难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法

难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法导数是研究函数的有力工具,其核心是由导数值的正、负确定原函数的单调性.用导数研究函数f(x)=0的单调性,往往需要解方程f '(x)=0.当该方程不易求解时,如何继续解题呢? 1.猜——猜出方程f '(x)=0的根

典例1 设f(x)=.

(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;

(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.

解析(1)f '(x)=-,令f '(x)=0,得x=1.

由f(x)在(a,a+1)上有极值,得即0

(2)方程f(x)=x2-2x+k,即f(x)-x2+2x=k.

设g(x)=f(x)-x2+2x,可得所求实数k的取值范围,即函数g(x)的值域.g'(x)=2(1-x)+.

接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g'(x)≥0及g'(x)≤0,因而需解方程

g'(x)=0,但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.

易得g'(1)=0,且当00,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)

=g(1)=2.进而可得函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所

max

求实数k的取值范围是(-∞,2].

点拨当所求函数的解析式中出现ln x时,常猜x=1;当函数解析式中出现e x时,常猜.

x=0或x=ln x

对点练

求函数f(x)=e x+x2-(2+ln 2)x的最小值.

解析由题意可得,f '(x)=e x+x-(2+ln 2).

接下来,需求函数f(x)的单调区间,所以需解不等式f '(x)≥0及f '(x)≤0,因而需解方程f '(x)=0.但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.

易知f '(x)是增函数,所以方程f '(x)=0至多有一个实数解,且可观察出此实数解就是ln 2,所以函数f(x)在(-∞,ln 2)、(ln 2,+∞)上分别是减函数、增函数,得f(x)

min

=f(ln 2)=2-2ln 2-ln22.

2.设——设出方程f '(x)=0的根

典例2 设函数f(x)=e2x-aln x.

(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;

(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.

解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2e2x-(x>0).

当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;

当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.

又f '(a)>0,当b满足0

故当a>0时, f '(x)存在唯一零点.

(2)证明:设f '(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x

0,当x∈(0,x

)时, f '(x)<0;当x∈(x

,+∞)

时, f '(x)>0.

故f(x)在(0,x

0)上单调递减,在(x

,+∞)上单调递增,所以当x=x

时, f(x)取得最小值,最小值

为f(x

0).由于2-=0,所以f(x

)=+2ax

+aln≥2a+aln,当且仅当x

=时取“=”.

故当a>0时, f(x)≥2a+aln.

点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值,因此需要求f '(x)=0的根,但是f

'(x)=2e2x-=0的根无法求解,故设出f '(x)=0的根为x

0,通过f(x)在(0,x

)和(x

,+∞)上的单

调性知f(x)

min =f(x

)=+2ax

+aln,进而利用基本不等式证得结论,这种解决方法类似解析几

何中的设而不求. 对点练

设函数f(x)=e x-ax-2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.

解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.

若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;

当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,

所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

(2)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.

故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).(*)令g(x)=+x,

则g'(x)=+1=.

令h(x)=e x-x-2,由(1)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则

α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).

又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).

由于(*)式等价于k

3.证——证明方程f '(x)=0无根

典例3 已知m∈R,函数f(x)=mx--ln x,g(x)=+ln x,h(x)=,若∃x

∈[1,e],使得

f(x

0)-g(x

)>h(x

),求实数m的取值范围.

解析由题意知关于x的不等式f(x)-g(x)>h(x)在[1,e]上有解,即关于x的不等式

设u(x)=(1

u'(x)=(1

可大胆猜测方程u'(x)=0无解,证明如下: