一元二次方程拓展训练(一)

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2.1一元二次方程(1)

2.1一元二次方程(1)
2.1 一元二次方程
什么是方程?什么是方程的解(或根)? 答:含有未知数的等式叫做方程。使方程
两边成立的未知数的值叫做方程的解。 曾学过哪些方程?
分式方程,一元一次方程,二元一次方程。
什么叫做一元一次方程?
交流合作 根据题意列方程
1、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形 和长方形两部分,求正方形的边长。设正方形的边 长为x,可列出方程
例1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并
写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)9 x 5 4 x
2
( 2 )3 y 1 2 3 y
2
( 3)4 x 5
2
(4)(2 x )(3 x 4) 3
注意:
1.要先化成 ax² +bx+c=0 的形式。即先写二次项,再写一次项, 最后是常数项。
2、若方程 ( m 1) x 2
2011 2012 1
mx 1
是关于x
.
的一元二次方程,则m的取值范围是 3、已知
m
(1)请尝试通过对上式适当变形,写出一个以m为
未知数的一元二次方程;
(2)求代数式m2012-2m2011-2011m2010的值.
4、已知两个关于x的二次方程x2+ax+b=0、 x2+cx+d=0有一个公共根为1,求证:关于x的 二次方程 根为1.
例3 一个包装盒的表面展开图如图,包装盒的容 积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元 一次方程吗?如果是,把它化为一元一次方程的 一般形式.
30 x x
单位:cm
15
课堂小结
1.了解一元二次方程的概念和一般形式. 2.会判别一元二次方程的二次项系数,一次项系 数和常数项. 3.注意:一元二次方程的二次项系数不能为零.

2020-2021冀教版数学九年级上册 24.4 一元二次方程的应用

2020-2021冀教版数学九年级上册  24.4  一元二次方程的应用

拓展训练2020年冀教版数学九年级上册24.4 一元二次方程的应用基础闯关全练1.有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )A.45)1(x21=-xB.45)1(x21=+xC.x(x-1)=45 D.x(x+1)=452.某药品经过两次降价,每瓶零售价由81元降为64元,已知两次降价的百分率都是x,那么x满足的方程是( )A.81(1-x)²=64B.81(1-x²)= 64C.81x²= 64D.64(1+x)²=813.如图,给一幅长8 m,宽5m的矩形风景画(图中阴影部分)镶一个画框,若设画框的宽均为xm,装好画框后总面积为70m²,则根据题意可列方程为_____.能力提升全练1.中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2015年年人均收入为200美元,预计2017年年人均收入将达到1 000美元,设2015年到2017年该地区居民年人均收入的平均增长率为x,则可列方程为( )A.200( 1+2x)=1 000B.200( 1+x)²=1 000C.200(1+x²)=1 000D.200+2x=1 0002.一种药品经过两次降价,药价从每盒60元下调至48.6元,则平均每次降价的百分率是( ) A.8% B.9% C.10% D.11%3.如图,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480m²,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为____m.4.山西特产专卖店销售某种核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?三年模拟全练一、选择题1.(2019河北宁晋东城实验中学月考,8,★☆☆)某幼儿园要准备修建一个面积为210m²的矩形活动场地,它的长比宽多12 m,设场地的长为xm,可列方程为( )A.x(x+12)=210B.x(x-12)=210C.2x+2(x+12)=210D.2x+2(x-12)=2102.(2019河北保定满城期中,13,★☆☆)云南省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩,为了响应十九大“绿水青山就是金山银山”的号召,现计划在两年后将本市的绿化面积增加到24.2万亩,设每年平均增长率为x,则列方程为( )A.20(1+x)×2= 24.2B.20(1+x)²=24.2×2C.20+20( 1+x)+20(1+x)²=24.2D.20(1+x)²=24.2二、解答题3.(2019河北衡水武邑中学月考,20,★★☆)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边AB,BC的长分别为多少米.4.(2018河北秦皇岛开发区二中开学考试,23,★★☆)某水果店销售一种水果,其成本价是5元/千克,在销售过程中发现,当这种水果的价格定在7元/千克时,每天可以卖出160千克.在此基础上,这种水果的售价每提高1元/千克,该水果店每天就会少卖出20千克.若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元,则售价应定为多少?五年中考全练一、选择题1.(2018四川绵阳中考,8,★☆☆)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )A.9 B.10 C.11 D.122.(2018辽宁大连中考,8,★☆☆)如图,有一张矩形纸片,长为10cm,宽为6 cm,在它的四角上,各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm²,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为( )A.10×6-4×6x= 32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x²= 32二、填空题3.(2018山东日照中考,14,★☆☆)为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1 200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x 米,根据题意,可列方程为______________.三、解答题4.(2017湖南常德中考,23,★★☆)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分,下面是甜甜和她妹妹在六一儿童节期间的对话,甜甜说:“2017年六一时,我们共收到484元微信红包.”妹妹说:“2015年六一时,我们共收到400元微信红包,不过我2017年收到的钱数比你的2倍还多34元,”请问:(1) 2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率是多少?(2) 2017年六一期间甜甜和她妹妹各收到了多少元的微信红包?核心素养全练高州中学的游泳馆平面图(如图所示)是一个长方形,长为60米,宽为40米,中央游泳池面积为1 500平方米,池边四周走道的宽度相同.现要举行200米游泳比赛,按规定每条赛道宽为2.5米,请你通过计算后按要求设计一个较为合理的赛道安排方案(方案包括赛道数和每条赛道的长,并在图中用虚线把赛道画出来).24.4一元二次方程的应用基础闯关全练1.A由题意,每队与其他的(x-1)队比赛一场,则每队比赛(x-1)场,且任意两队之间只比赛一场,故一共比赛)1(x21-x场,∴45)1(x21=-x.故选A.2.A.∵两次降价的百分率都是x,∴81(1-x)²= 64.故选A.3.答案(8+2x)(5+2x)= 70解析由题意得装好画框后,矩形风景画加画框的长为( 8+2x)m,宽为(5+2x)m,∴可列方程为(8+2x)(5+2x)=70.能力提升全练1.B由题意得,2017年年人均收入为200( 1+x)²美元,故可列方程为200( 1+x)²=1 000.故选B.2.C设平均每次降价的百分率为x,根据题意得60(1-x)²=48.6,解得x₁=0.1=10%,x₂= 1.9(不合题意,舍去).故选C.3.答案2解析设人行通道的宽度为xm,根据题意得,(30-3x )(24 - 2x )=480,解得x ₁= 20(舍去),x ₂=2,即人行通道的宽度是2m .4.解析 (1)设每千克核桃应降价x 元,则可售出(100+2x×20)千克,根据题意,得(60-x-40) (100+2x×20) =2 240.化简,得x ²-10x+24=0,解得x ₁=4,x ₂=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6= 54(元),设该店按原售价的m 折出售,则有60×10m= 54,解得m=9.答:该店应按原售价的九折出售.三年模拟全练一、选择题1.B 因为这个场地的长为xm ,所以宽为(x-12)m ,则这个矩形活动场地的面积为x(x-12)m , 则x (x-12)=210.故选B .2.D 根据题意可得一年后绿化面积为20( 1+x)万亩,两年后为20(1+x)²,则方程为20( 1+x)²=24.2.故选D .二、解答题3.解析 设边AB 的长为x 米,则边BC 的长为(100 -4x )米.根据题意得( 100-4x)x=400,解得x ₁= 20,x ₂=5,则 100-4x ₁= 20,100-4x ₂= 80.∵80>25.∴x ₂=5舍去.即AB= 20米,BC= 20米,答:羊圈的边AB ,BC 的长分别是20米,20米.4.解析 设该水果的售价应定为x 元/千克,则可销售[160-20(x-7)]千克,由题意得(x-5)[160-20(x-7)]=420,化简得x ²-20x+96=0,解得x ₁=8,x ₂=12.答:售价应定为8元/千克或12元/千克,五年中考全练一、选择题1.C 设参加酒会的人数为x , 根据题意得55)1(x 21=-x ,整理,得x ²-x-110=0,解得x ₁= 11,x ₂= -10(不合题意,舍去). 故参加酒会的人数为11.故选C .2.B 由剪去的小正方形边长是x cm 可得纸盒底面的长为(10 - 2x )cm ,宽为(6-2x) cm , 根据题意得( 10-2x)( 6-2x)= 32.故选B .二、填空题3.答案x( x+40)=1 200解析 由题意可得,x (x+40)=1 200,故答案是x( x+40)=1 200.三、解答题4.解析 (1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率为x ,则400( 1+x)²=484,解得x ₁=0.1=10%,x ₂= - 2.1(舍去).答:2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一期间收到的红包的年增长率为10%.(2)设2017年六一期间甜甜收到y 元红包,则她妹妹收到( 2y+34)元红包,则y+2y+34= 484,解得y=150.则 2y+34= 2×150+34= 334.答:2017年六一期间甜甜收到150元的微信红包,她妹妹收到334元的微信红包, 核心素养全练解析 设走道的宽为x 米,依题意得( 60-2x)(40 - 2x )=1500,解得x=5或x=45(舍去). 由x=5得60-2x= 50,40-2x= 30,即游泳池的长为50米,宽为30米.50÷25= 20条,赛道长为30米,200÷30=320(不是整数,舍去),30÷2.5 =12条,赛道长为50米,200÷5=4.方案:每条赛道的长为50米,可安排12条赛道.如图:。

人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 拓展训练(含答案)

人教版九年级上册数学  第21章 一元二次方程  拓展训练(含答案)

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程拓展训练一.选择题1.已知方程x2﹣(k+1)x+3k=0的一个根是2,则k为()A.﹣2 B.﹣3 C.1 D.32.用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0,配方正确的是()A. B. C. D.3.设x1,x2是方程x2+10x﹣2=0的两个根,则+的值是()A.8 B.5 C.4 D.104.一元二次方程x2+11x﹣1=0()A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.没有实数根5.若x1是方程ax2﹣4x﹣c=0(a≠0)的一个根,设p=(ax1﹣2)2,q=ac+5,则p与q的大小关系为()A.p<q B.p>q C.p=q D.不能确定6.已知x1,x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个根,则x1x2为()A.﹣5 B.5 C.﹣3 D.37.已知方程x2+x+m=0有两个不相等的实数根,则()A.m<B.m>C.m≤D.m≥8.某县以“重点整治环境卫生”为抓手,加强对各乡镇环保建设的投入,计划从2018年起到2020年累计投入4250万元,已知2018年投入1500万元,设投入经费的年平均增长率为x,根据题意,下列所列方程正确的是()A.1500 (1+2x)=4250 B.1500 (1+x)2=4250C.1500+1500x+1500x2=4250 D.1500+1500 (1+x)+1500 (1+x)2=42509.设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+2011x2,S2=x12+2011x22,…,S n=x1n+2011x2n,则aS2012+bS2011+cS2010的值为()A.0 B.2011 C.2010 D.201210.三角形两边的长是6和8,第三边满足方程x2﹣24x+140=0,则三角形周长为()A.24 B.24或28 C.28 D.以上都不对二.填空题11.关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根是3,则c=.12.若关于x的方程(m﹣1)x﹣x=1是一元二次方程,则m=.13.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则的值为.14.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程.15.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有不相等实数根,则k的取值范围是.三.解答题16.解一元二次方程:(1)2x2﹣3x﹣1=0;(2)x2﹣3x+2=0.17.某学校计划利用一片空地建一个花圃,花圃为矩形,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米,另三面用总长28米的篱笆材料围成,且计划建造花圃的面积为80平方米.那么这个花圃的长和宽分别应为多少米?18.汽车产业是我市支柱产业之一,产量和效益逐年增加.据统计,2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆,到2010年,该品牌汽车的年产量达到100万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变.(1)求年平均增长率;(2)求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆?19.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.(1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.20.已知等腰△ABC的三边长为a,b,c,其中a,b满足:a2+b2=6a+12b﹣45,求△ABC的周长.答案一.选择题1.A.2.C.3.B.4.A.5.A.6.C.7.A.8.D.9.A.10.A.二.填空题(共5小题)11.﹣6.12.﹣1.13.3.14.x2﹣6x+6=0.15. k>﹣1.三.解答题(共5小题)16.解:(1)2x2﹣3x﹣1=0,∵a=2,b=﹣3,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=17>0,∴x=,∴x1=,x2=.(2)x2﹣3x+2=0,(x﹣2)(x﹣1)=0,x﹣2=0或x﹣1=0,所以x1=2,x2=1;17.解:设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(28﹣2x)米,依题意,得:x(28﹣2x)=80,整理,得:x1=4,x2=10.当x=4时,28﹣2x=20>12,不符合题意,舍去;当x=10时,28﹣2x=8,符合题意.答:这个花圃的长为10米,宽为8米.18.解:(1)设年平均增长率为x,依题意,得:64(1+x)2=100,解得:x1=0.25=25%,x2=﹣2.25(不合题意,舍去).答:年平均增长率为25%.(2)100×(1+25%)=125(万辆).答:该品牌汽车2011年的年产量为125万辆.19.解:(1)△ABC是等腰三角形,理由是:∵把x=1代入方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0得:a+c﹣2b+a﹣c=0,∴2a=2b,即a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形;(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,∵(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,∴(a+a)x2﹣2ax+a﹣a=0,即x2﹣x=0,解得:x1=0,x2=1,即这个一元二次方程的根是x1=0,x2=1.20.解:a2+b2=6a+12b﹣45,a2﹣6a+9+b2﹣12b+36=0,(a﹣3)2+(b﹣6)2=0,则a﹣3=0,b﹣6=0,解得,a=3,b=6,∵△ABC为等腰三角形,∴三边长分别为3、6、6,∴△ABC的周长为3+6+6=15.。

培优易错难题一元二次方程辅导专题训练及详细答案

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一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率:(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆?(假定每年新增汽车数量相同)【答案】详见解析【解析】试题分析:(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量x (1+增长率)解决问题;(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不等式来判断正确的解.试题解析:(1)设年平均增长率为x,根据题意得:10 (1+x) 2=144解得x=-2.2 (不合题意舍去)x=0.2,答:年平均增长率为20%:(2)设每年新增汽车数量最多不超过y万辆,根据题意得:2009年底汽车数量为14.4x90%+y,2010 年底汽车数量为(14.4x90%+y) x90%+y,/. (14.4x90%+y) x90%+y<15,464,y<2.答:每年新增汽车数量最多不超过2万辆.考点:一元二次方程一增长率的问题2.关于x的方程必-2 (k-1) x+k2 = 0有两个实数根X】、X2.(1)求k的取值范围;(2 )若X1+X2=l - XPQ,求k的值.【答案】(1)〃[:(2)k=3【解析】试题分析:(1)方程有两个实数根,可得△ = 〃-4acN0,代入可解出k的取值范围:(2)由韦达定理可知,%+9=2(4—1),百马=上列出等式,可得出k的值.试题解析:⑴..W = 4(k—1产-4k2?0, -8k+420, .•.人!;2(2)二・xi+xz=2(k-1), xixz=k\ :. 2(k—l)=l—k2.「・匕=1, kz=—3.1•/ k<-,.」=—3. 23.解方程:(x+l)(x-3)=-l.【答案】Xl=l+ y/3 , x2=l - yf3【解析】试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.试题解析:整理得:x2 - 2x=2,配方得:x2 - 2x+l=3,即(X-1) 2=3, 解得:X1=1+ y/3 , X2=l - y/3 .4.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价:(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评"或“美团〃同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,'‘大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨2 m%,购买数量和原计划一样:“美团〃网29上的购买价格比原有价格下降了一m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在20两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了—m%,求出m的值.2【答案】(1) 120;(2) 20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x・8047680,解出即可:解法二:根据单价=总价+数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价:(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评" 网上的购买实际消费总额:120a (1-25%)(l+^m%),在“美团〃网上的购买实际消费29总额:a[120(1 - 25%)- —m](l+15m%):根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了"列方程解出即可.2试题解析:(1)解:解法一:设标价为X元,列不等式为0.8x・80W7680, x<120;解法二:76804-80^0.8=964-0.8=120 (元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:5 9120x0.8a (1 - 25%) (l+-m%) +a[120x0.8 (1 - 25%) - —m]=120x0.8。

一元二次方根的判别式拓展训练

一元二次方根的判别式拓展训练

一元二次方程根的判别式拓展训练【例1】关于x 的方程x ²-(2k -1)x +(k -3)=0,试说明无论k 取何值,方程总有两个不相等的实数根.【练】证明无论k 取何值,关于x 的方程x ²+(k -2)x -(k +1)=0总有两个不相等的实数根.【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程b (x ²-1)-2ax +c (x ²+1)=0有两个相等的实数根,(1) 判断△ABC 的形状;(2) 若4a =3b ,求a :b :c【练】关于x 的方程x ²-(k +2)x +2k =0(1) 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;(2) 若等腰△ABC 的一遍长a =1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根, 求△ABC 的周长.一、选择题1、(2013•珠海)已知一元二次方程:①x 2+2x +3=0,②x 2-2x -3=0.下列说法正确的是( B )A .①②都有实数解B .①无实数解,②有实数解C .①有实数解,②无实数解D .①②都无实数解2、(2013•六盘水)已知关于x 的一元二次方程(k -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( D )A .k <-2B .k <2C .k >2D .k <2且k ≠13、(2013•咸宁)关于x 的一元二次方程(a -1)x 2-2x +3=0有实数根,则整数a 的最大值是( C )A .2B .1C .04、不解方程,判断所给方程:①x 2+3x +7=0;②x 2+4=0;③x 2+x -1=0中,有实数根的方程有( )A .0个B .1个C .2个D .3个5、已知关于x 、y 的方程组2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩有唯一一个解,则满足条件的实数k 的值有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个A .m < B .m ≤ C .0m m ≠>﹣且 D .0m m ≥≠﹣且2、(2013•乐山)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC 的两边AB ,AC 的长是这个方程的两个实数根.第三边BC 的长为5,当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.3、已知关于x 的一元二次方程x 2+kx -3=0.(1)求证:不论k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)当k =2时,用配方法解此一元二次方程.4、设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=-ba,x1·x2=ca;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.。

2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系(含答案)

2020年冀教版数学九年级上册  24.3  一元二次方程根与系数的关系(含答案)

拓展训练 2020年冀教版数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 基础闯关全练1.关于x 的方程2x ²+mx+n=0的两个根是-2和1,则n ᵐ的值为 ( )A .-8B .8C .16D .-162.一元二次方程2x ²-mx +2=0有一根是x=1,则另一根是 ( )A.x=1B.x= -1C.x=2D.x=4能力提升全练1.若α,β是一元二次方程3x ²+2x -9=0的两根,则的值是 ( )A .B .C .D .2.已知x ₁,x ₂是方程2x ²-3x-1=0的两根,则____.3.已知关于x 的一元二次方程x ²-3x+m=0有两个不相等的实数根x ₁、x ₂.(1)求m 的取值范围;(2)当x ₁=1时,求另一个根x ₂的值.三年模拟全练一、选择题1.(2019河北石家庄新世纪外国语学校月考,4,★☆☆)若关于x 的方程x ²+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为( )A .-3B .2C .4D .-42.(2019河北唐山乐亭期中,6,★☆☆)若矩形的长和宽是方程x ²-7x+12=0的两根,则矩形对角线的长度为 ( )A .5B .7C .8D .10二、填空题3.(2019河北衡水武邑中学月考,13,★☆☆)已知x ₁、x ₂是关于x 的方程x ²+ax -2b=0的两个实数根,且x ₁+x ₂=-2,x ₁·x ₂=1,则的值是_________.4.(2018河北保定定州期中,22,★☆☆)已知关于x 的方程 x ²+2x+a-2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围;(2)当该方程的一个根为1时,求a 的值及方程的另一根.五年中考全练一、选择题1.(2018广西贵港中考,6,★☆☆)已知α,β是一元二次方程x ²+x -2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是 ( )A .3B .1 C.-1 D .-3二、填空题2.(2018江苏南京中考,12,★☆☆)设x ₁,x ₂是一元二次方程x ²-mx-6=0的两个根,且x ₁+x ₂=1,则x ₁=____,x ₂=____.三、解答题3.(2017湖北黄冈中考,17,★★☆)已知关于x 的一元二次方程x ²+( 2k+1)x+k ² =0①有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)设方程①的两个实数根分别为x ₁,x ₂,当k=1时,求2221x x 的值4.(2014四川南充中考,20,★★☆)已知关于x 的一元二次方程x ²-x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m 的最大整数值;(2)在(1)的条件下,方程的实数根是x₁,x₂,求代数式的值.核心素养全练1.已知a为正整数,a=b-2 005,若关于x的方程x²-ax+b=0有正整数解,则a的最小值是多少?(温馨提示:先设方程的两根为x₁,x₂,然后……)2.(2017湖北孝感模拟)已知x₁,x₂是一元二次方程(a-6)x²+2ax+a=0的两个实数根.(1)求a的取值范围;(2)是否存在实数a,使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.24.3 一元二次方程根与系数的关系基础闯关全练1.C由一元二次方程根与系数的关系得解得m=2,n=-4,故nᵐ=(-4)²=16,故选C.2.A设一元二次方程2x²-mx+2=0的一个根x₁=1,另一个根为x₂,则x₁x₂==1,解得x₂=1.故选A.能力提升全练1.C由一元二次方程根与系数的关系,得,∴.故选C.2.答案解析∵x₁,x₂是方程2x²-3x-1=0的两根,∴x₁+x₂=,x₁x₂=,∴,故答案为.3.解析(1) ∵原方程有两个不相等的实数根,∴(-3)²-4m>0,解得m<(2)由一元二次方程根与系数的关系,得x₁+x₂=3,∵x₁=1,∴x₂=2.三年模拟全练一、选择题1.D设x²+3x+a=0的另一个根为x’,由一元二次方程根与系数的关系得1+x'= -3,解得x’=-4,故选D.2.A设矩形的长和宽分别为a、b,根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=7,ab =12,所以矩形对角线的长度为.故选A.二、填空题3.答案解析∵x₁,x₂是关于x的方程x²+ax-2b=0的两个实数根,∴x₁+x₂= -a= -2,x₁·x₂=-2b=1,解得a=2,b=,∴.故答案为.三、解答题4.解析(1)依题意得原方程的根的判别式△=2²-4(a-2)>0,解得a<3.(2)依题意得1+2+a-2=0,解得a=-1.故原方程为x²+2x-3=0.设方程的另一个根为m,则m+1=-2.∴m=-3.∴a=-1,方程的另一根为-3.五年中考全练一、选择题1.B ∵α,β是方程x²+x-2=0的两个实数根,∴α+β= -1,αβ=-2,∴α+β-αβ= - 1+2=1,故选B.二、填空题2.答案-2;3解析∵x₁、x₂是一元二次方程x²-mx-6=0的两个根,且x₁+x₂=1,∴m=1.∴原方程为x²-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得x₁= -2,x₂=3.故答案为-2;3.三、解答题3.解析(1)∵方程①有两个不相等的实数根,∴△=(2k+1)²-4k²=4k+1>0,解得k>.∴k的取值范围是k>.(2)当k=1时,方程①为x²+3x+1=0.由根与系数的关系可得,∴.4.解析(1)由题意,得b²-4ac>0,即,解得m<2,∴m的最大整数值为1.(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x²-x+m=0得x²-x+1=0.根据根与系数的关系得,∴.核心素养全练1.解析设方程的两根分别为x₁,x₂,则,∵x₁,x₂中有一个为正整数,则另一个也必为正整数,不妨设x₁≤x₂,则由上式,得x₁·x₂-(x₁+x₂)= b-a=2 005,∴(x₁-1)(x₂-1)=2 006= 2×17×59,∴x₁-1=2,x₂-1=17×59;x₁-1=2×17,x₂-1= 59;x₁-1= 17,x₂-1= 2×59,∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1= 95,即a的最小值是95.2.解析(1)∵一元二次方程(a-6)x²+2ax +a=0有两个实数根,∴( 2a) ²-4(a-6)a≥0且a-6≠0,解得a≥0且a≠6.故a的取值范围为a≥0且a≠6.(2)存在,∵x₁、x₂是一元二次方程(a-6)x²+2ax+a=0的两个实数根.∴由根与系数的关系得,由-x₁+x₁x₂= 4+x₂,得x₁x₂ =4+x₁+x₂,∴,解得a=24.经检验,a= 24是原方程的解,且当a= 24时,原方程中△>0.∴存在实数a,使-x₁+x₁x₂= 4+x₂成立,此时a= 24.。

一元二次方程复习1

一元二次方程复习1
2
有两个相等的实数根,问a,b,c可否作为一个三角形的 三边的长?如果可以,那么它是什么形状的三角形?
定义
2
解法Βιβλιοθήκη 判别式ax bx c 0(a 0)
配方法
b b 4ac x 2 2a 4a
2 2
∵a≠0
∴4a2>0
定义
解法
判别式
1.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,那么总成立的式 子是( ) A.b2-4ac>0 B. b2-4ac<0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 2.k为何值时,关于x的方程x2-x+4k =0,有两个不相 等的实数根?
定义
解法
判别式
当m为何值时,方程(m-1)x2+2mx+m+3=0
(1)有两个相等实根; (2)有两个不等实根; (3)无实数根; (4)有两个实数根; (5)只有一个实数根; (6)有实根(课后整理)。
定义
拓展训练
解法
判别式
已知a,b,c都是正数,且关于x的方程
(c a) x 2bx (c a) 0
一元二次方程 的解法
配方法 公式法 因式分解法
根的判别式
△=b2-4ac △与0比较大小,判断方程根的情况
定义
2 2
解法
判别式
1.判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 2 0 x
2 2 2
( ( ( ( ( (
一元二次方程(巩固训练)
复习目标
1 2
巩固一元二次方程的相关概念及四种解法的灵活运用

2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)

2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)

21.2.1 一元二次方程的解法(一)配方法瞄准目标,牢记要点夯实双基,稳中求进直接开方法解一元二次方程原理:题型一:直接开方法解一元二次方程原理:【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是( ) A .240x -= B .2(1)90x --= C .230x x += D .22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案.【详解】能用直接开平方法求解的是:240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+; 故选C .【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法,用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x 2=a (a≥0);ax 2=b (a ,b 同号且a≠0);(x+a )2=b (b≥0);a (x+b )2=c (a ,c 同号且a≠0). 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是( ) A .0,0a b ≥≥B .0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据:平方根的定义. 特别说明:用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x 2=a (a≥0);ax 2=b (a ,b 同号且a≠0);(x+a )2=b (b≥0);a (x+b )2=c (a ,c 同号且a≠0).C .a b ,为任意数D .a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数,可得0b ≥. 【详解】∵()20x a +≥,∵0b ≥,a 为任意数,故选:D .【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解,基本形式有:2x a =(a≥0).形如关于x 的一元二次方程2x a ,可直接开平方求解题型二:形如关于x 的一元二次方程2x a ,可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是( )A .3x =B .3x =-C .123,3x x ==-D .12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9,然后利用直接开平方法解方程. 【详解】解:x 2=9,x =±3,所以x 1=3,x 2=-3. 故选:C .【点睛】本题考查了直接开平方法:形如x 2=p 或(nx +m )2=p (p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程. 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为( ) A .14x =,24x =-B .122x =,222x =-2 若0a则x a =±;表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明:(1)先移项,再开方;(2)形如2x a =的方程不一定有解,需要分情况讨论.C .10x =,222x =D .22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8,然后利用直接开平方法解方程即可.【详解】解:移项得28x =,两边开方的:22x =±,即1222,22x x ==-,故选:B . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法:直接开平方法,熟练掌握运算方法是解题的关键. 【变式2-2】方程x 2=0的解为( ) A .0x = B .120x x ==C .无解D .以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可. 【详解】解:∵x 2=0,∵x 1=x 2=0.故选:B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法,熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键. 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是( ) A .2x =- B .2x =C .无解D .12x =,22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥,可直接开平方求解题型三:形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥,可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为( )A .121,1x x ==-B .121,3x x =-=C .122,2x x ==-D .121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解.3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥,可直接开平方求解,两根是12,n m n mx x a a-+--==. 特别说明:用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义,应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负数的形式,就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D .【点睛】此题主要考查解一元二次方程,解题的关键是熟知直接开平方法的运用. 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】(1)x 1=43,x 2=23-;【分析】两边开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可; 【详解】解:(1)2(31)9x -=, 两边开方得:313x -=±, 解得:x 1=43,x 2=23-;【变式5-2】解方程:(1)22(2)180x +-= (2)229(2)4(25)x x -=+ (1)解:22(2)180x +-=, ∵22(2)18x +=, ∵2(2)9x +=, ∵23x +=或23x,解得:x 1=1,x 2=-5;(2)解:∵9(x -2)2=4 (2x +5)2.∵3(x -2)=2(2x +5)或3(x -2)=-2(2x +5), 解得x 1=-16,x 2=47-配方法解一元二次方程题型四:用配方法给方程变形【例题3】(2021·浙江杭州市·八年级期中)用配方法解方程241x x -=时,原方程应变形为( ) A .2(2)1x -= B .2(2)5x +=C .2(2)1x +=D .2(2)5x -=【答案】D【分析】移项,配方,变形后即可得出选项. 【详解】解:x 2-4x =1, x 2-4x +4=1+4, ∵(x -2)2=5,4 1.配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.2.用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤,把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式; ②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数,形如;⑤一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式,那么就有:(1)当p >0时,原方程有两个不相等的实数根;(2)当p =0时,原方程有两个相等的实数根;(3)当p <0时,因为对任意实数x ,都有,所以原方程无实数根. . 特别说明:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;(2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. (3)配方法的理论依据是完全平方公式.2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+,12x x n ==-2()0x n +≥故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程,能够正确配方是解此题的关键. 变式训练【变式4-1】(2021·浙江杭州市·八年级期中)方程26100x x --=变形时,下列变形正确的为( ) A .2(3)1x += B .2(3)1x -=C .2(3)19x +=D .2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后,利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断. 【详解】解:方程移项得:x 2-6x =10,配方得:x 2-6x +9=19,即(x -3)2=19,故选:D .【变式4-2】(2021·浙江杭州市·八年级期中)一元二次方程2660x x --=经配方可变形为( ) A .2(3)10x -= B .()2642x -=C .2(6)6x -=D .2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可.【详解】解:原方程可化为x 2-6x +32-32=6,即(x -3)2=15.故选:D .【变式4-3】(2021·浙江杭州市·八年级期中)若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式,则285++=x x m 可配方成( ) A .2(5)1x n -+= B .2()1x n +=C .2(5)11x n -+=D .2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成(x -n )2=6的形式,把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程,求得m 的值,再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式. 【详解】解:∵x 2-8x +m =0, ∵x 2-8x =-m , ∵x 2-8x +16=-m +16,∵(x -4)2=-m +16, 依题意有n =4,-m +16=6, ∵n =4,m =10,∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0, ∵x 2+8x +16=-5+16, ∵(x +4)2=11, 即(x +n )2=11. 故选:D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 题型五:配方法解一元二次方程【例题5】(2019·湖北黄冈市·九年级期中)解方程:2x 2﹣4x ﹣1=0.【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解:∵2x 2﹣4x ﹣1=0, ∵2x 2﹣4x=1,则x 2﹣2x=12, ∵x 2﹣2x+1=32,即(x ﹣1)2=32,则x ﹣∵x 1=22+x 2=22. 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】(2018·芜湖市繁昌区第三中学)解方程: 22310x x --=(用配方法)【答案】14x =,24x =;【分析】先两边同时除以2,再将原方程配方即可得出答案.【详解】解:231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】(2018·全国九年级单元测试)x 2-4x +2=0(配方法);【答案】x 1=2x 2=2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2-4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】(2019·江苏期中)解方程:x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0,∵x 2+6x=2,则x 2+6x+9=2+9,即(x+3)2=11, ∵x+3=±11, ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六:配方法用于比较大小【例题6】(2020·福建省永春第五中学九年级期中)已知7115P m =-,2815Q m m =-,(m 为任意实数),则P 、Q 的大小关系为( ) A .P >Q B .P=QC .P <QD .不能确定【答案】C【分析】由题意表示出,再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解:∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】(2020·四川遂宁市·八年级期中)已知22862M x y x =-+-,29413N x y =++,则M N-5 1.用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.2.用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.3.用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值. 特别说明:“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.的值 ( ) A .为正数 B .为负数C .为非正数D .不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-(x -3)2-(y+2)2-2,从而说明M -N 的值为负数. 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-(9x 2+4y+13) =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[(x 2-6x+9)+(y 2+4y+4)+2]=-(x -3)2-(y+2)2-2, ∵M -N 的值为负数,故选:B .【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方.解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值.【变式6-2】(2019·浙江杭州市·九年级其他模拟)若代数式238M x =+,224N x x =+,则M 与N 的大小关系是( ) A .M N ≥ B .M N ≤C .M N >D .M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+,,∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>, ∵M N >.故选C.【变式6-3】(2021·河北九年级专题练习)已知M=29a ﹣1,N=a 2﹣79a (a 为任意实数),则M 、N 的大小关系为( ) A .M <N B .M=NC .M >ND .不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -,N =279a a -(a 为任意实数),∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,∵N >M ,即M <N ,故选A . 题型七:配方法用于求待定字母的值【例题7】(2018·全国九年级单元测试)已知2a 4b 18-=-,2b 10c 7+=,2c 6a 27-=-.则a b c ++的值是( ) A .5-B .10C .0D .5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后,配方即可得到a 、b 、c 的值,从而得出结论. 【详解】由a 2﹣4b =﹣18,b 2+10c =7,c 2﹣6a =﹣27得:a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0,∵(a ﹣3)2+(b ﹣2)2+(c +5)2=0,∵a =3,b =2,c =﹣5,∵a +b +c =0. 故选C .【点睛】本题考查了配方法的应用,解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值. 变式训练【变式7-1】(2020·江苏南通市·八年级期中)若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0,则式子x ﹣y 的值等于( ) A .﹣1 B .1C .﹣5D .5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方,根据非负数的性质求出x ,y 的值,再代入要求的式子即可得出答案. 【详解】∵x 2+y 2+4x−6y +13=0, ∵x 2+4x +4+y 2−6y +9=0, ∵(x +2)2+(y−3)2=0,∵x =−2,y =3, ∵x−y =−2−3=−5; 故选C .【点睛】此题考查了配方法的应用,用到的知识点是非负数的性质,通过配方求出x ,y 的值是解题的关键. 【变式7-2】(2021·黑龙江大庆市·八年级期末)已知三角形三边长为a 、b 、c ,且满足247a b -=,246b c -=-, 2618c a -=-,则此三角形的形状是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7,b 2﹣4c =﹣6,c 2﹣6a =﹣18,∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18,整理得:a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0,即(a ﹣3)2+(b ﹣2)2+(c ﹣2)2=0,∵a =3,b =2,c =2,∵此三角形为等腰三角形. 故选A .【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=,求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=,222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=,4,4n m ∴==.题型八:配方法用于求最值【例题8】(2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末)阅读下面的解题过程,求21030y y -+的最小值.解:∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+,而()250y -≥,即()25y -最小值是0; ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程,(1)求222020m m ++的最小值; (2)求242x x -+的最大值. 【答案】(1)2019;(2)5.【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形,根据偶次方的非负性解答即可; (2)利用完全平方公式把原式变形,利用非负数的性质解答即可; 【详解】(1)2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥,∵()2120192019m ++≥,∵222020m m ++的最小值为2019;(2)()2242215x x x x -+=--++()215x =--+,∵()210x -≥, ∵()210x --≤, ∵()2155x --+≤, ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】(2019·辽宁大连市·八年级期末)已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5,则m 的值可能为( ) A .1 B .2C .4D .5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方,即可得出答案.【详解】解:22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得: 2.m =± 故选B.【变式8-2】(2020·全国八年级课时练习)不论,a b 为任何实数,2261035a b a b +-++的值都是( ) A .非负数 B .正数 C .负数 D .非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方,进而利用偶次方的性质得出答案. 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>, ∵a 2+b 2−6a +10b +35的值恒为正数.故选:B .【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质,正确配方得出是解题关键. 【变式8-3】(2020·山东威海市·八年级期中)若2245a a x -+-=,则不论取何值,一定有( )A .5x >B .5x <-C .3x ≥-D .3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2(a ﹣1)2﹣3可得:x ≤﹣3.【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2(a ﹣1)2﹣3≤﹣3,∵不论a 取何值,x ≤﹣3. 故选D .【真题1】(2016·湖北荆州市·中考真题)将二次三项式x 2+4x +5化成(x +p)2+q 的形式应为____. 【答案】(x +2)2+1 【详解】试题分析:原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为:()221x ++【真题2】(2010·河北中考真题)已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题,2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】(2010·江苏镇江市·中考真题)已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题,2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】(2020·全国九年级课时练习)解方程:2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时,原方程的解是x =1m <时,原方程无实数解【分析】先移项,再合并同类项可得()215m x -=,根据1m ≠求出251x m =-,再讨论10m -<时,10m ->,分别计算出方程的解.【详解】解:移项得:2223mx x -=+, 化简得:()215m x -=,1m ≠,251x m ∴=-, 当10m -<时,2501x m =<-, ∴原方程无实数解,当10m ->时,2501x m =>-, 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时,原方程的解是x ==当1m <时,原方程无实数解.【点睛】此题考查解一元二次方程,根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】(2020·渠县崇德实验学校七年级期中)“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如:x 2+4x +5=x 2+4x +4+1=(x +2)2+1,∵(x +2)2≥0,∵(x +2)2+1≥1,∵x 2+4x +5≥1.试利用“配方法”解决下列问题:(1)填空:x 2﹣4x +5=(x )2+ ; (2)已知x 2﹣4x +y 2+2y +5=0,求x +y 的值; (3)比较代数式:x 2﹣1与2x ﹣3的大小. 【答案】(1)﹣2,1;(2)1;(3)x 2﹣1>2x ﹣3 【分析】(1)直接配方即可;(2)先配方得到非负数和的形式,再根据非负数的性质得到x 、y 的值,再求x +y 的值; (3)将两式相减,再配方即可作出判断. 【详解】解:(1)x 2﹣4x+5=(x ﹣2)2+1; (2)x 2﹣4x+y 2+2y+5=0, (x ﹣2)2+(y+1)2=0, 则x ﹣2=0,y+1=0, 解得x =2,y =﹣1, 则x+y =2﹣1=1; (3)x 2﹣1﹣(2x ﹣3) =x 2﹣2x+2 =(x ﹣1)2+1, ∵(x ﹣1)2≥0,∵(x﹣1)2+1>0,∵x2﹣1>2x﹣3.【点睛】本题考查了配方法的综合应用,配方的关键步骤是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.【拓展3】(2019·全国九年级单元测试)阅读下面的解答过程,求y2+4y+8的最小值.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4,∵(y+2)2≥0,∵(y+2)2+4≥4,∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程,求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值.【答案】154;7.【分析】(1)多项式配方后,根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最小值;(2)多项式配方后,根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最大值.【详解】解:(1)x2-x+4=(x-12)2+154,∵(x-12)2≥0,∵(x-12)2+154≥154.则x2-x+4的最小值是154;(2)6-2x-x2=-(x+1)2+7,∵-(x+1)2≤0,∵-(x+1)2+7≤7,则6-2x-x2的最大值为7.【点睛】此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.配方法:先加上一次项系数一半的平方,使式中出现完全平方式,再减去一次项系数一半的平方,使整个式子的值不变,这种变形的方法称为“配方法”.。

《一元二次方程》培优竞赛

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《一元二次方程》培优【知识要点】:1、一元二次方程的解法 (1) 法;(2) 法;(3) 法;(4) 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的根的判别式为△= ,当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ;当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ; 当△<0时根据平方根的意义,负数没有平方根,所以一元二次方程ax 2+bx +c = 0没有实数解.3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=,x 2那么:12x x += ,12x x = ,此结论称为”韦达定理”,其成立的前提是0∆≥.3.特别地, 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2+( x 1+x 2 )x +x 1.x 2 = 0.【精选题型】:1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4)方程无实数根.2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值: (1) 2212x x +; (2)1211x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=.(1)求证:无论m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;(2)若这个方程的两个实数根x 1,x 2满足x 2=x 1+2,求m 的值及相应的x 1,x 2.4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0.(1)求证:无论m 取何实数时,原方程总有实数根;(2)若原方程有两个实数根x 1和x 2,当52221=+x x 时求m 的值(3)若原方程有两个实数根,能否存在一个根大于2,另一个根小于2 ?若存在,请求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【拓展练习】:1.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根,则1211x x +的值为( )A .2 B .2-C .12 D .922.若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根,则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A .M ∆=B .M ∆>C .M ∆<D .大小关系不能确定3.若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( )A . m <14 B 。

一元二次方程(含答案)

一元二次方程(含答案)

第二十二章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1.掌握一元二次方程的有关概念,并应用概念解决相关问题. 2.掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法.课堂学习检测一、填空题1.只含有______个未知数,并且未知数的______次数是2的方程,叫做一元二次方程,它的一般形式为________________________.2.把2x 2-1=6x 化成一般形式为____________,二次项系数为______,一次项系数为____ ____,常数项为______.3.若(k +4)x 2-3x -2=0是关于x 的一元二次方程,则k 的取值范围是______.4.把(x +3)(2x +5)-x (3x -1)=15化成一般形式为____________,a =______,b =______,c =______. 5.若(m -2)22-mx +x -3=0是关于x 的一元二次方程,则m 的值是______.6.方程y 2-12=0的根是______. 二、选择题7.下列方程中一元二次方程的个数为( ).①2x 2-3=0; ②x 2+y 2=5; ③542=-x ; ④.2122=+x x (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.ax 2+bx +c =0是关于x 的一元二次方程的条件是( ). (A)a 、b 、c 为任意实数 (B)a 、b 不同时为零 (C)a 不为零 (D)b 、c 不同时为零 9.x 2-16=0的根是( ). (A)只有4 (B)只有-4 (C)±4 (D)±8 10.3x 2+27=0的根是( ).(A)x 1=3,x 2=-3 (B)x =3 (C)无实数根 (D)以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11.2y 2=8. 12.(x +3)2=2. 13..25)1(412=+x14.3(2x -1)2-12=0.综合、运用、诊断一、填空题 15.把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是________________________,一次项系数是______. 16.把关于x 的一元二次方程(2-n )x 2-n (3-x )+1=0化为一般形式为__________________,二次项系数为____________,一次项系数为______,常数项为______.17.关于x 的方程(m 2-9)x 2+(m +3)x +5m -1=0,当m =______时,方程为一元二次方程;当m ______时,方程为一元一次方程. 二、选择题18.若x =-2是方程x 2-2ax +8=0的一个根.则a 的值为( ).(A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3 19.若x =b 是方程x 2+ax +b =0的一个根,b ≠0,则a +b 的值是( ).(A)-1 (B)1 (C)-3 (D)3 20.若4)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ).(A)m ≠1 (B)m >1(C)m ≥0且m ≠1(D)任何实数三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 21.(3x -2)(3x +2)=8. 22.(5-2x )2=9(x +3)2.23..063)4(22=--x24.(x -m )2=n .(n 为正数)拓展、探究、思考一、填空题25.如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个根1和-1,那么a +b +c =______,a -b +c =______. 二、选择题26.如果(m -2)x |m|+mx -1=0是关于x 的一元二次方程,那么m 的值为( ).(A)2或-2 (B)2 (C)-2 (D)以上都不正确 三、解答题27.已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+2x +m 2-1=0有一个根是0,求m 的值.28.已知m 是方程x 2-x -1=0的一个根,求代数式5m 2-5m +2004的值.测试2 配方法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念,会用配方法解一元二次方程.课堂学习检测一、填上适当的数使下面各等式成立1.x 2-8x +______=(x -______)2. 2.x 2+3x +______=(x +______)2.3.x x 232-+______=(x -______)2. 4.x x 322++______=(x +______)2. 5.x 2-px +______=(x -______)2. 6.x ab x -2+______=(x -______)2.二、选择题7.用配方法解方程01322=--x x ,应该先把方程变形为( ). (A)98)31(2=-x(B)98)31(2-=-x(C)910)31(2=-x(D)0)32(2=-x8.用配方法解一元二次方程x 2-4x =5的过程中,配方正确的是( ). (A)(x +2)2=1 (B)(x -2)2=1 (C)(x +2)2=9 (D)(x -2)2=9 9.x x 212-配成完全平方式需加上( ). (A)1 (B)41(C)161 (D)81 10.若x 2+px +16是一个完全平方式,则p 的值为( ).(A)±2 (B)±4 (C)±8 (D)±16 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11.x 2-2x -1=0. 12.y 2-6y +6=0.综合、运用、诊断一、选择题13.用配方法解方程3x 2-6x +1=0,则方程可变形为( )(A)31)3(2=-x (B)31)1(32=-x (C)(3x -1)2=1 (D)32)1(2=-x 14.若关于x 的二次三项式x 2-ax +2a -3是一个完全平方式,则a 的值为( ).(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)2或6 15.将4x 2+49y 2配成完全平方式应加上( ).(A)14xy (B)-14xy (C)±28xy (D)0 16.用配方法解方程x 2+px +q =0,其配方正确的是( ).(A).44)2(22qp p x -=+ (B).44)2(22qp p x -=- (C).44)2(22p q p x -=+ (D).44)2(22p q p x -=- 二、解答题(用配方法解一元二次方程)17.3x 2-4x =2.18..231322=+x x拓展、探究、思考19.用配方法说明:无论x 取何值,代数式x 2-4x +5的值总大于0,再求出当x 取何值时,代数式x 2-4x +5的值最小?最小值是多少?测试3 公式法解一元二次方程学习要求熟练掌握用公式法解一元二次方程.课堂学习检测一、填空题1.关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是______.2.一元二次方程(2x +1)2-(x -3)(2x -1)=3x 中的二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是______. 二、选择题3.方程x 2-2x -2=0的两个根为( ). (A)x 1=1,x 2=-2 (B)x 1=-1,x 2=2 (C)31,3121-=+=x x (D)13,1321+=-=x x4.用公式法解一元二次方程x x 2412=-,它的根正确的应是( ). (A)2522,1±-=x(B)2522.1±=x (C)2512,1±=x (D)2312,1+=x 5.方程mx 2-4x +1=0(m ≠0)的根是( ). (A)4121==x x(B)mmx -±=422,1 (C)m m x -±=4222,1 (D)mmm x -±=422,1 6.若代数式x 2-6x +5的值等于12,则x 的值应为( ). (A)1或5 (B)7或-1 (C)-1或-5 (D)-7或1 三、解答题(用公式法解一元二次方程) 7.x 2+4x -3=0. 8.3x 2-8x +2=0.综合、运用、诊断一、填空题9.若关于x 的方程x 2+mx -6=0的一个根是2,则m =______,另一根是______. 二、选择题10.关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两个根应为( ).(A)222,1ax ±-=(B)a x 21=,a x 222=(C)4222,1ax ±=(D)a x 22,1±=三、解答题(用公式法解下列一元二次方程)11.2x -1=-2x 2.12.(x +1)(x -1)=x 22拓展、探究、思考一、解答题(用公式法解关于x 的方程) 13.x 2+mx +2=mx 2+3x (m ≠1). 14.x 2-4ax +3a 2+2a -1=0.测试4 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念,能灵活应用有关概念解决实际问题.课堂学习检测一、填空题1.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2-4ac , 当b 2-4ac ______0时,方程有两个不相等的实数根; 当b 2-4ac ______0时,方程有两个相等的实数根; 当b 2-4ac ______0时,方程没有实数根.2.若关于x 的方程x 2-2x -m =0有两个不相等的实数根,则m ______. 3.若关于x 的方程x 2-2x -k +1=0有两个实数根,则k ______.4.若方程2x 2-(2m +1)x +m =0根的判别式的值是9,则m =______. 二、选择题5.方程x 2-3x =4根的判别式的值是( ). (A)-7 (B)25 (C)±5 (D)56.若一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个实数根,则根的判别式的值应是( ). (A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)零 7.下列方程中有两个相等实数根的是( ). (A)7x 2-x -1=0 (B)9x 2=4(3x -1) (C)x 2+7x +15=0(D)02322=--x x8.方程03322=++x x ( ).(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的有理根 (C)没有实数根 (D)有两个相等的无理根 三、解答题9.k 为何值时,一元二次方程kx 2-6x +9=0①有两个不相等的实数根;②有两个相等的实数根;③没有实数根.10.关于x 的一元二次方程-x 2+(2k +1)x +2-k 2=0有实数根,求k 的取值范围.11.求证:不论m 取任何实数,方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实数根.综合、运用、诊断一、选择题12.方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式是( ).(A)242ac b b -±-(B)ac b 42-(C)b 2-4ac (D)a 、b 、c13.若关于x 的方程(x +1)2=1-k 没有实数根,则k 的取值范围是( ).(A)k <1 (B)k <-1 (C)k ≥1 (D)k >114.若关于x 的方程3kx 2+12x +k +1=0有两个相等的实数根,则k 的值为( ).(A)-4 (B)3(C)-4或3(D)21或32- 15.若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+2mx +m +3=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ).(A)23<m (B)23<m 且m ≠1 (C)23≤m 且m ≠1(D)23>m16.如果关于x 的二次方程a (1+x 2)+2bx =c (1-x 2)有两个相等的实数根,那么以正数a 、b 、c 为边长的三角形是( ). (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)任意三角形 二、解答题17.已知方程mx 2+mx +5=m 有两个相等的实数根,求方程的解.18.求证:不论k 取何实数,方程(k 2+1)x 2-2kx +(k 2+4)=0都没有实根.拓展、探究、思考19.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边,其中a =1,c =4,且关于x 的方程x 2-4x +b =0有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状.20.已知关于x 的一元二次方程x 2+2(k -1)x +k 2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围:(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.测试5 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法.课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根 1.x (x -3)=0 ______. 2.(2x -7)(x +2)=0______. 3.3x 2=2x ______. 4.x 2+6x +9=0 ______.5.03222=-x x______.6.x x )21()21(2-=+ ______.7.(x -1)2-2(x -1)=0 ______. 8.(x -1)2-2(x -1)=-1 ______. 二、选择题9.方程(x -a )(x -b )=0的两个根是( ). (A)x 1=a ,x 2=b (B)x 1=a ,x 2=-b (C)x 1=-a ,x 2=b (D)x 1=-a ,x 2=-b 10.下列解方程的过程,正确的是( ).(A)x 2=x ,两边同除以x ,得x =1(B)x 2+4=0,直接开平方法可得,x =±2(C)(x -2)(x +1)=3³2 ∵x -2=3,x +1=2, ∴x 1=5,x 2=1(D)(2-3x )+(3x -2)2=0整理得 3(3x -2)(x -1)=0 ∴x 1=32,x 2=1 三、用因式分解法解下列方程(*题用十字相乘法因式分解解方程) 11.3x (x -2)=2(x -2). 12.x 2-4x +4=(2-3x )2.*13.x 2-3x -28=0. *14.x 2-6x +8=0.*15.(2x -1)2-2(2x -1)=3. *16.x (x -3)=3x -9.综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根17..06222=-x x ______________________________. 18.(x +1)(x -1)=2._______________________________. 19.(x -2)2=(2x +5)2.______________________________. 二、选择题20.方程x (x -2)=2(2-x )的根为( ).(A)x =-2 (B)x =2 (C)x 1=2,x 2=-2 (D)x 1=x 2=2 21.方程(x -1)2=1-x 的根为( ).(A)0 (B)-1和0 (C)1(D)1和0 22.若实数x 、y 满足(x -y )(x -y +3)=0,则x -y 的值是( ).(A)-1或-2 (B)-1或2 (C)0或3 (D)0或-3三、用因式分解法解下列关于x 的方程 23.x 2+2mx +m 2-n 2=0. 24..04222=-+-b a ax x25.x 2-bx -2b 2=0.拓展、探究、思考一、解答题26.已知x 2-5x =14,求(x -1)(2x -1)-(x +1)2+1的值.27.解关于x 的方程:x 2-2x +1-k (x 2-1)=0.测试6 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程,培养分析问题和解决问题的能力.课堂学习检测一、写出下列一元二次方程的根1.3(x -1)2-1=0._____________________________. 2.(2x +1)2-2(2x +1)=3._______________________. 3.3x 2-5x +2=0._____________________________. 4.x 2-4x -6=0.______________________________. 二、选择题5.方程x 2-4x +4=0的根是( ). (A)x =2 (B)x 1=x 2=2 (C)x =4 (D)x 1=x 2=4 6.5.27.0512=+x 的根是( ). (A)x =3(B)x =±3(C)x =±9(D)3±=x7.072=-x x 的根是( ). (A)77=x(B)x 1=0,x 2=77(C)x 1=0,x 2=7(D)x =78.(x -1)2=x -1的根是( ). (A)x =2 (B)x =0或x =1 (C)x =1 (D)x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程 9.6x 2-x -2=0. 10.(x +3)(x -3)=3.四、解关于x 的方程11.x 2-2mx +m 2-n 2=0. 12.2a 2x 2-5ax +2=0(a ≠0).综合、运用、诊断一、填空题13.若分式1872+--x x x 的值是0,则x =______.14.x 2+2ax +a 2-b 2=0的根是____________. 二、选择题15.关于方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根,下列结论正确的是( ).(A)它们的根都是x =0 (B)它们有一个相同根x =0(C)它们的根都不相同 (D)以上结论都不正确 16.关于x 的方程abx 2-(a 2+b 2)x +ab =0(ab ≠0)的根是( ).(A)x 1=a b 2,x 2=ba 2 (B)x 1=a b ,x 2=ba(C)x 1=abb a 22+,x 2=0(D)以上都不正确三、解下列方程17..02322=+-x x 18.(y -5)(y +3)+(y -2)(y +4)=26.19.x 2+5x +k 2=2kx +5k -6. 20..066)3322(2=++-x x四、解答题21.已知:x 2+3xy -4y 2=0(y ≠0),求yx yx +-的值.22.求证:关于x 的方程(a -b )x 2+(b -c )x +c -a =0(a ≠b )有一个根为1.拓展、探究、思考一、填空题23.若方程3x 2+bx +c =0的解为x 1=1,x 2=-3,则整式3x 2+bx +c 可分解因式为______________.24.在实数范围内把x 2-2x -1分解因式为__________.测试7 实际问题与一元二次方程学习要求会应用一元二次方程处理常见的各类实际问题.课堂学习检测一、填空题1.实际问题中常见的基本等量关系:(1)工作效率=__________________;(2)距离=__________________.2.某工厂2006年的年产量为a (a >0),如果每年递增10%,那么2007年的年产量是______,2008年的年产量是______,这三年的总产量是____________.3.某商品连续两次降价10%后的价格为a 元,该商品的原价为____________.4.两个连续奇数中,设较大一个为x,那么另一个为( ).(A)x+1 (B)x+2 (C)2x+1 (D)x-25.某厂一月份生产产品a件,如果二月份比一月份增加2倍,三月份的产量是二月份的2倍,那么三个月的产品总件数是( ).(A)5a(B)7a(C)9a(D)10a三、解答题6.三个连续奇数的平方和为251,求这三个数.2 ,斜边上的中线长为1,求这个直角三角形的三边长.7.直角三角形的周长为68.某工厂1月份产值是5万元,3月份的产值是11.25万元,求2、3月份的月平均增长率.综合、运用、诊断一、填空题9.某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2007年投入3000万元,预计2009年投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x,则列出的方程为______.10.一种药品经过两次降价,药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元,则平均降价的百分率是______.11.在一幅长50cm,宽30cm的风景画的四周镶一圈金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是1800cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程为____________.二、选择题12.某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计2009年比2008年增长7%,则这两年GDP年平均增长率x%满足的关系是( ).A.12%+7%=x%B.(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)C.12%+7%=2x%D.(1+12%)(1+7%)=(1+x%)213.上海市某电脑公司2007年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2009年经营总收入要达到2160万元,且计划从2007年到2009年,每年经营总收入的年增长率相同.问2008年经营总收入为多少万元?14.某商场销售一批衬衫,现在平均每天可售出20件,每件盈利40元.为扩大销售量,增加盈利,减少库存,商场决定采用适当降价的措施.经调查发现,如果每件衬衫的售价每降低1元,那么商场平均每天可多售出2件,商场若要平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?15.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子,镜子的长与宽的比是2∶1。

一元二次方程复习

一元二次方程复习

【主题训练1】(2014·怀化模拟)若(a-3) 的一元二次方程,则a的值为( )
+4xxa 2-+75=0是关于x
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
第三页,共28页。
【主题升华】 一元二次方程的有关定义及根
第十七页,共28页。
1.(2013·珠海中考)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,
②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解
B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解
第十八页,共28页。
【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
第十九页,共28页。
2.(2013·黄冈中考)已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则
另一根为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把
c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
第二十页,共28页。
3.(2013·武汉中考)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则
得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%. 答案:10%
第二十七页,共28页。
谢谢大家
第二十八页,共28页。

第2章 一元二次方程 单元同步拓展训练 2021—2022学年北师大版数学九年级上册(无答案)

第2章 一元二次方程 单元同步拓展训练  2021—2022学年北师大版数学九年级上册(无答案)

第2章一元二次方程单元同步拓展训练一.选择题1.下列方程中,是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.x2+y+3=0C.(x﹣1)(x+1)=1 D.(x+2)(x﹣1)=x22.将一元二次方程4x2+81=5x化为一般形式后,常数项为81,二次项系数和一次项系数分别为()A.4,5 B.4,﹣5 C.4,81 D.4x2,﹣5x3.若x2+mx+19=(x﹣5)2﹣n,则m+n的值是()A.﹣16 B.16 C.﹣4 D.44.若x=3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3=0的一个解,则m的值是()A.2 B.1 C.0 D.﹣25.若一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根为m,n,则一次函数y=(m+n)x+mn的图象是()A.B.C.D.6.关于x的一元二次方程ax2+5x+3=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.a<且a≠0 B.a>C.a≤且a≠0 D.a≥7.某机械厂一月份生产零件50万个,第一季度生产零件200万个.设该厂二、三月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()A.50(1+x)2=200B.50+50(1+x)2=200C.50+50(1+x)+50(1+x)2=200D.50+50(1+x)+50(1+2x)=2008.已知(a2+b2+2)(a2+b2)=8,那么a2+b2的值是()A.2 B.﹣4 C.2或﹣4 D.不确定9.准备在一块长为30m,宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路,如图所示,四条小路的中间部分恰好是一个正方形,且边长是小路宽度的4倍,若四条小路所占面积为80m2,则小路的宽度为()A.1m B.m C.2m D.m10.定义[x]为不大于实数x的最大整数,如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函数y=[x](﹣2≤x<2)的图象如图所示,则方程[x]=x2+x的解为()A.0或﹣2 B.0 C.﹣1±D.0或﹣1二.填空题11.把方程(2x+3)(x﹣6)=﹣10化为一元二次方程的一般形式,其结果是.12.若关于x的方程(m﹣2)x2+mx﹣3=0是一元二次方程,则m满足的条件是.13.关于x的一元二次方程(2m﹣4)x2+3mx+m2﹣4=0有一根为0,则m=.14.在等腰三角形ABC中,BC=6,AB,AC的长是关于的方程x2﹣10x+m=0的两根,则m 的值是.15.根据疫情需要,某防疫物资制造厂原来每件产品的成本是100元,为提高的生产效率改进了生产技术,连续两次降低成本,两次降低后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是 .16.《代数学》中记载,形如x 2+10x =39的方程,求正数解的几何方法是:“如图1,先构造一个面积为x 2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x 的矩形,得到大正方形的面积为39+25=64,则该方程的正数解为8﹣5=3.”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+12x +m =0,构造图2,已知阴影部分的面积为60,则该方程的正数解为 .三.解答题 17.解方程:(1)x 2+10x +9=0; (2)x 2﹣x =.18.已知关于x 的方程kx 2﹣(3k ﹣1)x +2(k ﹣1)=0. (1)求证:无论k 为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个根x 1,x 2,且x 12+x 22=8,求k 的值.19.小明同学解一元二次方程x 2﹣2x ﹣2=0的过程如下: 解:x 2﹣2x =2,第一步;x 2﹣2x +1=2,第二步;(x ﹣1)2=2,第三步;x ﹣1=±,第四步;x 1=1+,x 2=1﹣,第五步.(1)小明解方程的方法是 ,他的求解过程从第 步开始出现错误; (2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程.20.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围; (2)设x 1,x 2是方程的两根且,求m 的值.21.近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.(1)从去年年底至今年3月20日,猪肉价格不断走高,3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱,那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元?(2)3月20日,猪肉价格为每千克60元,3月21日,某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a %出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下,该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a %,且储备猪肉的销量占总销量的,两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了a %,求a 的值.22.如图,四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a ,b ,c 是全等的Rt △ABC 和Rt △BED 的边长,易知AE =c ,这时我们把关于x 的形如ax 2+cx +b =0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)求证:关于x 的“勾系一元二次方程”ax 2+cx +b =0必有实数根;(2)若x =﹣1是“勾系一元二次方程”ax 2+cx +b =0的一个根,且四边形ACDE 的周长是12,求△ABC 的面积.23.阅读理解,并回答问题:若x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个实数根,则有ax 2+bx +c =a (x ﹣x 1)(x ﹣x 2).即ax 2+bx +c =ax 2﹣a (x 1+x 2)x +ax 1x 2,于是b =﹣a (x 1+x 2),c =ax 1x 2.由此可得一元二次方程的根与系数关系:x 1+x 2=﹣,x 1x 2=.这就是我们众所周知的韦达定理. (1)已知m ,n 是方程x 2﹣x ﹣100=0的两个实数根,不解方程求m 2+n 2的值; (2)若x 1,x 2,x 3,是关于x 的方程x (x ﹣2)2=t 的三个实数根,且x 1<x 2<x 3; ①x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1的值;②求x 3﹣x 1的最大值.。

浙教版初中数学《实际问题与一元二次方程》同步拓展(含答案)

浙教版初中数学《实际问题与一元二次方程》同步拓展(含答案)

21.3实际问题与一元二次方程基础闯关全练拓展训练1.(2017江苏无锡滨湖期中)商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出,平均每天能售出8台.为了促销,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元,同时又要使消费者得到更多实惠,每台冰箱应降价()A.100元B.200元C.300元D.400元2.如图是一张月历表,在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个位置相邻的数(如2,3,9,10).如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128,则这4个数中最小的数是.3.(2016山西一模)如图,某工厂的师傅要在一个面积为15 m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m,则裁剪后剩下的阴影部分的面积为.能力提升全练拓展训练1.我们都知道从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线.现有一个多边形所有对角线的总条数为90,则这个多边形的边的条数是()A.14B.15C.16D.172.(2017陕西宝鸡渭滨期中)如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,其中一点到终点,另一点也随之停止.过了秒钟后,△PBQ的面积等于8 cm2.3.(2016江苏徐州撷秀中学月考)如图,每个正方形由边长为1的正方形组成,正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示,在边长为n(n≥1)的正方形中,设黑色小正方形的个数为P1,白色小正方形的个数为P2,当偶数n=时,P2=5P1.三年模拟全练拓展训练1.(2017四川自贡期中,8,★★☆)如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的,则竖彩条的宽度为彩条,横竖彩条的宽度比为2∶1,如果要使彩条所占面积是图案面积的1975()A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm2.(2016黑龙江齐齐哈尔一模,17,★★☆)某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则多卖出100个.已知进价为每个20元,当鼠标垫售价为元/个时,这星期利润为9 600元.3.(2016江苏淮安相城期末,16,★★☆)如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱,且此长方体运输箱底面的长比宽多2米(如图).现已知购买这种铁皮每平方米需20元,算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了元.五年中考全练拓展训练1.(2017甘肃兰州中考,10,★★☆)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为()A.(80-x)(70-x)=3 000B.80×70-4x2=3 000C.(80-2x)(70-2x)=3 000D.80×70-4x2-(70+80)x=3 0002.(2016台湾中考,15,★★☆)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和.若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为何?()A.12B.35C.2-√3D.4-2√33.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.核心素养全练拓展训练1.如图,在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分),余下的部分为草坪,要使草坪的面积为510平方米,则道路的宽为()A.1米B.2米C.3米D.4米2.(2016安徽安庆桐城期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向C点匀速运动,其速度为2 m/s,s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半.()A.1.5B.9C.1.5或9D.1021.3实际问题与一元二次方程基础闯关全练拓展训练×4) 1.答案B设每台冰箱应降价x元,每台冰箱的利润是(2 400-2 000-x)元,每天卖(8+x50×4)=4 800,整理得x2-300x+20 000=0,解得x1=200,x2=100.台,列方程得(2 400-2 000-x)(8+x50因为要使消费者得到更多实惠,所以x=200.故选B.2.答案8解析设这4个数中最小的数是x,则最大的数为x+8,根据题意可得x(x+8)=128,整理得x2+8x-128=0,(x-8)·(x+16)=0,解得x1=8,x2=-16(舍去),则这4个数中最小的数是8.3.答案 2 m2解析设大正方形的边长为x m,则小正方形的边长为(x-1)m,根据题意得x(2x-1)=15,解得x1=3,x2=-5(不合题意,舍去),∴小正方形的边长为x-1=3-1=2(m),裁剪后剩下的阴影部分的面积2为15-22-32=2(m 2),即裁剪后剩下的阴影部分的面积为2 m 2.能力提升全练 拓展训练1.答案 B 由题意可得12n (n -3)=90,解得n 1=-12(不合题意,舍去),n 2=15.故选B. 2.答案 2或103解析 设经过x 秒,△PBQ 的面积等于8 cm 2,当0<x ≤3秒时,Q 点在BC 上运动,P 在AB 上运动,PB =6-x ,BQ =2x ,所以S △PBQ =12PB ·BQ =12×(6-x )×2x =8,解得x =2或4.又x ≤3,故x =2;当3<x <6秒时,Q 点在CD 上运动,P 在AB 上运动,S △PBQ =12(6-x )×6=8,解得x =103. 3.答案 12解析 观察图形可知:当n 为奇数时,黑色小正方形的个数分别为1,5,9,13,…,2n -1;当n 为偶数时,黑色小正方形的个数分别为4,8,12,16,…,2n .由上可知n 为偶数时,P 1=2n ,白色与黑色的总数为n 2,∴P 2=n 2-2n .根据题意假设存在P 2=5P 1,则n 2-2n =5×2n ,n 2-12n =0,解得n 1=12,n 2=0(不合题意,舍去).故存在偶数n =12,使得P 2=5P 1.三年模拟全练 拓展训练1.答案 A 设竖彩条的宽度为x cm ,则横彩条的宽度为2x cm ,则(30-2x )(20-4x )=30×20×(1-1975), 整理得x 2-20x +19=0,解得x 1=1,x 2=19(不合题意,舍去). 故竖彩条的宽度为1 cm .故选A. 2.答案 32或28解析 涨价时,设涨价x 元,根据题意得:涨价时,有9 600=(30-20+x )(1 000-100x ),整理得x 2=4,解得x 1=2,x 2=-2(不合题意,舍去),故售价为32元;降价时,设降价y 元,有9 600=(30-20-y )·(1 000+100y ),整理得y 2=4,解得y 1=2,y 2=-2(不合题意,舍去),故售价为28元.综上,当鼠标垫售价为32元/个或28元/个时,这星期利润为9 600元. 3.答案 700解析 设箱子的底面的宽为x 米,则长为(x +2)米,由题意,得x (x +2)×1=15,解得x 1=-5(舍去),x 2=3. ∴x +2=5.箱子的底面长为5米,宽为3米. 由长方体表面展开图知,矩形铁皮的面积为(5+2)×(3+2)=35(平方米), ∴购回这张矩形铁皮要花35×20=700(元).五年中考全练 拓展训练1.答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x )cm ,宽为(70-2x )cm 的矩形,由题意可得方程(80-2x )(70-2x )=3 000.2.答案 D 设丁的一股长为a ,且a <2,∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积,∴2a +2a =12×22+12×a 2,∴4a =2+12a 2,∴a 2-8a +4=0,∴a =8±√(-8)2-4×1×42=8±4√32=4±2√3,∵4+2√3>2,不合题意,4-2√3<2,合题意,∴a =4-2√3.故选D.3.解析 设垂直于墙的一边长为x m ,则其邻边长为(58-2x )m ,得x (58-2x )=200. 解得x 1=25,x 2=4.∴其邻边长为8 m 或50 m .答:矩形长为25 m ,宽为8 m 或矩形长为50 m ,宽为4 m .核心素养全练 拓展训练1.答案 C 设道路的宽为x 米,根据题意得20x +33x -x 2=20×33-510,整理得x 2-53x +150=0, 解得x =50(舍去)或x =3,所以道路宽为3米.故选C.2.答案 A 设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半, 此时PC =AC -AP =(12-2t )m ,CQ =BC -BQ =(9-2t )m ,∴△PCQ 的面积为12×PC ·CQ =12(12-2t )(9-2t )=(6-t )(9-2t )m 2,∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半,又△ABC 面积为12×AC ·BC =12×12×9=54(m 2),∴(6-t )·(9-2t )=12×54,解得t 1=1.5,t 2=9(不合题意,舍去),即1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半.故选A.。

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案

苏科版九年级数学上册《1.1 一元二次方程》练习题-附答案基础巩固提优1.下列关于 x 的方程中,一定是一元二次方程的是( ).A.ax²+bx+c=0B.x²+1=(x+1)(x−2)C.3x²+1=0D.2x2−2x2.为增强学生体质,丰富学生的课外生活,为同学们搭建一个互相交流的平台,学校要组织一次篮球联赛,赛制为单循环(参赛的每两队间比赛一场),根据场地和时间等条件,学校计划安排15场比赛.设学校应邀请x 个队参赛,根据题意列方程为( ).A. x(x+1)=15B. x(x--1)=15C.12x(x+1)=15D.12x(x−1)=153.若关于 x 的一元二次方程2x²+(k+8)x−(2k—3)=0的各项系数之和为5,则k 的值为 .4. 已知方程ax²+bx−6=0与方程ax²+2bx−15=0有一个公共解是3,求a、b的值.5.如果关于x 的方程 (m −3)x |m−1|−x +3=0是一元二次方程,求m 的值.6.已知关于x 的方程( (m +1)x m 2+1+(m −3)x −1=0.(1)当m 取何值时,此方程是一元二次方程?(2)当m 取何值时,此方程是一元一次方程?思维拓展提优7.已知 2+√3是关于 x 的一元二次方程 x²−4x+m=0的一个实数根,则实数m 的值是( ).A. 0B. 1C. —3D. —18.已知 x²−3x −4=0,则代数式 xx 2−x−4的值是( ).A. 3B. 2 C 13 D 12实验班提优训练9.若实数x 满足x2−2√2x−1=0,则x2+1x2= .10.若9a-3b+c=0且a≠0,则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一个根是 .11.已知关于x 的方程(k−1)x²+(k+2)x−3=0.(1)当k 为何值时,此方程为一元一次方程?并求出此方程的解.(2)若此方程为一元二次方程,求k 的取值范围.12.先化简,再求值:a−2a2−1÷(a−1−2a−1a+1),其中a是方程x²−x−1=0的根.13.已知关于x 的一元二次方程(x—1)(x-2)=m+1(m 为常数).(1)若它的一个实数根是关于x 的方程-3(x-m)+6=0的根,求m的值;(2)若它的一个实数根是关于x的方程2(x一n)-4=0的根,求证::m--n≥-1.14.如图,某小区规划在一个长为 40 m、宽为26m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都为144 m²,求甬路的宽度.(根据题意列出方程即可)延伸探究提优15.教材或资料中会出现这样的题目:把方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.(1)下列式子中,哪几个是方程12x2−x=2所化的一元二次方程的一般形式? (答案只写序号)circle112x2−x−2=0;circle2−12x2+x+2=0;circle3x2−2x=4;circle4−x2+2x+4=0;circle5√3x2−2√3x−4√3=0.(2)方程12x2−x=2化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?16.请阅读下列材料:问题:已知方程x²+x−1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y,则y=2x,即x=y2.把x=y2代入已知方程,得(y2)2+y2−1=0,化简,得y²+2y−4=0,故所求方程为y²+2y−4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):(1)已知方程x²+3x−2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;(2)已知关于 x 的一元二次方程ax²−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.中考提分新题17.已知m为方程x²+3x−2022=0的根,那么m³+2m²−2025m+2022的值为( ).A. —2022B. 0C. 2 022D. 404418.若关于 x 的一元二次方程mx²+nx−1=0(m≠0)的一个根是x=1,则m+n的值是 .参考答案1. C [解析]A.当a=0时,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B.该方程化简后为−x−3=0,是一元一次方程,故本选项不符合题意;C.3x²+1=0是一元二次方程,故本是分式,不是方程,故本选项不符合题意.故选 C.选项符合题意;D.2x2−2x2. D [解析]利用安排比赛的场次数=邀请参赛的队伍数×(邀请参赛的队伍数−1)÷2,即可x(x 得出关于x的一元二次方程.由题意,得每队比赛的场次数为x−1,则总场次数为12−1)=15.故选 D.3.8 [解析]方程二次项系数、一次项系数和常数项分别为2、k+8、−(2k−3),根据二次项系数、一次项系数及常数项的和为5,得2+k+8−(2k−3)=5,解得k=8.4. ∵方程ax²+bx−6=0与ax²+2bx−15=0有一个公共解是3,∴ax²+2bx−15=ax²+bx−6.∴bx−9=0,∴3b−9=0,解得b=3.将x=3代入ax²+bx−6=0,得a×3²+3×3−6=0,解得a=−13,即a的值是−13,b的值是3.5. 由题意,得||m−1|=2且m−3≠0,解得m=−1.6.(1)当m²+1=2且m+1≠0,即m=1时,此方程是一元二次方程.(2)当m²+1=1且m+1+m−3≠0,或m+1=0且m−3≠0时,即m=0或−1时,此方程是一元一次方程.7. B [解析]根据题意,得(2+√3)2−4×(2+√3)+m=0,解得m=1.故选 B.8. D [解析]将x²−3x−4=0两边同时加上2x,得x²−x−4=2x,所以xx2−x−4=x2x=12.故选 D.9.10 [解析]·“x2−2√2x−1=0∴x−2√2−1x =0,⋯x−1x=2√2.C.(x−1x )2=8,即x2−2+1x2=8.∘x2+1x2=10.10.x=−311.(1)当k=1时,此方程为一元一次方程.此时3. x-3-0,解得x=1.(2)若此方程为一元二次方程,则A≠112. 原式=(a−3)(a+1)(a−1)+(4+1)(a−1)−(2a−1)a+1⋯=α−2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−2)=1a(a−1)=1a2−a∵a是方程x²−x−1=0的根a²−a−1=0a²−a=1,原式=11=113.(1)解关于x的方程-−3(x−m)+6=0得r=m+2,把.x=m+2代入方程(x−1)(x−2)=m+1得(m+2−1)(m+2−2)=m+1整理得m²=1,解得m=1或m=−1(2)解关于x的方程:2(x−n)−4=0得x=n+2,把x=n+2代入方程(x—1)(x—2)=m+1得(n+2-1)(n+2-2)=m+1整理得m=n²+n−1,所以m−n=n⁹−1.因为n²≥0,所以m-n的最小值为-114.设甬路的宽度为 xm,根据题意,得(40-2x)(26-x)=144×6化简,得2x²−92x+176=0即x²−46x+88=0.15.(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为--2a,常数项为-4a.因此二次项系数:一次项系数:常数项=1:(-2):(-4).16.(1)设所求方程的根为y,则y=-x,即x=-y,把x=-y代入方程.x²+3x−2=0,得y²−3y−2=0,即所求方程为y²−3y−2=0.(2)设所求方程的根为y,则y=1x ,即x=1y.把x=1y 代入方程ax²−bx+c=0,得α•1y2−b⋅1y+c=0,整理,得cy²−by+a=0,即所求方程为cy²−by+a=0.17. B [解析]∵m为方程.x²+3x−2022=0的根∴m²+3m−2022=0,∴m²+3m=2022,∴原式=m³+3m²−m²−3m−2022m+2022=m(m²+3m)−(m²+3m)−2022m+2022=2022m−2022−2022m+2022=0.故选 B.18.1 [解析]把.x=1代入方程mx²+nx−1=0得m+n−1=0,解得m+n=1.。

实际问题与一元二次方程拓展训练

实际问题与一元二次方程拓展训练

实际问题与一元二次方程拓展训练1.某木器厂今年一月份生产课桌500张,因管理不善,2月份的产量减少了10%,从3月份起加强了管理,产量逐月上升,4月份的产量达到了648张,求工厂3月份和4月份的平均增长率. 工厂3月份和4月份的平均增长率为20%.2. 小明将勤工俭学挣得的100元钱,按一年定期存入“少儿银行”,到期后取出50元用来购买学习用品,剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入,若存款的年利率保持不变,这样到期后可得本金和利息共66元,求这种存款的年利率。

这种存款的年利率为10%。

3.某农户种植花生,原来种植的花生的亩产量为200kg,出油率为50%(即每100kg花生可加工成花生油50kg),现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132kg,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的一半,求:新品种花生亩产量的增长率.新品种花生亩产量的增长率是20%.4. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求:(1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?每件衬衫降价15元时,平均每天获利最多.5. 制造一种产品,原来每件的成本是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使第二个月的销售利润达到原来的水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?该产品的成本价平均每月应降低10%.6. 巴中日报讯:今年我市粮油再获丰收,全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x, 则可列方程为()B7. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂四、五月份的月平均增长率为________. 10%8. 如图,在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边.地毯中央的矩形图案长6米、宽3米,整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.9. 如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长。

一元二次方程试卷(含答案)

一元二次方程试卷(含答案)

拓展训练 2020年 人教版 九年级 上册 数学 21.1一元二次方程1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是( )A.x -y=7B.x ²-2x=3C.(x+2)²+3²=x ²D.2.(2018贵州黔西南州兴义期末)已知(m -2)- 3nx+2=0是关于x 的一元二次方程,则( )A.m ≠0,n=2B.m ≠2.n=2C.m ≠0,n=3D.m ≠2,n ≠03.(2018安徽淮南月考)一元二次方程2x ²+4x -1=0的一次项系数与常数项之和为______.4.(2018河北石家庄长安月考)把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)2x 2= 1-3x;(2) 5x (x -2)=4x ²-3x .5.下列哪些数是一元二次方程x ²-4x=-3的根?-3,-2,-1,0,1,2,3,4.6.(2018浙江杭州萧山二模)同一根细铁丝可以折成边长为10 cm 的等边三角形,也可以折成面积为50cm ²的长方形.设所折成的长方形的一边长为xcm ,则可列方程为( )A.x(10-x)=50B.x(30-x)=50C.x(15 -x)=50D.x(30-2x)=507.(2018陕西西安雁塔期中)有一个矩形铁片,长是30 cm,宽是20 cm ,中间挖去面积为144 cm ²的矩形,剩下的铁框四周一样宽,若设矩形的宽度为xcm ,根据题意可得方程_______________________.能力提升全练1.(独家原创试题)已知一元二次方程ax ²+ax -4=0有一个根是-2,则一次函数y= ax+3经过的象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2.若x=m,(m ≠0)是方程x ²-x -1=0的一个1则代数式的值为( )A.1B.-1C.3 x=-5x 2n x 221m m +D.-33.若x=1是关于x 的方程x ²-px+q=0的一个根,则代数式p ²-q ²-2q 的值是____________.4.已知x=m 是方程x ²-2018x+l=0的一个根,则代数式m ²-2019m+的值是______.5.一元二次方程ax ²+bx+c=0的一个根是1,且a 、b 、c 满足,则a=_____,b=____,c=______。

第2章 一元二次方程 单元复习提升(易错与拓展)(原卷版)

第2章 一元二次方程 单元复习提升(易错与拓展)(原卷版)

第2章 一元二次方程 单元复习提升(易错与拓展)易错点01 一元二次方程的概念【指点迷津】注意a ≠0;化简到一元二次方程的一般式再做判断与解题. 典例1.下列方程是一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B .2213(2)x x x 2+=-C .()()121x x +-=D .23210x y -+=跟踪训练1.若关于x 的方程()22210mm x x --++=是一元二次方程,则m 的值是( )A .3m =B .2m =C .2m =-D .2m =±【指点迷津】因式分解法解一元二次方程时等式右边要为0.典例2.解下列方程: (1)(3)(1)3--=x x (2)2220x x -++=跟踪训练1.一元二次方程()11x x x -=-的根是( ) A .121x x == B .121x x ==- C .11x =,20x = D .11x =-,20x =跟踪训练2.解方程: (1)23510x x -+=; (2)()()315x x +-=.易错点03 根据根的判别式求参数时忽视a ≠0【指点迷津】解一元二次方程及其相关应用时,不要忽视一元二次方程本身成立的条件,或者一些隐含条件.典例3.若关于 x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .1k ≥- B .1k >- C .1k ≥-且0k ≠ D .1k >-且0k ≠跟踪训练1.已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根,求a 的取值范围 .跟踪训练2.已知关于x 的一元二次方程()21310m x x -+-=有实数根,则m 的取值范围是 .【指点迷津】因式分解在解题时往往可以加快解题速度,节约考试时间.典例4.一个两位数是一个一位数的平方,把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数,比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252,求这个两位数.跟踪训练1.某商场销售一批衬衫,进货价为每件40元,按每件50元出售,一个月内可售出500件.已知这种衬衫每件涨价1元,其销售量要减少10件.为了减少库存量,且在月内赚取8000元的利润,售价应定为每件多少元?跟踪训练2.如图,一农户要建一个矩形鸡舍,为了节省材料鸡舍的一边利用长为a 米的墙,另外三边用长为27米的建筑材料围成,为方便进出,在垂直墙的一边留下一个宽1米的门.设AB x =米时,鸡舍面积为S平方米.(1)求S 关于x 的函数表达式及x 的取值范围.(2)在(1)的条件下,当AB 为多少时,鸡舍的面积为90平方米? (3)若住房墙的长度足够长,问鸡舍面积能否达到100平方米?典例1.对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,下列说法:①若a +b +c =0,则方程必有一根为x =1;①若方程20ax c +=有两个不相等的实根,则方程20ax bx c ++=无实根;①若方程20(0)ax bx c a ++=≠两根为1x ,2x 且满足120x x ≠≠,则方程20(0)cx bx a c ++=≠,必有实根11x ,21x ;①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根,则()22042b ac ax b -=+其中正确的( ) A .①①B .①①C .①①①D .①①①跟踪训练1.下列给出的四个命题,真命题的有( )个①若方程()200ax bx c a ++=≠两根为-1和2,则20a c +=;①若2550a a -+=,则()211-=-a a ;①若240b ac -<,则方程()200ax bx c a ++=≠一定无解;①若方程20x px q ++=的两个实根中有且只有一个根为0,那么0p ≠,0q =.A .4个B .3个C .2个D .1个拓展02 根与系数的关系难点分析典例2.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于“倍根方程”的说法,正确的有 (填序号). ①方程220x x --=是“倍根方程”;①若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”,则22450m mn n ++=; ①若,p q 满足2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”;①若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”,则必有229b ac =.跟踪训练1.韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根分别为12,x x ,则方程可写成()()12a x x x x 0--=,即()212120ax ak x x ax x -++=,容易发现根与系数的关系:1212,b cx x x x a a+=-=.设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠三个非零实数根分别123,,x x x ,现给出以下结论:①123bx x x a++=-,①123bx x x a =-;①122331c x x x x x x a++=;①123111c x x x d ++=,其中正确的是 (写出所有正确结论的序号).典例3.如图1,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(80),,点B 的坐标是(06),,连接AB .若动点P 从点B 出发沿着线段BA 以5个单位每秒的速度向终点A 运动,设运动时间为t 秒.(1)求线段AB 的长.(2)连接OP ,当OBP 为等腰三角形时,过点P 作线段AB 的垂线与直线OB 交于点M ,求点M 的坐标; (3)已知N 点为AB 的中点,连接ON ,点P 关于直线ON 的对称点记为P '(如图2),在整个运动过程中,若P '点恰好落在AOB 内部(不含边界),请直接写出t 的取值范围. 跟踪训练1.探索发现 如图(1),在正方形ABCD 中,E 为BC 边上不与,B C 重合的点,过点,,A B C 三点分别作DE 的垂线,垂足分别为,,F H G .(1)求证:DF CG =;(2)求证:DF BH FH +=. 迁移拓展 如图(2),在正方形ABCD 中,E 为直线BC 上一点,过B 点作DE 的垂线,垂足为H ,若5,1AB BH ==,直接写出BE 的长.一、单选题1.下列是一元二次方程的是( )A .2320x x x -+=B .240x x -+=C .20ax bx c ++=D .2210y x --=2.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0,则a 的值为( ) A .1B .1或1-C .1-D .0.53.解方程()()2243343x x -=-)最适当的方法是( )A .直接开方法B .配方法C .公式法D .分解因式法4.下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A .210x x -+= B .2230x x -+= C .210x x +-= D .240x += 5.用配方法解一元二次方程22760x x -+=,下面配方正确的是( ) A .271416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B .2797416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .273724x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .271416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭6.方程2230x x +-=的解为11x =,23x =-,若方程()()22322330x x +++-=,它的解是( ). A .1213x x ==, B .1213x x ==-,C .1213x x =-=,D .12=1=3x x --,7.若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根,则k 的取值范围是( )A .1k ≥-且0k ≠B .1k ≥-C .1k >-D .1k >-且0k ≠8.新能源汽车节能、环保,越来越受消费者喜爱,各种品牌相继投放市场,我国新能源汽车近几年销量全球第一,2020年销量为50.7万辆,销量逐年增加,到2022年销量为125.6万辆.设年平均增长率为x ,可列方程为( )A .250.7(1)125.6x +=B .2125.6(1)50.7x -=C .50.7(12)125.6x +=D .250.7(1)125.6x -=9.已知a ,b 是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根,且满足111a b+=-,则m 的值是( ) A .﹣3或1B .3或﹣1C .3D .110.对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ,下列说法:①若0a b c -+=,则240b ac -≥;①若方程20ax c +=有两个不相等的实根,则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根; ①若c 是方程20ax bx c ++=的一个根,则一定有10ac b ++=成立; ①若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根,则()22042b ac ax b -=+ 其中正确的:( )A .只有①B .只有①①C .①①①D .只有①①①二、填空题11.2570x x ++=的二次项系数是 、常数项是 .12.关于x 的方程()222530m m x x --+-=是一元二次方程,则m = .13.已知x 2-6x +8=0的两个根分别是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的面积是 . 14.已知x 2=2x +15,则代数式22(2)(2)x x +--= .15.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环比赛(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个队参加比赛?设应邀参加比赛的球队有x 个,则可以列方程为 .16.已知关于x 的方程()231210kx k x k +-+-=的解都是整数,则整数k 的值为 .17.已知:关于x 的方程a (x +k )2+2022=0的解是x 1=-2,x 2=1(a 、k 均为常数,a ≠0). (1)关于x 的方程a (x +k +2) 2+2022=0的根是 ; (2)关于x 的方程a (x +3k ) 2 +2022=0的根为 .18.已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠和它的两个实数根为12,x x ,下列说法: ①若a ,c 异号,则方程()200ax bx c a ++=≠一定有实数根; ①若25b ac >,则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两异实根; ①若b a c =+,则方程()200ax bx c a ++=≠一定有两实数根;①若123a b c ===-,,,由根与系数的关系可得121223x x x x +=-=, 其中正确的结论是: (填序号).三、解答题19.用适当的方法解一元二次方程 (1)210.503x -=;(2)22()(2)2a x a x +=+;(3)22410x x --=;(4)2(12)(12)x x -=+.20.已知关于x 的方程()()232250m x m x m ---+-=.(1)当m 为何值时,方程只有一个实数根? (2)当m 为何值时,方程有两个相等的实数根? (3)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根? 21.已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k +--=≠. (1)求证:不论k 为何值,这个方程都有两个实数根; (2)若此方程的两根均整数,求整数k 的值,22.已知:关于x 的方程()228440x m x m --+=,有两个不相等的实数根,(1)求实数m 的取值范围,(2)若方程的两个实数根12x x ,满足1212x x x x +=⋅,求出符合条件的m 的值.23.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12米的住房墙,另外三边用25米长的建筑材料围成的,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时,猪舍面积为80平方米?24.阅读材料题:我们知道20a ≥,所以代数式a 2的最小值为0,学习了多项式乘法中的完全平方公式,可以逆用公式,即用()2222a ab b a b ±+±=来求一些多项式的最小值.例如:求263x x ++的最小值问题.解:①()2226369636x x x x x ++=++-=+﹣, 又①()230x +≥, ①()2366x +≥﹣﹣①263x x ++的最小值为﹣6.请应用上述思想方法,解决下列问题:(1)探究:246x x -+= ;(2)代数式28x x --有最 (填“大”或“小”)值为 ; (3)如图,长方形花圃一面靠墙(墙足够长),另外三面所围成的棚栏的总长是20m ,棚栏如何围能使花圃面积最大?最大面积是多少?25.当m ,n 为实数,且满足m nm n +=时,就称点,m P m n ⎛⎫⎪⎝⎭为“状元点”.已知点A (0,7)和点M 都在直线y x b =+上,点B ,C 是“状元点”,且B 在直线AM 上.(1)求b 的值及判断点F (2,6)是否为“状元点”; (2)请求出点B 的坐标;(3)若52AC ≤,求点C 的横坐标的取值范围.26.对于任意一个三位数k ,如果k 满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.例如:k =169,因为62=4×1×9,所以169是“喜鹊数”.(1)已知一个“喜鹊数”k =100a +10b +c (1≤a 、b 、c ≤9,其中a ,b ,c 为正整数),请直接写出a ,b ,c 所满足的关系式 ;判断241 “喜鹊数”(填“是”或“不是”),并写出一个“喜鹊数” ;(2)利用(1)中“喜鹊数”k 中的a ,b ,c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c =0①与cx 2+bx +a =0①,若x =m 是方程①的一个根,x =n 是方程①的一个根,求m 与n 满足的关系式;(3)在(2)中条件下,且m +n =﹣2,请直接写出满足条件的所有k 的值.。

九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案

九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案

一元二次方程练习一:(定义、配方法)1. 一元二次方程的定义:方程两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例:;;。

2. 一元二次方程的一般形式:,其中叫做二次项,叫做二次项系数,叫做一次项,叫做一次项系数,叫做常数项。

举例:。

3. 一元二次方程的解:能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

例题1 (1)下列方程中,是一元二次方程的有。

(填序号)①;②;③;④;⑤;⑥。

(2)若关于的方程(a-5)+2x-1=0是一元二次方程,则a的值是_______。

思路分析:(1)按照一元二次方程的定义进行判断:①③⑥是一元二次方程;②是二元一次方程;④经过化简二次项系数为0,不是一元二次方程;⑤分母中含有未知数,方程左边是分式而不是整式;(2)由一元二次方程的定义可得,所以;但是当时,原方程二次项系数为0,不是一元二次方程,故应舍去;当时,原方程为,因此。

答案:(1)①③⑥;(2)点评:做概念辨析题要紧扣定义,对于一元二次方程要把握这样几个关键点:①方程两边都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x-1)=5(x+3)化成一般形式是___________,其中二次项是_________,一次项系数是_________,常数项是_________。

思路分析:将方程左右展开,然后移项(把所有的项都移到等号的左边),合并同类项即可:由得,移项得,合并同类项得。

答案:;;;点评:任何一个一元二次方程通过化简都可以得到的形式,方程左边是含有未知数的二次式,项数有可能为三项、两项或一项,方程的右边一定为0。

例题3 一元二次方程有一个解为x=0,试求的值。

思路分析:方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值,因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程,解此方程可得m的值。

答案:解:把x=0代入得;即∴当时,原方程的二次项系数为0,与题意不符,故舍去;当时,原方程为,符合题意;故,此时。

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一元二次方程拓展训练(一)20200727
考点一、概念
(1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次.......
数是..2.,这样的③整式方程....
就是一元二次方程。

(2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ax
⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;
②未知数指数为“2”;
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需
建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值
为 。

针对练习:
★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程,
⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范
围是 。

★★★4、若方程x m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( )
A.m=n=2
B.m=2,n=1
C.n=2,m=1
D.m=n=1
考点二、方程的解 ⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值
为 。

说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则
此方程,必有一根为 。

说明:本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-
1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两
个根,则m 的值为 。

针对练习:
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根
是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
31
1=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值;
⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( )
A 1-
B 1
C c b -
D a - ★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次
类型一、直接开方法:()m x m m x ±=⇒≥=,02
※※对于()m a x =+2,()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题:
例1、解方程:();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132
=--x 例2、解关于x 的方程:02=-b ax
例3、若()()2
221619+=-x x ,则x 的值为 。

针对练习:下列方程无解的是( )
A.12322-=+x x
B.()022
=-x C.x x -=+132 D.092=+x
类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或
※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式:如()()2
2n bx m ax +=+,()()()()c x a x b x a x ++=++ , 0222=++a ax x
典型例题:
例1、()()3532-=-x x x 的根为( ) A 25=x B 3=x C 3,2
521==x x D 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ,则4x+y 的值为 。

变式1:()()
=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2:若142=++y xy x ,282=++x xy y ,则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为( )
A.2321=-=,x
x B.2321-==,x x C.3321-==,x x D.
2221-==,x x 例4、解方程: ()04321322=++++x x
例5、已知023222=--y xy x ,则y
x y x -+的值为 。

变式:已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则
y x y x -+的值为 。

针对练习:
★1、下列说法中:
①方程02=++q px x 的二根为1x ,2x ,则))((212x x x x q px x --=++
② )4)(2(862--=-+-x x x x .
③)3)(2(6522--=+-a a b ab a
④ ))()((22y x y x y x y x -++=-
⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x
正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
★2、以71+与71-为根的一元二次方程是()
A .0622=--x x
B .0622=+-x x
C .0622=-+y y
D .0622=++y y
★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:
⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: ★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ,则x+y 的值为( )
A 、-1或-2
B 、-1或2
C 、1或-2
D 、1或2
5、方程:2122=+
x x 的解是 。

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