一元二次方程的根与系数的关系 (2)

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一元二次方程根与系数的关系及应用题

一元二次方程根与系数的关系及应用题一、根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。

4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。

若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。

如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求：（1）11αβ+；（2）()()33++βα的值；（3）22αβ+；（4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有个。

一元二次方程根与系数的关系(新2)

解:∵当m≠0,且Δ1=16-16m≥0时,mx2 ≠ , - ≥ 时有实根, -4x+4=0有实根, 即 m ≤ 1且 m ≠ 0 + = 有实根
∵当Δ2=16m2-4(4m2-4m-5)≥0时, - ≥ 时 5 2-4mx+4m2-4m-5=0有实根,则有 x 有实根, + - = 有实根 m ≥ 4 5 ∴ ≤ m ≤ 1且m ≠ 0 4 是整数, =-1和 . 又m是整数,故m=- 和1. 是整数 =-
一元二次方程的根与系数的关系( ) 系数的关系(2)
学习目标: 学习目标: 1.已知方程的一根,会求另一根及字母已知方程的一根, 已知方程的一根系数. 系数. 2.已知两根之间的关系求字母的取已知两根之间的关系求字母的取值范围. 值范围.
考题选讲
你能想出几种方法? 你能想出几种方法?
2
=-1时的根不是整数, 当m=- 时,mx2-4x+4=0的根不是整数,不 =- + = 的根不是整数符合题意,舍去; 符合题意,舍去; 当m=1时,mx2-4x+4=0的根为 = 时 + = 的根为 x1=x2=2;x2-4mx+4m2-4m-5=0两根为 ; + - = 两根为 x1=5,x2=- ,符合题意.∴当m=1时 , =-1,符合题意. 时
2m 2 + m 6 =0 8 2m 1 解之得,m = 2 ≤ 0, 8
≥0
=-2时原方程的两根互为相反数. ∴当m=- 时,原方程的两根互为相反数. =-
是什么整数时, 6, 当m是什么整数时,关于一元二次方程是什么整数时关于x一元二次方程 mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0 + = 与 + - = 的根都是整数. 的根都是整数.

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-，x 1.x 2=.证明：ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1,x 2,一元二次方程根与系数的关系的应用：（一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x 1,x 2的代数式的值例1：设方程x 2+3x+1=0的两根为x 1,x 2,求下列各式的值：（1）x 12+x 22（2）11x +21x （3）（x 1-3）（x 2-3）（4）（x 1-x 2）2（5）｜x 1-x 2｜2、已知含x 1,x 2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。

解：依题意：△≥0，x 12+x 22=3x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1.x 2-k 2-2k=3k 2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0 k 1=1 k 2=-3△= k2-4k ，当k 1=1时，△＜0，应舍去，当k 2=-3时，△＞0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。

归纳小结：△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。

（2）若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +21x =2，求m 的值。

（3）已知方程x 2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k 的值。

3、一元二次方程的特殊根及根的分布（1）一元二次方程的特殊根 ①若方程两根相等，则△＝0； ②若方程两根互为倒数，则x 1.x 2=1且△＞0；③若方程两根互为相反数，则x 1+x 2=0，即b=0且△＞0；④若方程两根绝对值相等，则△＝0或b=0且△＞0； ⑤若方程有一根为0，则c=0； ⑥若方程有一根为1，则a+b+c=0； ⑦若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x 的一元二次方程x 2+(m 2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。

在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。

一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。

这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

3. 当Δ < 0时，方程没有实根。

在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。

根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。

这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。

2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。

这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。

3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。

即(α + β)(αβ) = c / a^2。

通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。

(完整)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案),推荐文档

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ，则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值．解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43；（2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。

一元二次方程的根与系数的关系 (2)

21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．02. 如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p= ,q= .4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1) (x1+1)(x2+1); (2).2112xxxx7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案： 1.D 2.32；-3 3.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0. 解得m=16,设另一个根为x 1,则：1×x 1=16.3c a = ∴x 1=16.35.解：(1)根据根与系数的关系12,x x k +=-121.2k x x -=得(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=1()14,2k k -+-+=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以127,x x +=12 4.x x =-则：222121212()()474(4)65.x x x x x x -=+-=-⨯-= 6.解: 根据根与系数的关系得：12124, 1.3b cx x x x a a+=-=-⋅==- （1）(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=44(-1)1;33-++=-（2）222211212121212123492x x x x x x x x x x x x x x +++===-（）-.7.解：设方程两根分别为x 1,x 2(x 1>x 2)，则x 1-x 2=1,由根与系数的关系，得,221kx x =+,2121=•x x ∵ (x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1,∴1,21422=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k∴3,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k∵△＞0,∴=±k8.解：(1)方程有实数根，24b ac＝（-2m ）2-4m （m -2）22448m m m＝8m ≠0∴m 的取值范围为m ＞0. (2)∵方程有实数根x 1,x 2，∴.22,2121m m x x x x -=⋅=+∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，∴1.2422=-⨯-m m解得m=8.经检验m=8是原方程的解．。

一元二次方程判别式和根与系数的关系

一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2．一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ；（2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ；（4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。

“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。

●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定（4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。

一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)

第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7，当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯，故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-．故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______．【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003．故答案为：2003．三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-．【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤；（2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=，即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去），故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=，又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。

一元二次方程根与系数关系

一元二次方程根与系数关系一元二次方程是数学中最基础的方程类型之一，它涉及系数之间的关系，可以用来求解函数的最大值或最小值，也可以解决物理问题。

许多有关二次函数的研究都涉及它的根，而它的根和它的系数之间存在着一定的关系。

一元二次方程形式如下：ax^2+bx+c=0它的根可以从其解析解中得出：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2ax2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a从上面可以看出，一元二次方程的根和系数之间的关系主要有以下几点：1、如果给定的a≠0，那么一元二次方程必定有解。

2、当b2-4ac大于0时，方程有两个不等的实数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a；当b2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根，它们都等于-b/a；当b2-4ac小于0时，方程有两个不相等的虚数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a。

3、解的值取决于方程中的参数值，改变参数值，解也会发生变化。

4、当当实数a、b、c中有两个或以上具有相同的参数，解的值也会有一定的改变。

5、关于一元二次方程的系数a、b、c，当a=0时，方程转换为一元一次方程，有一个实数解；当b=0时，方程转换为二次项系数为零的椭圆方程，有两个不等实数解；当c=0时，方程转换为两项系数为零的椭圆方程，有一个实数解；当a=b=c=0时，方程为任何值都满足，这种情况称为无穷多解。

6、一元二次函数的性质也可以由系数的关系得出，如当a>0时，函数是凸函数，x轴的极值点在x1处；当a<0时，函数是凹函数，x 轴的极值点在x2处。

以上就是关于一元二次方程系数的可能的关系。

系数与解之间存在着一定的关系，可以帮助我们更好地解决问题，也为我们提供了新的视角来理解问题。

这也使得数学更加丰富有趣，扩大我们对数学的认识。

一元二次方程根与系数的关系

第一讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12）第二讲一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝．3.二次函数的三种表示方式：一般式顶点式交点式注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

练习1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．4．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 5．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 6．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.7．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。

一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

一元二次方程的根与系数的关系 (2)

1.3 一元二次方程的根与系数的关系姓名目标：引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

复习：解方程：（1）、2x 2-3x-5=0 （2）、3x 2+4x-7=0 （3）、 5x 2-4x-12=0猜想：x 1＋x 2＝， x 1.x 2＝一、推导验证：设x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根．1x =2x =(b 2－4ac ≥0) x 1＋x 2＝ x 1.x 2＝一、知识应用例1、不解方程，设每个方程的两根为x x 21,，求方程两根的和两根的积： 025)1(2=-+x x 0128)2(2=--x x 105)3(2=+x x例2、已知x x 21,是方程01322=-+x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值.①x 12＋x 22 ②1211x x +③(x 1－3)(x 2－3)④(x 1－x 2)2例3、已知方程23190x x m -+=的一个根是1，不解方程求它的另一个根及m 的值。

练习：已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0，根据下列条件，分别求出m 的值：(1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零；二、课堂检测：1．设一元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是（）A ．x 1＋x 2＝2B ．x 1＋x 2＝－4C ．x 1x 2＝－2D ．x 1x 2＝42．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是（） A ．a ＝－3，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝1 C ．3=2a -，b ＝－1 D ．3=2a -，b ＝13．若一元二次方程x 2＋kx －3＝0的一个根是x ＝1，则该方程的另一个根是（） A ．3 B ．－1 C ．－3 D ．－24．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为（） A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3提高：下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（） A ．x 2＋2x －3＝0 B ．x 2－2x ＋3＝0 C ．x 2－2x －3＝0 D ．x 2＋2x ＋3＝0三、巩固练习（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？①2310x x -+=； ②2322x x -=； ③2230x x +=； ④231x =；（2）方程2x 2 ＋ 4x － 3 ＝ 0的两根分别为X 1、X 2 ；求(1) X 1２+X 2２， (2) (X 1+1) (X 2+1 ) (3) X 1２+3X 22+4X 2（4）、已知关于x 的方程032=+-m x x 的一个根是另一个根的2倍，求m 的值.四、思考、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x 1、x 2是方程的两根，且(x 1＋x 2)2－16=0，求m 的值．。

一元二次方程根与系数之间的关系Ⅱ

一元二次方程根与系数之间的关系Ⅱ上期,我们学习了一元二次方程根与系数之间的关系.即若x1,x2是ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根,则有ac x x a bx x =⋅-=+2121, 此定理的应用我们讲了第一种,即不解方程求某些代数式的值,如已知0132,221=+-x x x x 是的两实根,求)3)(3(,,11,,213231222121122221++++++x x x x x x x x x x x x 的值.在此专题中,还有一题.例:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值.分析:∵由二次根式的性质||2a a =,反之2||a a =,因此将||21x x -可化为221)(x x -求.解:21,,232121-==+x x x x2122212122212122121422)(||x x x x x x x x x x x x x x -++=+-=-=-217417249)21(4494)(21221==+=-⨯-=-+=x x x x有了那个例题,求代数式的值的类型都可解决.第二种用法是利用根与系数间的关系求某些字母的值.例1. 已知关于x 的一元二次方程.的值求且的两个根是m x x x x x x m x m x 12,,02)21(22221212122=+-=-+--解:2,12)21(222121-=⋅-=-=+m x x m m x x1232,1221222121222121=-++=+-x x x x x x x x x x 1,5,05401263144012)2(3)12(123)(212222221221-==∴=--=-+-+-=----=-+m m m m m m m m m x x x x 02)21(2,522=-+--=m x m x m 时但当是x2-9x+23=0现在Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0方程无实根 ∴m=-112,1:222121=+--=x x x x m 时当答小结:此题的两根之和与两根之积是含m 的代数式.由已知条件12222121=+-x x x x 配方成123)(21221=-+x x x x 代入两根之和与两根之积,化为含有m 的一元二次方程,解方程求出m 的值,还要检验方程的根是否都适合题意.例2: 已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且24||21=-x x 求k 的值.解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1·x2=2k-5 24)(,24||22121=-∴=-x x x x Θ 两边平方得:(x1-x2)2=321,3032012840322084032)52(4)2(0324)(32423222122222122121222121222121-==∴=--=--=-+-=---=--+=-++=+-k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x经检验k1=3和k2=-1都适合题意.例3: 已知m 是正实数,关于x 的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0且5x1+3x2=0求m 的值.解:由根与系数间的关系可得221mx x =+ ① 1521-=⋅x x ②由已知条件5x1+3x2=0 ③解:①③组成的方程组 03522121=+=+x x mx x 解得: m x mx 454321=-=将方程组的解代入②得 1615161515)45()43(22=-=--⋅-m m m m m=4或m=-4 ∵m 是正实数 ∴m=4 上述三个例题的已知条件都有一个:例1中是12222121=+-x x x x ;例2有条件24||21=-x x ;例3中有5x1+3x2=0.但每题都有隐含条件即2121x x x x ⋅=+.如此每题匀有三个条件,将这三个条件专门好运用,就可求出m 或k.此种应用是根与系数间的关系习题中经常遇到的,应专门好把握.第三种应用:求一个新方程,使那个新方程的根与原方程的根有某些关系.如果方程x2+px+q=0的根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q p=-(x1+x2), q=x1·x2代入x2+px+q=0 得x2-(x1+x2)x+x1·x2=0这确实是以两个数x1,x2为根的一元二次方程.(注意:方程的一次项系数是两数和的相反数,常数项是两数之积). 例1. 求一个一元二次方程,使它的两根分不是:①212,313- ②253,253-+ 分析:212,313-确实是方程的根x1,x2,代入方程公式①解:以212,313-为根的方程是 02556:0325650212)313()212313(222=-+=-+=⋅-++--x x x x x x 去分母得②解:以253,253-+为根的方程是 0130253253)253253(22=+-=-⨯++-++-x x x x例2. 已知方程02362=--x x求作一个新方程,使它的根分不是原方程的根的平方. 分析:x1,x2是原方程02362=--x x 的根, 则31,212121-=⋅=+x x x x设新方程的根是y1,y2(注意设新方程的极是y1,y2是因为要与原方程的根x1,x2有所区不.)解:设新方程的极是y1,y2,由题意得222211,x y x y ==(新方程的根是原方程根的平方)以y1,y2为根的方程是y2-(y1+y2)y+y1·y2=091)31()(1211)31(2)21(2)(0)(222122212212212221222122212=-==⋅=-⨯-=-+=+=⋅++-x x x x x x x x x x x x y x x y043336091121122=+-=+-∴y y y y 即所求方程是例3. 已知方程5x2+2x=3求作一个方程,使它的根是原方程根的负倒数. 解:设原方程根是53,52,,212121-=⋅-=+x x x x x x 新方程的根是2211211,1,,x y x y y y -=-=则所求方程是0)(21212=⋅++-y y y y y y0523035320531535201011)11(0)1()1()11(22221212122121221212=-+=-+=-+--+=+++=⋅+++=-⋅-+---y y y y y y x x y x x x x y x x y x x y x x y x x y 即此次练习解答下列咨询题已知x1,x2是方程x2-2(2m+1)x+3m2-4=0的根,且21121=+x x .求m 的值. 已知方程2x2+mx-2m+1=0的两个根的平方和是417.求m 的值. 已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和是11.求k 的值.已知方程(m+2)x2-8mx-(2m-1)=0的两根互为负倒数.求m 的值(提示:两根互为负倒数,是两根之积是-1).二、求以下列两数为根的方程 1.227,227-+ 2.32,23-三、不解方程求作一个新的一元二次方程,使它的根分不满足下列条件已知方程4x2-3x-1=0,求作一个新方程,使它的根分不是原方程根的相反数.已知方程6x2-3x-2=0,求作一个新方程,使它的根分不是原方程根的倒数.已知方程2x2-5x=2,求作一个新方程,使它的根是原方程根的平方. 已知方程2x2=7-5x,求作一个新方程,使它的根比原方程的根大3. 已知方程2x2-x-7=0,求作一个新方程,使它的根分不是原方程根的3倍. 已知方程x2-3x+1=0,求作一个新方程,使它的根分不是原方程根的平方的倒数.本期练习答案一、1.351或- 2.3(-11舍去) 3.1(-3舍去) 4.m=3 二、1.037442=+-x x 2.06562=-+x x三、1.01342=-+y y 2.06322=-+x x 3.043342=+-y y 4.04722=--y y 5.063322=--y y 6.0172=+-y y。

一元二次方程的根与系数的关系2

一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 x 1，x 2，则a b x x 21-=+，ac x x 21=⋅ 1、已知1x 和2x 是方程05x 10x 22=--的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）21x 1x 1+ （2）2221x x + （3）1221x x x x +（4）)2x )(2x (21-- （5）21x x - （6）1221x x x x +2、如果a ≠b ，且满足1b 3b 2,1a 3a 222=+=+，求b a a b +及ba ab -+-的值。

3、已知1x 和2x 是方程02m 3m mx 4x 222=-++-的两个实数根，当m 为何值时， 2221x x +有最小值，并求这个最小值。

4、若关于x 的一元二次方程01x )1m 2(x )4m (22=+-+-（m 为实数）的两实数根的倒数和为S ，求S 的取值范围。

6、已知一元二次方程 x 2 +mx + n=0 的两个实根为 x 1、x 2，而一元二次方程 x 2+nx+m ＝0的两个实数根为x 1＋2、x 2＋2，求 m 、n 的值．7、在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC 、BC 的长是关于 x 的方程x 2－mx+3m+ 6＝0 的两个根，求△ABC 的面积8、已知b 2 -4ac 是一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一个实数根，求 ab 的取值范围．9、已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc ＝16 ，求正数c 的最小值．10、已知α、β是方程05x 3x 2=--的两根，求2ββ2α131α225+++-的值。

11、已知1x 和2x 是方程02008x 2006x 2=+-的两个实数解，实数a 、b 满足2006bx ax 2006220061=+， 2007bx ax 2007220071=+，求2008220081bx ax +的值。

一元二次方程根与系数的关系2

2. 已知关于 x 的方程 x2-(a+1)x+b=0的两根是一个直角三角形的锐角的正弦值，且a-5b+2=0，则a= 2/5，b= 12/25. 3.已知：已知关于 x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为 2 .
课时训练
4.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且 1 1 3 ，求a的值.
韦达定理的应用非常广泛，解题过程应牢记
(1)其适用的条件即应满足Δ≥0，否则在求字母的取值范围时会出错； (2)要熟悉有关式子的恒等变形问题，皆转化成以两根之和与两根之积为整体的形式再代入求值 .
课时训练
1.2 是一元二次方程 x2-3x+m=0 的一个根， -2 是一元二次方程x2+3x-m=0的一个根，那么m= -2 .
(x1+1)(x2+1)=
2 1 2
，x12+x22=
7
.
课前热身
3.(2008年· 河南省)m,n是方程x2+2002x-1=0的两个实数根，则m2n+mn2-mn= 2003 .
4.设x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实根，且 8x1-2x2=7，则m的值是 1 .
y 2 4 x 5.如果方程组只有一个实数解，求m值. y 2 x m
2 1
(1)不存在；理由略 (2)k的整数值为-2，-3，-5.
典型例题解析
【例 3 】已知关于 x 的方程 (m+1)x2+2mx+m-3=0 总有实数根.(1)求m的取值范围. m≥-3/2. 2) 若 m 在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为x1、x2，求：3x12(1-4x2)的值；若没有说明理由. 有两根, 要求值为1 【例4】已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边， a＞b，关于 x 的方程 x2-2(a+b)x+2ab+c2=0 有两相等的实数根，且∠A、∠B的正弦是关于x的方程 (m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0 的两根，若△ ABC 外接圆面积为25π，求△ABC的周长. 24

《一元二次方程根与系数的关系》

构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出
的根是-2，-3。则这个一元二次方程 2-5x+6=0 为__________________ x
7、求方程中的待定系数
变式:方程 mx 2 mx m 1 0 ( m 0 )
B 3 x 2 8 x 3 0 D 3 x 2 8 x 3 0
D
)
4．下列方程中，两实根的和是 2 的方程是 ( B x 2 2 x 4 0 A x 2 2 x 4 0
C
x 2x 4 0
2
D
xБайду номын сангаас 2x 4 0
2
(2)4 x 2 x 7 0
2
(3)3 x 10 2 x 8 x
2 2
2已知方程的一个根求另一个根及未知数 2 • 例2已知－1是方程 x mx 3 0 的一根，求m及另一根
练习
已知关于
x 的一元二次方程
m 1 x 2 3 x m 2 3 m 4 0
2
2 2 0
2
，则 x1 8 x 2 20 _____ -1
3
5解简单的应用问题
• 例5（1）关于x的方程两根互为倒数，求m的值
2x 5x m 1 0的
2
m=2
• （2）已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0 有实数根x1,x2,且x12+x22=11,求实数k的值.
k=1
有一个根是 0，则 m ( )
已知 2 - 5是一元二次方程的一个根，则方程的另

一元二次方程判别式以及根与系数关系

一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2－4ac .注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，切勿丢掉等号．②当b 2－4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2＋c ＝0(a ≠0)．（3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．【例2】已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？2．一元二次方程的根与系数的关系（1）如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．（2）利用根与系数的关系确定一元二次方程若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．总结：已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．（3）利用一元二次方程根与系数的关系求关于两根x 1，x 2的代数式的值已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例7】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.（4）已知含未知常数m 的一元二次方程两根关系式，求未知常数m 。

一元二次方程根与系数的关系2

公式的推导过程
如果ax bx c 0(a 0)的两个根是1、x2 x
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b a
公式的推导过程
如果ax bx c 0(a 0)的两个根是1、x2 x
2
0 两个不相等的实数根
完成表格1的问题
方
2
程
x1
1 -6 -8
x2
-4 1 6
x1+x2
-3 -5 -2
x1•x2
-4 -6 -48
x +3x-4=0 2 x +5x-6=0 2 x +2x-48=0
通过求解，计算，同学们有什么新的发现？归纳：二次项系数等于1时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数. (2)两根之积等于常数项.
2.已知一元二次方程的 3x x 6 两根
2
1 x 分别为x1 , x2 ，则：1 x2 __ 3
x1 x2 __ -2
例3：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1、x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）(x1+1)(x2+1)
x2 x1 （3） x1 x2
2
b b 4ac b b 4ac x1 xb 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2

c a
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
b x1 x2 a

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。

1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。

而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。

2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。

当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。

当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。

3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。

当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。

当 c 为负数时，根的值为两个虚数。

而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。

根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。

例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。

-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。