高三理科数学_专题限时集训：14_函数与方程及函数的应用

专题限时集训(十四) 函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c2．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．10933．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x ＋log 2 018x ，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)5．(2018·铁东区校级一模)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．06．(2018·濮阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(1－x )，x ∈(－1，0]－12x 2－3x －72，x ∈(－∞，－1]，若关于x 的方程f (x )＝t (t ∈R )恰有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．(2018·泸州模拟)函数f (x )＝x －ln(x ＋2)＋e x －a ＋4e a －x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0使f (x 0)＝3成立，则实数a 的值为( ) A ．ln 2 B ．ln 2－1 C ．－ln 2 D ．－ln 2－18．(2018·厦门一模)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＋xf ′(x )＝1x ，f (1)＝0，若关于x 的方程|f (x )|－a ＝0有3个实根，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 D ．(1，＋∞)二、填空题9．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －2x －a ，若f (x )＜0有且只有一个整数根，则a 的取值范围是________．10．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．11．(2018·漯河模拟)已知f (x )＝12x 2＋b x ＋c (b ，c 为常数)和g (x )＝14x ＋1x 是定义在M ＝{x |1≤x ≤4}上的函数，对于任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，则f (x )在M 上的最大值为________．12．(2018·惠州市4月模拟)已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为________． 三、解答题13．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．14．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ＋b ln x (其中a ，b ∈R )．(1)当b ＝－4时，若f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； (2)当a ＝－1时，是否存在实数b ，使得当x ∈[e ，e 2]时，不等式f (x )＞0恒成立？如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)．习题答案1．答案：A 解析： [分别作出四个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，由图象知：a <b <c ，故选A ．] 2．答案：D解析：[由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN 最接近的是1093. 故选D.] 3．答案：C解析： [作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点， 又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3，故选C ．] 4．答案：A解析： [当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3⇒f (x )＝x 3(x ∈R )⇒f (x )在R 上是增函数⇒－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒0＞mt 2＋4t ＋2m 对任意实数t 恒成立，结合二次函数图象⇒⎩⎨⎧m ＜0Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A ．]5．答案：A解析： [对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对于区间[－3,2]上的任意x ，都有f (x )max －f (x )min ≤t ，∵f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∵x∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，∴f(x)max－f(x)min＝20，∴t≥20.∴实数t的最小值是20，故选A．]6．答案：B解析：[作出函数f(x)的图象，由图象可知，若方程f(x)＝t(t∈R)恰有5个不同的实数根，则t∈(－1,1)．设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，由图象可知x3∈(－1,1)．所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x3∈(－1,1)．选B.]7．答案：D解析：[令g(x)＝x－ln(x＋2)，g′(x)＝1－1x＋2＝x＋1x＋2，故g(x)＝x－ln(x＋2)在(－2，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，故当x ＝－1时，g(x)有最小值－1－0＝－1，而e x－a＋4e a－x≥4，当且仅当e x－a＝4e a－x，即x＝a＋ln 2时，等号成立，故f(x)≥3，故x＝a＋ln 2＝－1，即a＝－1－ln 2.故选D.]8．答案：A解析：[令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝1 x，∴g(x)＝ln x＋c，即xf(x)＝ln x＋C．又f(1)＝0，∴c＝0，可得f(x)＝ln x x.则f′(x)＝1－ln xx2，可知当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，要使方程|f(x)|－a＝0有3个实根，即函数y ＝|f (x )|与y ＝a 的图象有3个不同交点， 如图：由图可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，故选A ．] 二、填空题 9．答案：(1,2]解析： [由题得a ＋2x ＞(x ＋1)e x ，设g (x )＝(x ＋1)e x ，∴g ′(x )＝(x ＋2)e x ，令g ′(x )＞0， ∴x ＞－2.令g ′(x )＜0，∴x ＜－2.所以函数g (x )在(－∞，－2)是减函数，在(－2，＋∞)是增函数，且g ′(0)＝2. 因为a ＋2x ＞(x ＋1)e x 有且只有一个整数根，所以⎩⎨⎧2×(－1)＋a ≥g (－1)2×(0)＋a ＞g (0)2×(1)＋a ≤g (1)，∴1＜a ≤2.故填(1,2]．] 10．答案：3解析： [设圆柱的高为h ，半径为r ，则由圆柱的体积πr 2h ＝27π，得h ＝27r 2， S 全面积＝πr 2＋2πrh ＝πr 2＋54πr . 令S 全面积＝f (r )(r ＞0)，则f ′(r )＝2πr －54πr 2＝2π(r 3－27)r 2.令f ′(r )≥0得r ≥3，令f ′(r )＜0得0＜r ＜3， ∴f (r )在(0,3)单调递减，在[3，＋∞)单调递增， 则f (r )在r ＝3时取得最小值．] 11．答案：5解析：[∵g (x )＝14x ＋1x ≥214x ×1x ＝1(当且仅当x ＝2时，等号成立)，∴f (2)＝2＋b 2＋c ＝g (2)＝1，∴c ＝－1－b 2，∴f (x )＝12x 2＋b x ＋c ＝12x 2＋b x －1－b2， ∴f ′(x )＝x －b x 2＝x 3－bx 2，∵f (x )在x ＝2处有最小值，∴f ′(2)＝0，即b ＝8，故c ＝－5，故f (x )＝12x 2＋8x －5，f ′(x )＝x 3－8x 2，故f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数， 而f (1)＝12＋8－5＝72，f (4)＝8＋2－5＝5，故f (x )的最大值为5.] 12．内的所有零点之和为________． 答案：4解析： [∵函数f (x ＋1)是奇函数，∴函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，∴把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，即函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，则f (2－x )＝－f (x )． 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，∴f (1－x )＝f (x )，从而f (2－x )＝－f (1－x )， ∴f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称． 画出函数f (x )的图象如图所示：∴结合图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有零点之和为12×2×4＝4.] 13． 答案：见解析解析：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4， 又f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，∴a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. ∴x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤g (x )在(3，＋∞)上单调递增， g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3， g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)． 14． 答案：见解析 解析：(1) 由题意知x ＞0，当b ＝－4时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x －4ln x ，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x 2－4x ＝ax 2－4x ＋4a x 2.①当a ≤0时，知f ′(x )＜0，则f (x )是单调递减函数；②当a ＞0时，只有对于x ＞0，不等式ax 2－4x ＋4a ≥0恒成立，才能使f (x )为单调函数，只需Δ＝(－4)2－16a 2≤0，解之得a ≤－1或a ≥1，此时a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)． (2)f (x )＝b ln x －x －bx ，其中x ＞0， f ′(x )＝b x －1＋b x 2＝－x 2＋bx ＋bx 2.(ⅰ)当b ≤0时，f ′(x )＜0，于是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，则在[e ，e 2]上也为减函数，知f (x )max ＝f (e)＝b －e －b e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e b －e ＜0恒成立，不合题意，舍去． (ⅱ)当b ＞0时，由f ′(x )＝0得x ＝b ＋b 2＋4b2.列表得①＝f (e)＝b －e －b e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e b －e ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e b －e ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e e 2e ＋1－e ＝－2e e ＋1＜0， 于是f (x )max ＜0恒成立，不合题意，舍去． ②若b ＋b 2＋4b 2＞e ，即b ＞e 2e ＋1，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，b ＋b 2＋4b 2上为增函数， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋b 2＋4b 2，＋∞上为减函数，要使在[e ，e 2]恒有f (x )＞0恒成立，则必有⎩⎨⎧f (e )＞0，f (e 2)＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧b －e －b e ＞0，2b －e 2－b e 2＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＞e 2e －1＝e 4e 3－e 2，b ＞e 42e 2－1.由于e 3－e 2－(2e 2－1)＝e 3－3e 2＋1＜0， e 2e －1＝e 4e 3－e 2＞e 42e 2－1， 所以b ＞e 2e －1.。