江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：11 直线与圆

常考问题11 直线与圆

(建议用时：50分钟)

1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈

R )对称，则ab 的取值范围是________．

解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，

所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.

答案 ⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，14 2．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且

向量OA

→、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．

解析 ∵|OA

→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2

＝22，∴a ＝±1. 答案 ±1

3．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，

且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．

解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋4

2＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝1

4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分

别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．

解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，

则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.

答案 20 6

5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝

________.

解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为

(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方

程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x

＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)．

答案 1

6．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：

x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM

→＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.

解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB

是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2

＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±1

7．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆

的面积的最小值是________．

解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为

π.

答案 π

8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△

AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．

解析 根据题意画出图形，如图所示，过点

O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角

三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝

|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，

∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22

， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.

∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.

设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．

∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1.

答案 2－1

9．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.

(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；

(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．

解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．

(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．

由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，

则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2

＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4. 10．已知以点C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于