江苏省西亭高级中学2019-2020学年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案

江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试
高一数学
命题人： 审核人：
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），
绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A ．一个球 B ．一个球中间挖去一个圆柱 C ．一个圆柱
D ．一个球中间挖去一个棱柱
2． 某中学有学生2500人，其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的
时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本 中女生恰有20人，则n 的值为（ ） A ．30
B ．50
C ．70
D ．80
3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，
则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶4
C ．3∶4∶5
D ．1∶3∶2
4． △ABC 中，若c=22a b ab ++，则角C 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．45°
5． 已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，
且12l l //，则m 的值为（ ） A ．-1
B ．
1
2
C ．
1
2
或-2 D ．-1或-2
7． 在△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
8． 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系
1
l 2l 1l 1
l 1l 2
l 2l 2
l
是（ ） A ．相切 B ．相交
C ．相离
D ．不确定
9． 已知圆方程
，圆与直线
相交于
两点，
且（为坐标原点），则实数的值为（ ）
A ．5
4-
B ．
2
1 C ．
5
8 D ．
5
1 10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．0
B ．
43
C ．
32
D ．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.
11．圆22410x y x +--=（ ）
A ．关于点()2,0对称
B ．关于直线0y =对称
C ．关于直线320x y +-=对称
D ．关于直线20x y -+=对称
12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）
A ．a 2=b 2+c 2-2bccosA
B ．asinB =bsinA
C ．a =bcosC +ccosB
D ．acosB +bcosC =c
13．a ，b ，c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）
A ．若//a b ，//b c ，则//a c
B ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交
C ．若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D ．若a 与c 相交，b 与c 异面，则a 与b 异面
三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分. 14．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是 ．
参考公式：])()()()[(1
22322212x x x x x x x x n
s n -++-+-+-=Λ.
15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，
缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：1丈等于10尺）
16．已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5A ，B 两点，
另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则AB =______，
四边形ACBD 面积的最大值为 ．
17．已知实数x ，y 满足1)1(22=+-y x ，则243+-y x 的最大值为 ． 四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题12分）
如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在
,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.
（1）求证：,,,E F G H 四点共面；
（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.
19.（本小题14分）
如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4
B π
=
，1BC =.
（1）若ABC △是锐角三角形，6
DC =，求角A 的大小； （2）若BCD V 的面积为1
6
，求AB 的长.
20.（本小题14分）
下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元） 的几组对照数据:
x （年） 2 3 4 5 6 y （万元）
1
2.5
3
4
4.5
（1）若知道求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）
求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？
参考公式:()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-.
21.（本小题14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的 圆2
2
:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.
22.（本小题14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 已知满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；
（2）若2=b ，求ABC ∆面积的取值范围．
23.（本小题14分）
已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若2
1
=
k ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ， 探究：直线CD 是否过定点．
江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试
高一数学参考答案及评分标准
命题人： 审核人：
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），
绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A ．一个球 B ．一个球中间挖去一个圆柱 C ．一个圆柱 D ．一个球中间挖去一个棱柱
【答案】B
2． 某中学有学生2500人，其中男生1500人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的
时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本 中女生恰有20人，则n 的值为（ ） A ．30 B ．50
C ．70
D ．80
【答案】B
3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，
则a ∶b ∶c 等于（ ） A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4
C ．3∶4∶5
D ．1∶3∶2
【答案】D
4． △ABC 中，若c=22a b ab ++，则角C 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．45°
【答案】B
5． 已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
6． 已知直线()1:3210l mx m y +++=，直线()()2:2220l m x m y -+++=，
且12l l //，则m 的值为（ ）
A ．-1
B ．
12
C ．
1
2
或-2 D ．-1或-2
【答案】D
7． 在△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
【答案】D
8． 已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系
是（ ） A ．相切 B ．相交
C ．相离
D ．不确定
【答案】B 9． 已知圆方程
，圆与直线
相交于
两点，
且（为坐标原点），则实数的值为（ ）
A ．5
4-
B ．
2
1 C ．
5
8 D ．
5
1 【答案】C
10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1为半径的圆与圆C ：228150x y x +-+=有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．0 B ．
43
C ．
32
D ．3
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.
11．圆22410x y x +--=（ ）
A ．关于点()2,0对称
B ．关于直线0y =对称
C ．关于直线320x y +-=对称
D ．关于直线20x y -+=对称
【答案】ABC
12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）
A ．a 2=b 2+c 2-2bccosA
B ．asinB =bsinA
C ．a =bcosC +ccosB
D ．acosB +bcosC =c 【答案】ABC
13．a ，b ，c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）
A ．若//a b ，//b c ，则//a c
B ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交
C ．若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D ．若a 与c 相交，b 与c 异面，则a 与b 异面 【答案】AC
三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分. 14．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是 ．
参考公式：])()()()[(1
22322212x x x x x x x x n s n -++-+-+-=Λ.
【答案】2
15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，
缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注：1丈等于10尺） 【答案】37(或1369)
16．已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5A ，B 两点，
另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则AB =______， 四边形ACBD 面积的最大值为 ． 10 , 52
17．已知实数x ，y 满足1)1(22=+-y x ，则243+-y x 的最大值为 ． 【答案】10
四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题12分）
如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在
,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.
（1）求证：,,,E F G H 四点共面；
（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线. 证明：（1）因为,E F 分别为,AB AD 的中点， 所以EF BD P .
在BCD ∆中，
BG DH
GC HC
=， 所以GH BD P ，所以EF GH P . 所以,,,E F G H 四点共面.…………6分
（2）因为EG FH P ⋂=，所以P EG ∈，又因为EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC ， 同理P ∈平面ADC ，
所以P 为平面ABC 与平面ADC 的一个公共点. 又平面ABC 平面ADC AC =.
所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线. …………12分 19.（本小题14分）
如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知4
B π
=
，1BC =.
（1）若ABC △是锐角三角形，6
3
DC =，求角A 的大小； （2）若BCD V 的面积为1
6
，求AB 的长.
解：（1）在BCD V 中，4
B π
=
，1BC =，6
3
DC =
，由正弦定理得sin sin BC CD BDC B =∠，
解得2
132sin 6BDC ⨯
∠=
=3BDC π∠=或
23
π. 因为ABC V 是锐角三角形，所以23
BDC π∠=. 又DA DC =，所以3
A π
=
.…………7分
（2）由题意可得11sin 246BCD S BC BD V π=
⋅⋅⋅=，解得2BD =，
由余弦定理得222
2cos
4
CD BC BD BC BD π
=+-⋅⋅=
251219329
+
-⨯⨯=，
解得CD =
，
则AB AD BD CD BD =+=+=
. 所以AB
…………14分 20.（本小题14分）
下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x 和所支出的维修费y （万元） 的几组对照数据:
（1）若知道求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）
求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能 否比技术改造前降低？
参考公式:()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-.
解：（1）根据所给表格数据计算得23456
45x ++++=
=,1 2.534 4.535
y ++++==,
5
1
27.512202768.5i i
i x y
==++++=∑,
5
2
1
4916253690i
i x
==++++=∑,
5
1
5
2
2
1
568.560ˆ0.859020
5i i
i i
i x y x y
b
x
x ==-⋅-∴==
=--∑∑,ˆˆ0.4a y bx =-=-, 所以,y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.850.4y
x =-.…………10分 （2）由（1）得,当10x =时,ˆ0.85100.48.1y
=⨯-=,即技术改造后的10年的维修费用为8.1
万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了0.9万元. …………14分
21.（本小题14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的
圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 解：（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x
因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切
所以007<<x ，圆N 的半径为0x
从而0075-=+x x
解得01x =.
所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.…………7分
（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为
201402-=-. 设直线l 的方程为12
y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
55
==d 因为222425==+=BC OA 而2
222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2
(25)2555
-=+m ，解得152m = 或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.…………14分
22.（本小题14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
已知满足(2)cos cos a c B b C -=.
（1）求角B 的大小；
（2）若2=b ，求ABC ∆面积的取值范围．
解：（1）()2cos cos a c B b C -=Q
由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=
()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+=
()0,A π∈Q sin 0A ∴≠ 1cos 2B ∴=
()0,B π∈Q 3B π
∴=…………6分
（2）由正弦定理得：sin sin b A a B
=
32
a A ∴==
同理：3c C =
11s in sin 2in 2ABC A C A ac C S B ∆==∴=
21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
111sin 2cos 2sin 23444362C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 203C π<<
Q 72666C πππ∴-<-< 1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭
10sin 262C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ABC ∆∴
的面积的取值范围为：(…………14分
23.（本小题14分）
已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2．
（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若2
1=k ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，
探究：直线CD 是否过定点．
解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径
，
即
，
解得k=±1．…………4分
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，122
2x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，
当∠AOB 为锐角时，
OA OB ⋅u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）
=()()212121k x x 2k x x 4+-++ =2
262k 1k
-+＞0， 解得k 2＜3，
又k 2＞1，∴
k 1-＜或1＜k
．
故k 的取值范围为（
1-）∪（1
5分 （3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，
1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭
， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，
两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--= ⎪⎝⎭
，即（x+y 2）t-2y-2=0， 由y 0{?2220x y +
=+=，得1{?21x y ==-，
∴直线CD 过定点（112
-，
）．…………5分。