计算：36(-1+-2+i -1+2i (1+i).温馨提示计算（a +b i ）n 时，一般按乘法法则进行计算.对于复数1±i ，计算它的n （n 为大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i 的平方；对于复数±21±23i ，计算它的n （n 为大于或等于3的自然数）次方时，常先计算它的立方.三，四则运算的综合应用例3 设等比数列{z n}中，其中z1=1，z2=a+b i，z3=b+a i(a，b∈R，且a>0).(1)求a，b的值；(2)试求使z1+z2+…+z n=0的最小正整数n；(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·…·z n的值.温馨提示在复数中运用等比数列的知识，既能加深对复数和复数运算的认识，又能加强对数列知识的理解与运用.各个击破类题演练1设z1=x+2i，z2=3-y i(x，y∈R)，且z1+z2=5-6i，求x+y i.变式提升1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i，4+3i，3+5i，求第四个顶点对应的复数.类题演练2已知z=-i1-ia(a>0)，且复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω.变式提升2已知x，y∈R，且5+=1+i1+2i1+3ix y，求x，y的值.类题演练3已知22(1+i)(1-i)+1-i1+in n=2n，求最小正整数n.变式提升3已知复数z满足|z|=1+3i-z，求3(1+3i)(3+4i)z.参考答案课堂导学例1 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i.解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i ，(3-4i)-(4-5i)=-1+i ，……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.例2 -2+i -1+2i (1+i)(-2+i)(1+2i)-5[(1+i)]=-i=8-8i-i=i -i=0. 例3 解：(1)∵z 1、z 2、z 3成等比数列，∴z 22=z 1z 3，即(a +b i)2=b +a i ，a 2-b 2+2ab i=b +a i. ∵)0(222>⎩⎨⎧==-a aab b b a ，解得a =23，b =21. (2)∵z 1=1，z 2=23+21i ， ∴公比q =23+21i. 于是z n =（23+21i ）n -1， z 1+z 2+…+z n =1+q +q 2+…+q n -1=qq n --11=0， ∴q n =(23+21i)n =(-i)n (-21+23i)n =1， 则n 既是3的倍数又是4的倍数.故n 的最小值为12.(3)z 1·z 2·…·z 12=1·(23+21i)·(23+21i)2·…·(23+21i)11=(23+21i)1+2+…+11 =［(-i)(-21+23i)］66=(-i)66·(-21+23i)66=-1. 类题演练 1 解：z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i ，∵z 1+z 2=5-6i ，∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.82y x . ∴x +y i=2+8i.变式提升 1 解：如图，设点Z 1，Z 2，Z 3分别对应复数2+i ，4+3i ，3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 3-z 2，∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线，则3241Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3，∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1，∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.类题演练 2 解：ω=i ，， ∴232122=+-+a a a ，即a 2-1=3. ∵a >0，∴a =2，ω=233i.变式提升2 解：5+=1+i 1+2i 1+3i x y 可写成(1-i)(1-2i)5(1-3i)+=2510x y ， 5x (1-i)+2y (1-2i)=5-15i ，(5x +2y )-(5x +4y )i=5-15i.∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+,5,1,1545,525y x y x y x 类题演练 3 解：原等式可化为22(1+i)(1+i)(1-i)(1-i)+22n n =2n ， 即［(1+i)2］n (1+i)+［(1-i)2］n ·(1-i)=2·2n ，(2i )n (1+i)+(-2i)n (1-i)=2·2n ，2n ·i n (1+i)+2n (-i)n (1-i)=2·2n ，∴i n ［(1+i)+(-1)n (1-i)］=2，若n =2k (k ∈N *)，则i 2k ［(1+i)+(1-i)］=2，∴i 2k =1，∴k =2，∴n =4.若n =2k -1(k ∈N *)，则i 2k -1［(1+i)-(1-i)］=2，故2i 2k =2，∴i 2k =1，k =2，n =3.∴对于n ∈N *时，最小正整数为3.变式提升 3 解：设z =x +y i(x ，y ∈R )，代入|z |=1+3i -z ，得22y x +=1-x +(3-y )i. 由复数相等得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.03,122y x y x 解得x =-4，y =3.∴z =-4+3i.原式=333(1+3i)(3+4i)(1+3i)1+3i ==()-4+3i i -i=(-3+i)3=-18+26i.。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。
2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。
2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。
3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。
4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。
5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。
4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。
四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。
2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。
3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。
4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。
5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。
4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。
六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。
2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。
2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。
3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。
新人教B版高中数学(选修2-2)3.2.1《复数的加法与减法》word教案
选修2-2 编号18 （高二数学学案） 姓名 班级§3.2.1复数代数形式的四则运算（一）一、学习目标1.理解复数的加减运算及其运算律,并了解复数加减的几何意义.2.在复数代数形式的四则计算中,体会复数与向量的共同之处, ,激发学生学数学用数学的.二、复习回顾1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a ，b 分别叫做它的_____________。
____________时为纯虚数___________时实数_____________时非纯虚数2复数1z =a+bi,2z =c+di 相等的充要条件是_____________。
3.复数的几何意义是什么？复数 Z=a+bi 与平面向量______________________________一一对应类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？三、教学过程1、自主学习：复数的加法法则：设1z =a+bi,2z =c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。
当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
练习：计算(1)(２＋３i)+(-3+7i)=_______________________________(2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)=__________________________(3)已知1z =a+bi,2z =c+di ，若1z +2z 是纯虚数，则有（ ）A.a-c=0且b-d ≠0B. a-c=0且b+d ≠0C. a+c=0且b-d ≠0D.a+c=0且b+d ≠02.运算律合作探究：复数的加法满足交换律，结合律吗？点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C 中依然成立。
3.探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。
《3.2.1 复数的加法与减法》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品
复数加减法的几何意义 → ，OZ → ，则复数 z ＋z 是 设复数 z1，z2 对应的向量为OZ 1 2 1 2
→ → → 对角线 OZ 以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的
所对应的复
→ → → OZ 数，z1－z2 是连接向量OZ1和OZ2的终点并指向 1的向量 所
对应的复数．
复数的加、减法运算
若把本例(3)中的等式改为|z|i＋z＝1＋3i，如何求 z?
【解】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2， 又|z|i＋z＝1＋3i，所以 i x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i，由复数
2 2 x ＋y ＋y＝3， 相等得 x＝1，
x＝1， 解得 4 所以 y＝ ， 3
《3.2.1 复数的加法与减法》课件1
●三维目标 1．知识与技能 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数 代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几 何意义．
2．过程与方法 培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学 生分析问题、解决问题以及运算的能力． 3．情感、态度与价值观 培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过 探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维 品质和锲而不舍的钻研精神．
2．复数的加法满足交换律和结合律吗？ 【提示】 满足．
复数的加法与减法 (1)复数的加法与减法运算法则 设 a＋bi 和 c＋di 是任意两个复数， 我们定义复数的加法、 减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i ，即两个复数相加(减) 就是实部与实部、虚部与虚部分别 相加(减) ，其结果仍然是 一个 复数 ． (2)复数加法的运算律 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
《复数的运算复数的加法与减法》教案新人教选修
《复数的运算——复数的加法与减法》一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）掌握复数加法与减法的运算方法；（3）能够运用复数的加法与减法解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生掌握复数的加法与减法运算；（2）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解；（3）培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生对复数知识的认识；（2）培养学生合作交流的能力，培养学生的团队精神；（3）通过复数运算的学习，使学生感受到数学在生活中的应用，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）复数加法与减法的运算方法。
2. 教学难点：（1）复数加法与减法运算的推广；（2）复数加法与减法在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习复数的基础知识，如复数的定义、表示方法等；（2）提问：复数能否进行加法与减法运算？引出本节课的主题。
2. 知识讲解：（1）讲解复数的加法与减法运算的定义及性质；（2）示范性讲解复数加法与减法的运算方法，并通过实例进行分析；（3）利用图形展示复数加法与减法运算的结果，加深学生对运算规律的理解。
3. 课堂练习：（1）布置一些简单的复数加法与减法运算题目，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案的思路和方法。
四、课后作业1. 复习本节课的内容，巩固复数的加法与减法运算方法；2. 完成课后练习题，提高运用复数解决实际问题的能力。
五、教学反思2. 对学生在课堂上的表现进行评价，分析学生的学习情况；3. 根据教学反思，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
六、教学活动1. 小组讨论：让学生分组讨论复数加法与减法在实际问题中的应用，每组选取一个实例进行讲解。
2. 案例分析：选取一些生活中的实际问题，让学生运用复数加法与减法进行解答。
探究式导学案3：3.2.1复数的加法和减法
3.2.1复数代数形式的加减法运算及其几何意义【学习目标】 1、 知识与技能：掌握复数加法、减法的运算法则，能够熟练地进行加减运算；理解复数（1）通过实例分析，加减法的几何意义，能用平行四边形和三角形法则解决一些简单的问题2、过程与方法：小组合作探究；3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣。
【重点难点】加减法运算法则加减法的几何意义一，自主学习引例：x y x y 已知m=3+4，n=5-6，求m+n ，m-n 。
1. 复数的加法运算：①.复数的加法法则：12z a bi a b R z c di c d R =+∈=+∈设（，）与（，），则二合作探究，展示，点评例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++（3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律相反数2. 复数的减法运算：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,从相反数角度转化减为加。
③：()()()()()()a bi c di a bi c di a c b d i +-+=++--=-+-，显然，两个复数的差仍为复数。
例2．计算（1）(14)(72)i i +--（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[从几何意义出发，再看复数的加减运算：1.当复数的对应向量共线时，可直接运算。
2.当复数的对应向量不共线时，加法运算可类比与向量加法的平行四边形法则；减法运算可类比与向量减法的三角形法则。
3.将所得和向量或差向量一直起点坐标原点时，该向量终点坐标就对应复数所求的坐标。
三总结四检测。
课件10：3.2.1 复数的加法与减法
法二 (1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋ i，…，(2 007－2 008i)＋(－2 008＋2 009i)＝－1＋i. 相加(共有 1 004 个式子)，得 原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i)
＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i ＝1 005－1 006i.
解 (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. (2)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i. (3)法一 (1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008 ＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2 007－2 008)＋2 009]＋ [(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
规律方法 (1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减 运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数 中的应用提供了可能．
【变式 2】 (1)设O→Z1及O→Z2分别与复数 z1＝5＋3i 及复数 z2＝4＋i 对应，计算 z1－z2，并在复平面内作出O→Z1－O→Z2. (2)设O→Z1及O→Z2分别与复数 z1＝1＋3i 及复数 z2＝2＋i 对应， 计算 z1＋z2，并在复平面内作出O→Z1＋O→Z2.
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1. 复数 z 所对应的点是以 C(－2,2)为圆心，r＝1 为半径的圆．而 |z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数 z 对应的点与点 A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r， 最大值为|AC|＋r. ∴|z－3－2i|min＝ 3＋22＋2－22－1＝4. |z－3－2i|max＝ 3＋22＋2－22＋1＝6.
高中数学 3.2.1复数的加减法及其几何意义教案 新人教A版选修2
3.2.1 复数的加减法及其几何意义[教学目标]： 理解复数代数形式的加法.减法运算法则 能运用运算律进行复数的加法.减法. 理解复数加减法的几何意义[教学重、难点]： 复数的加减法、加减法的几何意义 [教学过程]： 一、复习、引入 问题情境： 问题（1）：实数可以与i 进行四则运算吗？进行四则运算时，原有的加法. 乘法运算律仍然成立吗？问题（2）：计算:=-++)41()32(x x =-++)241()232( 那么)()(di c bi a +++怎么计算？问题（3）：任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？ 二、新课1、复数的加法设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数， 复数的加法按照以下的法则进行：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++探究： （1）：两个复数的和仍是一个复数吗？ （2）：复数的加法满足交换律 结合律吗？ （3）：复数加法的几何意义是怎么样的？ 2、复数的减法探究：复数的减法是加法的逆运算，那么复数的减法法则是怎样的？ （1）即设di c z bi a z +=+=21,，则?21=-z z 探究过程：复数的减法按照以下的法则进行：=+-+)()(di c bi a（2）复数减法的几何意义是什么？结论：两个复数相加（减）就是把 。
三、数学运用例1．计算：（1）)43()2()65(i i i +---+- （2）|43|)21(2i i i ++++练习1：课本P109练习1例2.已知复数i z i z 21,221+=+=在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？练习2:如图的向量OZ 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： (1)1+z (2)i z - (3))2(i z +-+例3.设C z z ∈21,，已知2||,1||||2121=+==z z z z ，求||21z z -练习3：复数z 满足条件3||=-i z ，求|2|i z -的最大值。
学案6：3.2.1 复数的加法与减法
3.2.1 复数的加法与减法学习目标1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点) 2．理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点) 基础知识教材整理1 复数代数形式的加减法 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝ . 2．加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝ ， (z 1＋z 2)＋z 3＝ ． 预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 教材整理2 复数加减法的几何意义 若复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→.2.已知向量O Z →1对应的复数为2－3i ，向量O Z →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为__________． 合作学习类型1 复数的加减法运算例1 (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.名师点拨1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋b i(a，b∈R)．跟踪训练1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－iC．i D．－i类型2 复数加减法的几何意义例2(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝3，求|z1－z2|.名师点拨利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； (3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 跟踪训练2．若把上例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，则|z 1＋z 2|等于多少？探究共研型探究点 复数加减法的几何意义的应用探究1 在实数范围内a －b ＞0⇔a ＞b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2恒成立呢？探究2 复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？例3 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，求|BD →|.名师点拨1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．跟踪训练3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．课堂检测1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为()A. 5＋26B．5C．25 D. 372．设复数z＝a＋b i对应的点在虚轴右侧，则()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．b>0，a∈R D．a>0，b∈R3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________ .5．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．参考答案基础知识教材整理1复数代数形式的加减法1．(a－c)＋(b－d)i2．z2＋z1z 1＋(z 2＋z 3) 预习自测1.【答案】 (1)× (2)× (3)× 预习自测2. 【答案】 1－i【解析】 Z 1Z 2→＝O Z →2－O Z →1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i. 例1 (1) 【答案】 1＋i【解析】⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i. 法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3) 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ， 所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.跟踪训练 1．【答案】 A【解析】 (1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 类型2 复数加减法的几何意义例2 (1)【解析】设D (x ，y )，类比向量的运算知A B →＝D C →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i. 【答案】 3＋5i(2)解：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得 cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12，所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°， 因此△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1. 跟踪训练2．解：设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1－z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形OZ 1ZZ 2，OZ 为对角线，△OZ 1Z 2为正三角形，由余弦定理，得|z 1＋z 2|2＝|z 1|2＋|z 2|2－2|z 1|·|z 2|cos ∠OZ 1Z ， 因为∠Z 1OZ 2＝60°，所以∠OZ 1Z ＝120°， 所以|z 1＋z 2|＝ 3.探究1 【答案】 若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2成立．否则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2. 如果z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1＞0，但不能说1＋i 大于i.探究2 【答案】 复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．例3 解：如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13. 跟踪训练3．解：由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z 与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z |最大值＝6，|z |最小值＝4. 课堂检测 1．【答案】 B【解析】 |z 1＋z 2|＝|(2＋i)＋(1－5i)| ＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 2．【答案】 D【解析】 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 3．【答案】 3i【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3. ∴z ＝3i. 4．【答案】 1【解析】 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z －1|表示z 对应的点到点(1,0)的距离， ∴|z －1|最小值＝1.5． 解：(1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此，集合P 在复平面内所表示的图形是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22.所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2. 因为点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向l 作垂线，垂足在线段BE 上，22<2－2， 所以集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22.。
课件3：3.2.1复数的加法和减法
方法总结：
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合
并，虚部与虚部合并,注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或
相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
探究二复数加、减法的几何意义
【问题2】复数z的模为1，求｜ − − ｜的最大值和最小值.
2.复数的加法运算律：
1）交换律Z1+Z2=Z2+Z1
2）结合律(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
3.复数加减法的几何意义
Z 2 (c , d )
Z
Z1 ( a , b )
O
x
课堂探究
探究一复数加、减法的运算
【问题1】计算：
()( + ) + ( − ) − ( + );
= − − (− + ) = ( + ) + (− − ) = − ，故选B.
2.在复平面内， = + ， = − + ，复数 = + ，
则复数z对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.∵ = + = ( + ) + (− + ) = − + ，
() − ［( + ) − (− + )］;
()( + ) − ( − ) − (, ∈ ).
【解答】(1)原式= ( + − ) + ( − − ) = − − ；
(2)原式= − ( + ) = − + ；
《3.2.1复数的加法和减法》课件1
前面我们学习了复数的概念及其几何意义：
1.复数z=a+bi，表示向量：oz 2.复数的模等于向量的模：
y虚轴 z:a + bi
z | a bi | r
a 2 b 2( r 0)
3.相等的向量表示同一个复数. r=|z|
O
x实轴
下面我们就来进一步讨论复数的运算性质
小结：
两个复数相加(减)，就是把实部与实部
、虚部与虚部分别相加(减).
例1 已知z1=3+2i，z2=1-4i，计算z1+z2，z1-z2 . 解: z1+z2 =(3+2i)+(1-4i) =(3+1)+(2-4)i =4-2i； z1-z2 =(3+2i)-(1-4i) =(3-1)+[2-(-4)]i =2+6i.
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
练 习
2、已知 求 z1
z1 3 2i , z2 1 4i
z2 , z1 z2 .
拓 展
求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1； (2)(3+i)z=4+2i
复数加法和减法的代数运算法 则及其几何意义.
规定：复数的加法规则：
z1=a+bi，z2=c+di是任意的两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数
复数的加法满足交换律和结合律吗？
加法的代数运算：设，z1，z2，z3∈R，有：
z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)谢谢观看！来自(交换律) (结合律)
课件1：3.2.1复数的加法和减法
分析：先求出 + = －，所以 + 在复平面内对
应的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －
1)，故所求复数是－2 －i
答案：－2 －i
(a c) (b d )i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （ + ） + （ + ） =
+ 的复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作 （ +
） － （ + ）
事实上，由复数相等的定义，有：
+ = ， + =
由此，得
= － ， = －
所以 + = ( － ) + ( － )
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 及 分别与复数 +
及复数 + 对应，则
它们的和：
（ + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )
注:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个
复数相加的情形。
练习
1.已知 = + , = + ，若 + 是纯虚数，则有（ D ）
2、计算：（1）(－ －) + ( + ) －( －)=___________
－ = +
（2） ( －) －( + ) －(________)
人教B版高中数学选修2-2 第三章3.2.1复数的加法与减法-教案
3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法【提出问题】建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。
由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。
那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？【获得新知】设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d为实数，定义z1+z2=( a+bi)+( c+di)=（a+c）+（b+d）i显然两个复数的和仍然是复数。
容易证明，复数的加法运算，满足交换律，结合律，即对任意的复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）已知复数a+bi，根据加法的定义，存在唯一的复数-a-bi,使（a+bi）+（-a-bi）=0-a-bi叫做a+bi的相反数. -a-bi=-（a+bi）。
在复平面内互为相反数的两个复数关于原点对称。
根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下：z1-z2=( a+bi)-( c+di)=( a+bi)+( -c-di)=（a-c ）+（b-d ）i即( a+bi)-( c+di) =（a-c ）+（b-d ）i可见两个复数的差也是复数。
总之，两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。
下面我们来研究复数加减法的几何意义。
前面提到复数可以用向量来表示，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示。
如果两个复数对应的向量共线，可以直接运算。
如果两个复数对应的向量不共线，则可以按照平行四边形法则来进行（图一）。
设向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2分别与复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i 对应，且OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2不共线，如图一，以OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 1，OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 表示的向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 就是z 1＋z 2，即z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，对角线Z 2Z 1表示的向量Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 就是z 1－z 2，即z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.当OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2共线时，我们可以画一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1与OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 2的和. 【概念领悟】①共轭复数的加减运算设z ＝a ＋b i ，则z̅＝a －b i ，a ，b ∈R .所以z ＋z̅＝2a ，z －z̅＝2b i.即两个共轭复数的和为实数，当两个共轭复数的虚部不为零时，它们的差为纯虚数．②两个复数的差Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2－Z 1=OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与连两个复数所对应的向量终点并指向被减数的向量对应．【经典例题】例1 已知复数z 1＝3＋10i ，z 2＝6-7i ，求z 1 +z 2，z 1 -z 2．解：z 1 +z 2=（3＋10i ）+（6-7i ）=（3＋6）+（10-7）i=13-i图一z 1 -z 2=（3＋10i ）-（6-7i ）=（3-6）+[10-(-7)]i=-3+17i【规律技巧】复数代数形式的运算与多项式的运算类似，可将虚数单位i 看成一个字母，然后去括号，合并同类项.例2 如图，在平行四边形OABC 中，点A 对应复数3+i ，点C 对应复数1+2i ，求点B 对应复数及对角线OB 的长.解：设点B 对应复数为z.由复数加法的几何意义，得z=（3+i ）+（1+2i ）=4+3i对角线OB 的长即为z 的模，所以对角线OB 的长=|z|=√42+32=5 【规律技巧】理解复数加减法的几何意义是求解的关键。
高中数学选修2-2优秀教案 §3.2.1 复数的加法和减法
3.2.1 复数的加法和减法一、教学目标1．知识和技能目标掌握复数的加法运算及意义2．过程和方法目标理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义3．情感态度和价值观目标理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用二、教学重点.难点教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
三、学情分析复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定. 四、教学方法启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识五、教学过程学做思一：自学探究问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？复数加法的几何意义呢？试一试：（1）(14)(72)i i +-+= （2）(72)(14)i i -++=（3）[(32)(43)](5)i i i --++++= （4）(32)(43)(5)]i i i --++++[= 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。
学做思二问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。
你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？六、知识应用，深化理解例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i 例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，例2图∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 六、当堂检测1.计算： （1）(65)(32)i i -++； （2）5(22)i i -+；（3）2213()(1)()3324i i i ++--+； （4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++-2. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，求向量AB ，BA 对应的复数。
16-17版：3.2.1 复数的加法与减法（创新设计）
3．2 复数的运算3．2.1 复数的加法与减法[学习目标] 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[知识链接]我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算，两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数．[预习导引]1．复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1.②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则z 1＋z 2的几何意义是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线O Z →所在向量．复数z 1－z 2的几何意义是对应向量Z 2Z 1→.如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是O Z →与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.要点一 复数加减法的运算例1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i.(2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i.要点二 复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)．BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用． 跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.要点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，①(a －c )2＋(b －d )2＝1②由①②得2ac ＋2bd ＝1，∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3.规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 跟踪演练3 若复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，求|z ＋i ＋1|的最小值．解 设复数－i ，i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，如图．∵|z ＋i|＋|z －i|＝2，Z 1Z 2＝2，∴点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值．连接Z 3Z 1，Z 3Z 1⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 1的距离即为所求的最小值，Z 1Z 3＝1.故|z ＋i ＋1|的最小值为1.1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i答案 D解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i 答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)．∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．。
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《3.2.1 复数的加法与减法》教学案1教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：b Z(a ，b)a o y x一．复数代数形式的加减运算１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义 复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为例2图A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i 。