2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)期末数学试卷(理科)
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2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷
（理科）
一、选择题（每小题5分，共12小题）
1. 若复数z满足z=1+i
i
（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
∵z=1+i
i =(1+i)(−i)
−i2
=1−i，
∴z在复平面的对应点的坐标为(1, −1)，在第四象限．
2. 已知命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p为（）
A.∀n∈N，2n≤1000
B.∀n∈N，2n>1000
C.∃n∈N，2n≤1000
D.∃n∈N，2n<1000
【答案】
A
【考点】
命题的否定
【解析】
利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．【解答】
∵命题p:∃n∈N，2n>1000，
则￢p为∀n∈N，2n≤1000
3. 已知双曲线C:x2
a2−y2＝1(a>0)的离心率为√5
2
，则a的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的离心率，建立方程关系进行求解即可．
【解答】
由双曲线的方程得b＝1，则c=√a2+1，
∵双曲线的离心率为√5
2
，
∴ c
a =√a 2+1a
=
√52
， 平方得
a 2+1a 2
=54
，得a 2＝4，
∵ a >0，∴ a ＝2，
4. 已知向量a →
，b →
的夹角为π
3
，且|a →
|＝1，|2a →
−b →
|=√3，则|b →
|＝（ ）
A.1
B.√2
C.√3
D.2
【答案】 A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
把|2a →
−b →
|=√3两边平方，然后展开数量积求解． 【解答】
由|2a →
−b →
|=√3，
得|2a →
−b →|2
=(2a →
−b →)2
=4|a →|2
−4a →
⋅b →
+|b →
|2=3， 又向量a →
，b →
的夹角为60∘，且|a →
|＝1， ∴ 4×12−4×1×|b →
|cos 60+|b →
|2=3， 整理得：|b →|2
−2|b →
|+1=0，解得|b →
|＝1．
5. 已知cos (π
6−α)=2
3，则cos (5π
3+2α)的值为（ ） A.5
9
B.1
9
C.−1
9
D.−5
9
【答案】 C
【考点】
二倍角的三角函数 【解析】
由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】
已知cos (π6−α)=23，则cos (5π3+2α)=cos (π3−2α)＝2cos 2(π6−α)−1＝2×49−1=−1
9，
6. 定义在R 上的函数f(x)=(1
3)|x−m|
−2为偶函数，a =f(log 212)，b =f((1
2)13
)，c ＝f(m)，则（ ） A.c C.a