江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：11 直线与圆
2014高考数学二轮高强优化课件：直线与圆选择、填空题型
(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线 AB 的斜率
一定是－2，只有选项 A 中直线的斜率为－2.
法二：以(3,1)和(1,0)为直径的两个端点的圆的方程为(x－2)2＋ y－122＝(2－1)2＋14＝54，AB 是两圆的公共弦，因此直线 AB 的 方程为两圆的方程的差，即 2x＋y－3＝0. 答案：A
x＋y 的取值范围为________．
[自主解答] (1)两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋ |PC2|的最小值，作点 C1 关于 x 轴的对称点 C′ 1 (2，－3)，则(|PC1| ＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5 2，所以(|PM|＋|PN|)min＝5 2－(1＋3) ＝5 2－4.
1．(2013·陕西高考)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是
()
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：由点 M 在圆外，得 a2＋b2＞1，∴圆心 O 到直线
ax＋by＝1 的距离 d＝ a21＋b2＜1，则直线与圆 O 相交． 答案：B
x＝62＋＋33k3，
解得：y＝6k2－＋23 k2＋－＋3323kk3＞ 3＞0， 0， 所以，直线 l 的倾斜角的范围是π6，π2.
解得：k＞
3 3.
法二：∵直线 l：y＝kx－ 3恒过定点(0，－ 3)，直线 2x＋3y－ 6＝0 与 x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2)． 又∵点(0，－ 3)与点(3,0)连线的斜率为03＋－03＝ 33，点(0，－ 3) 与点(0,2)连线的斜率不存在， ∴要使直线 l 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则 k ＞ 33，所以直线 l 的倾斜角的范围是π6，π2. 答案：B
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2.答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________．解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k 2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________．解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值．解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF→－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1.从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题五 第1讲 直线与圆
1．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________． [解析] 由题意知21＋k 2＞1，解得－3＜k ＜3． [答案] (－3， 3)2．(2019·扬州期末)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． [解析] 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17．因为3－2＜d ＜3＋2，所以两圆相交．[答案] 相交3．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为________．[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0． 又Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（0－m ）2＝3，解得m ＝0．所以a ＋c ＝2．又a >0，c >0，所以12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．[答案] 944．已知以原点O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )，(m ∈R )恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________．[解析] 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4，3)，由题意，要使圆O 的面积最小，则定点T (4，3)在圆上，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25．[答案] x 2＋y 2＝255．(2019·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a >0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．[解析] 由题意可得圆N 与圆M 内切或内含，则|ON |≥2恒成立，即|ON |min ＝|OM |－1≥2，|OM |≥3，即a 2＋(a －3)2≥9，又a >0，得a ≥3，则a 的最小值是3．[答案] 36．(2019·苏锡常镇四市高三调研)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________．[解析] 直线l 被圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5所截得的弦长最短，即圆心C 到直线l 的距离最大，d＝|1－m| m2＋1＝（1－m）2m2＋1＝1－2mm2＋1，当d取最大值时，m＜0，此时d＝1＋2（－m）＋1－m≤2，当且仅当－m＝1，即m＝－1 时取等号，即d取得最大值，弦长最短．[答案] －17．(2019·江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．[解析] 因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0．用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D＋8)x＋16y＋F－79＝0，(D＋12)x－12y＋F－63＝0，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，－6)分别在上述两条直线上，从而求得D＝0，F＝－81，所以所求圆的方程为x2＋y2＝81．[答案] x2＋y2＝818．(2019·南京模拟)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．[解析] 令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin∠AOB＝12sin ∠AOB≤12，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝22，于是sin∠OPH＝|OH||OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－33．[答案] －339．(2019·南京市四校第一学期联考)已知圆O：x2＋y2＝1，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：y＝x－4(m≤x≤n，m<n)上移动，过圆O上一点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，且满足∠APB＝60°，则n－m的最小值为______．[解析] 设M(a，a－4)(m≤a≤n)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．连结MP，MB，则MB＝1，PB⊥MB．因为∠APB＝60°，所以∠MPB＝30°，所以MP＝2MB＝2，所以点P 在以M 为圆心，2为半径的圆上．连结OM ，又点P 在圆O 上，所以点P 为圆x 2＋y 2＝1与圆(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝4的公共点，所以2－1≤OM ≤2＋1，即1≤a 2＋（a －4）2≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－8a ＋15≥0，2a 2－8a ＋7≤0，解得2－22≤a ≤2＋22．所以n ≥2＋22，m ≤2－22，所以n －m ≥2．[答案] 210．(2019·苏北四市高三质量检测)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为________．[解析] 取AB 的中点C ，则|P A →＋PB →|＝2|PC →|，C 的轨迹方程是x 2＋y 2＝14，C 1C 2＝5，由题意，|PC →|的最大值为5＋1＋12＝132，最小值为5－1－12＝72，所以|P A →＋PB →|的取值范围为[7，13]．[答案] [7，13]11．(2019·南通模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a ． 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1．因为l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0．又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．所以此种情况不存在，所以k 2≠0．即k 1，k 2都存在，因为k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1．①又因为l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0．② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2．(2)因为l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a ．③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2．所以a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2．12．(2019·江苏高考研究原创卷)已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于x 轴的正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13．(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋（－4）2＝R a 2＋3＝R ，解得a ＝1或a ＝138．又圆C 的面积S ＝πR 2<13，所以a ＝1， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又直线l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3（x －1）2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， 所以Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263，x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2． 在▱OADB 中，OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，所以3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34．但34∈/(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)， 所以不存在直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行．13．(2019·江苏省高考名校联考(三))如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，F (0，2)，点A ，B 是圆O 上的动点，且F A ·FB ＝4．(1)若FB ＝1，且点B 在第二象限，求直线AB 的方程；(2)是否存在与动直线AB 恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)显然直线FB 的斜率存在，故可设直线FB 的方程为y ＝kx ＋2(k ＞0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2＋y 2＝4，消去y 得，(k 2＋1)x 2＋4kx ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝－4k k 2＋1y B＝2－2k2k 2＋1，故FB ＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪0－⎝⎛⎭⎫－4k k 2＋1＝4|k |k 2＋1＝1，得k ＝1515，点B ⎝⎛⎭⎫－154，74． 因为FB ＝1，且F A ·FB ＝4，所以F A ＝4， 又圆O 的半径为2，所以A (0，－2)， 故直线AB 的方程为y ＝－15x －2．(2)由(1)的求解方法易知，若FB ＝1，且点B 在第一象限， 则直线AB 的方程为y ＝15x －2， 故若存在符合题意的圆，则圆心在y 轴上．设圆心坐标为(0，m )，易知当AB ∥x 轴时，直线AB 的方程为y ＝1， 故|m －1|＝|m ＋2|15＋1＝|m ＋2|4，解得m ＝25或m ＝2．若直线FB ，F A 的斜率存在，不妨设直线FB ，F A 的方程分别为y ＝k 1x ＋2，y ＝k 2x ＋2(k 1≠k 2)，由(1)的求解方法易知，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1k 21＋1，2－2k 21k 21＋1， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2k 22＋1，2－2k 22k 22＋1，FB ＝4|k 1|k 21＋1，F A ＝4|k 2|k 22＋1． 又F A ·FB ＝4，所以4|k 1|k 21＋1·4|k 2|k 22＋1＝4，化简得15k 21k 22＝k 21＋k 22＋1(*)． 当直线AB 的斜率存在且不等于0时，直线AB 的方程为x －⎝⎛⎭⎫－4k 1k 21＋1－4k 2k 22＋1－⎝⎛⎭⎫－4k 1k 21＋1＝y －2－2k 21k 21＋12－2k 22k 22＋1－2－2k 21k 21＋1，化简得(k 1＋k 2)x ＋(k 1k 2－1)y ＋2(k 1k 2＋1)＝0， 则点(0，2)到直线AB 的距离d ＝|4k 1k 2|（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝|4k 1k 2|k 21k 22＋k 21＋k 22＋1， 把(*)代入上式得d ＝1．又|m －1|＝1＝d ，故存在定圆x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切． 同理点⎝⎛⎭⎫0，25到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85（k 1＋k 2）2＋（k 1k 2－1）2＝⎪⎪⎪⎪125k 1k 2＋85|4k 1k 2|，显然不是定值，故不符合题意．当直线AB 的斜率不存在时，易知可取A (1，3)，B (1，－3)，或A (－1，3)，B (－1，－3)，显然直线AB 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切．综上所述，存在定圆：x 2＋(y －2)2＝1与动直线AB 恒相切．14．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心A 与附近的景观内某点B 之间的距离AB 为160 m ．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m 的圆柱体与一个半径为15 m 的半球体组成．圆柱的底面中心P 在线段AB 上，且PB 为45 m ．半球体球心Q 到地面的距离PQ 为15 m ．把摩天轮看作一个半径为72 m 的圆C ，且圆C 在平面BPQ 内，点C 到地面的距离CA 为75 m ．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min ，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C 上一点)旋转一周，求该游客能看到点B 的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)[解] 以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与半圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，连结CM ，CN ，过点C 作CH ⊥MN ，垂足为H ．设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15， 解得k ＝34或k ＝0(舍)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．所以点C (160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36．因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72， 所以cos ∠MCH ＝3672＝12．又∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，所以该游客能看到点B 的时长为30×2π32π＝10(min)．。
2014高考数学二轮专题复习Word版 专题提升训练12
常考问题12 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA →、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1.答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB 是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1. 答案2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8. 设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3. cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得⎩⎨⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18， 此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
(江苏专版)高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(十一)直线与圆
五年级下册语文第六单元作文道理在我的记忆中，有一件小事，如同夜空中的一颗小星星，虽然不太起眼，但却让我明白了一个深刻的道理。
那是一个周末的下午，阳光透过窗户洒在我的书桌上。
我正为一道数学题绞尽脑汁，草稿纸用了一张又一张，可还是没有头绪。
“这题怎么这么难啊！”我忍不住抱怨起来。
就在我心烦意乱的时候，妈妈走了进来，手里拿着一个苹果，笑着说：“别着急，先吃个苹果休息一下。
”我不耐烦地接过苹果，咬了一口，继续盯着题目发呆。
妈妈在旁边看了一会儿，轻声说：“要不我们出去走走，换个心情？”我心里虽然一百个不愿意，但又觉得一直这么坐着也不是办法，就跟着妈妈出了门。
小区里的花开得正艳，红的、粉的、黄的，五彩斑斓，争奇斗艳。
可我哪有心思欣赏这些，满脑子都是那道解不出来的数学题。
妈妈似乎看出了我的心思，拉着我在小区的长椅上坐了下来。
“你看，那棵小树苗。
”妈妈指着不远处的一棵小树苗说。
我顺着妈妈手指的方向看去，那是一棵细细的、弱弱的小树苗，在微风中轻轻摇晃着。
“它有什么好看的？”我嘟囔着。
妈妈笑了笑说：“你别看它现在又小又弱，只要给它时间，给它阳光雨露，它就能长成参天大树。
做题也是一样啊，别着急，一步一步来，总会找到答案的。
”我心里一动，好像明白了点什么。
我们又在小区里逛了一会儿，回到家的时候，我的心情已经平静了许多。
再次坐到书桌前，我重新审视那道数学题，突然发现了一个之前被我忽略的关键点。
顺着这个思路，我一步一步地计算，终于算出了答案。
“我做出来啦！”我兴奋地喊起来。
妈妈走进房间，微笑着看着我：“看吧，只要不放弃，总会成功的。
”这件小事让我明白了，做任何事情都不能急于求成，要有耐心，要一步一个脚印。
就像那棵小树苗，只要坚持不懈地努力生长，总有一天能成为栋梁之材。
如今，每当我遇到难题想要放弃的时候，就会想起那个周末的下午，想起那棵小树苗，想起妈妈的话。
然后，我就会告诉自己，别着急，慢慢来，一定能行！这就是我从这件小事中明白的道理，它虽然简单，却一直激励着我，让我在成长的道路上勇往直前。
常州市武进区2014届高三数学专题复习：直线与圆
4. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 设 三 角 形 ABC 的 顶 点 分 别 为 A(0, a), B(b,0),C(c,0) ，点 P(0, p) 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 a, b, c, p
均为非零实数，设直线 BP,CP 分别与边 AC ，AB 交于点 E ，F ，某同学已正确求得直线 OE 的方程为 B
(B)
(C)
(D)
2
3
5
【答案】B。
【考点】反函数。
【分析】根据题意画出图形，如图。
∵互为反函数的两个函数的图象关于 y=x 对称，
∴这两个函数的图象交于 P 点必在直线 y=x 上，且 A，B 两点
关于 y=x 对称。
∴AB⊥OP 。 ∴ 四 边 形 OAPB 的 面 积 = 1 ·AB·OP= 2
（2）设过 Q 的切线为 y y1 k1 x x1 ，
由 y x2 得 y/ 2x ，∴ k1 2x1 。
∴ y 2x1x 2x12 y1 2x1x x12 ， 它 与 y c 的 交 点 为 M
x1 2
c 2 x1
, c 。
又
P
x1
2
x2
,
y1
2
y2
分别作圆 O1.圆 O2 的切线 PM、PN（M.N 分别为切点），使得 PM 2PN 试建立
适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程
【答案】解：以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图所示
平面直角坐标系。 y
则 O1（－2，0），O2（2，0），
由已知： PM 2PN ，即ＰＭ２＝２ＰＮ２，
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量数量积的运算。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题11 直线与圆
[规律方法] 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线 的距离，再利用弦长公式 AB＝2 r2－d2；求圆的方程问题常见于 找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行 判定．
【训练 3】 如图所示，已知以点 A(－1,2)为圆心 的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切．过点 B(－2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点， Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程； (2)当 MN＝2 19时，求直线 l 的方程； → → (3)BQ· BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请 说明理由．
在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为 x2＋y2＝25，可以验证过该圆上除点(± 4，± 3)的任意一点也均 x2 y2 可作两条相互垂直的直线与椭圆 16＋ 9 ＝1 的交点都各只有 一个；故圆方程 x2＋y2＝25. 答案 x2＋y2＝25
• 热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 • 【 例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 圆 • C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝4，圆 • C2：(x＋m)2＋(y＋m＋5)2＝ • 2m2＋8m＋10(m∈R，且m≠－3)． • (1) 设 P 为坐标轴上的点，满足：过点 P 分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别 为T1、T2，使得PT1＝PT2，试求出所有满 足条件的点P的坐标； • (2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：
• 3．直线方程的5种形式中只有一般式可以 表示所有的直线．在利用直线方程的其他 形式解题时，一定要注意它们表示直线的 局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截 距相等”这个条件设方程时一定不要忽略 过原点的特殊情况．而题中给出直线方程 的一般式，我们通常先把它转化为斜截式 再进行处理． • 4 ．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、 半径及平面几何知识的应用，如弦心距、 半径、弦长的一半构成直角三角形经常用 到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往
2014高考数学汇编文---直线与圆(含答案与详解)
201高考数学汇编（文）---直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）22⎡-⎢⎣⎦9.【2014高考四川卷文第9题】圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为32，则圆C 的标准方程为_______________10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积答案与解析：1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ . 【答案】（1）21-；（2）21【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=， 所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、10,25]C 、10,5]D 、[25,5]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6 【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r = 又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离32d =()22123211a --+=+-33a -=解得：0a =或6a =.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13.【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处，（OC为河岸），4 tan3BCO∠=.（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（3）求M 的轨迹方程；（4）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。
江苏专版高考数学二轮复习14个填空题专项强化练十一直线与圆
14个填空题专项强化练(十一)直线与圆A 组一一题型分类练题型一直线的方程1. ______________________________________________________________________ 已知直线I : ax + y — 2- a = 0在x 轴和y 轴上的截距相等，则 a 的值为 ___________________________解析：由题意可知 0.当x = 0时，y = a + 2.当 y = 0 时，x =——.aa + 2所以_^= a + 2,解得a =— 2或a = 1.a答案：—2或12. 将直线y = 3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移1个单位，所得到的直线方程为 又 0€ R 所以 d max = 2 +，J 2.答案：2 + 2 题型二圆的方程1. ________________________________________________________________________ 已知方程x 2 + y 2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0表示一个圆，则实数k 的取值范围是 _______________________解析：由(2 k ) + 4 — 4(3 k + 8) = 4( k — 3k — 4)>0，解得 k <— 1 或 k >4. 答案：(—a, — 1) U (4 ,+^)2. ______________________________________________________________ 圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 _______________________________________解析：设圆心为(0 , b )，半径为r ,则r = | b | , 所以圆的方程为X 2 + (y — b )2= b 2. 因为点 (3,1) 在圆上，所以 9+ (1 — b )2 = b 2,解得 b = 5. 所以圆的方程为x 2 + (y — 5)2= 25. 答案：x 2+ (y — 5)2 = 253. _____ 已知圆x 2+ y 2+ 2x — 4y + a = 0关于直线y = 2x + b 成轴对称图形，则 a — b 的取值范围是 _________ ．解析：由题意知，直线y = 2x + b 过圆心，而圆心坐标为(一1,2)，故b = 4,圆的方程化为标准方程为(x +1) + (y — 2) = 5 — a ,所以a <5，由此，得 a — b <1.答案：(—R, 1)所得直线的方程为 y =— 3(x — 1)，即x + 3y — 1 = 0.|cos 0 + sin 0 — 2|cos* 1 2 30 + sin 2=2 — 2sinc n0+72 2 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：(x —4) + (y —8) = 1，圆C2：(x—6) + (y+ 6) 2= 9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________________ .解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C( a, 0). 因为圆C平分圆C的圆周，所以r2= CC+ 1.同理可得r 2= CC22＋9,所以CC12= CC22＋8,2 2 2 2即(a —4) + 8 = (a —6) + 6 + 8,解得a= 0,从而得r = CC1＋1 = 4 ＋8 ＋1 = 81 ,故圆C的方程为x2+ y2= 81.法二：设圆C的方程为：(x—a)2+ y2= r2.则圆C与C的公共弦方程为(2a—8)x—16y＋79＋r2—a2= 0.(*)因为圆C平分圆C的圆周，所以直线(*)经过圆C的圆心，22即a —8a—r ＋81 = 0. ①同理，由圆C平分圆C2的圆周，得22a —12a—r + 81 = 0,②联立①②得a= 0, r 2= 81.故圆C的方程为x2+ y2= 81.答案：x2＋y2= 81题型三直线与圆、圆与圆的位置关系1. __________________ 若直线l 1：y= x+ a和直线12：y = x + b将圆(x —1)2+ (y—2)2= 8分成长度相等的四段弧,则a2＋b2= .解析：不妨设a>b,由题意可知，每段圆弧的圆心角为90°,故弦心距为2,从而由I 1 -芳 a | = 2 及 I 1 - 2： b | = 2,得 a = 2J2 + 1, b =- 2J2 + 1,故 a 3 + b 4 5= 18.2 2答案：182.在平面直角坐标系 xOy 中，点A (1,0) , B (4,0).若直线x -y + m = 0上存在点P 使1得PA = j PB 贝V 实数m 的取值范围是 ___________ .1 1解析：设 Rx , y )，则由 PA =尹B 可得(x -1)2+ y 2= 4K x — 4)2+ y 2］，化简得 x 2+ y 2 =224.又点P 在直线x — y + m = 0上，则直线x — y + m = 0与圆x + y = 4有公共点,得—2 ：2< m^2''2.答案：[—2 ：2, 2 :'2 ]2 23. 过点F ( — 4,0)的直线l 与圆C ： (x — 1) + y = 5相交于A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为解析：根据题意，由于(一4— 1)2>5，所以点P 在圆C 外，过圆心C 作CM L AB 于 M 连结AC 易知直线l 的斜率存在，设直线 I 的方程为y = k (x + 4)，即kx — y + 4k = 0，则CM=22加 25k 45—180k/口 2 加即 +2= 25,得 180k = 20,即卩 k =k + 1 k + 11 , 、± 3,故直线l 的方程为x±3 y + 4= 0.答案：x±3y + 4= 02 24. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (0，— 2)，点B (1 , — 1) , P 为圆x + y = 2上解析：法一：设点 P (x , y )，贝U x 2 + y 2= 2,则 x + (2 入—1)y + 3 入—2= 0,2 2由题意，直线 x + (2入一1)y + 3入一2= 0与圆x + y = 2有公共点,3 2x + y — 2x + 2y + 2 — 2x + 2y + 4 — x + y + 22 2令入= —x + y + 2 2y + 3 ,I m < 2 P 、2,|k + 4k | |5k | A M -|5k |2匚k 2+1 =7k 2+ 1, AM = l 5 — ,k 2+1.又点A 恰好是线段PB 的中点，所以 PM= 3AM 在 Rt △ PMC 中,PM = PC ,所以 P B PAx — 12+ y +12-y +2-------- 2 5— 20k一动点，则所以一|3一2|—< 2,解得0< 入<4,寸1+ 2入—1所以二的最大值为2.法二：当AP 不与圆相切时，设 AP 与圆的另一个交点为 D, 由条件AB 与圆C 相切，则/ ABP=Z ADB 所以△ ABP^A ADB所以PA 的最大值为2. 答案：2B 组——高考提速练1.经过点 R — 5 , - 4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是答案：±25.已知直线I : x + 3y — 2= 0与圆C ： x 2+ y 2= 4交于A , B 两点，则弦 AB的长度为— |0 + 0 — 2|解析：圆心到直线I : x + :3y — 2= 0的距离是d = '2= 1，所以弦 AB 的长V +护度为 2 '22— 12= 2 3答案：2 .-'32 26. ________________________________________________________ 过坐标原点且与圆 x — 4x + y + 2= 0相切的直线方程为 ____________________________________________ .解析：圆x 2— 4x + y 2 + 2= 0的圆心为(2,0)，半径为'2,易知过原点与该圆相切时，直线有斜率.设斜率为 k ,则直线方程为 y = kx ，则—厂2 " = .'2,寸k + 1 "所以k 2= 1,所以答案：y =± xk =± 1,所以直线方程为 y =± x .2 27. 已知圆 C: x + y — 4x — 2y — 20 = 0,直线 I : 4x — 3y + 15= 0 与圆 C 相交于 A, B 两点，D 为圆C 上异于A, B 两点的任一点，则△ ABD 面积的最大值为 _________________ .解析：因为圆C 的标准方程为(x — 2)2+ (y — 1)2 = 25,所以圆心C (2,1),半径r = 5,所 、|4 X 2 — 3 X 1 + 15|I_2 2以圆心C 到直线I : 4x — 3y + 15= 0的距离为d = ------- =22= 4,所以AB= 2 r — d — 3 2=2,25— 16= 6,因为D 为圆C 上异于A, B 两点的任一点，所以 D 到直线AB 即直线I : 4x1PB BD BD所以PA = B A =-2仝耳=* 2 3 4,—3y + 15= 0的距离的最大值为d+ r = 9,所以△ ABD面积的最大值为-X 6X 9= 27.答案：278•设△ ABC勺一个顶点是A(3 , —1)，/ B,Z C的平分线方程分别为x= 0, y = x,贝U 直线BC 的方程是__________________ .解析：点A(3 , —1)关于直线x = 0, y= x的对称点为A' ( —3,—1) , A ( —1,3)且都在直线BC 上，故得直线BC的方程为2x —y + 5 = 0.答案：2x—y + 5= 09.已知点P(t, 2t)( t丰0)是圆C: x2+ y2= 1内一点，直线tx + 2ty = m与圆C相切，则直线I : x+ y + m= 0与圆C的位置关系是_______________________ .解析：由点F(t, 2t)( t丰0)是圆C: x2+ y2= 1内一点，得"|t|<1.因为直线tx + 2ty=m与圆C相切，所以J = 1，所以| m<1.圆C：x2+ y2= 1的圆心(0,0)到直线x+ y + m \5|t|=0的距离d= ^^<1= r.所以直线I与圆C的位置关系为相交.答案：相交.. 2 210. ________________________________ 已知过点 p (m,1)的直线与圆 C x + y -4X — 6y + 8= 0相交于点 A B,且AB= 2 的直线只有一条，则该直线的方程为 .解析：圆C 的标准方程为(X — 2)2+ (y — 3)2= 5,又由题意，直线AB 与直线CP 垂直，CP + 1 =5，解得 CP= 2,则(m- 2)2+ 4 = 4，解得 m = 2，即 P (2,1)，直线 CP x = 2,所以直线 AB 的方程为y = 1.答案：y = 111. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点M 1,0)的直线l 与圆x 2+ y 2= 5交于A B 两点，其中A 点在第一象限，且"BM = 21\MA ,则直线l 的方程为 _________________ .解析：由题意，设直线I 的方程为x = my + 1,与圆x 2 + y 2 = 5联立，可得(吊+1) y 2 + 2my —4 = 0, 联立解得m= 1，—直线I 的方程为x — y — 1 = 0. 答案：x — y — 1= 012. _____________________________________________________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C 的方程为(x — 1)2+ (y — 1)2= 2,若直线I 与圆 C 相切，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点 A , B,则AB 的最小值是 __________________________________________________ .解析：法一：设直线 I 的方程为-+ y = 1( a >0, b >0).因为直线I 与圆C 相切，所以 a b1 1_+ 匸—1a b 211 114 2厂也即0b +1 =2 1+1 +尹F 》面+晶所以ab > 16当且仅当a = b = 4 b 2时取等号，所以(ab )min = 16.又AB= .a 2+ b 2> ,2ab >< 2,当且仅当a = b = 4时取等号，所以 AB 的最小值为4.2. 法二：由题意结合图形可知，当直线 I 的斜率为—1时，AB 取得最小值.设直线I 的方 程为x + y — b = 0( b >0)，由直线I 与圆C 相切得，|2边b| =寸2, 即卩b = 4.所以AB 的最小值 为 4 .2.答案：4 213. _______________________________________________________________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O ： x 2 + y 2= 1,圆 M (x + a + 3)2+ (y — 2a )2= 1(a 为 实数)•若圆O 与圆M 上分别存在点P , Q,使得/ OQ = 30°，则a 的取值范围为 _____________________________________ .解析：过Q 作圆O 的切线QR 切点为R 根据圆的切线性质，有/ OQ 艮/OQ = 30°;反过来，如果/ OQ 最30°，则存在圆 O 上的点P ,使得/ OQ =30°. 所以，若圆O 上存在点P,使得/ OQ =30°,则/ OQ 最30°. 因为O11，所以OQ>2时不成立，所以 OQ 2, 即点Q 在圆面x 2 + y 2<4上.设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)，则一y 2 = 2y 1, y 1+ y 2= 2m m i + 1,yy = —4m +1,又因为点Q在圆M上，所以圆M (x+ a+ 3)2+ (y—2a)2= 1与圆面x2+ y2W4有公共点，所以O曉3.因为0张(0 + a+ 3)2+ (0 —2a)2, 所以(0 + a+ 3) + (0 —2a) w 9,6解得一云w a w 0.56答案：—5, 0.. 2 214.已知P是直线x + y+ 3 = 0上的动点，PA PB是圆x + y —4x—2y + 4= 0的切线，A, B是切点，C是圆心，则四边形PACB勺面积的最小值是 _______________________ .2 2解析：法一：设点P(a, b)，贝U a+ b+ 3 = 0.由题意，圆x + y —4x—2y+ 4= 0的圆心1是C(2,1)，半径为1.因为PA= PB所以四边形PACB的面积S= -(PA+ PB = PA所以PA最小时，四边形PACB的面积最小•又PA= /PC—，所以PC最小时，PA最小•又PC= a—2 2+ b—1 2= .： a—2 2+ —4—a 2= ：2a2+ 4a+ 20 = ；'2 a+ 1 2+ 18 , 所以当a=—1, b=—2时，PC有最小值3 2,所以PA的最小值为77.所以四边形PACB 的面积的最小值是17.法二：由题意，圆x2+ y2—4x—2y+ 4= 0的圆心是C(2,1)，半径为1.因为PA= PB所1以四边形PACB勺面积S= 2(PA+ PB = PA所以PA最小时，四边形PAC啲面积最小.又PA =7PC- 1，所以PC最小时，PA最小•又(PC min= 2+^+ 3 = 3\/2,所以(PA min =J17,所以四边形PACB勺面积的最小值是，17.答案：.171解析：将直线y= 3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y= —§x,再向右平移1个单位，13答案：x + 3y —1 = 03. __________________________________________________________ 若直线y = 2x + 10, y= x + 1, y= ax —2交于一点，则a= _____________________________________ .解析：直线y= 2x+ 10与y = x + 1的交点坐标为(一9,—8)，代入y= ax—2,得一8 =2a • ( —9) —2，解得a = 3.答案：I4. 点A(1,1)到直线x cos 0 + y sin ________ 0 —2= 0的距离的最大值为解析：由点到直线的距离公式，得x + y + 4y+ 4 4y + 6 2y + 3 '1解析：由题意设所求方程为y + 4 = k(x + 5)，即kx —y + 5k —4 = 0.由-• |5 k —4 8 24| • k —5 = 5，得k= 5或k = 5,故所求直线方程为8x—5y + 20= 0 或2x—5y—10= 0.答案：8x—5y + 20= 0 或2x—5y —10= 02•直线I经过R —4,6)，与x轴，y轴交于A, B两点，当P为AB中点时，则直线I 的方程为.解析：因为P( —4,6)是A B的中点，则由题意可知A—8,0) , B(0,12),由直线的截距式得—8 + 12= 1,即3x—2y + 24= 0.答案：3x—2y + 24= 03. 已知圆C： x2+ y2+ mx- 4 = 0上存在两点关于直线x —y+ 3= 0对称，则实数m的值是.解析：因为圆上两点A, B关于直线x—y + 3= 0对称，所以直线x —y+ 3 = 0过圆心—m, 0，从而一少3 = 0,即m= 6.答案：64. 已知直线x + y —a= 0与圆C: (x —2)2+ (y+ 2)2= 4相交于A, B两点，且△ ABC为等腰直角三角形，则实数 a = _______ .解析：由题意得圆的圆心为Q2 , —2)，半径为2,由厶ABC为等腰直角三角形可知圆。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题11 直线与圆
常考问题5 导数的综合应用[真题感悟](2013·江苏卷)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解(1)令f′(x)＝1x－a＝1－axx<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e x－a>0，解得a<e x，即x>ln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1.结合上述两种情况，有a≤e－1.(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x>0，得f(x)存在唯一的零点；(ⅱ)当a<0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝1 x－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)当0<a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0<x<a－1时，f′(x)>0，当x>a－1时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.②当－ln a－1>0，即0<a<e－1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1<0，f(a－1)>0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x>1时，l′(x)＝e x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，h(x)＝e x－x2>h(e)＝e e－e2>0.即当x>e时，e x>x2.当0<a<e－1，即a－1>e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)<0，又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x>a－1时，f′(x)＝1x－a<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e－1时，f(x)的零点个数为2.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：11 直线与圆
常考问题11 直线与圆(建议用时：50分钟)1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 2．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且向量OA→、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．解析 ∵|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2＝22，∴a ＝±1. 答案 ±13．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝14．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)．答案 16．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM→＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±17．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π.答案 π8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1.答案 2－19．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4. 10．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23. 11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2,3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t ＞0)．∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2. 由点M 在椭圆上，得t ＝6.故所求的点M 的坐标为M (2,3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3.cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB→|＝－336＋9·4＋9＝－6565. (3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得 ⎩⎨⎧ 16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322. 由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18，此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。
2014高考数学直线与圆汇编
2014高考直线与园
1.（新课标二16.）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.
【答案】].
1,1-[∈x ].1,1-[x .,1)M(x 1,y O 000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆∈= 2.（重庆13）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2=-+-a y x 相交于B A ，两点，且 ABC ∆为等边三角形，则实数=a _____.
3.（湖北）.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=___2 _____.
4.（福建）.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12
”的（ A ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件
5.（陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.
【答案】 .11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y 9.
6.（江苏）在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ .。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：阶段检测卷4
阶段检测卷(四)一、填空题(每小题5分，共70分)1．已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为________．解析依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案 22．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．解析由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，故两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1<17<5，所以两圆的位置关系为相交．答案相交3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为________．解析∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min＝2－1＝1.答案 14．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．解析在方程x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0,3)．设题中双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．∵点A在双曲线上，∴9a2＝1.∵A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴双曲线的焦点为(0，－9)，(0,9)．a2＋b2＝81.∴a2＝9，b2＝72.∴此双曲线的标准方程为y29－x272＝1.答案y29－x272＝15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________．解析 由题意，得e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋3＝2.答案 26．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1. 答案2－17．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________．解析 由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d ＝2·a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径为 2.由直线l 被圆C截得的弦长为2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线 l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1，解得a ＝ 2. 答案28．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为________．解析 设切线方程为x a ＋y b ＝1，则|ab |a 2＋b2＝1，于是有a 2＋b 2＝a 2b 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，得a 2＋b 2≥4，从而线段AB 长度为a 2＋b 2≥2，其最小值为2.答案 29．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．解析 由题意知本题等价于求过圆M ：(x －1)2＋(y －3)2＝1的圆心M (1,3)与圆O ：x 2＋y 2＝2相切的切线的斜率k .设切线l ：y －3＝k (x －1)，l ：kx －y ＋3－k ＝0，由题意知2＝|3－k |1＋k 2，k ＝－7或k ＝1. 答案 －7或110．(2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________．解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心率e ＝1cos α＝52. 答案 5211．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为________．解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k2＝5，解得k ＝±2，又k >0，所以k ＝2. 答案 212．双曲线C ：x 2－y 2＝1，若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为________． 解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0.可以求得A (1,0)，设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，分别与渐近线方程联立方程组，可以求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1，－k k ＋1或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫kk ＋1，－k k ＋1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，k k －1，利用条件P A →＝2AQ →，可以求得k ＝±3. 答案 ±313．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为________．解析 设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b2＝2，整理得2(a 2＋b 2)＝ab ，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝014．设双曲线x 24－y 2＝1的右焦点为F ，点P 1、P 2、…、P n 是其右上方一段(2≤x ≤25，y ≥0)上的点，线段|P k F |的长度为a k (k ＝1,2,3，…，n )．若数列{a n }成等差数列且公差d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，则n 的最大取值为________．解析 数列{a n }递增，当a 1最小，a n 最大，且公差d 充分小时，数列项数较大．所以取a 1＝5－2，a n ＝3，算得d ＝5－5n －1(n ＞1)，又d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫15，55，所以55－4＜n ＜26－55，又n ∈N *，故n 的最大取值为14. 答案 14 二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，由题知直线l 的斜率与直线OA 的斜率相等，故可设直线l 的方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．16．(本小题满分14分)(2013·苏北四市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，一条准线l ：x ＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点． ①若PQ ＝6，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．解(1)由题设：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2c ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)①由(1)知：F (1,0)，设M (2，t )， 则圆D 的方程：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝1＋t 24，直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0， ∵PQ ＝6，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6， ∴t 2＝4，∴t ＝±2.∴圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. ②设P (x 0，y 0)，由①知：⎩⎪⎨⎪⎧(x 0－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－t 22＝1＋t 242x 0＋ty 0－2＝0，即：⎩⎨⎧x 20＋y 20－2x 0－ty 0＝02x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得：x 20＋y 20＝2，∴点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求圆Q 的面积； (2)求k 的取值范围；(3)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可化为(x －6)2＋y 2＝4，可得圆心为Q (6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝4交于两个不同的点A ，B 等价于|6k ＋2|k 2＋1＜2，化简得(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，(x －6)2＋y 2＝4 得(k 2＋1)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，解此方程得x 1,2＝－4(k －3)±16(k －3)2－144(k 2＋1)22(k 2＋1).则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2，① 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.②而P (0,2)，Q (6,0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将①②代入上式，解得k ＝－34.由(2)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以坐标原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T . 求证：点T 在椭圆C 上．(1)解 由题意知，椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝|2|2＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设点M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设点T 的坐标为(x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为点M ，N 在椭圆C 上，故x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12(3y －42y －3)2＝1.整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1.所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．19．(本小题满分16分)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2) 证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1.消去y ，得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理，得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20.∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5.∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.20．(本小题满分16分)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若OF 1→＝2F 1A →(其中O 为坐标原点)． (1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE →·PF→的最大值．解 (1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1()a 2－2，0， 由OF 1→＝2F 1A →，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为M ：x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的圆心为N ，则PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF→－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1.从而求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 22＝1，即x 20＝6－3y 20，因为点N (0,2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题11 直线与圆
常考问题5 导数的综合应用[真题感悟](2013·江苏卷)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．解(1)令f′(x)＝1x－a＝1－axx<0，考虑到f(x)的定义域为(0，＋∞)，故a>0，进而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数．同理，f(x)在(0，a－1)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，从而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a．当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a∈(e，＋∞)．(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g′(x)＝e x－a>0，解得a<e x，即x>ln a，因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1.结合上述两种情况，有a≤e－1.(ⅰ)当a＝0时，由f(1)＝0以及f′(x)＝1x>0，得f(x)存在唯一的零点；(ⅱ)当a<0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)<0，f(1)＝－a>0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．另外，当x>0时，f′(x)＝1 x－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点．(ⅲ)当0<a≤e－1时，令f′(x)＝1x－a＝0，解得x＝a－1.当0<x<a－1时，f′(x)>0，当x>a－1时，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.①当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.②当－ln a－1>0，即0<a<e－1时，f(x)有两个零点．实际上，对于0<a<e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1<0，f(a－1)>0，且函数f(x)在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1x－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a－1)上只有一个零点．下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，e x>x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.当x>1时，l′(x)＝e x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x>2时，h′(x)＝e x－2x>h′(2)＝e2－4>0，从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数．进而当x>e时，h(x)＝e x－x2>h(e)＝e e－e2>0.即当x>e时，e x>x2.当0<a<e－1，即a－1>e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)<0，又f(a－1)>0，且函数f(x)在[a－1，e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x>a－1时，f′(x)＝1x－a<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，当a≤0或a＝e－1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e－1时，f(x)的零点个数为2.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题10 数列的综合应用
常考问题11 直线与圆[真题感悟]1．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k的最大值是________．解析设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝|4k－2|k2＋1，由题意知问题转化为d≤2，即d＝|4k－2|k2＋1≤2，得0≤k≤43，所以k max＝43.答案4 32．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x2＋(y－3)2＝2 x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a2＋(2a－3)2≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. [考题分析]高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B 级或C 级要求．。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：19 几何证明选讲
常考问题19 几何证明选讲1．(2011·江苏卷)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)，圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明 如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．2．(2012·苏北四市质量检测)如图，∠P AQ 是直角，圆O 与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B ，C .求证：BT 平分∠OBA .证明 连接OT ，因为AT 是切线，所以OT ⊥AP .又因为∠P AQ 是直角，即AQ ⊥AP ，所以AB ∥OT ，所以∠TBA ＝∠BTO .又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，所以∠OBT ＝∠TBA ，即BT 平分∠OBA .3．(2010·江苏卷)AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明 连接OD ，则：OD ⊥DC ，又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO ＝∠ODA ＝∠DCO ，∠DOC ＝∠DAO ＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.4．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°. 5．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明连接DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝3 2，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝3 2，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.备课札记：。
2014高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件 专题5 第1课时 直线与圆
答案： (1)4 (2)2 2
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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题五
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“代数法”、“几何法”在解决直线和圆位 置关系中的“价值体现” (1)讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可
从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距
离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑，其中用几何特征较为简 捷、实用．
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又因为直线 m：3x－2y＝0 平分圆的面积， 所以直线 m 经过圆心．
x－y＋1＝0， 由 3x－2y＝0， x＝2， 解得 y＝3，
即圆心 C(2,3)．
而圆的半径 r＝|CB|＝ 2－22＋2－32＝1， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定 系数．
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(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程
中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率
不存在的情况． (3)使用点到直线的距离公式时，若所给的直线方程不是一 般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；使用两 平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中
(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得 各系数．从而求得圆的方程一般采用待定系数法． [提醒 ] 根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样 可减少运算量．
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2．已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0
A．充分不必要条件
C．充要条件
flybird工作室：2014高考数学(文)二轮专题升级训练：第13讲 直线与圆
专题升级训练直线与圆(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2-6y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-32.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=03.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能4.(2013·黑龙江哈尔滨模拟,7)圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.+(y-1)2=15.若直线y=kx(k≠0)与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且点C(3,0).若点M(a,b)满足=0,则a+b=()A. B. C.2 D.16.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则W=的取值范围是()A.[2,+∞)B.(-∞,-2]C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.直线x cosθ+y+2=0的倾斜角的取值范围为.8.已知曲线C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与直线x+y=4相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为.9.圆心在抛物线x2=2y上,且与直线2x+2y+3=0相切的圆中,面积最小的圆的方程为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.11.(本小题满分15分)已知两圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0,C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)证明此两圆相切;(2)求过点P(2,3),且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程.12.(本小题满分16分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.##一、选择题 (本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.D解析:求出圆心的坐标,将圆心坐标代入直线方程即可.2.C解析:由得交点(2,2),当k=0和k不存在时不符合题意,故设l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,∴,解得k=3.∴l的方程为3x-y-4=0.3.A解析:圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,显然点P(3,0)在圆内,故直线l与圆C相交,选A.4.B5.D解析:将y=kx代入x2+y2=1并整理有(k2+1)x2-1=0,∴x1+x2=0.∵=0,∴M为△ABC的重心.∴a=,b=,故a+b==1.6.D解析:圆方程可化为(k2+m2+16).由已知得解得k=-1,m=-1,∴不等式组为其表示的平面区域如图.∴W=表示动点P(a,b)与定点Q(1,2)连线的斜率.于是可知,W≤k AQ,或W≥k OQ,即W≤-2或W≥2.故选D.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.解析:把直线方程化为斜截式y=-cosθ·x-,则k=-cosθ.∵-≤k≤,∴0≤α≤≤α<π.8.9解析:将y=4-x代入x2+y2=9并整理有2x2-8x+7=0,解得x1=2+,x2=2-,从而得A,B,故x1y2+x2y1=9.9.(x+1)2+解析:设圆心为,圆半径r=.当a=-1时,r取最小值,此时圆的方程为 (x+1)2+.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B (x2,y2),其坐标满足方程组消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.11.解:(1)证明:两圆的方程可分别化为C1:(x+2)2+(y-2)2=13,C1(-2,2),r1=;C2:(x-4)2+(y+2)2=13,C2(4,-2),r2=.∴圆心距|C1C2|=2=r1+r2,即两圆外切.(2)解:设所求圆的方程为C3:(x-a)2+(y-b)2=.∵T(1,0)在C1,C2,C3上,∴圆心(a,b)在直线:y=-(x-1)上,∴b=-(a-1).①又由|C3P|=|C3T|,得(a-2)2+(b-3)2=(a-1)2+b2.②由方程①②,解得a=-4,b=,∴=(a-1)2+b2=,故所求圆的方程为(x+4)2+.12.解:(1)证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=OA×OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值.(2)解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴直线OC的方程是y=x.∴t,解得t=2或t=-2.当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),此时C到直线y=-2x+4的距离为.又OC=,显然不合题意.综上所述,满足条件的圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。
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常考问题11 直线与圆
(建议用时：50分钟)
1．(2013·镇江期中)若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈
R )对称，则ab 的取值范围是________．
解析 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，
所以，点(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，所以，a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )≤14.
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，14 2．(2013·南师附中模拟)已知直线x －y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且
向量OA
→、OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为______．
解析 ∵|OA
→＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴OA →⊥OB →，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴点O 到直线AB 的距离为22，即|0－0＋a |2
＝22，∴a ＝±1. 答案 ±1
3．(2013·青岛质检)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，
且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为________．
解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋4
2＝1＝r ，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1. 答案 (x －1)2＋y 2＝1
4．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分
别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．
解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为C (3,4)，半径为r ＝5，则过点(3,5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，
则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6.
答案 20 6
5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝
________.
解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为
(－a,0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方
程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x
＝1a ，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋a 2＝()32解得a ＝1或－1(舍去)．
答案 1
6．(2012·南师附中模拟)在平面直角坐标系中，设直线l ：kx －y ＋2＝0与圆C ：
x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，OM
→＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________.
解析 如图所示，OM →＝OA →＋OB →，则四边形OAMB
是锐角为60°的菱形，此时，点O 到AB 距离为1.由21＋k 2
＝1，解出k ＝±1. 答案 k ＝±1
7．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆
的面积的最小值是________．
解析 由题意知，ab ＝12，x 半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为
π.
答案 π
8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△
AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________．
解析 根据题意画出图形，如图所示，过点
O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角
三角形，所以C 为弦AB 的中点，又|OA |＝
|OB |＝1，根据勾股定理得|AB |＝2，
∴|OC |＝12|AB |＝22. ∴圆心到直线的距离为12a 2＋b 2＝22
， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.
∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离d ＝(a －0)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.
设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．
∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝(2－1)2＝2－1.
答案 2－1
9．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.
(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；
(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．
解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．
(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．
由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，
则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2
＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4. 10．已知以点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于
点O ，B ，其中O 为原点．
(1)求证：△AOB 的面积为定值；
(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；
(3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．
(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则
CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或
t ＝－2.
∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －
2)2＋(y －1)2＝5.
(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.
所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与
直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，－23. 11．(2012·南师附中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1.
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点
P (2,3)，求椭圆方程．
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右
焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l
上的
一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值；
(3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．
解 (1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝4，4a 2＋9b 2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.
故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.
(2)由已知，A (－4,0)，B (4,0)，F (2,0)，直线l 的方程为x ＝8.
设N (8，t )(t ＞0)．
∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，t 2. 由点M 在椭圆上，得t ＝6.
故所求的点M 的坐标为M (2,3)．
所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3.
cos ∠AMB ＝MA →·MB →|MA →|·|MB
→|＝－336＋9·4＋9＝－6565. (3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A 、F 、N 三点坐标代入，得 ⎩⎨⎧ 16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，
64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－t －72t ，F ＝－8.
圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋72t y －8＝0. 设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1,2＝t ＋72t ±
⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322
. 由线段PQ 的中点为(0,9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t ＝18，
此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.。