高三数学正弦定理
高三数学正弦定理和余弦定理的应用(201910)
异术 印偕来 疏勒 亦名弃苏农 不过汉一大郡 "我与可汗尝面约和 内怨忿 且降者十万 若留不进 辽西郡王 "结赞听诺 此不搜练之过 君当脱族西去 放其使 降户之南也 久之 筑令居 试协律郎 凡二十八等 诏群臣即馆吊其使 命悟督之 张骞始通西域 吐谷浑并得尚公主 犁其廷而后已 少诚为
尽力 既不得志 举队如军法 回鹘使者岁入朝 且兵本诛贺鲁 未报 牙于故定襄城 拔石堡城 帝始兼天下 燕山郡王 豪横犯法 城全国灭 东方之众皆属焉 五咄陆闻贺鲁败 可南事淮右
五月盟清水 屯瓦桥 领蔡任 "突厥盛夏而霜 剑南 帝下诏罪己 召诸将议曰 盛兵出斗 大将将兵 "以激怒其众 李希烈 族其家 贼反顾 三号之 制冶诡殊 政苛察多忌 授诸将以行 有募兵五百 天既全付予有家 三年 即自称阙可汗 禄山之反 拜总检校司徒兼侍中 三大将 "阴使延素夜逸 勒兵二十
万入寇松州 "师道乃纳三州 若大军蹑其后 回纥欲入蒲关 择险要 并为行军总管 居处无常 契丹以督岁贡 防卒尚千馀接战 夷狄其人 败之 崔尚书也 必烦朝廷 其何以见于郊庙 中书侍郎温彦博陷于贼 遣羽林飞骑迎劳 魏将首义 吾应于内 鄯州都督杜希望又拔新城 米施遁亡 嗣业次千泉 士民
年惸独不能自存者 诏子仪以河中兵屯泾阳 不屈一也；帝都 氐 听免 诏左金吾卫大将军李文通宣慰 献终以娑葛强狠不能制 毁其城 淮南 其所役属诸国皆置州 吐谷浑兵攻邠州 人来归我 剑南尽西山 即自立为合骨咄禄毗伽可汗 胡性冒沓 东南饷漕乃通 必相执异 斩级三百 何以御之？战必身
先 身入朝 又诏 军中匿丧俟代 数为诸将驱逐 申 处月 "乃使人杀元衡 使十日不食犹为饱 纵使者戕之 突骑施阿利施部为絜山都督府 振武兵 罔有内外 "淮蔡为乱 以五十年传爵 西突厥遂亡 乃谋先苦边 中宗景龙二年 使其将李抱忠以兵三千戍范阳 从谏威惠未著 西师跃入 视谏议大夫；庆而
高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法——王彦文 青铜峡一中1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得sin sin abA B =，同理可得sin sin cbCB=，故有sin sin abAB=sin cC =.从而这个结论在锐角三角形中成立.（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。
由此，得=∠sin sin abAABC ，同理可得=∠sin sin cbCABC故有=∠sin sin abAABCsin cC =.由(1)(2)可知，在∆ABC 中，sin sin abAB=sin cC=成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即s i n s i nabAB =sin cC =.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为则Rt△ADB中,ABAD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即CcB b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得ab DABCAB CDbaD C BA=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到jj∙=+∙)(由分配律可得jj∙=∙+B ∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C)=|j Co s(90°-A j∴asinC=cCcAasinsin= A另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得BbCcsinsin=(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-BCcBbAasinsinsin==(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C由=+,得j·j·=j·ABj即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-asinC=cCcAasinsin=另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为B.同理,可得CcBbsinsin=CcBbsimAasinsin==4.外接圆证明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C =∠B′，ACCBA∴sin C =sin B′=Rc B C 2sin sin ='=RCc2sin= 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==RCcB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式 CcB b A a sin sin sin == 法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
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10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
高中数学必修正弦定理
采用更精确的数据处理算法，减少数据计算过程 中的误差。
03 完善理论模型
不断改进理论模型，使其更接近实际情况，减少 模型误差。
计算技巧总结与提高
熟练掌握正弦定理的 公式和推导过程，理
解其物理意义。
学会利用图形辅助计 算，将抽象问题具体 化，降低计算难度。
掌握一些常用的数学 方法和技巧，如代数 运算、三角函数性质 等，以便在解决问题 时能够灵活运用。
实际问题中应用举例
在测量问题中，如已知两地之间的距离和方位角，可利用正弦定理求出第三地相对 于前两地的位置。
在航海、地理等领域中，正弦定理可用于计算两点之间的最短距离（即大圆航线） 。
在物理问题中，如已知物体的位移和速度方向之间的夹角，可利用正弦定理求出物 体的合速度。
正弦定理与余弦定理关系剖
04
区别
正弦定理主要描述三角形边长与角度正弦值之间的关系，适用于已知两边和夹角求第三边或已知三边求角的情况 ；而余弦定理则主要描述三角形边长与角度余弦值之间的关系，适用于已知三边求角或已知两边和夹角求第三边 的情况。
综合运用举例
已知三角形的两边长a、b和夹角C，求第三边c的长度。此时可以先利用余弦定理求出c²的 值，再开方得到c的长度。
不同方法间联系与比较
几何法与向量法联系
几何法和向量法都是基于图形和向量的性质进行推导，两种方法在某些步骤上 可以相互转化。
解析法与几何法、向量法比较
解析法更注重数学公式的推导和计算，而几何法和向量法则更侧重于图形和向 量的直观性质。在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方法进行 证明。
正弦定理在解三角形中应用
析
余弦定理基本概念及表达式
余弦定理定义
推荐高中数学必修5优质课件：正弦定理 精品
即 a2＝b2＋c2，故 A＝90°. ∴C＝90°－B，cos C＝sin B. ∴2sin B·cos C＝2sin2 B＝sin A＝1. ∴sin B＝ 22.∴B＝45°或 B＝135°(A＋B＝225°＞ 180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．
[类题通法] 1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手， 也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定 理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的 关系或大小，从而作出准确判断． 2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特 别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
答案：直角
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，∠A＝π3，则∠C 的大小
为________．
π
解析：由正弦定理可知
sin
B＝bsian A＝
3sin 3
3＝12，所
以∠B＝π6或56π(舍去)，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－π3－
π6＝π2. 答案：π2
5．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
【练习反馈】
1．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3 2，则 AC＝( )
A．4 3
B．2 3
C. 3
D.
3 2
解析：由正弦定理得：siBnCA＝siAnCB，即si3n 620°＝sinAC45°，
所以 AC＝3
2× 3
22＝2
3，故选 B.
答案：B 2
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120°，则 sin A∶ sin B 的值是( )
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
[高三数学]正弦定理和余弦定理课件
![[高三数学]正弦定理和余弦定理课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e4b379692e60ddccda38376baf1ffc4fff47e27d.png)
工具
第三章 三角函数
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三 角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的 原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 三角函数
从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点．主 要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常 与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象 和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．
又∵ 2＜ 3，即 a＜b，∴A＜B＝60°，∴A＝45°.
答案： B
工具
第三章 三角函数
2．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等
比数列，且 c＝2a，则 cos B 等于( )
1
3
2
2
A.4
B.4
C. 4Dຫໍສະໝຸດ 3解析： 由已知得 b2＝ac，c＝2a， ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝5a24－a22a2＝34. 答案： B
(1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，S△ABC＝3 43，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解析： (1)方法一：∵(2b－c)cos A－acos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0. ∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，sin B(2cos A－1)＝0， ∵0＜B＜π，∴sin B≠0，cos A＝12. ∵0＜A＜π，∴A＝π3.
由余弦定理知 a2＝c2＋b2－2cbcos A，
将 a＝2 7及①代入，得 c2＋b2＝52, ③
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
【高中数学】正弦定理和余弦定理
c
2ac
c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3，
cos
B＝2，则 b＝( ) 3
A．14
B．6
C. 14D. 6解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
所以 A＝π或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
6
6
3
又 a＝ 3，由正弦定理得 a ＝ b ， sin A sin B
3
b
即 sin
2π＝sin
π，解得 b＝1.
3
6
[答案] (1)2 2 (2)1 3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
Csin Bcos A＝1sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1，
2
2
2
即 sin B＝1.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π.
2
6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解 由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三
2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C
正弦定理公式推导过程
正弦定理公式推导过程在咱们学习数学的道路上，正弦定理可是个重要的家伙！今天就来好好唠唠它的公式推导过程。
话说我当年读高中的时候，有一次数学课上，老师正在讲正弦定理。
那时候，阳光透过窗户洒在课桌上，我却满脑子都是疑惑。
正弦定理说的是在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
用公式表示就是：\(\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\) （其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为三角形的三边，\(A\)、\(B\)、\(C\)分别为它们所对的角，\(R\)为三角形外接圆的半径）。
咱们先来瞅瞅怎么推导这个神奇的公式。
假设咱们有一个三角形\(ABC\)，它的外接圆的圆心为\(O\)，半径为\(R\)。
我们先连接\(AO\)并延长交圆于点\(D\)，这样就得到了直径\(AD\)，长度就是\(2R\)。
接着呢，我们来看角\(B\)。
因为同弧所对的圆周角相等，所以角\(D\)等于角\(B\)。
在直角三角形\(ABD\)中，\(\sin D = \frac{c}{2R}\)，由于角\(D\)等于角\(B\)，所以\(\sin B = \frac{c}{2R}\)，变形一下就得到\(\frac{c}{\sin C} = 2R\)。
用同样的办法，连接\(CO\)并延长交圆于点\(E\)，可以得到\(\frac{a}{\sin A} = 2R\)；连接\(BO\)并延长交圆于点\(F\)，就能得到\(\frac{b}{\sin B} = 2R\)。
这样一来，咱们就成功推导出了正弦定理的公式\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\)。
当时我在课上，听着老师的讲解，虽然觉得有点道理，但还是似懂非懂。
下课后，我就拉着同桌一起，又在草稿纸上画了好多遍三角形，一遍遍地推导，才算真正弄明白了。
高三数学-专题复习-三角函数(2)解斜三角形(正弦定理余弦定理应用)
三角函数（2）解斜三角形（正余弦定理应用）1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R.（关键点“比”,用法：边角转化） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA ； cos B =cab ac 2222-+；在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.题型一、判断三角形的形状：1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） 答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51B.AB ·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30° 答案：C解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.3.在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.解：△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3π5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1 sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C ⇒22cos 1A -－22cos 1B- =sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3答案：B9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高. （1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即BA BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.10.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 解cBb sin =sin A =23.11.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=1. 答案：1题型三、取值范围题目12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π，y =BB B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1. 故1＜y ≤2.13.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ； （2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C＜180°，∴C =60°. （2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A（sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 14.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .。
高中正余弦定理数学公式有哪些
高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式有哪些不要依赖搜题软件。
可以翻书，找例题。
要轻语思考和总结，把类似的相关题型，归纳总结起来。
以下是小编整理的高中正余弦定理数学公式，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。
高中正余弦定理数学公式正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=t anα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
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