流体力学第五章 管中流动 湍流-2

粘性底层一般1 mm左右。
粘性底层 过渡区 湍流核心区
图3.4.2 湍流的速度结构
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粘性底层虽然很小，但其作用不可忽视。 由于管子的材料，加工方法，使用条件，使用年限的影响，使得管壁 出现各种不同程度的凸凹不平，它们的平均尺寸△称为绝对粗糙度。 δ>△ 粗糙度对湍流核心几乎无影响， 水力光滑管 δ<△ 湍流核心流体冲击粗糙突起部位，引起涡旋，加剧湍乱程度， 增加能量损失， 水力粗糙管
来速度，到达新位置后，立刻和b层流体混合在一起，其速度变为b层速度。具 有了b层的时均速度。
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vy 'dAv
该微团在x方向的原动量vy 'dAv
小于b层具有的动量
vy
'
dA(v
l
dv dy
)
和b层混合后，必然使b层流体动量在x方向上降低，引起瞬时 的速度脉动-vx。
对于原来流体微团来说，到达b层后，原来y方向的脉动转换 为x方向的脉动。如此反复，湍流脉动频繁的主要原因。
层流破坏后，在湍流中会形成许多涡旋，这是造成速 度脉动的原因，但理论上找脉动规律很困难。
统计时均法： 不着眼于瞬时状态，而是以某一个适当时间段 内的时间平均参数作为基础去研究这段时间内 湍流的时均特性。时间长短2、3秒一般足够。
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1、时均流动与脉动
下图为一点上的速度变化曲线，用T时间段内的时间平均 值代替瞬时值，这一平均值就称作一点上的时均速度。
R
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思考题
2.湍流研究中为什么要引入时均概念？湍流时，恒定 流与非恒定流如何定义？
3.湍流时的切应力有哪两种形式？它们各与哪些因素 有关？各主要作用在哪些部位？
把湍流运动要素时均化后，湍流运动就简化为没有脉动 的时均流动，可对时均流动和脉动分别加以研究。湍流 中只要时均化的要素不随时间变化而变化的流动，就称 为恒定流
粘性切应力——主要与流体粘度和液层间的速度梯度有 关。主要作用在近壁处。 雷诺切应力——主要与流体的脉动程度和流体的密度有 关，主要作用在湍流核心处脉动程度较大地方。
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4. 湍流中为什么存在粘性底层？其厚度与哪些因素有关？其厚度 对湍流分析有何意义？
在近壁处，因液体质点受到壁面的限制，不能产生横向运 动，没有混掺现象，流速梯度du/dy很大，粘滞切应力 τ=μdu/dy仍然起主要作用。
二 混合长度理论
Prandtle 创立，为解决湍流中切应力、速度分布及阻力计算问 题奠定了基础。
取如图坐标，假设a,b两层流体，
a层时均速度 v v( y)
b层时均速度
vl dv dy
设想在某一瞬时，在a层有一个流体微团，经过微元面积dA以vy’的脉动 速度沿y轴正向跳动，其质量流量为 vy ' dA ,到达新位置前，其速度为原
dy
式中L称为混合长度。
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这样，湍流的时均切应力由两部分组成，
粘性切应力+脉动切应力 dv L2(dv)2
dy
dy
有时也可统一形式 ( ) dv
dy L2 ( d v ) 称为湍动粘度或虚粘度，
dy 并非流体本身的物理属性
说明： 1）在雷诺数较小时，脉动较弱，粘性切应力占主要地位。 2）雷诺数较大时，脉动程度加剧，脉动切应力加大，在已充分发展的
(S
S
')dt
S
1 T
T 0
S
'
dt
脉动量的时均值为零
1
t
t 0
S
'
dt
0
运用统计时均法将湍流流动分成时均流动，脉动运动两部分。 时均流动：代表主流，重点是这些主流特征:包括速度分布， 切应力分布，流量及阻力计算公式等； 脉动运动：反应湍流本质，使湍流与层流有巨大差距所在。
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1
dv dy
2
L2 ( dv )2 dy
r<0.7R时，粘性切应力几乎不起作用，以脉动为主的湍流核心。
r=0.95R时，脉动应力最大。
r>0.95R时，脉动切应力迅速降为0，以粘性切应力为主的粘性底层。
在过渡层中，两种切应力都存在。
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3 速度分布
在粘性底层中
1
dvx dy
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三 管中湍流的切应力分布
管中为层流时，全管中都是层流状 态，分布规律适合于整个过流断面。 湍流时：
1 粘性底层、水力光滑管与水力粗糙管
靠近管壁以层流为主，称为粘性底层。粘 性底层的厚度不是固定不变的，他与 , v, 有关，粘性底层的厚度可用公式计算近似 计算
32.8d Re
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作业: 1、写出湍流中物理量的时均值的表达式并进行解释. 2、写出混合长度理论表示的湍流切应力的表达式? 3、什么叫水力光滑管和水力粗糙管? 练习: 8, 9
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5.4 管路中的沿程阻力
沿程阻力是造成沿程水头损失的原因。用达西公式计算，探
讨公式中
解:
V
4Q
d 2
1.019m / s
水的运动粘度
1.007106 m2 / s Re Vd 2.53105
/d=1.210-3 ,查莫迪图, =0.021, 故
h
l d
V2 2g
0.445m(水柱)
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解题步骤: 1 计算雷诺数 2 查找表面粗糙度,计算 3判断阻力区域类型, 选择相应的公式计算阻力系数 4 根据公式计算沿程水头损失
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2 切应力分布规律
0
(
p1
p2 )R 2l
p l
R 2
p r l2
0
r R
过流断面上切 应力K字形分 布规律。层流 和湍流见图。
湍流中切应力包括粘性切应力与脉动
层流与湍流的切应力分布
切应力，但这两种切应力在粘性底层
和湍流核心中所占的比例是不同的
在粘性底层，脉动切应力很小，主要是粘性应力 在湍流核心处，由于速度分布均匀，速度梯度很小， 脉动剧烈，因而主要是脉动切应力。 轴心处，速度梯度为0，切应力为0。
湍流中，粘性切应力与脉动切应力相比忽略不计。 3）沿断面切应力分布不同，近壁处以粘性切应力为主（称粘性底层）
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思考题1： 湍流的瞬时流速、时均流速、脉动流速、有何 联系和区别？
瞬时流速 ，为某一空间点的实际流速，在湍流流态 下随时间脉动； 时均流速，为某一空间点的瞬时速度在时段T内的时 间平均值； 脉动速度与时均速度的叠加等于瞬时速度；
二 莫迪图 对于工业用管，为应用方便，绘出了莫迪图，图中绝对粗糙度是 测量出的。表中也有一些常用值。
求取有三种方法：图线法，图表法和计算法。
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例 消防水龙带直径为100mm,长为20m,要求流量为0.1 l/s, 求沿程水头损失。
Re
vd
d2
0.0001 *1.007 *106
粘性底层厚度与雷诺数、质点混掺能力有关 随Re的增大，厚度减小。 粘性底层很薄，但对能量损失有极大的影响。
5.湍流时断面上流层的分区和流态分区有何区别？
粘性底层，湍流核心：粘性、流速分布与梯度; 层流、湍流：雷诺数
6.圆管湍流的流速如何分布？
粘性底层：线性分布; 湍流核心处：对数规律分布或指数规律分布。
0.2 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0
lg(Re)
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理论和半经验公式较准确但复杂，经验公式准确性较差但计 算方便，有时可作理论公式的迭代初始值，迭代2,3次即可。
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f (Re, )
d
一 尼古拉兹实验
1933年的实验，砂粒涂于管 道内壁，六种粗糙度，对不 同Re做实验：
hf l v2
2pd
lv 2
d 2g
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lg(100)
1.1 1.0
0.9
0.8
I
0.7
0.6
0.5
II
0.4
0.3
d/
V
30
61
IV
120
252
504
III
1014
vx
0 1 ln y C k
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k=0.4，C由边界条件确定。 假设光滑管湍流核心的边界 是它粘性底层的交界面。
vx
0
y
vx
0 1 ln y C k
y
,vx
0
,C
0
0 1 ln k
vx
0 1 ln y 0 k
式中粘性底层厚度 管壁面上的切应力
, dvx
1
dy
粘性底层很薄，可以近似 用壁面上切应力表示，于 是积分可得
vx
0
y
为直线
在湍流核心区：
2
L2 ( dv )2
dy
湍流核心中速度和y呈对数关系
0
r R
0 (1
y) R
L ky 1 y R
卡门实验得到
0 (1
y) R
k
2
y2 (1
y )( dvx R dy
)2
dvx
0 dy ky
32.8d 32.8 Re v
0
pd 4l
p
g
gd
4l
l d
v2 2g
gd
4l
8
v 2
因此，速度分布实质上是包含,v,,d,及实 验常数N在内的一个关系式。由此可推导出：
F(Re, , N )
d
实际上，湍流流动速度分布公式比较复杂， 一般近似的用指数公式表示：
vx ( y )n
vmax
vy ' 0, vx ' 0 vy ' 0, vx ' 0
vy 'vx ' 0
雷诺切应力总是大于零，时均值不会等于零。
雷诺切应力的时均值： vy 'vx '
1
T
T
dt
1
0
T
T
0 vx'vy 'dt vx'vy '
这说明，由于脉动原因产生的雷诺切应力虽然是个脉动量，但存在时均
δ≈△ 凸凹不平开始显露，但未对湍流性质产生决定性的作用，归入水力粗 糙管
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注意：水力光滑和水力粗糙管与几何上的光滑、 粗糙管既有区别又有联系，不能等同
几何光滑出现水力光滑管的几率大，几何粗糙管出现水力 粗糙的可能性大些。
几何光滑或粗糙是固定的，水力光滑与粗糙不固定。因为 确定水力光滑和水力粗糙的两个因素δ与△都是变化的， 特别是粘性底层厚度 δ随Re的变化更明显。
v 1 T
T 0
vt
dt
对于其它物理量，也有类似形式，比如压强
p 1
T
pdt
T0
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推而广之，对于湍流中具有脉动性质的任意物理量S 进行在时间t时间段内的时均化处理，则：
S 1
T
T 0
Sdt
瞬时值S和时均值 S 之差，称为脉动值 S '
S SS'
S 1
T
T 0
由于新的脉动，使得混合到b层的流体微团有一个新的脉动性 动量变化，这个动量变化必然引起a,b两层之间的切向作用力
F vy ' dA(vx ' 0) vy 'vx '
由于脉动原因引起的脉动切应力，也称雷诺切应力。
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vy 'vx '
雷诺切应力代表瞬时值，也是一个具有脉动性的物理量。
5.3 圆管内的湍流流动
湍流脉动现象及时均化 混合长度理论 湍流切应力的分布及速度分布
湍流 杂乱无章
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一、湍流运动要素的脉动及其时均化
由雷诺实验知，当Re>Rec时，颜色水 不再维持直线而是杂乱无章的运动。 这时管中流体质点速度不仅有三个方 向分量，而且分速度大小随时发生变 化--脉动。用热线流速仪测定一点的 速度变化如图：
值，或者说在时均的时间段内，他以与时间无关的恒定数值出现在时均
流动中，并对流动施加影响，这种影响就是在时均流动的层与层之间由
于脉动引起与时间无关的雷诺切应力。
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由于vx’, vy’互为结果，围绕流体微团划 出一个微小控制体，连续性方程式：
vx 'Ax vy 'Ay 0
vy
*d
1270
4
64 64 0.05
Re 1270
( 0.0001 )2
hf
l
d
v2 2g
0.05* 20 * 0.1
3.14 *0.12 4 2 * 9.8
0.0081
p ghf 1000*9.8*0.0081 79.38Pa
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例. 新铸铁水管, 长L=100m, d=0.25m, =0.3mm,水温 200C, 水流量为Q=0.05m3/s, 求沿程水头损失 h .
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作业: 1 什么叫沿程阻力? 2 什么是尼古拉兹实验?(目的是什么?) 3 尼古拉兹实验的五个阻力区域分别是什么? 4 如何计算沿程阻力? 5 练习5-13
'
Ax Ay
vx
'
k1vx
'
即：vx’, vy’符号相反，大小成比例。
脉动速度vx’ 使得a层速度提 高，b层速度降低，即速度
均匀化，因此vx’与两层的时 均速度差成比例：
vx
'
k2l
dv dy
v
y
'
k1k2l
dv dy
k1k22l
2
(
dv dy)2ຫໍສະໝຸດ (k3l)2
(
dv dy
)2
L2 ( d v )2