函数极限经典例题
求函数极限的方法总结及例题
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
函数的极限典型例题
第二讲函数的极限一 内容提要1•函数在一点处的定义注2 的存在性（以x x o 为例）：在数列的“ N ”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的Heine ）定理•它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.因此，利用定理必要性的逆否命题，又可以借用数列极限的现成结果来论证函 ） 2函数在无穷处的极限设 f (X)在［a,）上有定义，则lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) A0, X a, 使得 x:xX ，有 f(x)注1 lim f (x)XAlimXf(x) lim f(x) A .X注2 X im f(X ) A{X n } {X n }|X nlim f (x)X X 0A 0,0,使得 x:0 X X。
右极限lim f (x)XxA0,0,使得X 0X X。
左极限lim f(x)X X 0A 0, 0, 使得 X 0XX注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性.，有 f(x) A，有 | f (x) A，有 | f (x) AN 无关紧要；对 也是如此,只要对给定的 0，能找到某一个 ，能使0 x x 0 时，有f （x ） A 即可.注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究 f （x ）是否无限趋近于A .注 4 lim f (x)x x 0A lim f (x)x x 0lim f (x) A .x X 0注5 lim f (x)x X 0A {X n } {X n } |X n X 0,且X nx 0 ，有 lim nf (X n ) A ，称为归结原则一一海涅（ 条件下函数极限与数列极限可以相互转化.验证某些函数极限不存在； 而利用定理的充分性,数极限问题.（会叙述，证明，特别充分性的证明. 说明在一定可以方便地注 6 lim f (x) Ax x0 0,X 。
大一函数极限定义证明例题
大一函数极限定义证明例题1. 函数极限的基本概念哎呀，大家好！今天咱们来聊聊一个数学里的“高大上”概念——函数的极限。
说到极限，感觉就像是数学界的小秘密，听起来复杂，但其实它的核心概念非常简单。
就像咱们生活中的一些事情，表面看着神秘，实际上不过是个小道理。
举个例子，就像你在公交车上，车越来越快，眼前的风景好像在飞驰而过。
这个时候，你可能会想：“如果我再靠近终点，会发生什么？”这就是极限的感觉！极限的正式定义听起来有点吓人，但其实它只是想告诉我们，当自变量靠近某个值的时候，函数的值是如何变化的。
我们用一个小符号“lim”来表示极限，像一个数学界的魔法师，神奇地把一些复杂的关系变得简单易懂。
想象一下，当你把冰淇淋放在阳光下，随着时间的推移，它慢慢融化。
这个过程其实就是在告诉我们，温度越来越高，冰淇淋的状态在改变。
这种变化，其实就是极限在悄悄发挥作用。
2. 极限的定义2.1 εδ定义说到极限，我们不得不提到“εδ”定义。
这是什么神仙概念呢？简单来说，它是用来描述函数在某个点附近的行为。
想象一下，你在操场上玩“捉迷藏”，你朋友站在一个固定的地方，而你则在不断靠近他。
你能做到的就是不断接近，直到你几乎触碰到他。
这里的“ε”就是你能接受的距离，而“δ”是你离他多远才算“接近”。
在数学里，当我们说“对于任意小的ε，都存在一个δ”，其实就是在说，不管你怎么要求，我都能找到一个方法让这个关系成立。
这听起来很复杂，但想象一下在追逐梦想的路上，总会有些坎坷，但只要你努力，总能找到一条路径让你更接近梦想。
这种“追逐”的过程，其实就是在寻找极限的意义！2.2 极限的性质极限还有很多有趣的性质，比如说如果你把两个函数相加，极限是可以直接相加的，就像是两位好朋友一起去冒险，各自的勇气合在一起，能量翻倍！当然，乘法也是同理。
这就像是你和你的好基友一起开派对，乐趣成倍增长。
不过，有些情况下，极限不太好求，比如遇到“0/0”这种情况，哎，真是让人抓狂，感觉像是被堵在了死胡同里。
极限的例题
极限的例题一、介绍在微积分中，极限是一个重要的概念。
它描述了一个函数在某一点附近的行为。
通过研究极限，我们可以更好地理解函数的性质和它们的图像。
在本文档中，我们将通过一些例题来帮助读者更好地理解极限的概念和计算方法。
二、例题1. 例题一计算以下函数的极限：$$ \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin(x)}{x} $$解答：我们先观察一下函数的形式。
当x趋近于零时，分子部分$\\sin(x)$ 也趋近于零，而分母部分x也趋近于零。
这个函数的极限是一个特殊的极限，称为正弦极限。
根据正弦极限的定义，我们知道：$$ \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin(x)}{x} = 1 $$因此，答案是 1。
2. 例题二计算以下函数的极限：$$ \\lim_{x \\to \\infty} \\frac{e^x}{x^k} $$解答：在这个例题中，我们需要计算当x趋近于无穷大时，函数$\\frac{e^x}{x^k}$ 的极限。
由指数函数x x的性质，我们知道当x趋近于无穷大时，x x也趋近于无穷大。
因此，可以得到以下结论：•当x>0时，x x趋近于无穷大，而x x也趋近于无穷大。
所以 $\\frac{e^x}{x^k}$ 的极限为无穷大。
•当x=0时，x x为常数 1，而x x趋近于无穷大。
所以 $\\frac{e^x}{x^k}$ 的极限为无穷大。
•当x<0时，x x趋近于零，而x x趋近于无穷大。
所以 $\\frac{e^x}{x^k}$ 的极限为无穷大。
综上所述，无论x的值取何种情况，$\\frac{e^x}{x^k}$ 的极限都为无穷大。
3. 例题三计算以下函数的极限：$$ \\lim_{x \\to 2} \\frac{x^2 - 4}{x - 2} $$解答：我们可以将函数进行因式分解，得到：$$ \\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} $$可以看到，当x为 2 时，函数的定义域无定义。
函数极限练习题
函数极限练习题一、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。
由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。
所以极限为：$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。
根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$二、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。
2022年高考数学函数极限历年真题解析
2022年高考数学函数极限历年真题解析一、函数极限的定义和概念在解析数学中，函数极限是一个非常重要的概念。
函数极限描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数的取值趋于何处的情况。
理解和掌握函数极限的定义和性质对于解决数学问题至关重要。
二、历年真题解析2022年高考数学函数极限题目如下：【题目一】已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim\limits_{x \to 2}f(x)$的值。
解析：观察到当$x$无限接近2时，分子$x^2-4$可以因式分解为$(x+2)(x-2)$，分母$x-2$为0，因此我们可以进行因式分解简化。
$\lim\limits_{x \to 2}f(x) = \lim\limits_{x \to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}= \lim\limits_{x \to 2}(x+2) = 2+2 = 4$因此，$\lim\limits_{x \to 2}f(x)$的值为4。
【题目二】已知函数$g(x)=\begin{cases} x^2-1, & \text{当}x>1 \\2x-1, & \text{当}x\leq 1 \end{cases}$，求$\lim\limits_{x \to 1}g(x)$的值。
解析：考虑到函数$g(x)$在$x=1$处的定义分段，我们可以分别求解左极限和右极限。
对于$x>1$的情况，函数$g(x) = x^2-1$，则$\lim\limits_{x \to1^+}g(x) = \lim\limits_{x \to 1^+}(x^2-1) = 1^2-1 = 0$。
对于$x\leq 1$的情况，函数$g(x) = 2x-1$，则$\lim\limits_{x \to 1^-}g(x) = \lim\limits_{x \to 1^-}(2x-1) = 2\times 1-1 = 1$。
求函数的极限例题
当涉及函数极限时，以下是一些例题供参考：1.求函数 f(x) = (2x^2 - 5x + 3) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解答：可以通过直接代入计算，或者将分子因式分解来简化表达式。
将函数分解为f(x) = (x - 1)(2x - 3) / (x - 1)，可以约简为 f(x) = 2x - 3。
当 x 接近于 1时，f(x) 接近于 2(1) - 3 = -1。
所以，f(x) 在 x = 1 处的极限为 -1。
2.求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x 趋近于 0 时的极限。
解答：这是一个经典的极限例题。
直接代入 x = 0 会导致分母为 0 的情况，无法计算。
我们可以使用泰勒级数展开来解决这个问题。
根据泰勒级数展开，sin(x) 可以近似表示为 x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - ...。
将它代入 g(x) = sin(x) / x，可以得到 g(x) = 1 - (x^2 / 3!) + (x^4 / 5!) - ...。
当 x 接近于 0 时，可以看出 g(x) 接近于 1。
所以，g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限为 1。
3.求函数 h(x) = (sqrt(x + 1) - 1) / x 在 x 趋近于 0 时的极限。
解答：把函数表达式简化后，得到 h(x) = x / (sqrt(x + 1) + 1)。
当 x 接近于 0 时，可以看出分母趋近于 sqrt(0 + 1) + 1 = 2。
因此，h(x) 在 x 趋近于 0 时的极限为 0。
这些例题可以帮助你熟悉函数极限的求解过程。
对于更复杂的例题，可能需要使用更多的极限性质和数学工具来求解。
记住，在处理函数极限时，要注意特殊情况和分母为 0 的情况，并尝试使用泰勒级数展开或其他数学方法来简化表达式。
专升本高数极限例题
专升本高数极限例题
作为专升本高数考试的一部分，极限是一个重要的概念。
以下是一些常见的专升本高数极限例题:
1. 求极限
例:lim x→0 sin x = 1
解：原式=lim x→0 cos x/x = 1
2. 描述极限的性质
例：描述极限的存在性、连续性、可导性等性质。
解：极限的存在性是指在某个范围内，函数值趋近于某个值的现象。
极限的连续性是指如果函数在某一点处的极限存在，那么在其他任意点处极限也存在。
极限的可导性是指函数在极限存在时的导数存在。
3. 解决极限的相关问题
例：求解关于 x 的极限问题，已知 lim x→0 sin x = 1。
解：原式=lim x→0 (cos x - 1)/x = lim x→0 (1/x - 1)/x = lim x→0 (1/x) - lim x→0 1/x = 1 - 1 = 0
通过这些例题，考生可以了解专升本高数极限的概念和相关问题，并且需要熟练掌握极限的性质和解决极限问题的方法和技巧。
高数极限必做150题及答案
极限必做150解答033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nxx x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→⎡⎤+-+⎣⎦==-+++⎛⎫---+=+++=+++= ⎪⎝⎭)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭+⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n nn a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++⎝⎭+-→∞+-+-+-→→→=⎝⎭====⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⎛ ⎪+⎝⎭====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a bn n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤++--⎢⎥⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=+-+⎛⎫== ⎪⎝⎭令同第二题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++⎡⎤=+-++-++⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=++=-+=-=⎢⎥+++⎣⎦)00010110112lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan cos()sin()244424.lim26.lim tan()427.lim sin x x x x xx xx x xxx x x x x x x x xe ee eex e e x ππππππ→→→→→→→--→---------→+=====⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x xx x x xxxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞⎛⎫-+-+⎛⎫- ⎪ ⎪ +-+-⎝⎭⎝⎭+======⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞⎪-→∞⎛⎫⎪+⎝⎭→∞-→=+⎛⎫⎪-⎝⎭=+=+-=22lim cos1lim()221cos cos sinlim limtancos()cos0002232.lim coscos33.limcosln()ln()2ln134.lim35.limx xx a x axxx xxx ax ax a xaa x a axxe e exae e ex x x x xx xππ→+∞→+∞→→→+∞⎡⎤⎫-⎢⎪⎥-⎭⎣⎦-→----→→+===⎛⎫⎪⎝⎭===++--+同第二题-[]00011211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim1ln(sec tan)36.limsinln(1sin)cos ln(1sin)ln coslim lim lim137.lim()lim(axax axaxaxx x xxx x xx xxxxbexb b e abee abx x ex xxx x x xx x xx a ax a a∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=22122111(ln ln) 0005111)lim()ln lim ln ln1(1)138.lim111lim explim explim1(1)139.lim5x xx xx xxxx x x x x xxa bx xx x xxxxx a a ax x x xxaxbxa xb a b a b aexb x xb x x bex-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++⎛⎫+⎪+⎝⎭⎛⎫----===-== ⎪++⎝⎭-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a xa a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα⎛⎫+< ⎪⎝⎭=+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-<⇒+<⇒+<=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减 所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=⇒=⇒=--+-+⇒=⇒=--=⇒====→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：1212()im1lim1()~()lim1lim 1()lim11111,,1,224k x x k x x kx f x g x Ax x f x g x Axk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞-=⇒==-=→∞=⇒=⇒===--==-所以k+4。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。
为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。
具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。
我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。
然后求出极限即可。
具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。
+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。
+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。
求极限经典例题解析
极限是微积分中的一个重要概念，是描述函数在某一点附近的变化趋势的重要工具。
下面是一些经典的极限例题解析：1. 【例题1】求极限lim(x→0) (1 - 2sinx) / x^3【解析】这是一个无穷小与有界函数的比值的极限，根据极限的运算法则，我们可以得到：lim(x→0) (1 - 2sinx) / x^3 = lim(x→0) (1 - 2/x^2) / x^3 = lim(x→0) (x^2 + 4/x^2) / 3x^3 = lim(x→0) (x + 4/x^2) / 3由于当x →0 时，分母x →0，所以分子x + 4/x^2 也趋向于0，所以我们可以得到极限值为0/3 = 0。
结论：对于这类极限问题，首先要判断分子和分母在趋近于极限值时的大小关系，然后根据极限的运算法则进行计算。
2. 【例题2】求极限lim(n→∞) (√n + √(n+1)) -√n【解析】这道题可以用重要极限的形式来求解。
对于n 的偶数次幂开根号可以约去，所以我们只需要考虑极限形式的上下限和是否有增减性即可。
具体地，我们需要考察式子中的每一项是否趋向于正无穷大或负无穷大。
lim(n→∞) (√n + √(n+1)) -√n = lim(n→∞) (√n + √(n+1)) - lim(n→∞) √n = (√2 - 1) + (√3 - 1) + ... + (√n - 1)由于每一项都是趋向于正无穷大的，所以我们可以得到极限值为所有项的和，即(√2 - 1) + (√3 - 1) + ... + (√n - 1) = (√n - 1)(√n + 1) / 2。
结论：对于这类极限问题，我们可以利用重要极限的形式来简化计算过程。
同时，要注意考察式子中的每一项是否趋向于正无穷大或负无穷大，以及是否有增减性。
3. 【例题3】求极限lim(x→∞) (x^2 + x^3)/x^4 - x^4/x^5 + ...【解析】这道题是一个无穷级数求和的问题，我们可以将其拆分为两个部分：一部分是无穷级数的前半部分，另一部分是无穷级数的后半部分。
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
高中数学 函数的极限范例例题
x0
－x＋2， 當 x＜0
解■ (2)如右图，lim f（x）＝ lim（－x＋2）＝2
x0－
x0－
lim f（x）＝ lim（2x＋2）＝2
x0＋
x0＋
lim f（x）＝ lim f（x）＝2
x0－
x0＋
∴lim f（x）＝2 x0
例题 5 极限的存在
利用左极限及右极限判断下列极限是否存在。 (3) lim log2│x│。
x2－
x2－
x2＋
x2＋
∴2a＋b＝－2
② lim f (x) ＝ lim x2＝0，lim f (x) ＝ lim（ax＋b）＝b
x0－
x0－
x0＋
x0＋
由①与②得 b2＝a＋0 b＝－2，解得 a＝－1，b＝0
∴b＝0
上一题
下一题
主题 3 中间值定理
例题 16 中间值定理的应用
x3
xx－－43＋（x－3）（2 x－1）
＝lim（x－4）（x－1）＋2 x3 （x－3）（x－1）
＝lim x2－5x＋6 ＝lim（x－3）（x－2） x3（x－3）（x－1） x3（x－3）（x－1）
＝lim x－2＝1 x3 x－1 2
上一题 下一题
例题 9 函数极限的运算性质(四)根式型
上一题 下一题
例题 17 勘根定理的应用
(1)设 f（x）＝2x4－5，g（x）＝x2－5，试证在 1 与 2 之间有一实数 c， 满足 f（c）＋g（c）＝c。
■證 (1)令 F（x）＝f（x）＋g（x）－x ＝（2x4－5）＋（x2－5）－x ＝2x4＋x2－x－10
F（1）＝2＋1－1－10＝－8＜0 F（2）＝2．24＋22－2－10＝24＞0 ∴F（1）．F（2）＜0 由勘根定理可知，在 1 与 2 之间有一实数 c 满足 F（c）＝0 即 f（c）＋g（c）－c＝0 f（c）＋g（c）＝c
证明极限存在的例题
证明极限存在的例题假设我们要证明函数$f(x)$在$x\to a$时存在极限$L$，即$\lim_{x\to a} f(x) = L$。
例题：证明函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x\to 1$时存在极限2。
证明过程如下：首先，我们需要确定一种方法来逼近$x$无限接近于1时的函数值。
一种常用的方法是使用代数简化或分解。
在这个例子中，我们可以尝试对函数进行因式分解，即：$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$$然而，这个因式分解后的结果在$x=1$处不可定义，因为分母为零。
因此，直接代入$x=1$来验证极限并不可行。
为了解决这个问题，我们可以尝试一种替代方法。
观察函数的分子，我们可以将其重新分解为：$$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$$这时可以看出，当$x$接近1时，$x+1$也接近于2。
因此，我们可以推断出函数$f(x)$在$x\to 1$时存在极限2。
最后，为了严格证明这个结论，我们可以使用$\epsilon-\delta$定义。
给定任意正数$\epsilon>0$，我们需要找到一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-1|<\delta$时，$|f(x) - 2|<\epsilon$。
注意到我们可以选择$\delta=\epsilon$，因为当$0<|x-1|<\delta=\epsilon$时，函数值$f(x)=x+1$不仅在2的邻域内，而且$\delta$的值也可以自由选择。
因此，我们得出结论：函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x\to 1$时存在极限2。
函数极限题库及答案详解
函数极限题库及答案详解1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当 \(x \to 0\) 时，分子分母同时趋向于0，可以应用洛必达法则。
对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 +5}\)。
答案：当 \(x \to \infty\) 时，分子和分母的高次项将主导极限的值。
因此，\(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3\)。
3. 求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
答案：这是一个0/0的不定式，可以进行因式分解，分子可以分解为\((x - 2)(x + 2)\)，因此原式变为 \(\lim_{x \to 2} (x + 2)\)，结果为4。
4. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)。
答案：根据e的泰勒展开式，\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \cdots\)，当 \(x \to 0\) 时，高阶项可以忽略，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)。
5. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
答案：根据泰勒展开，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 -\cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2!} +\text{高阶项}}{x^2} = -\frac{1}{2}\)。
函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性典型例题第一篇：函数的极限及函数的连续性典型例题函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。
② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。
④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又∴由从而f(x)在点x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
，∴ f(x)在x=1处连续。
，例4．已知函数试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
,(a,b为常数)。
解析：∵且，∴，∴ a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设解析：∵要使存在，只需，问常数k为何值时，有存在？。
，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
，三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3.已知，则=______。
4．已知5．已知，2a+b=0，求a与b的值。
，求a的值。
参考答案：1.32.3.4.a=2, b=-45.a=0第二篇：函数的极限和函数的连续性（本站推荐）第一部分高等数学第一节函数的极限和函数的连续性考点梳理一、函数及其性质1、初等函数幂函数：y=xa(a∈R)指数函数y=ax(a>1且a≠1)对数函数：y=logax(a>0且a≠1)三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）二、函数极限1．数列极限定义（略）收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。
高数极限题目及解析
高数极限题目及解析解析：这是一个经典的极限问题，可以用泰勒公式证明。
另外，也可以通过洛必达法则求解。
方法一(泰勒公式)：根据泰勒公式得：$sin x = x - dfrac{x^3}{3!} + dfrac{x^5}{5!} - cdots$ 当 $x to 0$ 时，$dfrac{x^3}{3!}$、$dfrac{x^5}{5!}$ 等高次项可以忽略不计，所以有：$limlimits_{x to 0} dfrac{sin x}{x} = limlimits_{x to 0} dfrac{x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots}{x} = limlimits_{x to 0} left(1 - dfrac{x^2}{3!} + dfrac{x^4}{5!} - cdots right) = 1$方法二(洛必达法则)：$limlimits_{x to 0} dfrac{sin x}{x} = limlimits_{x to 0} dfrac{cos x}{1} = cos 0 = 1$二、求极限 $limlimits_{x to +infty} left(dfrac{3x - 4}{3x + 4}right)^{2x}$解析：这是一个指数函数的极限问题，可以用换底公式或对数函数的性质求解。
$limlimits_{x to +infty} left(dfrac{3x - 4}{3x +4}right)^{2x} = limlimits_{x to +infty} left[left(dfrac{3x - 4}{3x + 4}right)^{frac{3x + 4}{3x - 4}}right]^{frac{2x(3x -4)}{3x + 4}}$令 $y = dfrac{3x - 4}{3x + 4}$，则当 $x to +infty$ 时，$y to 1$，所以有：$limlimits_{x to +infty} left(dfrac{3x - 4}{3x +4}right)^{frac{3x + 4}{3x - 4}} = limlimits_{y to 1}y^{frac{3}{1-y}} = limlimits_{y to 1} e^{3ln y/(1-y)} = e^3$ 另外，$dfrac{2x(3x - 4)}{3x + 4} = dfrac{6x^2 - 8x}{3x + 4} = 2x - dfrac{8x}{3x + 4}$，当 $x to +infty$ 时，$dfrac{8x}{3x + 4} to 0$，所以有：$limlimits_{x to +infty} left(dfrac{3x - 4}{3x +4}right)^{2x} = e^3$三、求极限 $limlimits_{x to 0} dfrac{ln(1 + sin x)}{sin x}$解析：这是一个自然对数函数的极限问题，可以用泰勒公式或洛必达法则求解。
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