狭义相对论第二讲

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相对论中，只有加速度为零时才是惯性系不变的
a 0 a 0
加速度变换的三个特征：
（ 1 ）一般情况下 a a （2）加速度分量间存在交 叉变换关系， （3）加速度的变换与速度 有关。
因此，经典力学中牛顿第二定律需要修正。
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二、相对论动力学
1. 概述
伽利略变换是洛仑兹变换低速下 的极限情形
v c
1
【例 】水平隧道AB长L0，一列火车A'B'静长 L = 2L0。 今使火车如图所示，以匀速v驰入隧道，地面系中观 察到A'与A相遇时恰好B'与B相遇。试根据洛仑兹变 换计算v值，并在列车系中计算从A'与A相遇到B'与B 相遇之间的时间间隔Δt'。 【解】地面参考系S，火车 参考系S‘, 以A’与B相遇的 时刻为t‘ = t = 0时刻，以A' 与B相遇的位置为S与S'的 原点。
m 2 2 m , L 1 v c L , S S 2 2 1 v c
m m 2 乙测定的密度为： 1 LS LS
1 25 2.78 1 0.8 9
2 2
4. 质能关系
将质速关系按幂级数展开，得
E0 m0 c
相对论动能
Ek E E0 m c m0c
a x
1
2 3/ 2 3
v 1 2 u x c
2 2
ax
相对论加速 度变换
a y
1
v 1 u 2 x c
ay
1 cv u
2 2
y
v 1 u 2 x c
3
ax
v u 2 z 1 2 c a a ax z 2 z 3 v v 1 u 1 u 2 x 2 x c c
正变换
x vt x 2 1 y y v , 式中 z z c v t 2 x t c 2 1
逆变换
x S v到动系 t 静系 S'的变换 x 2 1 y y v , 式中 z z c t v x t c2 2 1
ux c cos uy c sin
c sin 1 v c c cos v u , u x y 1 v c cos 1 v c cos
2
2
c sin 1 v c u sin y tan u c cos v cos v c x
u 1u 3u m(u ) m0 (1 2 ) m0 m0 (1 ) 2 4 c 2c 8c 2 2 2 1 3u 两边同乘以c 得 c 2 2 2 mc m0 c m0u (1 ) 2 2 4c
2 1 2 2 4
总能量 静能量
E mc
2
2
质能关系
2

双曲几何！
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【例】 两艘飞船以相同速率0.5c 反向而行。求两者 的相对速率。
S系：地面
飞船乙
S’系：飞船甲 v
0.5c
u x 0.5c
0.5 (0.5) u c 0.8c 0.5c 0.5c x 1 (0.5) 0.5
2l t 0 B 2 3c
3l t t B tA c
3
三. 相对论运动学
1. 速度变换
伽利略变换下的速度变换 公式，在相对论中不再成 立。
将洛伦兹变换公式 两边取微分
dx vdt dx 2 1 dy dy v , 式中 dz dz c v dt 2 dx dt c 2 1
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【例】匀速运动介质中的光速（在固定系观察）
【解】以地面为S系， 水为S’系 沿介质运动方向：
u c nv x v ux 2 1 u 1 v nc xv c c nv v c 1 1 1 1 2 v n c nc n n
u x v u x v 1 2 ux c 2 u 1 y u y v 1 2 ux c 2 u 1 u z v z 1 2 ux c
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若物体相对一个参考系的运动速度小 2 2 2 2 u u u c 于c，即则相对于任意参考系，它的速 x y z 度都小于c。
vx u v x uvx 1 2 c
m0 m(u ) m0 2 u 1 2 c
u c
得质速关系：
满足对应原理的要求：
m(u) m0
物体的质量m与其静止质量m0和速度v的关系
m
m0 v 1 2 c
2
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3. 牛顿三定律的修正
在洛仑兹变换下，加速度不等于零时不再是不变量， 质量依赖于速度，力必然也不再是惯性系不变的。 在狭义相对论中，牛顿第一定律仍然成立， 牛顿第二定律需要修正，牛顿第三定律也不再成立。 m0u 重新定义质点的动量 p mu 2 u 1 2 dp c 重新定义力 F
u u u z
2 x 2 y 2
u x v
2
2 uy u z2 1 2 2




v 1 2 u x c 2 2 2 ux uy u z2 c 2 2vux c 2 v 2 c 2 u y u z2 v 2
x
x vt 1 2
0
3 vt l , v c 2
l x l, t v l x 0, t v
2l 3l t A 2 2 c 3 c
S'系观察者测 量B'与B相遇 的时刻t'B 对应 S'系中从A'与A相 遇到B'与B相遇 之间的时间间隔
静系中： m0
动系中： m(u )
理想实验：全同粒子的完全非弹性碰撞
s s
A
u
B AB
s
A
u
B
vx
s v x
A B
固接于粒子B的S系
固接于粒子A的S’系
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在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。 固定于粒子B的S系 固定于粒子A的 S’系
s s v x
A
u
B
A B
m0 m(u) M (vx ) 质量守恒： m0 m(u) M (v 质量守恒： x)
速度空间的几何学
, 欧氏几何 ， 双曲几何（罗巴切夫斯基几何） ， 椭圆几何（黎曼几何）
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取/2, 则：
cot cot ' v
2 v u 1
c2
由对称性， 又有：
cot u v 1 u
2
c2
cot cot 1 cot( ) 1 cot cot
vc 1
v sin v tan tan 1 tan 2 c cos cos c
1 2 cos
tan
v c sin
光行差
光行差现象
恒星的表观位置（方向）以年为周期发生变化 – 地球运动方向背离观测方向时，方向变高（仰起） – 地球运动方向迎向观测方向时，方向变低（俯下）
动量守恒： m(u)u M (vx )vx 动量守恒： m(u)u M (v x )vx
解得： v x
m(u )u m0 m(u )
m(u )u v x m0 m(u )
m(u )u vx ; m0 m(u )
代入洛仑兹速度变换：
m(u )u v x m0 m(u )
dt
相对论力学的基本定律为
dp d mv F dt dt
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相对论力学的基本定律
dp d mv F dt dt
质点动量定理
Fdt dp
F dl dEk
质点动能定理
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【例】 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动， 甲携带长 L，截面积 S，质量为 m 的棒，棒沿运动方 向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。 m 【解】棒相对于甲静止，甲测定的密度为： LS 棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m ， 长度为 L’，截面积为 S’，有：
1 2
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相对论加速 度逆变换
2 3/ 2 a x 1 a 3 x v 1 2 u x c 2 v 1 uy 2 2 1 c a a a y y x 2 3 v v 1 2 ux 1 2 ux c c 2 v 1 uz 2 2 1 c a a a x 2 z 3 z v v 1 2 u x 1 2 u x c c
在参考系S'中，速 度定义为
dx dy dz u , u , u x y z dt dt wenku.baidu.com dt
4
相对论速度变换
相对论速度逆变换
ux v x u v 1 2 ux c 2 u 1 y u y v 1 2 ux c 2 u 1 u z v z 1 2 ux c
根据狭义相对性原理，物理定律应在洛伦兹变换 下具有不变性
麦克斯韦方程组具有洛伦兹变换不变性 在高速情况下，动量守恒、能量守恒以及质量守 恒仍然成立 在不同的惯性系中，同一个质点的加速度不再是 不变量。 经典力学的基本定律——牛顿第二定律需要修正
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2. 动质量公式
设在相对论中，质量与时间、长度一样，与 惯性系的选择有关。
逆介质运动方向：
u c n v x v ux 2 1 u 1 v nc xv c c nv v c 1 1 1 1 2 v n c nc n n
斐索水流实验验证
【例】不同参考系中光线角度的变化：
v sin c
【例】 三个惯性系之间的变换
u x v ux v 1 2 ux c
v2 v1 v v2v1 1 2 c
1 2 速度不可简单相加 1 1 2
4. 加速度变换
在参考系S'中， 加速度定义为
du du du y x z a , a , a x y z dt dt dt
x vt x 2 1 洛仑兹变换 v t x 2 c t 2 1
在 A'与 A相遇的时刻 t，
x 0, x l 车头：
车尾： x 2l , x 0 2
上述两事件代 入洛仑兹变换 （1）式 S'系观察者测 量A'与A相遇 的时刻t'A 对应
c2
2 x 2 y 2 z
c
2
v2
c vu c u u u c c vu
2 2 x 2 2 x 2 y 2 z 2 2 x



c2
2
u u u c
2
2 2 2 2 u u u c x y z
6
在任何参考系中光速不变