复变函数论 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

§1 解析函数的洛朗展式

教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.

重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的证明. 课时：2学时

定义5.1 级数

1

01()()()n n n n

n C C C z a C C z a z a z a

+∞

--=-∞

-=⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅--∑(5.1) 称洛朗()Laurent 级数，n C 称为(4.22)的系数.

对于点z ，如果级数

01()

()()n

n n

n n C z a C C z a C z a +∞

=-∞

-=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (5.2)

收敛于1()f x ，且级数

1

()()n n n n n C C C z a z a z a

+∞

--=-∞

-=⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+

--∑ (5.3) 收敛于2()f x ，则称级数(4.22)在

点z 收敛，其和函数为1()f x +2()f x 当0n C -=(1,2,)n =⋅⋅⋅时，(5.1)即变为幂级数.

类似于幂级数，我们有

定理5.1 设()f z 在圆环12:D R z a R <-<12(0)R R ≤<<+∞内解析，则在D 内

()()n

n n f z C z a +∞

=-∞

=

-

∑

(5.4)

其中1

1()

2()n n f z C dz i z a π+Γ=

-⎰ (0,1,

)n =±⋅⋅⋅ (5.5) :z a ρΓ-=，且12R R ρ<<，系数n C 被()f z 及D 唯一确定.

(5.4)称为()f z 的洛朗展式.

证明：对:z H ∀∈作1:1z a ρΓ-=，2:2z a ρΓ-=，（其中12r R ρρ<<<） 且使z D ∈：12z a ρρ<-<，（如图5.1）由柯西积分公式，有

()()2112f f z d i z ξξπξ-Γ+Γ==-⎰()212f d i z ξξπξΓ-⎰+()11

2f d i z ξξπξ

Γ-⎰

图5.1

对于第一个积分，只要照抄泰勒定理证明中的相应部分，即得：

()212f d i z ξξπξΓ-⎰=()0n

n n C z a ∞=-∑ 其中()()

1212n n f C d i a ξξπξ+Γ=-⎰()!n f a n = 对于第二个积分

()11

2f d i z ξξπξΓ-⎰： ()()()()

()

()1f f f z z a a z a z a a ξξξξξξ==

----⎛

⎫

---

⎪-⎝

⎭

当

1ξ∈Γ时

1

1a

z a

z a

ρξ-=

<--

1

11

1n n a a z a z a

ξξ-∞

=-⎛⎫

∴=

⎪--⎝⎭-

-∑ （右边级数对于1ξ∈Γ是一致收敛）

上式两边乘上()f z a ξ-得：()f z ξξ=-()11n n f a z a z a ξξ-∞=-⎛⎫ ⎪--⎝⎭∑=()()()

111

n n n f z a a ξξ∞

-+=--∑ 右边级数对1ξ∈Γ 仍一致收敛，沿1Γ逐项积分，可得

()11

2f d i z ξξπξΓ-⎰=()

11n n z a ∞

=-∑()()1112n f d i a ξξπξ+Γ-⎰ 其中n C =()()1112n f d i a ξξπξ-+Γ-⎰113. 3.10

P Th ()()1

1

2n f d i a ξξπξ-+Γ-⎰ 于是：()()n

n n f z C z a +∞

=-∞

=

-∑， 其中n C =

()()

11

2n f d i a ξξπξ+Γ-⎰ （n=0,1,± ） 下面证明展式唯一，若在H 内()f z 另有展开式()()

'n

n

n f z C z a +∞

=-∞

=

-∑

右边级数在Γ上一致收敛，两边乘上

()

1

1

m z a +-得：

()

()

1

m f z z a +-=

()

'1

n

m n n C z a ∞

-+=-∞

-∑

，右边级数在Γ上仍一致收敛，沿Γ逐项积分，可得：

()()112m f d i a ξξπξ+Γ-⎰=()

'

1112n m n n C d i a ξπξ+∞

-+Γ=-∞-∑⎰ ∴'n C =n C 即展式是唯一的.

注：1）定理中的展式称为洛朗展开式，级数称为洛朗级数. n C 称为洛朗系数.

2）泰勒展式是洛朗展式的特例. 例1．求()()()

1

12f z z z =

--

在（1）1,(2)12,(3)2(4)011z z z z <<<<<∞<-<中的洛朗展开式. 解：()11

21

f z z z =

--- (1）()0

0111122212n

n

n n z f z z z z ∞

∞==⎛⎫=-=-=

⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭

∑∑1

2n

n n n n z z ∞∞

+==-∑∑

=

10112n n n z ∞

+=⎛⎫- ⎪⎝

⎭∑ (1z <).

(2) ()1121f z z z =---11

12112z z z =--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

100112n n n n n z z z ∞

∞+==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11001

2n n n n n z z

∞

∞++==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑. (12z <<)

(3) ()11

21

f z z z =

-=--112111z z z z -

⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

()10001211

21n n n n n n n n z z z z

∞∞∞+===⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑ . (2z <<∞) (4)()()()0

11111

1211111n

n f z z z z z z z ∞

==-=-=---------∑. (011z <-<)