四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用

四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用

单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。

例1.已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？

分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？

例2.已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD+BC ＞2EF 。

分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。

解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。 因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 所以EH=

21AD,FH=2

1

BC, 又EH+FH>EF ，所以21AD+2

1

BC>EF, 即AD+BC ＞2EF 。

例3.已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。

分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。

解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF

因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以ME=21AC,MF=2

1

BD ， ME ∥AC ，MF ∥BD ，

又AC ＝BD ，所以ME ＝MF ， 则∠MEF ＝∠MFE. 又ME ∥AC ，MF ∥BD ，所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE ， 所以∠1＝∠2，OG ＝OH. 下面两道题留给同学们思考。

（1）已知：四边形ABCD ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点P 、Q 分别是AC 、BD 的中点，且AC ＝BD ，试说明MN ⊥PQ 。

（2）已知：如图，四边形ABCD ，AB ＝CD ，点E 、F 分别 是AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线交EF 的延长线于点 G 、H ，试说明∠BGF ＝∠CHF 。

三角形中位线辅助线的应用

三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题. 一、借助中位线定理选择结论

例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.

（A ）线段EF 的长逐渐增大 （B ）线段EF 的长逐渐减小 （C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长与点P 的位置有关

分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，由于已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=

2

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AR ， 由于点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变. 解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=2

1

AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.

点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.

二、借助中位线定理求长度

例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm

分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=

21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=2

1

BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.

解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=21AC ，同理可得HG=2

1

AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=2

1

BD ，

∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ， ∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，

∴AC=2EF=20cm.

点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF的长，进而求到AC的长.

三、借助中位线定理说理

例3 如图3，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF 交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.

说明EF∥CB理由

分析：根据E为AB的中点，要说明EF//BC，可说明EF为△ABC的中位线，为此，需要证明F为AD的中点.

解：∵CF平分∠ACB，

∴∠DCF=∠ACF.

又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线，

∴点F是AD的中点.

∵点E是AB的中点，

∴ EF//BD，即EF∥BC.

点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.

构造中位线

“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.

一、连中点，构造三角形的中位线

例1如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC