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走进重高 培优讲义七上 第十六讲 数形结合思想

走进重高 培优讲义七上 第十六讲 数形结合思想

第十六讲 数形结合思想例1 如图,数轴上的A ,B ,C 三点所表示的数分别为a ,b ,c .若,5,3=-=-c b b a 且原点0与点A ,B 的距离分别为4,1,则关于点0的位置,下列说法中正确的是( ).A.在点A 的左边 B .介于点A ,B 之间 C .介于点B ,C 之间 D .在点C 的右边例2 如图l 是由8个同样大小的小正方体组成的魔方,总体积为.643cm(1)这个魔方的棱长为_________ cm.(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD ,求这个正方形的边长.(3)把正方形ABCD 放置在数轴上,如图2,使得点A 与数1重合,则点D 在数轴上表示的数为____.例3 如图,已知B ,C 是线段AD 上的两点,M 是AB 的中点,N 是CD 的中点,,a MN =,b BC =则线段=AD ________.例4 小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题:当式子|2||1|-++x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是_________,最小值是________.小红说:“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”小明说:“利用数轴可以解决这个问题,”他们把数轴分为三段:,221,1>≤≤--<x x x 和经研究发现,当21≤≤-x 时,原式的值最小,为3.请你根据他们的解题方法解决下面的问题:(1) 当式子|8||6||4||2|-+-+-+-x x x x 取最小值时,相应的x 的取值范围是_______,最小值是________.(2)已知|,2|4|82|+-+=x x y 求y 的最大值.例5 如图,在数轴上有两个长方形ABCD 和EFGH ,这两个长方形的宽都是2个单位长度,长方形ABCD 的长AD 是4个单位长度,长方形EFGH 的长EH 是8个单位长度,点E 在数轴上表示的数是5,且E ,D 两点之间的距离为12.(1)点H 在数轴上表示的数是____,点A 在数轴上表示的数是________. (2)若线段AD 的中点为M ,线段E H 上有一点,41,EH EN N点M 以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,点N 以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为x(s),当x=________s 时,原点0恰为线段MN 的三等分点.(3)若长方形ABCD 以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动,长方形EFGH 固定不动,设长方形ABCD 运动的时间为t(s)(t>O),两个长方形重叠部分的面积为S ,求S 与t 的关系式,例6 3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场),总的比赛场数是多少?4个球队呢?5个球队呢?写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式,A 组1.如图,有理数a ,b ,c ,d 在数轴上的对应点分别是,,,,D C B A 若,0=+c a 则d b +( ).(第1题) (第2题)A.大于O B .小于0 C .等于0 D .不确定2.如图,数轴上有A ,B ,C ,D 四点,其中表示的数与实数510-最接近的点是( ). A.点A B .点B C .点C D .点D3.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,那么化简2)(||a b b a -++的结果是( ).b A 2. a B 2. a C 2.- b D 2.-(第3题) (第4题)4.如图,M ,N ,P 分别是数轴上三个整数对应的点,且,1==NP MN 数a 对应的点在点M ,N 之间,数b 对应的点在点N ,P 之间,若,2||||=+b a 则在M ,N ,P 这三个点中,原点不可能是( ). A.点M B .点N C.点P D .点M 或点P5.如图,李明在求阴影部分的面积时,列出下列四个式子,其中错误的是( ).)(.a c a ab A -+ )(.a b a ac B -+ 2.a ac ab C -+ 2.a ac bc D -+(第5题)6.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2020应标在( ).(第6题)A.第505个正方形的左下角 B .第505个正方形的右下角 C .第504个正方形的左下角 D .第504个正方形的右下角7.如图,在数轴上点A ,B 表示的数分别是,2,1-若点B ,C 到点A 的距离相等,则点C 表示的数是_______.(第7题)8.有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图.(1)填空:c b -______b a +,0_______c a +-,0_____.0(填“>”或“<”) (2)化简:.||||||||||c a a b b a a c b ---+++-+-(第8题)9.如图,数轴上有A ,B ,C 三点,AC 表示数轴上A ,C 两点间的距离,且AB=3BC(即线段AB 的长度为线段BC 长度的3倍).已知点B 为原点,点A 表示的数为6. (1)求点C 表示的数. (2)若数轴上有一点P ,且,12=+PC PA 求点P 表示的数.(3)若A ,B ,C 三点表示的数为a ,b ,c ,下面有两个结论:b a x 4-+①的值不变;c b a 43-+②的值不变.这两个结论中只有一个结论正确,请选择正确的结论加以说明,并求出其不变的值.(第9题)10.如图,适当地剪几刀把它拼成一个正方形,要求在原图上用虚线画出剪刀的痕迹,并画出拼成的正方形.(第10题)B 组11.如图,数轴上的四个点A ,B ,C ,D 对应的数为整数,且,1===CD BC AB 若,2||||=+b a 则原点的位置可能是( ).A .点A 或点B B .点B 或点C C 点C 或点D D .点D 或点A(第11题) (第12题)12.如图,数轴上的A ,B ,C 三点所表示的数分别为a ,b ,c .根据图中各点的位置,下列各式中正确的是( ).0)1)(1.(>--b a A 0)1)(1.(>--c b B 0)1)(1.(<++b a C 0)1)(1.(<++c b D13.如图,将长方形ABCD 分割成一个阴影长方形与172个面积相等的小正方形.若阴影长方形长与宽的比为2:1,则长方形ABCD 长与宽的比为( ).1:2.A 15:29.B 29:57.C 16:31.D(第13题) (第14题)3334,3,2.14分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,36也能按此规律进行“分裂”,则36“分裂”出的奇数中最大的是( ).41.A 39.B 31.C 29.D15.正方形ABCD 在数轴上的位置如图,点D ,A 对应的数分别为0和1,若正方形ABCD 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B 所对应的数为2,则多次翻转后,数轴上数2021所对应的点是________.(第15题)16.如图,用3个正方形①、2个正方形②、1个正方形③和缺了一个角的长方形④,恰好拼成一个大长方形.根据图示数据,解答下列问题: (1)用含x 的代数式表示:=a ________=b cm ,________.cm(2)用含x 的代数式表示大长方形的周长,并求当3=x 时大长方形的周长.(第16题)17.请仔细阅读如图所示的图形分割法,把一张5个小正方形拼成的纸片(如图1),分成三块(如图2),再拼成一个正方形(如图3).应用:先把2个边长为a ,b (a<b )的正方形拼成如图4,然后仿照阅读中的图形分割法,将图4分割成3块,再拼成一个正方形(要求在图4中画出分割线,然后另外画出拼接图).(第17题)18.阅读理解:在数轴上点A 所表示的实数为a ,我们记,a x A =点A ,B ,C 分别表示的实数为,1,6,4-则记,1,6,4==-=C B A x x x 显然,A ,C 两点的距离为=--=-=)4(1A C x x AC C B ,,5两点的距离为.516=-=-=C B x x CB 一般地,在数轴上点A ,B 表示的实数分别为a ,b (点A 在点B 的左侧),则.a b x x AB A B -=-=设点A ,B 的中点为C ,则有,CB AC =由上可得,C B A C x x x x -=-即⋅+=2BA C x x x 综合运用:如图,已知,4,3=-=B A x x 若点B 在点C 的左侧,.9=+BC AC(1)求,C x 并在数轴上标出点C 的位置, (2)M 是AC 的中点,N 是BC 的中点,求⋅N M x x ,(3)若A ,B 两点同时沿数轴向正方向运动,点A 的速度是点B 速度的2倍,AC 的中点M 和BC 的中点N 也随之运动,3s 后,,2=MN 求点B 的运动速度.(第18题)19.如图1,0为直线AB 上一点,过点0作射线OC ,使.120=∠BOC 将一直角三角尺的直角顶点放在点0处,一边OM 在射线OB 上,另一边ON 在直线AB 的下方.(1)将图1中的三角尺绕点O 逆时针旋转至图2,使一边OM 在∠BOC 的内部,且恰好平分∠BOC.问:此时直线ON 是否平分∠AOC?请说明理由. (2)将图1中的三角尺绕点0以每秒6的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t(s)时,直线ON 恰好平分锐角∠AOC,求t 的值.(3)将图1中的三角尺绕点0顺时针旋转至图3,使ON 在∠AOC 的内部,试探索:在旋转过程中,∠AOM 与∠NOC 的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请求出差的变化范围.(第19题)。

走进重高数学课程10

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走进重高数学10: 数的整除一、思维训练算24点:2 2 2 9 2 7 8 9 6 9 9 10 1 2 7 7 4 4 10 101 5 5 52 5 5 10 1 4 5 63 3 8 8 3 3 7 74 4 7 7二、基础知识1. 整除的特点。

被11整除的数的特征:奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。

被7、11、13整除的数的特征:末三位的数字组成的数与末三位以前的数字组成的数的差是7、11、13的倍数2. 整除的性质(1)c a c b b a ⇒,;(2))(,c b a c a b a ±⇒;(3)nb a b a ⇒,n 为正整数(4)b a ,互素,c a bc a ⇒;(5)b a ,互素,c ab c b b a ⇒,;(6)n 个连续正整数中,必有一个能被n 整除三、例题选讲1.求证:1000108321Λ个被11整除2.已知九位数b a 3571732能被72整除,求b a ,3.若三位数abc 能被5整除,但不能被6、7整除;三位数cba 能被6整除,但不能被5、7整除;三位数cab 能被7整除,但不能被5、6整除,求abc 。

4.已知z y x ,,均为整数,若)527(11z y x -+,求证:)1273(11z y x +-5. 试证:当n 为整数时,)12)(1(++n n n 是6的倍数6. 已知c b a ,,都是整数,如果对于任意整数x ,代数式c bx ax ++2的值都能被3整除,证明:abc 可被27整除7.从19到80的所有两位被边疆地写成一个数798019202122Λ=x ,求证这个数能被1980整除8.求能够表示为连续8个整数之和、连续9个整数之和、连续11个整数之和的最小正整数。

走进重高数学练习10班级 姓名同步训练1.200以内能同时被3、4、5整除的正整数有 个2. 有三个连续的两位正整数,它们的和也是两位数并是11的倍数,这三个数的积最大为3.一个两位数分别乘以2、3、4、5、6、7、8、9时,它的数字和不变,所有这样的两位数之和为4.已知b a ,为正整数,且b a 882126+这完全平方数,那么b a +最小值为5. n 的所有正因数之积为 ,其中βαb a n =,b a ,是素数,βα,是正整数。

走进重高讲义数学七年级(上册)人版

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基础巩固篇第一讲有理数思维导图重难点分析重点分析:1.回顾以前学过的关于“数”的知识,进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景,通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、测量、排序、编码等方面的应用.2.从相反意义的量的表示,理解正数、负数的概念,理解有理数产生的必然性、合理性.3.有理数的分类:按有理数的整分性可以分为整数和分数;按有理数的正负性可以分为正有理数、负有理数和零.难点分析:1.分数都可以化为小数,有些小数(有限小数和无限循环小数)可以化为分数.2.相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都具有数量(必须是同一类量,数量大小可以不相等).例题精析例1、判断:(1)前进和后退是两个具有相反意义的量;(2)零上6℃的相反意义的量只有零下6℃;(3)收入50万元和亏损20万元是两个具有相反意义的量;(4)上涨100元和下降50点是两个具有相反意义的量.思路点拨:先判断意义是否相反,再看是不是有数量.解题过程:(1)前进和后退具有相反意义,但没有数量,所以错误.(2)相反意义的量中数量可以不相等,所以错误.(3)收入和支出才具有相反意义,所以错误.(4)相反意义的量中数量必须是同一类量,100元和50点不是同一类量,所以错误.方法归纳:判断是否是相反意义的量时要抓住两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都具有数量(必须是同一类量,数量大小可以不相等).易错误区:注意(3)中收入的相反意义是支出,亏损的相反意义是盈利,不要混淆.例2、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1~98次为特快列车,101~198次为直快列车,301~398次为普快列车,401~498次为普客列车;二是单数与双数表示不同的行驶方向,其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,根据以上规定,龙岩开往北京的普快列车“海西号”的车次号可能是( ). A.96 B.118 C.335 D.336思路点拨:根据普快列车的车次号在301~398之间,开往北京的列车车次号为双数作答. 参考答案:D方法归纳:本题是材料题,要仔细阅读所给信息,才能得出正确的结论. 易错误区:解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.例3、(1)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有15个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝 瓶矿泉水; (2)师生共52人外出春游,到达后,班主任要给每人买一瓶矿泉水,给了班长买矿泉水的钱.班长到商店后,发现商店正在进行促销活动,规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买 瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶.思路点拨:(1)看15里面有几个4,再看余下的空瓶包含几个4,把个数相加即可;(2)因为5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水,可知4个空瓶可以换1瓶的水,因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水,所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水,还差2瓶单买.解题过程:(1)15÷4=3……3,可先换3瓶矿泉水,喝完后还剩3+3=6个空瓶,拿出4个空瓶换一瓶矿泉水,还剩3个空瓶,找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水,喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人,故最多可以喝5瓶矿泉水. (2)52÷5=10组……2瓶;4×10+2=42瓶.答:班长只要买42瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶.方法归纳:本题考查的知识点是推理与论证,关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件,得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论,然后再列式计算. 易错误区:换来的矿泉水喝完又是空瓶,可以继续换.例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前,古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如:2141424142143+=+=+=;216163616316432+=+=+==. (1)仿照上例分别把分数85和53拆分成两个不同的单位分数之和.85= ;53= ; (2)在上例中,214143+=,又因为316162616216321+=+=+==,所以31614143++=,即43可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路,它也可以写成四个,甚至五个不同的单位分数之和.根据这样的思路,探索分数85能写出哪些两个以上的不同的单位分数之和.思路点拨:(1)由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和,就是利用同分母分数的加法或约分的性质,把这个分数拆成两个同分母分数,使其中一个分子是1,另一个分数分子能整除分母;(2)只要根据单位分数的转化方法,把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.解题过程:(1)21101105110653,218184185+=+==+=+=. (2)41121618185,2112124185,31618185+++=++=++=.方法归纳:本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法,也考查了学生的观察能力.易错误区:分子为1的分数叫做单位分数,最大的单位分数是11,21是整数,不是分数.例5、已知有A ,B ,C 三个数集,每个数集中所含的数都写在各自的大括号内,请把这些 数填入图中相应的部分. A.{-5,2.7,-9,7,2.1} B.{-8.1,2.1,-5,9.2,-71} C.{2.1,-8.1,10,7}思路点拨:由已知观察,先找出三个数集相同的数,再找出每两个数集相同的数,把相同的数分别填入公共部分. 解题过程:通过观察,A ,B ,C 三个数集都含有2.1, A ,B 数集都含有-5, A ,C 数集都含有7, B ,C 数集都含有-8.1.方法归纳:本题主要考查学生对数集的理解与应用.易错误区:每个数在图中只能出现一次,多个数集都有的数要填在公共部分.例6、把下列各数填入相应的数集内: -100,+12,331,-72,0.01,68,-10%,0,18‰,-241,2.0,0.4·5·,π. 正有理数集:{ …};负有理数集:{ …}; 整数集:{ …}; 分数集:{ …};自然数集:{ …}; 非负数集:{ …}.思路点拨:按照有理数的分类进行判断:有理数包括:整数和分数或者正有理数、负有理数和零;整数包括:正整数、0和负整数;分数包括:正分数和负分数;自然数包括:零和正整数.解题过程:正有理数集:{+12,331,0.01,68,18‰,2.0,0.4·5·,…}; 负有理数集:{-100,-72,-10%,-241,…};整数集:{-100,+12,68,0,2.0,…}; 分数集:{331,-72,0.01,-10%,18‰,-241,0.4·5·,…}; 自然数集:{+12,68,0,2.0,…}; 非负数集:{+12,331,0.01,68,0,18‰,2.0,0.4·5·,π,…}. 方法归纳:本题考查了有理数的概念,认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数. 易错误区:π是无限不循环小数,不能转化为分数,所以它既不是分数,也不是有理数.探究提升例、请根据各数之间的关系,找规律填空.思路点拨:(1)观察图形中的数字可知:(9+6)×1=15;(6+7)×4=52;(5+8)×3=39;由此可得,每个三角形中:(上面的数字+左下的数字)×右下的数字=中间的数字;(2)根据图形中的数字可知:中间的数字=上下数字之差;左边的数字=中间的数字×右边的数字;由此即可解答;(3)观察每组图形中的三个数字特点可知:下边的数字由三部分组成:最左边的数字是右上方的数字十位上的数字;最右边的数字是左上方的数字个位上的数字;中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和,由此即可解答. 解题过程:①(11+3)×2=28.故?=28. ②61-56=5,5×3=15.故?=5,△=15.③最左边数字是6,最右边数字是8,中间数字是1+1=2,所以这个数是628.故?=628. 方法归纳:主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.易错误区:规律的确定通常至少要三个特例,从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确,所以归纳出的一般结论要检验,使每一个特例都满足规律.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【台湾】在1~45的45个正整数中,先将45的因子全部删除,再将剩下的整数由小到大排列,求第10个数为( ).A.13B.14C.16D.173.【金华】有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450g)为基数,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示的实际克数最接近标准克数的是( ).A.+2B.-3C.+3D.+44.略5.略6.略7.【仙游】有一口9m深的水井,蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑,蜗牛白天向上爬2m,晚上向下滑1m;乌龟白天向上爬3m,晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时,蜗牛距井口 m.高分夺冠1.略2.略3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水(少于4个空瓶则不能换),花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水,如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水,那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水;反过来,如果一共能喝上3126瓶矿泉水,那么最初应该买了瓶矿泉水.4.略5.某路公交车从起点经过A,B,C,D四站到达终点,途中上下乘客如下表所示.(用正数表(1)到终点下车还有多少人?填在表格相应位置;(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多?站和站;(3)若每人乘坐一站需买票0.5元,问该车出车一次能收入多少钱?要求写出算式.第二讲数轴和绝对值思维导图重难点分析重点分析:1.数轴的三要素:原点、单位长度、正方向.2.理解有理数可以用数轴上的点表示,数轴上的点不一定表示有理数.3.相反数:实数a与-a互为相反数,零的相反数仍是零.若a,b互为相反数,则a+b=0.4.倒数:若两个实数的乘积为1,就称这两个实数互为倒数,零没有倒数.5.绝对值的几何意义:表示这个数到原点的距离.6.比较有理数大小的两种基本方法:利用数轴比较大小;利用法则比较大小.难点分析:1.数轴涉及数和形两个方面,是解决许多数学问题的重要工具.2.绝对值具有非负性,去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.例题精析例1、下列所画的数轴正确的有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条思路点拨:利用数轴的概念和三要素(原点,正方向和单位长度)来判断正误.解题过程:第一条数据顺序不对,错误;第二条正确;第三条没有正方向,错误;第四条刻度不均匀,错误.所以正确的共有1条.故选A.方法归纳:本题主要考查了数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可. 易错误区:数轴的单位长度可以根据实际需要选取.例2、数轴上点A,B的位置如图所示,若点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为 .思路点拨:点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4;点B关于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=4.设点C表示的数为x,则-1-x=4,解出x即可求得点C表示的数.解题过程:如图,点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4.又点B关于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=4.设点C表示的数为x,则-1-x=4,解得x=-5.故答案为-5.方法归纳:由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.易错误区:数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.例3、已知数轴上A,B两点分别为-3,-6,若在数轴上找一点C,使得A与C的距离为4;找一点D,使得B与D的距离为1,则下列( )不可能为C与D的距离.A.0B.2C.4D.6思路点拨:将点A,B,C,D在数轴上表示出来,然后根据绝对值与数轴的意义计算CD的长度.解题过程:根据题意,点C与点D在数轴上的位置如图所示:在数轴上使AC的距离为4的点C有两个:C1,C2,数轴上使BD的距离为1的点D有两个:D1,D2,∴C与D的距离为:①C2D2=0;②C2D1=2;③C1D2=8;④C1D1=6.综合①②③④,知C与D的距离可能为:0,2,6,8.故选C.方法归纳:本题综合考查了数轴,绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.易错误区:在数轴上找一点C,使得A与C的距离为4,满足这个条件的点A有两个;同理找一点D,使得B与D的距离为1,满足条件的点D也有两个,注意不要遗漏.例4、如图,数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点G表示8.(1)点B表示的有理数是,表示原点的是点是;(2)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13,则这样的点M表示的有理数是;(3)若相邻两点之间的距离不变,将原点取在点D,则点C表示的有理数是,此时点B与点表示的有理数互为相反数.思路点拨:(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离,再求出相邻两点之间的距离即可解答;(2)设点M表示的有理数是m,根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值;(3)根据两点间的距离是2可求出C点坐标,再根据相反数的定义即可求出结论.解题过程:(1)∵数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点G 表示8,∴AG=|8+4|=12. ∴相邻两点之间的距离=612=2. ∴点B 表示的有理数是-4+2=-2,点C 表示的有理数-2+2=0. 故答案为:-2;C.(2)设点M 表示的有理数是m ,则|m+4|+|m-8|=13, ∴m=-4.5或m=8.5. 故答案为:-4.5或8.5. (3)若将原点取在点D , ∵每两点之间距离为2, ∴点C 表示的有理数是-2.∵点B 与点F 在原点D 的两侧且到原点的距离相等, ∴此时点B 与点F 表示的有理数互为相反数. 故答案为:-2;F. 方法归纳:本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义,熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.易错误区:第(2)题中A ,G 两点间的距离为12,所以数轴上到点A 、点G 距离之和为13的点M 在线段AG 外,这样的点有两个.例5、已知|a+3.5|+|b-9|+|c-13.5|=0,求ab+c 的值.思路点拨:根据非负数的性质可求出a ,b ,c 的值,再将它们代入ab+c 中求解即可. 解题过程:∵|a+3.5|+|b-9|+|c-13.5|=0, ∴a+3.5=0,b-9=0,c-13.5=0. ∴a=-3.5,b=9,c=13.5. ∴ab+c=-3.5×9+13.5=-18.方法归纳:非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零. 易错误区:只有当若干个非负数相加等于零时,才能得出每个非负数都同时为零.探究提升例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: ;(2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为―1,则点A 与点B 两点间的距离可以表示为 ;(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ,取得最小值时x 的取值范围为 ;(4)满足|x+1|+|x+4|>3的x 的取值范围为 .思路点拨:(1)通过观察容易得出结论;(2)在数轴上找到点B 所在的位置,点A 可以位于数轴上的任意位置,分三种情况进行分类讨论;(3)(4)根据(2)中的结论,利用数轴分析. 解题过程:(1)相等.(2)结合数轴,分以下三种情况:当x ≤-1时,距离为-x-1当-1<x≤0时,距离为x+1当x>0,距离为x+1综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.(3)|x-2|即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离.|x+3|=|x-(-3)|即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.如图,x在数轴上的位置有三种可能:图1图2图3图2符合题意,所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2.(4)同理|x+1|表示数轴上x与-1之间的距离,|x+4|表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求:当x在什么范围内时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1.方法归纳:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上,|a-b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.易错误区:|a-b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离,|a+b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【菏泽】如图,数轴上的A ,B ,C 三点所表示的数分别是a ,b ,c ,其中AB=BC ,如果|a|>|b|>|c|,那么该数轴的原点O 的位置应该在( ).A.点A 的左边B.点A 与点B 之间C.点B 与点C 之间D.点B 与点C 之间或点C 的右边(第2题)(第3题)3.【遵义】如图,A ,B 两点在数轴上表示的数分别是a ,b ,则下列式子中成立的是( ).A.a+b <0B.-a <-bC.1-2a >1-2bD.|a|-|b|>04.略5.略(第6题)6.【咸宁】实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则|a | |b |(填“>”“<”或“=”).7.【略8.【咸宁】在数轴上,点A (表示整数a )在原点的左侧,点B (表示整数b )在原点的右侧.若|a-b|=2013,且AO=2BO ,则a+b 的值为 .高分夺冠1.略2.当x 满足条件 时,y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|会得到最小值.3.求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值.4.略5.有理数a ,b ,c 均不为0,且a+b+c=0.设x=||||||||ba c a cbc b a +++++,试求代数式x 19+99x+2013之值.第三讲有理数的加减思维导图重难点分析重点分析:1.有理数加法法则:(1)同号相加,取相同符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;(3)一个数同0相加,仍得这个数.2.加法交换律:a+b=b+a,两个数相加,交换加数的位置,和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.3.有理数减法法则:减去一个非零的数,等于加上这个数的相反数.其中,两变:减法运算变加法运算,减数变成它的相反数;一不变:被减数不变.可以表示成:a-b=a+(-b).难点分析:1.在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中,一定要牢记“先符号,后绝对值”,熟练以后就不会出错了.2.在进行有理数加法运算时,一般采取:(1)是互为相反数的先加(抵消);(2)同号的先加;(3)同分母的先加;(4)能凑整数的先加;(5)异分母分数相加,先通分,再计算.例题精析例1,、钟面上有1,2,3,4,5,…,12共12个数.(1)试在某5个数的前面添加负号,使这5个负数与其余7个正数的和为0;(2)在解题过程中你能总结出一些什么规律?思路点拨:先求出1,2,3,4,5,…,12这12个数的和为78,将78÷2得出5个负数绝对值的和为39,找到12个数中5个数绝对值的和等于39的数前面添加负号即可.解题过程:(1)1+2+3+4+5+…+12=78,78÷2=39.∵1+6+9+11+12=39,∴5个数为1,6,9,11,12(答案不唯一).(2)规律:5个负数绝对值的和等于1,2,3,4,5,…,12这12个数的和的一半.方法归纳:认真审题,找出“5个负数绝对值的和等于1,2,3,4,5,…,12这12个数的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在.易错误区:要利用互为相反数的两个数相加和为0,从而找到规律,不能盲目乱凑.例2、计算:(1)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28; (2)75.1)321()432()323(------.思路点拨:(1)注意运算过程中的简便方法,让能够凑成整十的两个数相结合;(2)首先化简,然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.解题过程:(1)原式=(-6-8-2-4.72-5.28)+(3.54+16.46)=-26+20=-6.(2)原式=)431432()321323(431321432323-++-=-++-=-2+1=-1. 方法归纳:在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.易错误区:当使用运算定律后不能使运算更简便的,就按一般运算顺序计算.例3、用简便方法计算:(1)111.1+(-12)+0.9;(2)(+13)+(-21)+(+28)+(-10);(3)4.33+(-7.52)+(-4.33); (4))76()61()71(65-+-+-+. 思路点拨:(1)能凑整的先凑整简称凑整结合法;(2)把正数与负数分别结合在一起再相加简称同号结合法;(3)有相反数的先把相反数相加简称相反数结合法;(4)遇到分数,先把同分母的数相加,简称同分母结合法.解题过程:(1)原式=111.1+0.9+(-12)=112+(-12)=100.(2)原式=[(+13)+(+28)]+[(-21)+(-10)]=(+41)+(-31)=10.(3)原式=(-7.52)+[(+4.33)+(-4.33)]=(-7.52)+0=-7.52.(4)原式=31)1(32)]76()71[()]61(65[-=-+=-+-+-+. 方法归纳:认真观察算式的特点,合理利用简便计算规则:①凑整结合法;②同号结合法;③相反数结合法;④同分母结合法.易错误区:不是所有的计算都有简便方法的.例4、一天,有个年轻人来到“高记”童鞋店里买了一双鞋,这双鞋的成本是15元,标价是21元,这个年轻人掏出一张50元的人民币要买这双鞋,鞋店当时没有零钱,就用那张50元钱向街坊换了50元的零钱,找给年轻人29元,但是,街坊后来发现那张50元的钱是假钞,鞋店老板无奈之下,还了街坊50元,那么鞋店在这次交易中共损失了( ).A.15元B.44元C.50元D.100元思路点拨根据题意可知,鞋店老板首先损失了这双鞋的成本15元,然后损失了找给年轻人的29元,共损失了44元.解题过程:15+29=44(元).答:鞋店老板共损失了44元.方法归纳:本题的关键在于充分理解题意,若那张50元的钱是真钞,鞋店老板就没有损失了.易错误区:注意还给街坊的50元不属于损失之列,因为换零钱时街坊也给了鞋店老板50元.例5、小张上周末买进股票(1)到本周三,小张所持股票每股是多少元?(2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?(3)已知小张买进股票时付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税.如果小张在本周末卖出全部股票,他的收益如何?思路点拨:(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格;(2)比较五天涨跌可知,星期一和星期二都是涨,则该股票最高价出现在星期二,进而求出每股的价格;(3)收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费,代入求值即可.解题过程:(1)20+4+5-1=28(元).答:到本周三,小张所持股票每股28元.(2)20+4+5=29(元).答:本周内,股票最高价出现在星期二,是29元.(3)29-1-3-6=19(元),1000×19=19000(元),1000×20=20000(元),19000-20000-20000×1.5‰-19000×(1.5‰+3‰)=-1000-30-85.5=-1115.5(元).答:小张亏了1115.5元.方法归纳:本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.所以学生在学这一部分时一定要联系实际,活学活用.易错误区:股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.例6、实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)根据这次测量的数据,可得观测点A相对观测点B的高度是( ).A.210 mB.130 mC.390 mD.-210 m思路点拨:认真审题可以发现:A比C高90 m,C比D高80 m,D比E高60 m,F比E高50 m,F比G高70 m,B比G高40 m.然后转化为算式,通过变形得出A-B的关系即可.解题过程:由表中数据可知:A-C=90…①,C-D=80…②,D-E=60…③,E-F=-50…④,F-G=70…⑤,G-B=-40…⑥.①+②+③+…+⑥,可得(A-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-B)=A-B=90+80+60-50+70-40=210.∴观测点A相对观测点B的高度是210 m.故选A.方法归纳:解答本题的关键是理解表格中数据的实际意义,然后转化为算式,本题也可以通过画线段图来求解.易错误区:注意A-C 与C-A 表示的意义不同.探究提升例、观察下列等式4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯,将以上三个等式两边分别相加得:4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯. (1)猜想并写出:)1(1+n n = ; (2)直接写出下列各式的计算结果: ①201320121...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= ; ②431321211⨯+⨯+⨯+…+)1(1+⨯n n = ; (3)探究并计算:201420121...861641421⨯++⨯+⨯+⨯; (4)计算1801...40124112141+++++. 思路点拨:(1)观察可得分子为1,分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差,即111)1(1+-=+n n n n ;(2)根据此规律把各分数转化,再进行分数的加减运算;(3)先提出41,然后按照前面的运算方法计算即可;(4)根据)901...1216121(211801...40124112141++++=+++++计算即可. 解题过程:(1) 111+-n n (2)①20132012 ②1+n n (3)原式=20145031007100641)100710061...321211(41=⨯=⨯++⨯+⨯. (4)原式=.20910921)1091...431321211(21)901...1216121(2190121...1212161212121=⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++++=⨯++⨯+⨯+⨯ 方法归纳:本题考查了关于数字的变化规律:通过观察数字之间的变化规律,得到一般性的结论,再利用此结论解决问题.易错误区:(3)(4)要注意观察算式的特点,转化为第(2)题中的运算方法.专项训练拓展训练A 组略B 组略走进重高1.略2.略3.【武汉】-8的绝对值与它的相反数的差是( ).A.8B.-8C.0D.164.略5.【芜湖】请阅读一小段约翰斯特劳斯的作品,根据乐谱中的信息,确定最后一个音符的时值长应为( ).A.81B.21C.41D.43(第5题)(第6题)6.【常德】如图,一个数表有7行7列,设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,j=1,2,3,…).例如:第5行第3列上的数a 53=7,则:(1)(a 25-a 22)+(a 52-a 53)= ;(2)此数表中的四个数a np ,a nk ,a mp ,a mk ,满足(a np -a nk )+(a mk -a mp )= .高分夺冠1.略2.略3.如图的号码是由14位数字组成的,把每一位数字写在下面的方格中,若任意相邻的三个(第3题)4.略5.解答题:(1)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x2-cdx的值;(2)10箱苹果,如果每箱以30kg为准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重的记录如下:+2,+1,0,-1,-1.5,-2,+1,-1,-1,-0.5.这10箱苹果的总质量是多少千克?(3)小亮用50元钱买了10支钢笔,准备以一定的价格出售,如果每支钢笔以6元的价格为标准,超过的记作正数,不足的记作负数,记录如下:0.5,0.7,-1,-1.5,0.8,1,-1.5,-2.1,9,0.9.①这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元?②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏?。

走进重高 培优讲义七上 第七讲 实数及其运算

走进重高 培优讲义七上 第七讲 实数及其运算

第七讲 实数及其运算例1计算:.213625)1(-⨯ ).1()32(3)2(-⨯-- .27091)3(3--+ ).12(3)]23(25)[4(+⨯--⨯-例2 (1)比较513-与51的大小. (2)比较⋅-21与31-的大小.例3 如图,在4×4方格中每个小正方形的边长都为1. (1)直接写出图1中正方形ABCD 的面积及边长.(2)在图2的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的顶点上), 并把图2中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.8例4 已知x ,y 为实数,,214422-+-+-=x x x y 试求y x 43+的值.例5 观察下列一组式子的变形过程,然后回答问题:.,45451,34341,23231,12121 -=+-=+-=+-=+(1)请你用含n(n 为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律. (2)利用上面的结论,求式子的值:⋅++++++++202020211341231121例6 大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,但是由于,221<<所以2的整数部分为1,将2减去其整数部分1,所得的差-21就是其小数部分.根据以上内容,解答下面的问题:5)1(的整数部分是_______,小数部分是________. 21)2(+的整数部分是_______,小数部分是________.(3)若设32+的整数部分是x ,小数部分是y ,求y x 3-的值.例 化简:==2,00)1(_______=-2)2(______=2,a ______.==3333,00)2(______=-33)3(,______=33,a(3)根据以上信息,观察图中a ,b 所在的位置,完成化简:.)()(3322b a b a a +--+拓展训练 A 组1.下列说法中:①无限小数是无理数;②无理数是无限小数;③无理数的平方一定是无理数;④实数与数轴上的点是一一对应的.正确的个数是( ). 1.A 2.B 3.C 4.D 2.在算式)33(-口)53(-的口中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是( ). A.加号 B .减号 C .乘号 D .除号 3.若,322<-<a 则a 的值可以是( ).7.-A 316.B 213.C 12.D 4.下列等式:=--=-=±=-=33628;436427;001.0101;4)4(;81161⑤④③②①;83- .25)5(2=--⑥其中正确的有( ).A.2个 B .3个 C .4个 D .5个 5.当a 为实数时,a a -=2在数轴上对应的点在( ).A .原点右侧B .原点左侧C .原点或原点右侧D .原点或原点左侧 6.把下列各数分别填人相应的集合内.⋅---3,11121211211121.2,27,4,32,14.3,15,0,5.63π 整数集合:{ }; 有理数集合:{ …};无理数集合:{ …}; 正实数集合:{ …}; 负实数集合:{ …}. 7.计算:=56.2_________=327125;________=-16949;_______=-96.144.1;_________ =-2224145;_________=+)32(2;________=+)313(3;_________.8.求下列各式的值:.27)6(9)1(32---- ⋅-⨯--⨯-+-)91(2781)2(1)2(332⋅-+---+-3212564)2(|23||23|)3( .|6|)4(125.041)3)(4(232---+---- 9.如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B ,若点A 表示,3-设点B 所表示的数为m .(1)求m 的值.(2)求1)6(3|1|+++-m m 的值.(第9题)10.阅读理解: 求103的近似值.解:设,10103x +=其中,10<<x 则,)10(1032x +=即.201001032x x ++=.10,102<<∴<<x x,20100103x +≈∴解得103,15.0即≈x 的近似值为10.15.理解应用:利用上面的方法求95的近似值(结果精确到0.01).11.(1)若,622=----y x x 求x y 的立方根.(2)已知有理数a 满足,2021|2020|a a a =-+-求22020-a 的值.B 组12.对实数a ,b 定义“★”运算规则如下:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=),(),(*22b a b a b a b b a 则)3*2(*7等于( ).1.A2.B 1.-C 2.-D13.若53+的小数部分是53,-a 的小数部分是b ,则b a +的值为( ).0.A 1.B 1.-C 2.D14.我们知道,方程12-=x 没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i”,使其满足12-=i (即方程12-=x 有一个根为i ).并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有,1,21-==i i i =⋅=i i i 23,1)1()(,)1(2224=-==-=⋅-i i i i 从而对于任意正整数n ,我们可以得到 =⋅=+i i i n n 414,)(4i i i n =⋅同理可得.1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么20202019432i i i i i i ++++++ 的值为( ). 0.A 1.B 1.-C i D .15.请在如图的两个圆圈中各选两个数,再用÷⨯-+,,,中的3种运算符号,使得结果为正整数,写出你的运算式子:(第15题)16.如图,将3,2,1三个数按图中方式排列,若规定(a ,b)表示第a 行第b 列的数,则(8,2)与)2020,2020( 表示的两个数的积是_________.(第16题)17.阅读下列材料:为什么2不是有理数?假设2是有理数,那么存在两个互质的正整数m ,n ,使得,2mn=于是有.222n m = 22m 是偶数,2n ∴也是偶数,n ∴是偶数,设t n 2=(t 是正整数),则m t m m t n ∴=∴==.2,2422222也是偶数.n m ,∴都是偶数,不是互质数,与假设矛盾,.‘.假设错误.2∴不是有理数, 用类似的方法,请证明3不是有理数.18.我们规定:用[x 表示实数x 的整数部分,如,2]8[,3]14.3[==在此规定下解决下列问题: (1)填空:=++++]6[]3[]2[]1[ (2)求]49[]4[]3[]2[]1[+++++ 的值. 19.如图是一块正方形纸片.(1)如图1,若正方形纸片的面积为,12dm 则此正方形的对角线AC 的长为________.dm(2)若一圆的面积与这个正方形的面积都是,22Cm π设圆的周长为,圆C 正方形的周长为,正C 则圆C ______正C (填“>”“<”或“=”). (3)如图2,若正方形的面积为,162cm 李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为212cm 的长方形纸片,使它的长和宽之比为3:2,他能裁出吗?请说明理由.(第19题)走进重高1.【南通】如图,数轴上的点D C O B A ,,,,分别表示数,2,1,0,1,2--则表示数52-的点P 应落在( ).(第1题)A.线段AB 上 B .线段BO 上 C .线段OC 上 D .线段CD 上 2.【福建】已知,34+=m 则以下对m 的估算正确的( ).32.<<m A 43.<<m B 54.<<m C 65.<<m D3.下列运算中,错误的个数为( ).;1251144251=①;4)4(2±=-②;2222-=-③⋅=+=+43214141161④ 1.A 2.B 3.C 4.D4.【湘西州】用科学计算器按如图的步骤操作,若输入的数值是3,则输出的值为______(结果精确到0.1).(第4题)5.对于任意不相等的两个数a ,b 定义一种运算“*”如下:,*ba b a b a -+=例如:=-+=23232*3.5那么=)1*3(*12________. 6.请按要求解答下列问题:(1)实数a ,b 满足.03=+b a 若a ,b 都是非零整数,请写出一对符合条件的a ,b 的值. (2)实数a ,b 满足.33-=+b a 若a ,b 都是分数,请写出一对符合条件的a ,b 的值.7.如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片,可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形.(1)拼成的正方形的面积是__________,边长是_________.(2)你能在3×3的正方形方格(如图2)中,连结四个点组成面积为5的正方形吗? (3)如图3是由10个小正方形组成的纸片,你能把它剪开并拼成一个大正方形吗?若能,请画出示意图,并写出边长为多少.(第7题)高分夺冠1.若,0<<b a 化简233233)()(b a b a b a -+---的结果为( ).b a A -3. )(3.a b B - b a C -. a b D -.2.已知a 和b 都是无理数,且,b a =/下面提供的6个数:b a ab b a ab baab b a b a ++-+-+,,,,,可能成为有理数的有___________个.3.已知9,16和a 三个数,使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根,写出所有符合条件的数a 的值:___________________________. 4.已知212171-的整数部分为a ,小数部分为b ,则=b _________=-bb 4,____________. 5.如图,a ,b ,c 分别是数轴上点A ,B ,C 所对应的实数.化简:.||)(||332c b b a b a c -+++-+(第5题)6.10414-的整数部分为a ,小数部分为b ,求ba b a -++11的值.。

走进重高 培优讲义七上 第十七讲 分类讨论思想

走进重高 培优讲义七上 第十七讲 分类讨论思想

第十七讲 分类讨论思想例1若42-m 与13-m 是同一个正数的平方根,则m 为( ).3.-A 1.B 1.-C 13.或-D例2 若三个有理数x ,y ,z 满足,0>xyz 则=++zz y y x x ||||||_________.例3已知,60 =∠AOB 作射线OC ,使,40 =∠AOC OD 是∠BOC 的平分线,求∠BOD 的度数.例4某开发公司要生产若干件新产品,需要精加工后,才能投放市场,现有红星和巨星两家加工厂都想加工这批产品,已知红星厂单独加工比巨星厂单独加工这批产品多用20天,红星厂每天可加工16件产品,巨星厂每天可加工24件产品,公司需付给红星厂每天加工费800元,付给巨星厂每天加工费1200元. (1)该公司需加工多少件新产品?(2)公司的产品可由一家工厂单独加工完成,也可由两家工厂合作完成,在加工过程中公司需另派一名工程师每天到厂家进行指导,并支付工程师每天10元的午餐补助,请你帮助公司从所有可供选择的方案中,选择一种既省钱又省时的加工方案.例5如图,一条直线上依次有A ,B ,C 三点. (1)若,3,10AB AC BC ==求AB 的长.(2)若D 是射线CB 上一点,M 为BD 的中点,N 为CD 的中点,求MNBC的值. (3)当点P 在线段BC 的延长线上运动时,E 是AP 的中点,F 是BC 的中点.下列结论:BPAC EF+①是定值;||BPAC FF-②是定值.其中只有一个结论正确,请选择正确结论并求出其值.备用图例6 在平面上画一个任意大小的圆和一个三角形,它们最多能把平面分成几个部分?A 组1.设a 是实数,则a a ||的值( ).A.可以是负数 B .不可能是负数C.必是正数 D .可以是正数也可以是负数 2.线段,4,5cm BC cm AB ==那么A ,C 两点间的距离是( ).cm A 1. cm B 9. cm cm C 91.或 D .以上结果都不对3.若,,2||,5||b a b a <==则a ,b 分别为( ).2,5.-A 2,5.--B 2,5.-C 2,5.--D 或2,5-4.如图是一副特制的三角板,用它们可以画出一些特殊角,在,54 ,72,63,60 o ,144,120,99 o171,153,150这些角中,能画出的角有( ). A.6个 B. 7个 C .8个 D .9个(第4题)5.-条直线上有A ,B ,C 三点,Q P cm AC cm AB ,,18,8==分别是AB ,AC 的中点,则=PQ _______. 6.已知,60 =∠AOB 过点0的射线OC 使,2:3:=∠∠AOB AOC 则=∠BOC _________. 7.阅读材料,解答下列问题.例:当0>a 时,如,6=a 则,6|6|||==a 故此时a 的绝对值是它本身; 当0=a 时,,0||=a 故此时a 的绝对值是零;当0<a 时,如,6-=a 则),6(6|6|||--==-=a 故此时a 的绝对值是它的相反数..’.综合起来一个数的绝对值要分三种情况,即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=).0(),0(0),0(||a a a a a a这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.(1)请仿照例中分类讨论的方法,分析实数⋅2a 去根号后的各种情况. (2)猜想2a 与||a 的大小关系.8.已知线段,10cm AB =直线AB 上有一点,6,cm BC C =M 为线段AB 的中点,N 为线段BC 的中点,求线段MN 的长.9.阅读材料:我们知道,对于关于x 的方程,b ax =当a 不等于O 时,方程的解为;abx =当a 等于0,b 也等于O 时,所有实数x 都能使等式成立,也就是说方程的解为全体实数;当a 等于0,而b 不等于0时,使等式成立的x 的值不存在,此时,我们说方程无解.根据上述知识判断,a ,b 为何值时,关于x 的方程783)24(-=--x b x a 的解为全体实数?,a b 为何值时,方程无解?10.对于有理数a ,b ,定义一种新运算“⊙”规定.||||b a b a b a -++=Θ (1)计算)3(2-Θ的值.(2)①当a ,b 在数轴上的位置如图所示时,化简.b a Θ②当c a b a Θ=Θ时,是否一定有c b =或者?c b -=若是,请说明理由;若不是,请举例说明. (3)已知⋅+=ΘΘ,8)(a a a a 求a 的值.(第10题)11.已知.30,90 =∠=∠COD AOB(1)如图1,当点0,A ,C 在同一条直线上时,∠BOD 的度数是(2)将∠COD 从图l 的位置开始,绕点0按逆时针方向旋转0n (即0n AOC =∠),且n <0.180<①若COD ∠的一边与∠AOB 的一边垂直,则=n ________. ②当9060<<n 时(如图2),作射线OM 平分∠AOC,射线ON 平分∠BOD,试求∠MON 的度数.(第11题)B 组12.同一平面内三条直线互不重合,那么交点的个数可能是( ).2,1,0.A 3,1,0.B 3,2,1.C 3,2,1,0.D13.如图,棋盘上有黑、白两色棋子若干,三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线共有( ).A.2条 B .3条 C .4条 D.5条(第13题)14.某超市推出如下购物优惠方案:一次性购物在80元(不含80元)以内时,不享受优惠;一次性购物在80元(含80元)以上,300元(不含300元)以内时,一律享受九折的优惠;一次性购物在300元(含300元)以上时,一律享受八折的优惠.某顾客在本超市两次购物分别付款65元、252元,如果他改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品,那么应付款( ).A .316元B .304元或316元 C.276元 D .276元或304元15.已知9,16,a 三个数,要使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根,则所有符合条件的数a 的值是_______.16.如图,在数轴上点A ,B 分别表示-15,9,点P ,Q 分别从点A ,B 同时开始沿数轴正方向运动,点P 的速度是每秒3个单位长度,点Q 的速度是每秒1个单位长度,运动时间为t(s),在运动过程中,当点P ,Q 和原点O 这三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时,t 的值是______.(第16题)17.已知关于x 的多项式,3234e dx cx bx ax ++++其中d c b a ,,,为互不相等的整数,且=abcd .4当1=x 时,这个多项式的值为27. (1)求d c b a +++的值.(2)求P 的值.(3)当1-=x 时,求这个多项式的所有可能的值. 18.【问题提出】已知),45(3,21,70<∠∠=∠∠=∠=∠BOC BOC BOD AOC AOD AOB 求BOC ∠的度数.【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决问题.(1)当射线OC 在∠AOB 内部时,若射线OD 在∠AOC 内部,如图1,可求∠BOC 的度数,解答过程如下: 设.2.33,ααα=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∠BOC BOD COD BOC BOD BOC.2,21α=∠=∠∴∠=∠COD AOD AOC AOD .14.14.70532 =∠∴=∴==+=∠+∠=∠∴BOC BOD AOD AOB αααα当射线OC 在∠A OB 内部时,若射线OD 在∠AOB 外部,如图2,请你求∠BOC 的度数.【问题延伸】(2)当射线OC 在∠AOB 外部时,请你画出图形,并求∠BOC 的度数.【问题解决】(3)综上所述,∠BOC 的度数是_________.(第18题)19.如图1,数轴上q n m ,,所对应的点分别为,,,Q N M 若点Q 到点M 的距离表示为QM ,点N 到点Q 的距离表示为NQ ,我们有⋅-=-=q n NQ m q QM ,(1)如图2,点A ,B ,C 在数轴上对应的数分别为,,6,4c -且,CA BC =直接写出C 的值:(2)在(1)的条件下,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A ,C 两点出发向右运动,甲的速度为每秒4个单位长度,乙的速度为每秒1个单位长度.求经过几秒,点B 与两只蚂蚁的距离和等于7.(3)在(1)(2)的条件下,电子蚂蚁乙运动到点B 后立即以原速返回,到达自己的出发点后停止运动,电子蚂蚁甲运动至点B 后也以原速返回,到达自己的出发点后又折返向点B 运动,到达点B 后再次返回……当电子蚂蚁乙停止运动时,电子蚂蚁甲随之停止运动.求运动时间为多少时,两只蚂蚁相遇.(第19题)。

七年级数学上册同步精品讲义(人教版):有理数(教师版)(人教版)

七年级数学上册同步精品讲义(人教版):有理数(教师版)(人教版)

5
1 3
为负分数,不是负整数,故
D
选项不符合题意;
故选:A
【点睛】
此题考查了有理数的分类,掌握有理数的分类是解题的关键.
2.(2022·全国·七年级课时练习)下列说法正确的是( )
A.正有理数和负有理数组成全体有理数 B.零既不是正数,也不是负数 C.0.5 既不是整数,也不是分数,因而它不是有理数 D.在有理数中,零的意义表示没有 【答案】B 【解析】 【分析】 根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可. 【详解】 解:A.有理数分为正有理数、0、负有理数,故此选项不符合题意; B.0 既不是正数,也不是负数,是最小的非负整数,故此选项符合题意; C.0.5 就是十分之五,是分数,是有理数,故此选项不符合题意; D.0 不仅可以表示没有,也可以表示实际的意义,如,在标准条件下,冰与水的混合物的冰与水的混合物 的温度为 0℃,故此项不符合题意. 故选:B. 【点睛】 本题考查有理数 0 的意义和性质,掌握 0 的意义和性质是正确判断的前提.
专题 1.2 有理数
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1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0 和正整数统称为自然数) ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限 小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数 注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类
②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。) 6.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小; ⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大 于负数。

人教版七年级数学上册拔高讲义

人教版七年级数学上册拔高讲义

数轴、相反数、绝对值(讲义)一、知识点睛1.去绝对值:___________________________________________________2.分类讨论:___________________________________________________3.绝对值的几何意义:___________________________________________________二、精讲精练1.设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,则b-a____0,a+c________0,所以2-+-+-化简后的结果为____________.b ac a c a2.设有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简a b a b b+---+-.13.设有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,化简---+--.11a b a b4.已知m m---.m m=-,化简125.已知a +b <0,化简13a b a b +----.6.已知a <0<c ,ab >0,b c a >>,化简b a b c a b c -++-++.7.已知a <0<c ,ab <0,>>a c b ,化简a a c b c b -+----.8.若15x -=,1y =,则x y -的值为__________________.9.若24x +=,3y =,则x y +的值为__________________.10.若4a =,2b =,且a b a b +=+,则a b -的值是多少?11.若3x =,2y =,且x y y x -=-,则x y +的值是多少?12.若ab ≠0,则a b a b+的值为______________.13.若abc ≠0,则cc b b a a ++的值为_______________.14.已知x为有理数,则12-+-的最小值为______.x x15.已知x为有理数,则12x x++-的最小值为______.16.已知x为有理数,则123-+-+-的最小值为______.x x x17.已知x为有理数,若123-+-=,则x=________.x x18.∵____0a∴当a=____时,a取值最小我们称a有最小值____;∴当a=_____时,2a+取得最____值是______.∵____0-a∴当a=_____时,a-取值最大我们称a-有最大值______;∴当a=____时,10a-+取得最____值是_____.同理可知,23--+有最____值是_____,此时a=_____.a类似地,a∵2____0a-有最____值是_____.∴2a有最____值是_____,22三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.去绝对值:①看整体,定符号;②依法则,留括号;③化简,验证.2.分类讨论:①画树状图,分类;②根据限制条件筛选、排除.3.绝对值的几何意义:a b-表示在数轴上数a与数b对应点之间的距离.二、精讲精练1.<,<,-b2.b-13.-2a-2b4.-15.-26.-b7.08.3,5,79.1,3,5,910.2,611.-1,-512.-2,0,213.-3,-1,1,314.115.316.217.0,318.≥,0,0;0,小,2.≤,0,0;0,大,10.大,3,2.≥,小,0,小,-2数轴、相反数、绝对值(随堂测试)1.已知c <0<a ,ab <0,<<a b c ,化简a b c a b c b ----++.2.若4m =,5n =,且m n n m -=-,那么m n +的值是多少?3.若ab ≠0,则ab ab a b ab++的值为___________.4.6a -+的最大值是________;22a -的最小值是________.【参考答案】1.-b +2c2.1,93.3,-14.6,-2数轴、相反数、绝对值(作业)1.若a a =-,b b -=,则2b a -=________.2.若ab ab -=-,则必有()A .a <0,b <0B .a <0,b >0C .ab ≥0D .ab ≤03.若a >0,b <0,且a b >,则a +b 一定是()A .正数B .负数C .非负数D .非正数4.设有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图所示,化简c a a c a b --+--.5.设有理数a ,b 在数轴上的位置如图所示,化简12a b a b a +--+++-.6.若23x -=,21y +=,则x y +的值为_____________.7.若2a =,13b +=,且a b b a -=-,则a +b 的值是多少?8.若ab <0,则a b a b+的值为____________.9.若ab ≠0,则a b ab a b ab+-的值为____________.10.已知x 为有理数,则32x x ++-的最小值为___________.11.∵_____0m ∴当m =_____时,m 有最______值是_____;∴1m -有最______值是________.∵_____0m -∴当m =_____时,m -有最_____值是_____;∴5m -+有最_______值是_______.【参考答案】1.b -2a2.D3.A4.a +b5.-a +16.2,47.4,08.09.-3,110.511.≥,0,小,0,小,-1.≤,0,大,0,大,5.有理数混合运算(讲义)一、知识点睛1.有理数混合运算处理方法:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.有理数运算技巧:___________________________________________________二、精讲精练1.222118(3)(4)9(0.75)-÷-+-÷÷-2.20141416(2)823⎛⎫--÷-⨯-÷- ⎪⎝⎭3.3222112334(0.5)0.2-+-------4.21111531352⎛⎫÷---- ⎪⎝⎭5.练习:(1)2221110.5633(0.5)---÷-÷-(2)2213(3)(6)76÷-+-⨯-+(3)311112(1)1123463⎛⎫-+÷-+-- ⎪⎝⎭(4)3323138(2)1(3)(2)0.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦6.12345678979899100+--++--+++--7. 2 0131111(24)(1)46812⎛⎫-⨯-+---- ⎪⎝⎭8.241515181(2)296⎛⎫--⨯--+--- ⎪⎝⎭9.211(370)0.2524.55(25%)(2)42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.523.228(9)(3.772)9(3)9+(1)+(3)⨯-+-⨯+-⨯--11.43510.712(15)0.7(15)9494⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-+⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.1111+13355720112013+++⨯⨯⨯⨯13.计算:11121399100+++++.14.计算:23100S=++++.222215.计算:2320S=++++.3333三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.有理数混合运算处理方法:①观察结构划部分;②有序操作依法则;③每次推进一点点.2.有理数运算技巧:①归类组合;②凑整分解;③裂项相消;④倒序相加;⑤错位相减.二、精讲精练1.-12.1323.274.1095.(1)-3;(2)7;(3)-1;(4)-436.-1007.88.-79.9610.-8211.-43.612.1006201313.499514.10122--15.21332有理数混合运算(随堂测试)1.计算:(1)3211(3)2(2)8540.125⎛⎫⎛⎫-÷-÷-----÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)(13)21292721(47)+2933-⨯+⨯+⨯-⨯(3)355551277272⎛⎫⨯--⨯- ⎪⎝⎭(4)233.785(7)(3.215)7(3)7(1)⨯-+-⨯+-⨯+-【参考答案】1.(1)-41;(2)480;(3)52;(4)13有理数混合运算(作业)1.21922.510.245⎡⎤⎛⎫÷--+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2.3116(2)23322÷---⨯-÷⨯3.3211511(2)224623⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.20131347(154)(1)620512⎛⎫-⨯⨯--+-+- ⎪⎝⎭5.2112(2)(3)2102543.⎛⎫-÷⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭6.320131515(2)(1)212÷--⨯+-7.1957315719434331⨯-⨯+⨯-⨯8.117(9)213222⨯--÷-÷+9.211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯10.计算:135799+++++.【参考答案】1.2522.354-3.44.55.43-6.-17.-12008.29.15400010.2500代数式求值(讲义)一、知识点睛1.去中括号时,需将小括号看作一个整体进行处理.2.整体代入:_________________________________________.3.数位表示:_________________________________________.二、精讲精练1.化简:222(54)m m m m ⎡⎤---+⎣⎦.2.化简:2225184(6)4(1)24m m m m m ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦.3.化简:22225111124244228a b a b ab ab a b ab ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.4.若关于x ,y 的多项式222258(735)mx x x x y x -++--+的值与x 无关,求m的值.5.若关于x ,y 的多项式22232(25)(102)x x x y ax x y -+----的值与x 无关,求2225(53)6()a a a a a a ⎡⎤-+---⎣⎦的值.6.若221a a +=,则代数式2322(2)5(2)7a a a a +-+-的值是___________.7.若252m n m n -=+,则代数式3(2)5(2)322m n m n m n m n-+-++-的值是____________.8.若代数式223a b +的值是6,则代数式2468a b ++的值是__________.9.若3440x x -+=,则代数式331210x x -+的值是_________.10.当1x =时,代数式31px qx ++的值是2015;则当1x =-时,代数式31px qx ++的值是_________.11.当7x =时,代数式35ax bx +-的值是7;则当7x =-时,代数式35ax bx +-的值是_________.12.当2x =时,代数式31ax bx -+的值是-17;则当1x =-时,代数式31235ax bx --的值是_________.13.一个三位数,中间数字为9,百位数字为a ,个位数字为b ,用代数式表示这个三位数是______________________.14.一个三位数,个位数字为a ,十位数字比个位数字大b ,百位数字比个位数字的平方小2,用代数式表示这个三位数是______________________________.15.若a 表示一个两位数,b 表示一个一位数,把b 放在a 的左边组成一个三位数,则这个三位数用代数式可表示为______________________.16.若x 表示一个两位数,y 表示一个三位数,把x 放在y 的左边组成一个五位数,则这个五位数用代数式可表示为______________________.三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛2.①确定整体;②建立联系;③代入求值.3.①画数位图;②对应计数单位.二、精讲精练1.244m m -+-2.92m --3.22ab 4.4m =5.-26.-107.178.209.-210.-201311.-1712.2213.10090a b ++14.21001110200a ab ++-15.100b a+16.1000x y+代数式求值(随堂测试)1.若关于x ,y 的多项式332327112232329x x xy mx xy ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值与x ,y 无关,求2217122(4)422m m m m m ⎡⎤----⎢⎥⎣⎦的值.2.若代数式238a b -++的值是18,则代数式962b a -+的值是__________.3.若m 表示一个两位数,n 表示一个三位数,把n 放在m 的左边组成一个五位数,则这个五位数用代数式可表示为_________________.【参考答案】1.-22.323.100n m+代数式求值(作业)1.化简:223122(1)3(2)6223m n m m n n n ⎡⎤⎛⎫-+---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2.若关于x 的多项式2214(45)64x mx x x mx mx ⎛⎫+---+- ⎪⎝⎭的值与x 无关,求232323(1)363m m m m ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦的值.3.若232a b a b -=+,则代数式2(2)15(2)22a b a b a b a b-+-+-+的值是______.4.若代数式2346x x -+的值是9,则代数式2463x x -+的值是___________.5.当3x =-时,代数式535ax bx cx ++-的值是7;则当3x =时,代数式535ax bx cx ++-的值是__________.6.若a表示一个一位数,b表示一个两位数,c表示一个三位数,把c放到a的左边,b放在a的右边,组成一个六位数,则这个六位数用代数式可表示为____________________.【参考答案】1.5m--2.53.114.75.-176.1000100++c a b探索规律(讲义)一、知识点睛1.图形规律:______________________________________________________________________________________________________2.循环规律:_________________________________________________________________ _____________________________________二、精讲精练1.观察表1,寻找规律.(1)表2、表3分别是从表1中选取的一部分,则a+b的值为________.(2)表4、表5分别是从表1中选取的一部分,则c+d的值为________.2.如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成下列各题.(1)表中第8行的最后一个数是_____,它是自然数____的平方,第8行共有________个数;(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是__________,最后一个数是_______,第n行共有__________个数.3.下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成,依此规律,第n个图案中白色正方形有__________个.4.如图,房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成.图中,第1个黑色形由3个正方形组成,第2个黑色形由7个正方形组成,…,那么组成第6个黑色形的正方形有()A.22个B.23个C.24个D.25个5.图1是一种瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,铺成2×2的近似正方形图2时,其中完整的菱形共有5个;铺成3×3的近似正方形图3时,其中完整的菱形共有13个;铺成4×4的近似正方形图4时,其中完整的菱形共有25个;如此下去,可铺成一个n×n的近似正方形图案.当得到共181个完整的菱形时,n的值为()A.7B.8C.9D.106.如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基本图形组成,第2个图案由7个基本图形组成,…,依此规律,则第n个图案由________个基本图形组成.7.将一张长方形纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到_____条折痕;如果对折n 次,那么可以得到__________条折痕.第一次对折第二次对折第三次对折8.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形有________个.图1图2图39.若图1中的线段长为1,将此线段三等分,并以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图2;再将图2中的每一段作类似变形,得到图3;按上述方法继续下去得到图4,则图4中的折线总长度为()A .2B .1627C .169D .642710.如图,圆圈中分别标有0,1,2,3,4,…,11这12个数字.电子跳蚤每跳一次,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈,现在一只电子跳蚤从标有数字“2”的圆圈开始,按逆时针方向跳了2013次后,落在一个圆圈中,则该圆圈所标的数字是__________.11.如图,四个电子宠物排座位:一开始,小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1,2,3,4号的座位上,以后它们不停地交换位置,第1次上下两排交换位置,第2次是在第1次交换位置后,再左右两列交换位置,第3次是在第2次交换位置后,再上下两排交换位置,第4次是在第3次交换位置后,再左右两列交换位置,…,这样一直交换位置,则第2013次交换位置后,小鼠所在的座号是_____.12.如图为手的示意图,在各个手指间标记字母A,B,C,D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方向)从A开始数连续的正整数1,2,3,4,…,当数到14时,对应的字母是________;当字母C第2013次出现时,恰好数到的数是_________;当字母C第2n次出现时(n为正整数),恰好数到的数是____________(用含n的代数式表示).13.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….(1)“17”在射线__________上;(2)请写出任意三条射线上的数字排列规律;(3)“2013”在哪条射线的第几个位置?三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.①观察图形构成:分类、去重、补形;②转化:转化成数字规律,转成其他图形的规律.2.①确定起始位置;②找循环节.二、精讲精练1.(1)121,(2)1022.(1)64,8,15;(2)(n-1)2+1,n2,2n-13.(5n+3)4.B5.D6.(3n+1)7.15,2n-18.1219.D10.511.312.B,6039,6n-113.(1)OE(2)OA:6n-5,OB:6n-4,OC:6n-3,OD:6n-2,OE:6n-1,OF:6n14.(3)OC,第336个位置.探索规律(随堂测试)1.下列图案由边长相等的黑白两色小正方形按一定规律拼接而成,依此规律,则第n个图案中白色小正方形和黑色小正方形共有_______________个.2.如图,将表示一个角形的纸对折,可以得到1条折痕(图中虚线),那么连续对折六次后,可以得到__________条折痕.3.将正方形ABCD的各边按如图所示延长,从射线DA开始,按顺时针方向依次在各射线上标记点1,2,3,….(1)写出射线AB上的数字排列规律_________________;(2)点2013在射线_____________上.【参考答案】1.24n n +2.633.(1)42n -,(2)DA探索规律(作业)1.将1,-2,3,-4,5,-6,…按一定规律排成下表:第一行1第二行-2,3第三行-4,5,-6第四行7,-8,9,-10……(1)写出第8行的数;(2)写出第50行的第一个数,并说明是怎么找到的.2.下列图形由边长为1的正方形按某种规律排列而成,依此规律,则第8个图形中正方形有()A .38个B .41个C .43个D .48个3.如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n 个图案中阴影小三角形的个数是______.4.一等边三角形的周长为1,将这个等边三角形的每边三等分,在每边上分别以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图2;再将图2中的每一段作类似变形,得到图3;按上述方法继续下去得到图4,则第4个图形的周长为________,第n个图形的周长为_____________.5.小时候我们就用手指练习过数数,一个小朋友按图中的规则练习数数,数到2013时对应的手指头是()A.大拇指B.食指C.小拇指D.无名指6.如图,平面内有公共端点的八条射线OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF ,OG ,OH ,从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,….(1)“20”在射线______________上;(2)请任意写出三条射线上的数字排列规律;(3)“2013”在哪条射线上?【参考答案】1.(1)第8行:29,-30,31,-32,33,-34,35,-36(2)观察图形可以得到,每一行的最后一个数的绝对值是行数相加,所以第49行最后一个数的绝对值是:1+2+3+…+49=1225,所以第50行第一个数的绝对值是1226;又可以观察到,奇数是正,偶数是负,所以第50行第一个数是-1226.2.C3.4n -24.343⎛⎫ ⎪⎝⎭(或者6427),143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭5.C6.(1)OD (2)OA :8n -7,OB :8n -6,OC :8n -5,OD :8n -4,OE :8n -3,OF :8n -2,OG :8n -1,OH :8n(3)OE含字母的方程(讲义)一、知识点睛含字母的方程一般处理思路:若解已知,将解代入对应方程求解字母的值;若解未知,将字母当作常数求解方程,然后根据题意求解字母的值;若方程含有字母系数,则先化成最简形式:__________,然后对___________进行讨论.二、精讲精练1.m 为何值时,代数式513132m m -+-与代数式324m +的和等于5?2.如果5x =是方程452ax x a +=-的解,那么a =________.3.小虎在解关于x 的方程5213a x -=时,误将“2x -”看成了“7x -”,得方程的解为1x =,则a 的值是_______,原方程的解为_________.4.小王在解关于y 的方程326a y -=时,误将“2y -”看成了“2y +”,得方程的解为3y =-,则原方程的解为_______.5.小明在解方程时,不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是:1212x x -♥=+,怎么办呢?(1)小明猜想“♥”部分是2,请你算一算此时x 的值.(2)小明翻看了书后的答案,此方程的解是1x =.请你算一算这个常数应是多少.6.若a b ,互为相反数(0a ≠),则关于x 的一元一次方程20ax b +=的解是_____________.7.方程3(21)23x x -=+的解与关于x 的方程622(3)3kx -=+的解互为相反数,求k 的值.8.方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222m xm x +--=的解互为倒数,求m 的值.9.已知关于x 的方程23x a +=和203a x--=是同解方程,求a 的值.10.已知方程340x +=与关于x 的方程3418x k +=是同解方程,求k 的值.11.求关于x 的方程ax b =的解.12.当a b ,满足什么条件时,关于x 的方程51a bx -=-:(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.13.当a b ,满足什么条件时,关于x 的方程31b ax -=-:(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛ax =b ;a ,b二、精讲精练1.6411m =2.33.4,72x =4.3y =5.x =2,126.x =27.1k =-8.1m =9.5a =10.112k =11.(1)当0a ≠时,方程有唯一解b x a=;(2)当a =0且b =0时,方程有无穷多解;(3)当a =0且0b ≠时,方程无解.12.(1)当0b ≠时,方程有唯一解4a x b-=;(2)当b =0且a =4时,方程有无穷多解;(3)当b =0且4a ≠时,方程无解.13.(1)当0a ≠时,方程有唯一解2b x a-=;(2)当a =0且b =2时,方程有无穷多解;(3)当a =0且2b ≠时,方程无解.含字母的方程(随堂测试)1.小王在解关于y 的方程329a y -=时,误将“-2y ”看成了“-y ”,得方程的解为y =-3,则原方程的解为__________.2.方程13(1)32x x --=+的解与关于x 的方程332xx a -=+的解互为倒数,则a 的值为________.3.已知关于x 的方程332xa x -=+和321x a +=是同解方程,则a 的值为多少?【参考答案】1.32y =-2.343.78a =含字母的方程(作业)1.如果y =1是方程1243y a y-+=的解,那么a 的值是________.2.小明在做家庭作业时,发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染了:151232x x +-=-⊕-,“⊕”是被污染的数.他很着急,翻开书后的答案,此方程的解是x =2,你能帮他补上“⊕”所代表的数吗?3.小明在解关于x 的方程1233()2x a x a -+-=-时,误将“12x -”看成了“x ”,得方程的解为72x =,则a 的值是______,原方程的解为___________.4.若m ,n 互为相反数(0m ≠),则关于x 的一元一次方程3(1)3mx n ++=的解是___________.5.方程156213x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的解与关于x 的方程23x m m x -=-的解互为倒数,求m的值.6.已知方程5318x +=与关于x 的方程13324x k +=-是同解方程,求k 的值.7.已知关于x 的方程324x x a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭和23130x a +-=是同解方程,则a 的值为多少?8.当a ,b 满足什么条件时,关于x 的方程621a bx -=-:(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.【参考答案】1.2-2.43.2,x =24.x =35.6m =-6.1112k =7.a =28.(1)当b ≠0时,方程有唯一解25a x b-=;(2)当b =0且52a =时,方程有无穷多解;(3)当b=0且52a 时,方程无解.行程问题及方案类应用题(讲义)一、知识点睛1.理解题意,找关键词,即_____、______、______,将生活语言转化为数学语言.2.________与_______相结合分析运动过程.3.表达,列方程求解.4.结果验证.二、精讲精练1.一列火车匀速行驶,经过一条长300m的隧道需要20s的时间;隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是10s.根据以上数据,你能否求出火车的长度?2.甲、乙两人分别后,沿着铁轨反向而行,此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,火车在甲身旁开过,用了15秒,然后在乙身旁开过,用了17秒.已知两人的步行速度都是3.6千米/时,请计算这列火车的长度.3.郑州地铁1号线预计将于2013年年底前建成通车试运营,其中一期工程西起西流湖站、东至市体育中心站,预计地铁从西流湖站到市体育中心站行驶时间约为25分钟.某次试车时,试验列车由西流湖站到市体育中心站的行驶时间比预计时间多用了3分钟,而返回时的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,返回时平均每小时多行驶6.6千米,那么这次试车时,由西流湖站到市体育中心站的平均速度是每小时多少千米?4.某人在上午8时从甲地出发到乙地,按计划在中午12时到达.在上午10时汽车发生故障而停车修理15分钟,修好后司机为了能及时赶到,把每小时的车速又提高了8千米前进,结果在11时55分提前到达乙地,求汽车原来的速度.5.在“十一”黄金周期间,某超市推出如下表所示的优惠方案:购物金额折扣一次性购物不足100元时不打折一次性购物不少于100元且不足300元时九折一次性购物不少于300元时八折小丽在该超市两次购物分别付款80元、252元.如果小丽改成在该超市一次性购买与上次完全相同的商品,那么应付款多少元?6.我国个人所得税法规定,公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税;超过3500元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算.全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%若小丽爸爸2013年5月份缴纳的个人所得税为185元,则他当月的税前工资是多少?三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1.路程、速度、时间;2.画线段图,列表二、精讲精练1.解:设火车的长度为x 米,根据题意得3002010x x+=解得x =300答:火车的长度为300米.2.解:3.6千米/小时=1米/秒设这列火车的长度为x 米,根据题意得1511711517x x -⨯+⨯=解得255x =答:这列火车长为255米.3.解:设由西流湖站到市体育中心站的平均速度是x 千米/时,根据题意得2825( 6.6)6060x x ⋅=+解得55x =答:由西流湖站到市体育中心站的平均速度是55千米/时.4.解:设汽车原来的速度为x 千米/时,根据题意得155(128)(108)1210(8)6060x x x ⎛⎫-=-+---+ ⎪⎝⎭解得40x =答:汽车原来的速度为40千米/时.5.解:∵80<100×90%∴付款80元时没有打折;设付款252元时的购物金额为x 元.当100≤x <300时,根据题意得:0.9x =252解得x=280∵80+280=360>300∴360×0.8=288(元)当x≥300时,根据题意得:0.8x=252解得x=315∵80+315=395>300∴395×0.8=316(元)答:小丽应付款288元或316元.6.解:1500×3%=45(元)1500×3%+(4500-1500)×10%=345(元)∵45<185<345∴小丽爸爸2013年5月全月应纳税所得额应该超过1500元至4500元.设小丽爸爸当月的税前工资是x元,根据题意得1500×3%+(x-3500-1500)×10%=185解得x=29002900+3500=6400(元)答:小丽爸爸当月的税前工资是6400元.行程问题及方案类应用题(随堂测试)1.一条平行于铁路的小路上有一行人和一骑车人同时向东行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时.如果有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用了22秒,通过骑车人用了26秒,问这列火车的长度为多少米?s(米)v(米/秒)t(秒)过行人行人火车过骑车人骑车人火车【参考答案】1.s (米)v (米/秒)t (秒)过行人行人22122火车x +2222过骑车人骑车人26×3326火车x +26×326解:设这列火车的长度为x 米.3.6千米/时=1米/秒10.8千米/时=3米/秒根据题意得:222632226x x ++⨯=解得:x =286答:这列火车的车身长为286米.行程问题及方案类应用题(作业)2.一支部队在行军的过程中,队尾的通讯员要与最前面的营长联系,他用了6分钟的时间跑步追上营长.为了回到队尾,他在追上营长后立即以同样的速度跑步返回,用了4分钟的时间回到队尾.已知通讯员跑步的速度为250米/分,那么队伍的长度是多少米?s (米)v (米/分)t (分)去时部队通讯员返回部队通讯员3.我国个人所得税法规定,公民全月的工资、薪金收入不超过3500元的部分不必纳税;超过3500元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算.全月应纳税所得额税率不超过1500元的部分3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%若小红妈妈2013年11月份缴纳的个人所得税为545元,则她当月的税前工资是多少元?4.某超市经销A,B两种商品,A种商品每件售价30元,B种商品每件售价48元.在“五一”期间,该超市对A,B两种商品进行如下优惠促销活动:打折前一次购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打八折超过400元售价打七折促销活动期间,小颖去该超市购买A种商品,小华去该超市购买B种商品,分别付款210元和268.8元.促销活动期间,小明决定去该超市一次性购买与小颖、小华同样多的商品,则他需付款多少元?5.解下列方程:(1)3140.610.50.4x x --=(2)()()532221353x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--=-【参考答案】1.s (米)v (米/分)t (分)去时部队2506x ⨯-6通讯员2506⨯2506返回部队2504x -⨯4通讯员2504⨯2504队伍的长度是1200米.2.9000元3.382.2元4.(1)245x =;(2)4x =.经济问题(讲义)一、知识点睛1.理解题意,找关键词.①“进价、投资、成本、返利”是指_____________;②“获利、盈利、收益”是指_____________;③“几折出售、销售额、卖出、销售价格、销售单价”是指_________.2.列表,梳理对应数据.3.根据表格,列方程求解.4.结果验证.二、精讲精练1.网络购物方便快捷,逐渐成为人们日常购物的一种重要方式.国庆期间某网店推出一系列并行优惠活动:(1)在国庆期间,网店全部商品以8折销售;(2)凡在本网店购物均可享受5%的返利(在成交价的基础上返还5%).小李是该网店的店主,他想将商铺中进价为每件296元的羽绒服卖出,且保证在自己承担10元运费的情况下每件获得150元的利润,请问他该如何给这件羽绒服标价?2.商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%,但每日耗电量为0.55度.现将A型冰箱打折出售,问商场将A型冰箱打几折,消费者买A型冰箱10年花费的总费用与买B型冰箱10年花费的总费用相同(每年365天,每度电按0.56元计算)?(总费用=买冰箱费用+使用总电费)3.某商场购进一批小型家用电器,每个进价40元.经市场预测,当销售单价为52元时,每天可售出x个(x>20);调查显示:销售单价每增加1元,日销售量将减少10件.(1)请用含x的代数式表示出当销售单价为54元时,商场每天获得的销售利润.(2)当x取何值时,才能使销售单价为52元与销售单价为54元的销售利润相等?4.牙刷由牙刷头和牙刷柄组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式牙刷(牙刷头不可更换)和新式牙刷(牙刷头可更换),有关销售策略与售价等信息如下表所示.某段时间内,甲厂家销售了3200个牙刷,乙厂家销售的牙刷头数量是牙刷柄数量的20倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的2倍.问这段时间内,乙厂家销售了多少个牙刷柄,多少个牙刷头?老式牙刷新式牙刷牙刷柄牙刷头售价5(元/个)8(元/个)2(元/个)成本2(元/个)4(元/个)1(元/个)5.某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6元,按每个面包1.0元的价格出售,卖不完的以每个0.2元于当天返还厂家.在一个月(30天)里,小店有20天平均每天卖出面包80个,其余10天平均每天卖出面包50个,这样小店老板获纯利600元.如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包,那么这个数量是多少?6.某企业生产电脑配件,今年1月至5月,每件配件的原材料价格为750元,人力成本为50元;当每件配件的售价为1000元时,每月销售量达到1.8万件.到了6月,该企业要完成半年累积利润2280万元的任务,在人力成本和原材料价格不变的情况下,售价在前1个月的基础上提高了a%,而销售量比前1个月降低了0.2万件.(1)6月份的销售利润是多少元?(2)求a的值.三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.成本;利润;售价.二、精讲精练1.600元2.六八折3.(1)(14x-280)元;(2)140元4.乙厂家销售了800个牙刷柄,16000个牙刷头5.906.(1)480万元;(2)a的值为10.经济问题(随堂测试)5.商场有甲商品10个,乙商品15个,一个甲商品和一个乙商品的成本一共是200元,甲商品按40%的利润定价,乙商品按20%的利润定价.后应顾客要求,两种商品都按定价的90%出售,全部销售完毕后共获利380元,则乙商品的成本是每个多少元?售价成本利润销量甲乙【参考答案】2.100元经济问题(作业)1.某商店购进一批商品,每件成本是500元,商店决定按成本提高60%来标价.由于天气的缘故,需要尽早处理这批商品,于是决定打折销售,并赠送一把成本为20元的雨伞,此时得到的利润是打折前的40%.请问打了几折?售价成本利润打折前打折后2.一种商品按定价出售,每个可获利36元.若按定价打八折出售5个所获得的利润,与按定价每个降价28元出售10个所获得的利润相同,则这种商品的定价是每个多少元?售价成本利润销量打折降价3.剃须刀由刀片和刀架组成.某时期,甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换),有关销售策略与售价等信息如下表所示.某段时间内,甲厂家销售了8400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的2倍.问这段时间内,乙厂家销售了多少把刀架,多少片刀片?老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价7.5(元/把)5(元/把)0.55(元/片)成本2.5(元/把)2(元/把)0.05(元/片)4.我市高新技术开发区的某公司,生产某种产品每件需成本费40元.当销售单价定为100元时,年销售量为x (x >200)万件;调查显示:该产品的销售单价每增加1元,年销售量将减少10万件.当销售单价为120元时,要想使年销售利润为24000万元,则x 的取值为多少?【参考答案】9.八折10.100元11.乙厂家销售了3000把刀架,150000片刀片12.500售价成本利润销量情况一情况二角的相关计算和证明(讲义)一、知识点睛在证明的过程中,由平行想到____________、____________、____________;由垂直想到__________________、_____________________;由外角想到________________________________________.二、精讲精练1.如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则∠BCE=__________.第1题图第2题图2.如图,在正方形ABCD中,∠ADC=∠DCB=90°,G是B边上一点,连接DG,AE⊥DG于E,CF⊥DG于F.若∠DAE=25°,则∠GCF=_________.3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=∠C=45°,在Rt△AFG中,∠G=90°,∠F=∠FAG=45°,∠CAG=20°,则∠AEB=_________,∠ADC=_________.第3题图第4题图4.如图,ED⊥AB于D,EF∥AC,∠A=35°,则∠DEF=________.。

走进重高 培优讲义七上 第十讲 整式的加减

走进重高 培优讲义七上 第十讲 整式的加减

第十讲 整式的加减例1下列各组中的两项哪些是同类项?.322)1(22n m n m --与 .21)2(2332y x y x -与.55)3(22bc a b a 与 .32)4(2223a a 与 .3)5(22qp q P -与 .35)6(33-与例2 先去括号,后合并同类项:)].2(2[)1(y x x x ---+ ⋅+-++-)3121(3)32(21)2(22b a b a a).2(3)35(2)3(b a b a a -+-- ]}.3)(3)2(3[3{3)4(22---+---x x x x例3 已知a ,b 为常数,且xy axy xy b 5,,42-三个单项式相加得到的和仍然是单项式.那么a 和b 的值可能是多少?说明你的理由.例4 化简或化简求值:)].3(223[)2(3)1(22y xy y x xy x +----(2)已知,432,532222a b ab B ab b a A +-=-+=先求,2A B +-并求当2,21=-=b a 时,A B 2+-的值.(3)有这样一道计算题:“计算)3()2()232(323323223y y x x y xy x xy y x x -+-++----的值,其中”,1,21-==y x 甲同学把21=x 错看成,21-=x 但计算结果仍正确,你能说明是什么原因吗?例5 某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组,其中第一组有x 人,第二组比第一组的23少5人,第三组比一、二组的和少15人,第四组与第一组2倍的和是34.(1)用含x 的代数式表示第二、三、四组的人数,把答案填在下表中相应的位置.第一组(人) 篦一钼(人) 第三组(人) 第四组(人) x(2)求七年级一班的总人数(用含x 的代数式表示),并求当10 x 时,该班的总人数. (3)x 能否等于13,为什么?x 能否等于6,为什么?例6 将7张如图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别为⋅21,s s 已知小长方形纸片的长为a ,宽为b ,且.b a >(1)当30,2,9===AD b a 时,求:①长方形ABCD 的面积,21S S -②的值. (2)当30=AD 时,请用含a ,b 的代数式表示21s s -的值.(3)若AB 长度不变,AD 变长,将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD 内,而21s s -的值总保持不变,则a ,b 满足的数量关系是________.例 小明和小麦做猜数游戏,小明要小麦任意写一个四位数,小麦就写了2020,小明要小麦用这个四位数减去各个数位上的数字之和,小麦得到了.2016)22(2020=+-小明又让小麦圈掉一个数字,将剩下的数字说出来,小麦圈掉了6,告诉小明剩下的三个数字是2,0,1.小明一下就猜出了圈掉的是6.小麦感到很奇怪,于是又做了一遍游戏,最后剩下的三个数字是6,3,7,这次小麦圈掉的数字是几?拓展训练A 组1.下列各式中,去括号正确的是( ).x y x x z y x x A 2)2(.22++-=+-- 132)132(.+++=-+--y x x y x x B2223)12(23.---=+-+y x x y x x C 422)2(2)2(.22--+-=+---x x x x D 2.已知,1,100-=+=-y x n m 则代数式)()(y m x n --+的值是( ). 99.A 101.B 99.-C 101.-D3.若代数式18223-+-x x x 与代数式352323+-+x mx x 的和不含2x 的项,则m 等于( ).2.A 2.-B 4.C 4.-D4.去括号:=+++)())(1(d c b a ____________ =---)())(2(d c b a ______________. =-++-)()()3(d c b a _________ =----)()()4(d c b a ____________. =--+)(3))(5(d c b a ____________. =-++)(5))(6(d c b a ____________. =----)(3)1)(7(d c b a ___________. =---)2()8(y x ___________.5.若a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,则=++cd b a 3_____________.6.已知,1,123222-+-=--+=xy x B x xy x A 且B A 63+的值与x 无关,则y 的值为_________. 7.化简:.14227)1(22-+---x x x x ).23(2)38)(2(22x xy y xy ---).3()46(217)3(2222a ab b ab a a -+--+- 8.求代数式的值:(1)当3,1,2-=-==c b a 时,求代数式ac b 42-的值.(2)“x,y 两数的平方和加上它们积的2倍”用代数式表示为___________,当==y x ,23-时,求这个代数式的值.(3)已知,0222=--a a 求8632--a a 的值. 9.先化简,再求值:),5(3)3(5)1(2222b a ab ab b a +--其中⋅-=-=21,31b a],2)(5[)3(2)2(222mn m mn m m mn +-----其中.2,1-==n m10.已知.22,2332222x y xy B xy y x A --=-+=(1)求B A 32-的值.(2)若,9,1|32|2==-y x 且,||x y y x -=-求B A 32-的值.11.已知三角形的第一条边的长是,2b a +第二条边的长比第一条边的2倍少3,第三条边比第二条边短5. (1)用含a ,b 的代数式表示这个三角形的周长. (2)当3,2==b a 时,求这个三角形的周长.(3)当,4=a 三角形的周长为39时,求这个三角形的各边长.12. -辆出租车从A 地出发,在一条东西走向的街道上往返,每次行驶的路程(记向东为正)记录如下表:):,269(km h x x 单位且<>(1)说出这辆出租车每次行驶的方向.(2)求经过连续4次行驶后,这辆出租车所在的位置. (3)这辆出租车一共行驶了多少千米?B 组13.设x 表示一个一位数,y 表示一个两位数,现将x 放在y 的左边组成一个三位数,这个三位数可以表示为( ).y x A +100. y x B +10. y x C +. xy D .14.已知多项式222)1(23mx x y x +---的值与x 无关,则m 的值为( ).5.A 1.B 1.-C 5.-D15.把四张形状和大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m ,宽为n )的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,则图2中两块阴影部分的周长和是( ).(第15题)m A 4. n B 4. )(2.n m C + )(4.n m D -16.若P 是关于x 的三次三项式,Q 是关于x 的五次五项式,则Q P +是关于x 的_______次多项式,Q P - 是关于x 的_______次多项式.17.已知有理数a ,b ,c 在数轴上的对应位置如图,则|||||1|b a c a a -+-+-可化简为________(第17题)18.阅读下列解答过程,然后解答问题,例:已知552y x n m -±-与n m y x 324-是同类项,求n m +的值.根据同类项的意义,可知x 的指数相同,即y n m ;25=+的指数也相同,即.53=-n m 所以,52)3()5(+=-++n m n m 即.7)(222=+=+n m n m 所以⋅=+27n m 问题:已知73y xnm -与ln 12133+-my x 是同类项,求n m 2+的值, 19.已知⋅++-=--+=3221,123222ab a B a ab a A(1)当2,1-=-=b a 时,求)23(4B A A --的值. (2)若(1)中式子的值与a 的取值无关,求b 的值.20.【阅读理解】小海喜欢研究数学问题,在计算整式加减)32()574(2Z x x x x ⋅+++--的时候,想到了小学的列竖式加减法,令,3.2,57422x x B x x A +=+--=然后将两个整式关于x 进行降幂排列,,23,75422x x B x x A +=-+-=最后只要写出其各项系数,对齐同类项进行竖式计算即可,如图,所以++--)574(2x x .77)32(22-+-=+x x x x【模仿解题】若,423,25243422343322xy y y x y x B x xy y x y x A--+=+-+-= 请你按照小海的方法,先对整式A ,B 关于某个字母进行降幂排列,再写出其各项系数进行竖式计算求,B A -并写出B A -的值.(第20题)走进重高1.【河北】用一根长为a(cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形,要将它按如图的方式向外等距扩lcm 得到新的正方形,则这根铁丝需增加( ).cm A 4. cm B 8. cm a C )4.(+ cm a D )8.(+(第1题) 2.【永州】甲从商贩A 处购买了若干斤西瓜,又从商贩B 处购买了若干斤西瓜.A ,B 两处所购买的西瓜重量之比为3:2,然后将买回的西瓜以从A ,B 两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙,结果发现他赔钱了,这是因为( ).A.商贩A 的单价大于商贩B 的单价 B .商贩A 的单价等于商贩B 的单价 C .商贩A 的单价小于商贩B 的单价 D .赔钱与商贩A 、商贩B 的单价无关 3.【河北】若,3+=m mn 则=+-+10532mn m mn _________.4.若,5,2019-=+=+d c b a 则代数式=---)2()2(b d c a __________. 5.【贵阳】如图,将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形,拿掉边长为n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的长方形.(1)用含m 或 n 的代数式表示拼成的长方形的周长. (2)当4,7==n m 时,求拼成的长方形的面积.(第5题)6.【河北】嘉淇准备完成题目:),256()86,(222++-++----x x x x lx 却发现系数“i|',印刷不清楚. (1)他把“;;”猜成3,请你化简:).256()863(22++-++x x x x(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中鼍;”是几,高分夺冠1.正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为自恋数.例如,153351,153333=++因此,153被称为自恋数,下列各数:①370;②407;③371;④546.其中是自恋数的是( ).①②③.A ①②④.B ②③④.C ①②③④.D2.两个形状、大小相同的大长方形内放人四个如图1所示的小长方形后得图2、图3,已知大长方形的长为a ,则图2中阴影部分的周长与图3中阴影部分的周长的差是________(用含a 的代数式表示).(第2题)3.兰芬家住房的平面图如图所示.现在兰芬准备在客厅和两间卧室铺上木地板,那么共需木地板________.2m(第3题)4.已知,)1(23455f ex dx cx bx ax x +++++=+求下列各式的值:.)1(f e d c b a +++++ .)2(e c a ++5.任何一个整数N 都可以用一个多项式来表示:⋅+⨯++⨯+⨯==---0111011101010a a a a a a a a N n n n n n n例如:.51021033252+⨯+⨯=已知abc 是一个三位数.(1)小明猜想:cba abc 与的差一定是9的倍数,”请你帮助小明说明理由.(2)在一次游戏中,小明算出cba bca cab bac acb 与,,,这5个数的和是3470,请你求出abc 这个三位数.。

人教版七年级上册数学 第一章 有理数全章讲义

人教版七年级上册数学 第一章 有理数全章讲义

A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 7、 44 , ,0, 0.3。四个数中,有理数的个数为( )
7 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
D.以上说法都正确
8.有理数中,是整数而不是正数的是( ),是分数而不是正分数的是(
)。
9、有理数中,最小的自然数是( ),最小的正整数是( )。
10、整数与分数统称为( ),整数包括(
),分数包括(
)。
11、通常把(
)和(
)统称为非负整数,把( )和( )统称为非正整数;
把(
)和(
)统称为非负数,把(
)和(
)统称为非正数。
12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
9.3,6,3 3 ,7 1 ,0,100, 3 ,2.25,0.01,65, 2 , 3 , 0.21。.
3、下列说法错误的是( ) A.-5 一定是负数 C.自然数一定是正数 4、下列说法正确的有( )
B.在正数前面加上“-”就成了负数 D.-a 不一定是负数
①不带负号的数都是正数 ②带负号的数不一定是负数 ③0℃表示没有温度 ④0 既不是正数,也不 是负数
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D3 个 5、在跳远测验中,合格标准是 4.00m,小明跳出了 4.18m,记作+0.18m,小华跳出了 3.96m,应
典型例题
1、 判断下列说法是否正确。
(1)-3 与 1 互为相反数。( ) 3
(2)5 的相反数是 1 。( ) 5
(3)0 的相反数是-0,所以 0 与-0 不是互为相反数。( )
2、下列叙述正确的是( )

走进重高 培优讲义七上 第十八讲 方程思想、转化思想

走进重高 培优讲义七上 第十八讲 方程思想、转化思想

第十八讲 方程思想、转化思想例1 已知,5,4,3334455===c b a 则( ).c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a b c D >>.例2 如图,∠AOC 与∠BOD 都是直角,且,7:2:=∠∠AOD AOB 则∠AOB 等于________.例3 如图,已知线段F F CD BC AB ,,4:2:3::=分别是AB ,CD 的中点,,22cm EF =求BC 的长.例4如图是由9个等边三角形(三条边都相等的三角形)组成的装饰图案,已知中间最小的等边三角形(阴影部分)边长为2 cm,求多边形ABCDEF的周长.例5日常生活中,我们几乎每天都要看钟表,它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑,其中蕴含着丰富的数学知识.(1)如图1,上午8:00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于_________.(2)请在图2中大致画出8:20这一时刻时针和分针的位置,思考并回答:从上午8:00到8:20,时钟的分针转过的度数是_______,时钟的时针转过的度数是________.(3)“元旦”这一天,城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务,临出发时,组长一看钟,时针与分针正好是重合的,下午两点多他们回到学校,进校门时,组长看见钟的时针与分针方向相反,正好成一条直线,那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗?通过计算加以说明.例6 已知数轴上点O 为原点,点A 对应的数为9,点B 对应的数为6,点C 在点B 右侧,长度为2个单位的线段BC 在数轴上移动.(1)如图,当线段BC 在O ,A 两点之间移动到某一位置时,恰好满足线段,OB AC =求此时b 的值.(2)在线段BC 在数轴上沿射线AO 方向移动的过程中,若存在,31AB OB AC =-求此时满足条件的b 的值.(3)当线段BC 在数轴上移动时,满足关系式|,|117||OC AB OB AC -=-则此时b 的取值范围是________.A 组1.化简2)3(-的结果是( ).3.A 3.-B 3.±C 9.D2.已知d c b a ,,,为正实数,且,5,4,3,25432====d c b a 则d c b a ,,,中最大的数是( ).a A .b B . C C . d D .3.工人师傅要把一根质地均匀的圆柱形木料锯成若干段,按如图所示的方式锯开,每锯断一次所用的时间相同,若锯成6段需要min,10则锯成,2(≥n n 且n 为整数)段所需的时间为( ).(min)35.n A (min)2.n B min )22.(+n C min )22.(-n D(第3题)4.用⊕表示一种运算,它的含义是:⋅++++=⊕)1)(1(1B A xB A B A 如果,3512=⊕那么43⊕=__________.5.某公司生产一种饮料是由A ,B 两种原料液按一定比例配成,其中A 原料液的原成本价为10元/千克,B 原料液的原成本价为5元/千克,按原售价销售可以获得50%的利润率,由于物价上涨,现在A 原料液每千克上涨20%,B 原料液每千克上涨40%,配制后的饮料成本增加了,31公司为了拓展市场,打算再投入现在成本的25%做广告宣传,如果要保证这种饮料的利润率不变,则这种饮料现在的售价应比原来的售价高_______元/千克.6.老张在装修新房时想在客厅的地面上按图1的正方形图案铺地砖,图1是由四块尺寸完全相同的长方形地砖拼成的一个正方形,中间还可另外镶嵌一块面积为O.lm×O.lm 的小正方形花砖(花砖老张已另买).但老张买砖时只看中了如图2所示的一款较大的正方形地砖,于是只能将其按照图3的方式切割出图1所需的长方形地砖再进行铺贴,经过计算,这样切割会让每块地砖产生212.0m 废料,已知老张家客厅的面积为,302m 则老张需购买图2这款地砖_________块.(第6题)7.解方程:.486331222=-++x x8.周末,小明和爸爸在400m 的环形跑道上骑车锻炼,他们在同一地点沿着同一方向同时出发,骑行结束后两人的对话如图.(1)请根据他们的对话内容,求小明和爸爸的骑行速度.(2)爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,再经过多少分钟,小明和爸爸相距50m?(第8题)9.有一些分别标有7,14,21,28,…的卡片,后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大7,小明拿了相邻的三张卡片.(1)若小明拿到的三张卡片上的数之和为273,则三张卡片上的数分别是多少?(2)小明能否拿到相邻的三张卡片,使得这三张卡片上的数之和等于1717如果能拿到,请求出这三张卡片上的数分别是多少;如果不能拿到,请说明理由. 10.如图,,70,90=∠=∠COF AOB 若OC 平分∠AOB,OE 平分∠DOB.(1)求∠BOC 和∠DOB 的度数.(2)将OA 看作钟面上的时针,OB 看作钟面上的分针,此时钟面时间为3点,在3点到4点之间,求经过多少分钟,OA ,OB 的夹角为.40(第10题)11.(1)如图,图中一共有几条线段?说明你分析这个问题的具体思路.(2)你能用上面的思路来解决“15位同学聚会,每人都与其他人握一次手,一共握手多少次?”这个问题吗?(3)若改为“15位同学聚会,每人都送给其他人一张名片,一共送了多少张?”,该怎么解?(第11题)B 组12.已知B ,C 为线段AD 上的两点,E CD BC AB ,3121.==为线段CD 的中点,F 为线段AD 的三等分点,若,14=BE 则线段=EF _________.13.元旦将至,某商场购进了一种手套30双和一种围巾20条,围巾的售价是手套2倍,销售一段时间后,手套和围巾卖出的数量恰好相同,此时商场决定调价,把手套的售价提高48%,把围巾的售价降低40%,当商场卖完这两种商品后,发现这批围巾和手套的平均售价是一样的,那么调价前卖出的围巾和手套的数量都是_______.14.如图的方框中是一些有规律的数,观察图填空. (1)a ,b ,c ,d 表示的四个数的和是______.(2)采用图中所示的方式框出四个数,若这四个数的和为380,则最大的那个数是________.(第14题) (第15题)15.如图所示,每个圆纸片的面积都是30.圆纸片A 与B ,B 与C ,C 与A 的重叠部分面积分别为6,8,5.三个圆纸片覆盖的总面积为69,则三个圆纸片重叠部分的面积为_______,图中阴影部分的面积为_______.16.数轴上有A ,B 两点,点A 在点B 的左侧,已知点B 对应的数为2,点A 对应的数为a . (1)若,3-=a 则线段AB 的长为_________.(2)若点C 在线段AB 之间,且,2=-BC AC 求点C 表示的数(用含a 的代数式表示). (3)在(2)的条件下,D 是数轴上点A 左侧一点,当BC BD AD AC 4,2==时,求a 的值.(第16题)17.有一科技小组进行了机器人行走性能试验,在试验场地有A ,B ,C 三点顺次在同一笔直的赛道上,A ,B 两点之间的距离是90 m.甲、乙两机器人分别从A ,B 两点同时同向出发到终点C ,乙机器人始终以50 m/min 的速度行走,乙行走9min 到达点C .设两机器人出发的时间为3(min),=t t 当时,时,甲追上乙.前4 min 甲机器人的速度保持不变,当64≤≤t 时,甲的速度变为另一数值,且甲、乙两机器人之间的距离保持不变. 请解答下列问题:(1)B ,C 两点之间的距离是_________m.当64≤≤t 时,甲机器人的速度为________m/min.(2)求甲机器人前3min 的速度为多少.(3)求两机器人前6min 内出发多长时间相距28 m.(4)若6 min 后,甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度,直接写出当t>6时,甲、乙两机器人之间的距离s (用含t 的代数式表示).(第17题)18.我们规定,若关于x 的一元一次方程b ax =的解为,a b x -=则称该方程为定解方程,例如:293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程. 请根据上述规定解答下列问题:(1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程,则=m ________.(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程,它的解为,a x =求a ,b 的值.(3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2都是定解方程,求代数式+-m (2---n 4{)11 ]2)[(21]})[(322n n mn m m mn -+--+的值.19.有一列正整数:,2,12,,3,2,1n n - 现从中挑出n 个数,从大到小排列依次为,,,,21n a a a 另n 个数从小到大排列依次为⋅n b b b ,,,21 求||||||2211n n b a b a b a -++-+- 的值.。

走进重高 培优讲义七上 第一讲 有理数

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第一讲有理擞例1 列说法中,正确的是( ).①O是整数;② 0是有理数;③ 0是自然数;④ 0是正数;⑤ 0是负数;⑥ 0是非负数..C②③⑥.D.A①②⑥.B①②③①②③⑥例2 把下列各数填入相应的大括号里:⋅----812%,17,5.6,41,20,2,0,8,14.3,2.0,3整数:{ …};分数:{ …}; 正数:{ …}; 负数:{ …}; 自然数:{ …}; 负有理数:{ …}.例3 (1)已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水,现有15个矿泉水空瓶,若不付钱,最多可以喝_______瓶矿泉水.(2)师生共52人外出春游,到达后,班主任把买矿泉水的钱给班长,要他给每人买一瓶矿泉水.班长到商店后,发现商店正在进行促销活动,规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买_________瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶.例4 (1)若|,||ln ,0,0m n m ><>用“<”号连接,,,,m n n m -请结合数轴解答. (2)由小到大排列下列各分数:⋅9160,3320,2315,1912,1710,116例5 分子为1、分母是等于2或大于2的自然数的分数叫做分数单位.早在三千多年前,古埃及人就利用分数单位进行书写和计算,将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和是一个古老且有意义的问题.例如:;2141424142143+=+=+=⋅+=+=+==216163616316432 (1)仿照上例,分别把分数85和53拆分成两个不同的分数单位之和.=85_______________=53;__________________. (2)在上例中,,214143+=又因为,316162616216321+=+=+==所以++=614143,31即43可以写成三个不同的分数单位之和,按照这样的思路,它也可以写成四个,甚至五个不同的分数单位之和.根据这样的思路,探索分数85能写成哪些两个以上的不同的分数单位之和.例 请根据各数之间的关系,找规律填空.拓展训练 A 组1.小军家的门牌号是256号,其中自然数的应用属于( ). A 计数 B .测量 C .标号 D .排序 2.下列说法中,错误的有( ).742-①是负分数;②1.5不是整数;③非负有理数不包括O ;④正整数、负整数统称为有理数;⑤O是最小的有理数;⑥3.14不是有理数. A.1个 B .2个 C. 3个 D .4个3.超市某品牌食品包装袋上“质量”标注:500g±20g.下列待检查的各袋食品中质量合格的是( ).g A 530. g B 519. g C 470. g D 459.4.比较1517,321,1312,531--的大小,结果正确的是( ).13121517321531.<<-<-A 15171312531321.<<-<-B13121517531321.<<-<-C 15171312321531.<<-<-D5.一个纸环链,按红黄绿蓝紫的顺序重复排列,截去其中的一部分,剩下部分如图所示,则被截去部分纸的个数可能是( ).2018.A 2019.B 2020.C 2021.D(第5题)6.在下表适当的空格里面画上“√”,有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数-7 -3.14 O 2 37.气象台记录了某地本周七天的气温变化情况(如下表),其中正号表示的数据是比前一天上升的温度,负号表示的数据是比前一天下降的温度.已知上周日气温为3℃,根据表中数据,请你判断该地本周最低气温是________ ℃.星期三 四 五 六 日气温变化(℃) +2 -4 -1 —2 +3 -5 -38.某登山队从大本营出发,在向上攀登的过程中,测得所在位置的气温y(℃)与向上攀登的高度x(km)的几组对应值如下表:向上攀登的高度x(km) 0.5 1.0 1.5 2.O 气温y(℃) 2.O -0.9-4.1-7.O若每向上攀登1 km ,所在位置的气温下降幅度基本一致,则向上攀登的海拔高度为2.5km 时,登山队所在位置的气温约为____℃.9.将一列数排成如图所示的形式,按此规律排下去,那么第10行从左边数第9个数是_________.(第9题)10.在奥运五环图案内,分别填写五个数a ,b ,c ,d ,e ,如其中a ,b ,c 是三个连续偶数e d c b a ,),(<<是两个连续奇数(d<e),且满足,e d c b a +=++例如请你在0~20之间选择另一组符合条件的数填入五环图案内.11.把下列各数填入相应的大括号里:.81.0,21,590,14.3),20(,0|,25|,789,41,1.0,1---+---⋅-非负整数:{ …};负分数:{ …}; 正有理数:{ …}.B 组12.下列说法中,正确的有( ).①整数就是正整数和负整数;②零是整数,但不是自然数;③分数包括正分数、负分数;④正数和负数统称为有理数;⑤一个有理数,它不是整数就是分数. A.1个 B 2个 C .3个 D .4个13. -种“拍7”的游戏规定:把从1起的自然数中含7的数称作“明7”,把7的倍数称作“暗7”,那么在1~100的自然数中,“明7”和“暗7”共有( ). A .22个 B .29个 C .30个 D .31个 14.已知数a 在数轴上的位置如图,则aa a a 1,1,,--的大小关系是( ).(第14题)a a a a A <<-<-11. a aa a B -<-<<11. a a a a C <<-<-11. aa a a D 11.-<-<<15.已知下列各数:,0,01.0,165,217,17,24,14.3--+-其中整数有____个,负分数有_______个,非负数有____个.16.分子是1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位,如,,41,31,21 某些分数单位可以拆分成两个分母是相邻自然数的分数单位的差,如41201,4131121,312161=-=-=,51-则在分数单位 1001,,41,31,21 中,不能按上述要求拆分的有__________个. 17.如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1个单位长度)上沿着网格线运动,它从A 处出发去看望B ,C ,D 处的其他甲虫.规定:向上向右走为正,向下向左走为负.如果从A 到B 记为:),4,1(++→B A 从D 到C 记为:),2,1(+-→C D 其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.(1)图中从A 到C 可以记为C A →,从B 到C 可以记为C B →(____________,____________) (2)从D 到____可以记为→D ).2,4(--(3)若这只甲虫的行走路线为,D C B A →→→则该甲虫走过的路程长度为____个单位长度. (4)若这只甲虫从A 处去P 处的行走路线依次为),1,2(),2,3(),3,1(+--+++请在图中标出P 的位置.(第17题)18.把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如:{1,2),{1,4,7),…,我们称之为集合,其中的每一个数称为该集合的元素,如果一个所有元素均为有理数的集合满足:当有理数z 是集合的一个元素时,2020-x 也必是这个集合的元素,这样的集合我们又称为黄金集合,例如{O ,2020)就是一个黄金集合.(1)集合{2020)_________(填“是”或“不是”,下同)黄金集合,集合{-1,2021)________黄金集合.(2)若一个黄金集合中最大的一个元素为4020,则该集合是否存在最小的元素?如果存在,请直接写出答案;如果不存在,请说明理由.(3)若一个黄金集合所有元素之和为整数M ,且24200<M<24300,则该集合共有几个元素?说明你的理由.走进重高1.【泸州】在2,21,0,2-四个数中,最小的是( ). 2.-A 0.B 21.C 2.D2.【聊城】悉尼、纽约与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京时间早的时数,负数表示同一时刻 城市悉尼 纽约时差(时) +2 -13北京6月15日23时,悉尼、纽约的时间分别是( ). A.6月16日1时,6月15日10时 B .6月16日1时,6月14日10时C. 6月15日21时,6月15日10时 D .6月15日21时,6月16日12时3.南水北调工程中线自2014年12月正式通水以来,沿线多座大中城市受益,河南、河北、北京及天津四个省(市)的水资源紧张态势得到缓解,有效促进了地下水资源的涵养和恢复,若与上年同期相比,北京地下水的水位下降记为负,回升记为正,记录从2013年底以来,北京地下水水位的变化得到下表:时间 2013年底 2014年底 2015年底 2016年底 2017年底 2018年9月底 地下水位与上年 同比变化量(m)-0.25-1.14-0.09+0.52+0.26+2.12下列关于2013年以来北京地下水水位的说法,不正确的是( ). A.从2014年底开始,北京地下水水位的下降趋势得到缓解 B .从2015年底到2016年底,北京地下水水位首次回升C .2013年以来,每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年D .2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位4.实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度,下表是某次测量数据的部分记录(用A-C 表示观测点A 相对观测点C 的高度),根据这次测量的数据,可得观测点A 相对观测点B 的高度是_________m.A-C C-D E-D F-E G-F B-G 90m80m-60m50m-70m40m5.规定[a]表示不超过口的最大整数,例如[4.3]一4.若],1.2[],1[=+=n m π则]49[n m +在此规定下的值为________.6.2018年国庆节放假七天,高速公路免费通行,各地风景区游人如织,其中闻名于世的“三孔”,在10月1日的游客人数就已经达到了10万人,接下来的六天中,每天的游客人数变化(单位:万人)如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数):日期10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日10月7日l 1人数变化 +0.6+0.2+O.l-0.2-0.8— 1.6l(1) 10月3日的游客人数为____万人.(2)这七天,游客人数最多的是多少万人?最少呢? (3)这7天参观的总人数约为多少万人?高分夺冠 1.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为( ).21.A 1811.B 67.C 95.D 2.已知,100020202020,99920212021⨯=⨯=b a 则a 与b 的大小关系是a _______.b 3.记|,|b a 的值为a ,b 两数中最大的数,例如.5|5,3|=若m 满足,23|2,2|m m -=-则m=________. 4.找规律,在空格里填上合适的数.(第4题)5.某路公交车从起点出发经过A ,B ,C ,D 四站到达终点,途中上下乘客情况如下表(正数表示上车的人数,负数表示下车的人数):.起点 ABcD终点上车的人数 18 15 12 7 5 O 下车的人数 O -4-5-9-12(1)到终点站下车的有多少人?填在表格中相应位置.(2)车行驶在哪两站之间时,车上的乘客最多?_______站和________站.(3)若每人乘坐一站需买票0.5元,问该车出车一次能收入多少钱?要求写出算式.。

走进重高 培优讲义七上 第九讲 整式

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第九讲 整 式例1 把下列代数式的代号填在相应的横线上:;2)(;153)(;)(222ba C x x B ab b a A ++-+ ;3)(2xy D -;0)(E ⋅+++--+-yx I a xy H b ab a G x F 23)(;2)(;)(;2)(2322 (1)单项式:____________________ . (2)多项式:__________________.(3)整式:________________________. (4)二项式:__________________. (5)三次多项式:__________________. (6)非整式:__________________.例2 已知多项式⋅--++315522432x x x x (1)请指出该多项式是几次几项式,并写出它的二次项、一次项和常数项.(2)按要求把这个多项式重新排列:①按x 的降幂排列,②按x 的升幂排列.例3 观察下列一串单项式的特点:.,16,8,4,2,5432 y x y x y x y x xy -- (1)按此规律写出第9个单项式.(2)试猜想第n 个单项式为多少?它的系数和次数分别是多少?例4 写出一个三次四项式,满足条件:①含有两个字母;②每个字母的指数都不大于2;③含有常数项.然后选出你所喜欢的一正一负两个有理数作为字母的值代入求这个多项式的值.例5 已知代数式:.)(;2222b a b ab a -+-②①(1)当a ,b 满足0|15|)5(2=-+-ab a 时,分别求代数式①和②的值.(2)观察(1)中所求的两个代数式的值,探索代数式222b ab a +-和2)(b a -有何数量关系,并把探索的结果写出来.(3)利用你探索出的规律,求225.285.285.12825.128+⨯⨯-的值.例6 已知代数式,335c x bx ax +++当0=x 时,该式的值为-1.(1)求c 的值.(2)已知当1=x 时,该式的值为-1,试求c b a ++的值.(3)已知当3=x 时,该式的值为-10,试求当3-=x 时该式的值.(4)在第(3)题的已知条件下,若有b a 53=成立,试比较b a +与c 的大小.例 观察下列等式:第1个等式:);311(213111-⨯=⨯=a 第2个等式:);5131(215312-⨯=⨯=a 第3个等式:);7151(217513-⨯=⨯=a 第4个等式:);9171(219714-⨯=⨯=a …请解答下列问题:(1)按以上规律列出第5个等式:=5a ___________=____________.(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式:=n a __________=___________(n 为正整数). (3)求1004321a a a a a +++++ 的值.拓展训练A 组1.关于单项式c ab 2的系数和次数,下列说法中正确的是( ). A .系数为O ,次数为2 B .系数为0,次数为4 C.系数为1,次数为2 D .系数为1,次数为4 2.在21,1,2,2,322-----a y x x ππ这五个代数式中,单项式的个数为( ).2.A3.B4.C5.D 3.下列说法中,正确的是( ).52.xy A -的系数是-2 1.2-+x x B 的常数项是1 322.ab C 的次数是6次 752.2+-x x D 是二次三项式4.(1)单项式232y x π-的系数是_________,次数是_______;多项式6433++-x xy xy 是_________次_______项式,其中二次项系数是_________.(2)单项式22ab -的系数是________,次数是_______31;++xx _________(填“是”或“不是”)多项式.(3)单项式2322y x -的系数为_______,次数为________52;2xa π-的系数为_______,次数为________;mn 的系数为________,次数为__________. 5.写出一个关于字母以,6的单项式,且该单项式的次数为5,系数的绝对值小于4,该单项式可以为______.4232353245.6y xy y y x x +-+-按y 的升幂排列应是_______________________.7.把下列代数式分别填入下表适当的位置:.12,,5,,2,3,32+--+-ab a xy b a b a a a单项式代数式整式多项式非整式8.已知6)52()32()43(23-++---x n m x n x m 是关于x 的多项式. (1)当m ,n 满足什么条件时,该多项式是关于x 的二次多项式. (2)当m ,n 扎满足什么条件时,该多项式是关于x 的三次二项式.9.设,5)(37-++=cx bx ax x f 其中a ,b ,c 为常数,已知,7)7(=-f 求)7(f 的值.10.如图,一个长方形运动场被分隔成A ,B ,A ,B ,C 共5个区,A 区是边长为a(m)的正方形,C 区是边长为b(m)的正方形.(1)列式表示每个B 区长方形场地的周长,并将式子化简. (2)列式表示整个长方形运动场的周长,并将式子化简. (3)如果,10,20==b a 求整个长方形运动场的面积.(第10题)11.如图,将连续奇数l ,3,5,7,…排成数表,观察十字框内5个数,探索这五个数之间的规律,解答下面的问题:(1)设十字框中间的数为a ,则用含a 的式子表示十字框内5个数的和为___________.(2)十字框内5个数的和能等于2020吗?若能,请求出框内5个数;若不能,请说明理由. (3)十字框内5个数的和能等于2025吗?若能,请求出框内5个数;若不能,请说明理由.(第11题)B 组12.若关于x ,y 的多项式7525222++--++x y nx y mx x 的值与x 的取值无关,则n m +等于( ).4.-A5.-B6.-C 6.D13.同时含有字母a ,b ,c 且系数为1的五次单项式有( ). A.1个 B .3个 C .6个 D .9个14.有一个多项式为,352678+-+-b a b a b a a 如果按照规律写下去,那么这个多项式的第八项是_______.15.观察下列各式:,,25,16,9,4,15432+++++x x x x x 按此规律写下去,则第n 个式子是_______. 16.请你做评委:在一堂数学活动课上,在同一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受:小明说:“绝对值不大于4的整数有7个.”小亮说:“当3=m 时,代数式23+--mx y x 中不含x 的项.” 小丁说:“若,2||,3||==b a 则b a +的值为5或1.”小彭说:“多项式322y y x x ++-是三次三项式.”你觉得他们的说法正确吗?若不正确,请帮他们修正,写出正确的说法.17.已知有理数a ,b ,c 在数轴上的位置如图,试化简.|||1|||2||a c a c b b -+-+-++(第17题)18.下表中的字母都是按一定规律排列的.我们把某格中的字母的和所得多项式称为“特征多项式”,例如第1格的“特征多项式”为x 6,2y + 第2格的“特征多项式”为,49y x +根据规律回答下列问题:(1)第3格的“特征多项式”为___________,第4格的“特征多项式”为_________,第n 格的“特征多项式”为_____________(n 为正整数).(2)求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差.走进重高1.多项式22513xy xy x -+的次数是( ). 2.A 1.B 3.C 4.D2.下列结论中,正确的是( ).A .单项式c ab 223的次数是4 B .单项式522nm π-的系数是52-C .多项式y x -2的次数是3D .多项式12523+-x x 中,第二项是22x3.当1=m 时,代数式63++bm am 的值是2019,那么当 1-=m 时,代数式63++bm am 的值是_____.4.观察下面的一列单项式:,,16,8,4,2753 x x x x --根据你发现的规律,第n 个单项式为_________ 5.如图是有关x 的代数式的方阵,若第10行第2项的值为1034,则此时x 的值为__________.(第5题)6.如图,某种窗户由上下两部分组成,其上部是用木条围成的半圆形,且半圆内部用了三根等长的木条分隔,下部是用木条围成的边长相同的四个小正方形,木条宽厚不计,已知下部的小正方形的边长为a(m).(1)用含a 的代数式分别表示窗户的面积和木条用料(实线部分)的总长.(2)若,1=a 窗户上安装的是玻璃,玻璃每平方米25元,木条每米20元,求制作这扇窗户需要多少元?(取3,结果精确到个位)(第6题)高分夺冠1.有一列数,,,,,,,54321n a a a a a a .其中,455,345,235,1254321+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=a a a a=5a ,,565 +⨯当2021=n a 时,n 的值等于( ).2020.A 2021.B 402.C 336.D2.已知12)1(+-a y x a 是关于x ,y 的五次单项式,试求整式的值:.)1(;1222+++a a a ②① 由①②的计算结果你发现了什么结论?任意取几个a 的值验证你的结论.3.已知多项式n x x n x m mx +-++-+3)12()2(234不含2x 和3x 的项,请写出这个多项式,再求当1-=x 时该多项式的值.4.已知整式,1,1,1222++-=+-=-+=x x R x x Q x x p 若一个次数不高于二次的整式可以表示为cR bQ ap ++(其中a ,b ,c 为常数),则可以进行如下分类:① ,0,0===/c b a 则称该整式为“P 类整式”; ②若,0,0,0==/=/c b a 则称该整式为“PQ 类整式”; ③若,0,0,0=/=/=/c b a 则称该整式为“PQR 类整式”.(1)模仿上面的分类方式,请给出“R 类整式”和“QR 类整式”的定义:若________,则称该整式为“R 类整式”; 若________,则称该整式为“QR 类整式”. (2)例如552+-x x 为“PQ 类整式”:333222)1(3)1(2322222+-++--=+-+-+-=+-x x x x x x x x Q P,552+-=x x 即,32552Q P x x +-=+-552+-∴x x 是“PQ 类整式”,根据上面的例子,解答下面问题:12++x x 是哪一类整式?请通过列式计算说明.(3)试说明20201142++x x 是“PQR 类整式”,并求出相应的a ,b ,c 的值,。

(完整)人教版七年级数学上册辅导讲义

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最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量.2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想.3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米 ⑵收人-50元 ⑶体重增加-3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量应该包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( )A . -18%B . -8%C . +2%D . +8%02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( )A . -5吨B . +5吨C . -3吨D . +3吨03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间15:00,纽约时问是_ ___【例2】在-227,π,0,0.033.3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;(2)按整数、分数分类,有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数,0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C .【变式题组】01.在7,0,15,-12,-301,31.25,-18,100,1,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 .02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置15,-19,215,-138,0.1,-5.32,123, 2.333【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14,-15,16,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007. 【变式题组】01(湖北宜昌)数学解密:第一个数是3=2 +1,第二个数是5=3 +2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8…观察并猜想第六个数是 .02.(毕节)毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法,如图则?填____.03.(茂名)有一组数1,2,5,10,17,26…请 观察规律,则第8个数为__ __ .【例4】(2008年河北张家口)若1+m 2的相反数是-3,则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义,代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数,本题m 2=2,m =4,则m 的相反数-4。

走进重高培优讲义北师大七年级上第1讲:丰富的图形世界(核心,概况难点,题型新颖,能力提高,启迪思维)

走进重高培优讲义北师大七年级上第1讲:丰富的图形世界(核心,概况难点,题型新颖,能力提高,启迪思维)

第一讲:丰富的图形世界思维导图重难点分析重点分析:1.图形都是由点、线、面构成的.图形有平面图形和立体图形之分,常见的立体图形可分为柱体、锥体和球体。

2.棱柱和圆柱都有两个底面且底面的形状和大小完全相同,但圆柱的底面是圆,棱柱的底面是多边形;圆柱的侧面是一个曲面,棱柱的侧面是由几个平面围成的,并且每个平面都是平行四边形。

3.用一个平面去截一个几何体,截面的形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆等,截面的形状不仅与被截几何体的形状有关,还与截面的角度和方向有关。

4.从不同的方向看同一物体的形状是不同的,从物体的正面看到的形状和从上面看到的形状共同反映了物体左右方向的尺寸,从正面看到的形状和从左面看到的形状共同反映了物体上下方向的尺寸,从上面看到的形状和从左面看到的形状共同反映了物体上下方向的尺寸。

难点分析:1.判断由平面图形折叠成的立体图形的形状时,需要较强的空间想象能力,要注意折成的立体图形的形状以及每个平面的位置。

2.根据从几何体的三个方向看到的形状描述几何体的形状时,一般以从上面看到的形状基础,结合从正面和从左面看到的形状,得到每一行、每一列、每一层的小立方体个数,从而确立体图形的亚状。

3.凸多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在如下关系:V+F-E=2。

例题精析例1:下列几何体中是棱柱的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2:用一平面去截如图所示的5个几何体,能得到长方形截面的几何体的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个例3:有一个小立方块,每一个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6,有三个人分别从不同角度观察的结果如图所示,问这个小立方块相对的两个面上的数字分别是多少?例4:小明准备用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图,拼完后,小明看来看去觉得所拼图形(如图)似乎存在问题.(1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题,若有多余图形,请把多余部分涂黑;若图形不全,则直接在原图中补全.(2)若图中的正方形边长为5cm,长方形的长为8cm,请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积.例5:如图是由8个相同的小立方体组成的一个几何体(1)画出从正面看、左面看、上面看的形状图;(2)现量得小立方体的棱长为2cm,现要给该几何体表面涂色(不含底面),求涂上颜色部分的总面积。

走进重高 培优讲义七上 第三讲 有理数的加减

走进重高 培优讲义七上 第三讲 有理数的加减

第三讲 有理数的加减例1计算:.28.546.1672.454.3286)1(-+-+---.75.1)321()432()323)(2(------例2 若,4||,2||,1||===c b a 且,||c b a c b a -+=-+求c b a ++的值.例3用简便方法计算:.9.0)12(1.111)1(+-+ ).10()28()21()13)(2(-+++-++ ).33.4()52.7(33.4)3(-+-+ ⋅-+-+-+)76()61()71(65)4(例4某检修小组从A 地出发,在东西向的马路上检修线路,如果规定向东行驶为正,向西行驶为负,一天中七次行驶记录如下表(单位:km ):(1)在第____次记录时距A 地最远.(2)求收工时距A 地多远.(3)若每千米耗油0.3升,每升汽油需7.2元,问检修小组工作一天需汽油费多少元?例5 问题:能否将10,,4,3,2,1 这10个数分成两组,使它们的差为5?解:,5510321=++++ 要使差为5,需将这10个数分成两组,一组的和为30,另一组的和为25,然后把它们相减.下面给出一种分法,例如:.5)1054321()9876(=+++++-+++应用:在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数前面任意添上“+”号或“一”号. (1)能否使它们的和等于-7?(2)能否使它们的和等于-2?若能,给出一种分法;若不能,请说明理由.例6 观察下列等式:,4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯将以上三个等式两边分别相加得: 321211⨯+⨯⋅=-=-+-+-=⨯+4341141313121211431 (1)猜想并写出:=+)1(1n n ____________(2)直接写出下列各式的计算结果:=⨯++⨯+⨯+⨯202120201431321211 ①___________. =+⨯++⨯+⨯+⨯)1(1431321211n n ②___________.(3)探究并计算:⋅⨯++⨯+⨯+⨯202220201861641421 (4)计算:⋅+++++180140124112141例 在有理数的范围内,我们定义三个数之间的新运算“#”法则:a ﹟b ﹟c ⋅+++--=2||cb ac b a如:(-1)﹟2﹟3.5232)1(|321|=++-+---=(1)计算:4﹟(-2) ﹟(-5)=_________.(2)计算:3﹟(-7)﹟=)311(____________.(3)在98,,92,91,0,71,,75,76 ---这15个数中:①任取三个不同的数作为a ,b ,c 的值,进行“a ﹟b ﹟c ”运算,求所有计算结果的最小值.②若将这15个数任意分成五组,每组三个数,进行“a ﹟b ﹟c ”运算,得到五个不同的结果,由 于分组不同,所以五个运算的结果也不同,那么五个结果之和的最大值是__________.拓展训练 A 组1.下面的数中,与-3的和为0的是( ).3.A 3.-B 31.C 31.-D2.下列结论中,不正确的是( ).A.若,0,0<>b a 且|,|b a >则0<+b aB.若,0,0><b a 且,||b a >则0<+b a C .若,0,0>>b a 则0>+b a D .若,0,0<<b a 则0<+b a3.把)5()1()3()5(-+--+-+写成省略括号的和的形式是( ).5135.-+--A 5135.---B 5135.-++C 5135.-+-D4.绝对值大于2且小于5的所有整数的和是( ).7.A 7.-B 0.C 5.D5.若|,|||||b a b a +=+则a ,b 的关系是( ).b a A ,.的绝对值相等 b a B ,.异号 b a C +.的和是非负数 b a D ,.同号或a ,b 其中一个为O6.若,5||,7||==y x 且,0>+y x 则y x -的值是( ). A.2或12 B .2或-12 C .-2或12 D .-2或-12 7.若在2022,,3,2,1 这些数前任意添加一个正号或者负号,则( ).A.它们的和是奇数 B .它们的和是偶数C.若有奇数个负号,则它们的和是奇数;若有偶数个负号,则它们的和是偶数 D .若有奇数个负号,则它们的和是偶数;若有偶数个负号,则它们的和是奇数 8.计算|9911001||3141||2131||121|-++-+-+- 的结果为_____________. 9.计算:).5.2()6.3)(1(++- ⋅+----21742)213(73)2( ).9()5()91()49)(3(-+--+-- ⋅--+---)32(312)11(5)4(⋅-++--)21(322)31(213)5( ).75.2()412(|211|52)6(--+---).2()9()11()7)(7(+--+--- ⋅--+--)414()315()414)(8(10.王先生到某中心大楼办事,假定乘电梯向上一楼记作+1,向下一楼记作-1,王先生从1楼出发,电梯上下楼层依次记录如下(单位:层):.10,7,12,8,10,3,6--+-+-+(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼.(2)该中心大楼每层高3m ,电梯每向上或下Im 需要耗电0.2度,根据王先生现在所处位置,请你算算,他办事时电梯需要耗电多少度? 11.已知|2|-ab 与|1|-a 互为相互数,试求下式的值:⋅++++++++++)2020)(2020(1)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab 12.在班级元旦联欢会上,主持人邀请李强、张华两位同学参加一个游戏,游戏规则是每人每次抽取四张卡片,如果抽到白色卡片,那么加上卡片上的数;如果抽到黑色卡片,那么减去卡片上的数,比较两人所抽4张卡片的计算结果,结果小的为同学们唱歌,李强抽到如图1的四张卡片,张华抽到如图2的四张卡片.李强、张华谁会为同学们唱歌?(第12题)B 组13.定义新运算:对任意有理数a ,b ,都有⋅+=⊕b a b a 11例如,,65312132=+=⊕那么)4(3-⊕的值是( ).127.-A 121.-B 121.C 127.D 14.若,0=++c b a 且|,|||||a b c >>则下列说法中可能成立的是( ). A.a ,b 为正数,c 为负数 B .a ,c .为正数,b 为负数 C .b ,c 为正数,a 为负数 D .a ,b ,c 均为负数15.对于实数a ,b ,如果0,0<>b a 且|,|||b a <那么下列等式中成立的是( ).||||.b a b a A +=+ |)||(|.b a b a B +-=+ |)||(|.b a b a C --=+ |)||(|.a b b a D --=+16.在实际生活中,八点五十五通常可以说成九点差五分,有时这样表达更清楚,受此启发,我们设计了一种新的加减计数法,例如:7写成191;31031,31-=写成3651;9200920,920-=写成.3651135040001354,1354=+-=按这个方法请计算:=52132___________.17.规定一种新运算:),1()1(--+=⋅⋅⨯b a b a 右边的运算是正常的加减运算.例如:)2()5(-⋅⋅⨯-)15(+-=,134)3()4()12(-=+-=---=---由以上规定计算:)21()10(⋅⋅⨯+⋅⋅⨯ +⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⨯+)43()32(=⋅⋅⨯+)20202019( ____________.18.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序:输入数a ,加“*”键,再输入数b ,就可以得到运.||)(*a b b a b a ---=(1)求2*)3(-的值. (2)求)5(*)4*3(-的值.19.把几个数用大括号围起来,中间用逗号断开,例如:},19,8,7,2{},3,2,1{我们称之为集合,其中的数称为集合的元素,如果一个集合满足:当有理数a 是集合的元素时,有理数8-a 也是这个集合的元素,这样的集合我们称其为好的集合.(1)请你判断集合}7,4,1{},2,1{是不是好的集合. (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子. 20.从2开始,连续的偶数相加,它们和的情况如下表:(1)如果,8=n 那么S 的值为__________.(2)根据表中的规律猜想:用含n 的代数式表示S 的公式为=+++++=n s 28642 _________.(3)根据上面的规律计算2022106104102++++ 的值(写出计算过程).走进重高1.【赤峰】|5)3(|--等于( ).8.-A 2.-B 2.C 8.D2.【铜仁】计算990013012011216121++++++ 的值为( ).1001.A 10099.B 991.C 99100.D 3.【江西】中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数,如图,根据刘徽的这种表示法,观察图1,可推算图2中所得的数值为___________.(第3题)4.【六盘水】计算 +++++2516941的前29项的和是___________.5.古代埃及人在进行分数运算时,只使用分子是1的分数,因此这种分数也叫做埃及分数.我们注意到,某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和,例如:⋅+=4131127 (1)请将3011写成两个埃及分数的和的形式:____________. (2)若真分数x13可以写成两个埃及分数的和的形式,请写出两个x 不同的取值:__________.6.阅读材料:对于)213(4317)329()655(-++-+-可以按如下计算:原式)]21()3[()4317()]32()9[()]65()5[(-+-+++-+-+-+-=)]21(43)32()65[()]3(17)9()5[(-++-+-+-++-+-=)45(0-+=⋅-=45上面这种方法叫拆数法,仿照上面的方法,请你计算:434040)322019()652020(+-+-⋅-+)211(高分夺冠1.将9,8,7,6,5,4,3,2,1这九个数字分别填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右的数字逐渐增大,每一列从上到下的数字也逐渐增大.当数字2,4固定在图中所示的位置时,按规则填写空格,所有可能出现的结果有( ).A. 4种 B .6种 C .8种 D .9种2 4(第1题)2.数学上,为了简便,把从1到n 的连续 n 个自然数的乘积记作,!n 即-⨯⨯⨯⨯=n n ( 321!,)1n ⨯将上述n 个自然数的和记作,321,:11n k FP k n k nk ++++=∑∑== 则i i i i ∑∑==-+2021120201!2019!2020的值为_________.3.如图的号码是由14个数字组成的,把每一个数字写在下面的方格中,若任意相邻的三个数字之和都等于14,则x 的值等于__________.l9x2(第3题)4.计算:⋅+++++++++++)99989997992991()434241()3231(21)1( .202120202019654321)2(+-++-+-+-5.对于任意有理数a ,b ,定义运算如下:,,22120**,22021*2 ⨯-++=-+=c b a c b a b a b a 计算 *4*3*2*12021*2020* 的值.6.将九个数填在3×3(3行3列)的方格中,如果满足每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,这样的图称为“广义的三阶幻方”,如图1就是一个满足条件的广义三阶幻方.图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数.(1)请直接将图2、图3的其余6个数全填上. (2)就图3加以说明这样填写的理由.(第6题)。

走进重高_培优讲义__数学__八年级__上册_(浙教版)

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基础巩固篇第一讲认识三角形思维导图重难点分析重点分析:1. 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接而成的图形,是最简单、最基本的几何图形,是学习其他几何图形的基础.2.三角形的边的性质有:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这一性质可用“两点之间线段最短”来说明,若三角形的两边长分别为a和b,那么第三边长c的取值范围是|a-b|<c<a+b.3.三角形的角的性质有:三个内角的和为180°,三个外角的和为360°,每个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.三角形按边可以分为等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)和不等腰三角形,按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.难点分析:1.判断三条线段能否组成三角形时,一般先确定最长的一条线段,然后将另外两条线段的和与最长的一条线段作比较,如果两条线段的和大于最长的线段,则这三条线段可以组成三角形,反之则不能.2.三角形角的性质主要是关于角的等量关系,常应用于角度计算,解题时要注意把已知角和未知角统一到一个三角形中.例题精析例1、有四条线段,长度分别为4 cm,8 cm,10 cm,12 cm,选其中三条组成三角形,试问可以组成多少个三角形?思路点拨:四条线段中选三条线段共有4种选法,可以将每种情况列举出来,再根据三角形的三边关系进行判断,如果两条较短线段的和大于最长线段,则可以组成三角形.解题过程:有3种情况可以组成三角形:①12 cm,10 cm,8 cm;②12 cm,10 cm,4 cm;③10 cm,8 cm,4 cm.方法归纳:判断三条线段能否组成三角形分两步:(1)确定最长的一条线段;(2)检验两条较短线段的和是否大于最长的线段.易错误区:四条线段中选三条共有四种选法,用枚举法将各种情况列举出来,注意不重不漏.例2、如图,在△ABC 中,点D 为△ABC 内一点,已知∠BDC=100°,∠1=30°,∠2=20°,求∠A 的度数.思路点拨:要求∠A 的度数,只需要求出∠ABC+∠ACB 的度数.根据∠BDC=100°,利用三角形的内角和定理可求出∠DBC+∠DCB 的度数,从而可求得∠ABC+∠ACB 的度数.解题过程:∵∠BDC=100°,且∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°,∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=80°.∴∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+∠1+∠2=130°.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=50°.方法归纳:本题也可延长BD 或CD 分割△ABC ,然后利用三角形的内角和及外角的性质计算. 易错误区:本题∠DBC 与∠DCB 的度数不能确定,要把它们看成一个整体,即求它们的和.例3、如图,在△ABC 中,已知点D ,E ,F 分别是边BC ,AD ,CE 上的中点,且S △BEF =1,求S △ABC .思路点拨:根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.解题过程:∵点E 是AD 的中点,∴S △ABE =21S △ABD ,S △ACE =21S △ACD . ∴S △ABE +S △ACE =21S △ABC .∴S △BCE =21S △ABC . ∵点F 是CE 的中点,∴S △BEF =21S △BCE =41S △ABC .∴S △ABC =4S △BEF =4. 方法归纳:本题考查了三角形的面积,主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形,原理为等底等高的三角形的面积相等.易错误区:题中三角形面积的倍半关系比较复杂,注意三角形面积相等的条件.例4、如图:(1)图1是一个五角星,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数;(2)将图1中的点A 向下移到BE 上(如图2),五个角的和有无变化?说说你的理由;(3)将图2中的点C 向上移到BD 上(如图3),五个角的和有无变化?说说你的理由.图1图2 图3思路点拨:要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E,需要将这些角转化为一个三角形的内角或外角,如图4,根据三角形的外角的性质可得∠A+∠C=∠2,∠B+∠E=∠1,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D,其他两个图形用同样的方法即可解决.解题过程:(1)如图4,∵∠A+∠C=∠2,∠B+∠E=∠1,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D.而∠1+∠2+∠D=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.图4 图5(2)不变,仍为180°,如图5,同(1)可证∠CAD+∠C=∠2,∠B+∠E=∠1,∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D=180°.(3)不变,理由同(2).方法归纳:应用转化的数学思想,将问题转化为三角形的外角和内角的性质问题.易错误区:本题中三个图形虽然有变化,但其中角之间的数量关系没有变化,解题时要抓住图形中的三角形特征.图中角比较多,要注意理清数量关系,不要混淆.例5、将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.图1 图2 图3(1)如图1,若∠A=40°,点D在△ABC内,则∠ABC+∠ACB= 度,∠DBC+∠DCB= 度,∠ABD+∠ACD= 度;(2)如图2,改变直角三角板DEF的位置,使点D在△ABC内,请探究∠ABD+∠ACD与∠A 之间存在怎样的数量关系,并验证你的结论;(3)如图3,改变直角三角板DEF的位置,使点D在△ABC外,且在AB边的左侧,直接写出∠ABD,∠ACD,∠A三者之间存在的数量关系.思路点拨:(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°,进而可求出∠ABD+∠ACD的度数;(2)根据三角形内角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°,则∠ABD+∠ACD=90°-∠A;(3)由(1)(2)的解题思路可得:∠ACD-∠ABD=90°-∠A.解题过程:(1)答案为:140;90;50.(2)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为:∠ABD+∠ACD=90°-∠A.证明:∵在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,在△DBC中,∠DBC+∠DCB=90°.∴∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°.∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A.(3)∵在△ABC中,∠ABC+∠BCD+∠ACD=180°-∠A,在△DBC中,∠ABD+∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ACD-∠ABD=180°-∠A-90°.∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A.方法归纳:本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,解答本题的关键是沟通外角和内角的关系.易错误区:题(3)直角的位置发生了变化,所以结论与题(2)有区别,要注意图形的变化.探究提升图1 图2例、已知如图1,线段AB,CD相交于点O,连结AD,CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD,AB分别相交于点M,N.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:;(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数有个;(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;(4)如果图2中∠D和∠B为任意角,其他条件不变,试问∠P与∠D,∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)思路点拨:(1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠B+∠C;(2)根据“8字形”的定义,仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个;(3)先根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义可得∠P与∠D,∠B之间的数量关系,进而求出∠P的度数;(4)由(3)可得. 解题过程:(1)∠A+∠D=∠B+∠C(2)6(3)由(1)得,∠DAP+∠D=∠DCP+∠P,∠PAB+∠P=∠PCB+∠B,∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D,∠PAB-∠PCB=∠B-∠P.又∵AP,CP分别平分∠DAB和∠BCD,∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB.∴∠P-∠D=∠B-∠P,即2∠P=∠B+∠D.∴∠P=(40°+36°)÷2=38°.(4)2∠P=∠B+∠D.方法归纳:本题主要考查了三角形内角和定理,角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力.(1)中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律;(2)是考查学生的观察理解能力,需从复杂的图形中辨认出“8字形”;(3)(4)直接运用“8字形”中的角的规律解题. 易错误区:找基本图形“8字形”是本题难点及易错点,一般可以先确定“8字形”中的其中一个三角形,然后根据“8字型”的特征找另一个与它相对应的三角形.专项训练拓展训练A组1.略2.略3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°,则∠BDC等于( ).A.42°B.66°C.69°D.77°(第3题) (第4题)4.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的另外一个角是度.5.略6.略7.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF交于点G,若S△ABC=12,则阴影部分的面积是.(第7题) (第8题)8.如图,BM是△ABC中AC边上的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么△ABM与△BCM的周长之差为cm.9.略10.如图所示,已知DF⊥AB于点F,∠A=40°,∠D=50°,求∠ACB的度数.(第10题)11.如图,在△ABC中,∠A=∠ABC,直线EF分别交△ABC的边AB,AC和CB的延长线于点D,E,F.(1)求证:∠F+∠FEC=2∠A;(2)过点B作BM∥AC交FD于点M,试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系,并证明你的结论.(第11题)B组12.略13.如图,△ABC的两条中线相交于点F,若△ABC的面积是45cm2,则四边形DCEF的面积是( ).A.30cm2B.15cm2C.20cm2D.不能确定(第13题) (第14题) (第16题) 14.如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1,∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2,依次类推,∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5,则∠BD5C的度数是( ).A.60°B.56°C.94°D.68°15.略16.如图,点G是△AFE的两外角平分线的交点,点P是△ABC的两外角平分线的交点,点F,C在AM上,又点B,E在AN上,如果∠FGE=66°,那么∠P= .17.略18.在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是边AC,BC上的点,点P是一动点,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.(1)若点P在线段AB上,如图1,且∠α=50°,则∠1+∠2=;(2)若点P在边AB上运动,如图2,则∠α,∠1,∠2之间的关系为;(3)如图3,若点P在斜边BA的延长线上运动(CE<CD),请写出∠α,∠1,∠2之间的关系式,并说明理由.图1 图2 图3(第18题)走进重高1.【绵阳】如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC等于( ).A.118°B.119°C.120°D.121°(第1题) (第2题) (第5题) 2.如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,如果△CDE的面积为3,△BCE的面积为4,△AED的面积为6,那么△ABE的面积为().A.7B.8C.9D.103.略4.略5.【临海】如图,若∠B=40°,A,C分别为角两边上的任意一点,连结AC,∠BAC与∠ACB 的平分线交于点P1,则∠P1= ,D,F也为角两边上的任意一点,连结DF,∠BFD 与∠FDB的平分线交于点P2……按这样的规律,则∠P2016= .6.如图是一张三角形纸片ABC,其中∠A=∠C.(1)把△ABC纸片按如图1所示折叠,使点A落在AC边上的点F处,DE是折痕,说明BC∥DF;(2)把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCED内时(如图2),探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系,并说明理由;(3)当点A落在四边形BCED外时(如图3),∠C与∠1,∠2的关系是 .(直接写出结论)图1 图2 图3(第6题)高分夺冠1.如图,在△ABC 中,已知点P ,Q 分别在边AC ,BC 上,BP 与AQ 相交于点O ,若△BOQ,△ABO,△APO 的面积分别为1,2,3,则△PQC 的面积为( ).A.22B.22.5C.23D.23.5 (第1题)2.将长度为25cm 的细铁折成边长都是质数(单位:cm)的三角形,若这样的三角形的三边的长分别是a ,b ,c ,且满足a ≤b ≤c ,则(a ,b ,c)有 组解,所构成的三角形都是 三角形.3.已知△ABC 中,∠A=α.如图1,∠B,∠C 的平分线交于点O 1,则可计算得∠BO 1C=90°+21α;如图2,∠B,∠C 的两条三等分角线分别对应交于点O 1,O 2,则∠BO 2C= ;请你猜想,当∠B ,∠C 同时n 等分时,(n-1)条等分角线分别对应交于点O 1,O 2,…,O ;如图2,∠B,∠C 的两条三等分角线分别对应交于点O 1,O 2,则∠BO 2C=;请你猜想,当∠B ,∠C 同时n 等分时,(n-1)条等分角线分别对应交于点O 1,O 2,…,O n-1,如图3,则∠BO n-1C= (用含n 和α的代数式表示).图1图2 图3(第3题) (第4题)4.如图,点D ,C ,G 在同一直线上,BE 平分∠ABD 交AC 于点E ,CF 平分∠ACG,BE 延长线与CF 相交于点F ,若∠BDC=160°,∠A=100°,则∠F= 度.5.已知△ABC 的面积是60,请完成下列问题:(1)如图1,若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,则△ABD 的面积(填“>”“<”或“=”)△ACD 的面积;(2)如图2,若CD ,BE 分别是△ABC 的AB ,AC 边上的中线,求四边形ADOE 的面积可以用如下方法:连结AO ,由AD=DB 得:S △ADO =S △BDO ,同理:S △CEO =S △AEO .设S △BDO =x ,S △CEO =y ,则S △ADO =x ,S=x ,S △AEO =y.由题意得:S △ABE =21S △ABC =30,S △ADC =21S △ABC =30,可列方程组为:⎩⎨⎧=+=+30,2y x 30,y 2x 解得 ,通过解这个方程组可得四边形ADOE 的面积为 ;(3)如图3,AD ∶DB=1∶3,CE ∶AE=1∶2,请你计算四边形ADOE 的面积,并说明理由.图1图2 图3(第5题)第二讲命题与证明思维导图重难点分析重点分析:1.利用命题的定义来判断语句是否为命题,关键看语句是否为一个判断句,对一个命题,要准确找出命题的题设和结论部分,并写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”后写题设,“那么”后写结论.2.判断一个命题是真命题,主要依据已知的定理、公理或相关数学性质,而判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.3.证明一个命题,要根据题意,分析命题的条件和结论,有条理的写出证明过程,证明的每一步都要有依据,这些依据可以是定义、定理、公理、已知等.4.反证法的基本步骤:(1)假设,否定待证命题的结论;(2)推理导出矛盾;(3)肯定原命题的结论.难点分析:1.探求证明的途径,一般有两种思考方法:一种是从已知出发,推出可能的结果,并与要证明的结论作比较,直至得到要证明的结论,另一种是从要证明的结论出发,探索要使结论成立的条件,并与已知对照,直至找到所需要并已知的条件.对于比较复杂的证明,常常把这两种思考方法综合运用,称为分析综合法.2.有以下特征的命题宜用反证法证明:(1)结论涉及唯一性;(2)结论涉及“至多或至少”;(3)结论为否定形式;(4)结论涉及无限形式等.3.作辅助线是证明命题常用的手段,要会作简单的辅助线解决证明题.常见的辅助线有:分割图形,作平行线,截长可补短等.例题精析例1、把下列命题写成“如果……,那么……”的形式.(1)两直线平行,同位角相等;(2)周长相等的两个三角形全等;(3)等角的补角相等.思路点拨:先找出命题的题设和结论,然后改写成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”后面跟命题的题设,“那么”后面跟命题的结论.解题过程:(1)如果两条平行线被第三条直线所截,那么所得的同位角相等.(2)如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形全等.(3)如果两个角分别是两个相等角的补角,那么这两个角相等.方法归纳:将命题改写成“如果……,那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论. 易错误区:第(3)题的结论是两角相等,所以条件应该是满足何种条件的两角,为了命题的证明方便一般不改写成“如果两个角相等,那么它们的补角相等”.例2、(1)如图,若∠1=∠2,则AB∥CD,试判断命题的真假:(填“真”或“假”);(2)若上述命题为真命题,请说明理由,若上述命题为假命题,请你再添加一个条件,使该命题成为真命题,并说明理由.思路点拨:(1)利用平行线的判定方法进而判断即可;(2)利用平行线的性质结合判定方法添加合理的条件.解题过程:(1)假(2)添加条件:BE∥DF,则∠EBD=∠FDN.又∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠CDN.∴AB∥CD.方法归纳:本题主要考查了命题与定理以及平行线的判定,正确把握平行线的判定方法是解题关键.易错误区:注意本题是添加条件而不是修改条件,切不可把原来“∠1=∠2”的条件改掉.例3、在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小胡和小杜分别给出了下列证法.小胡:在△ABC中,延长BC到点D(如图1).∵∠ACD=∠A+∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).图1 图2小杜:在△ABC中,作CD⊥AB于点D(如图2).∵CD⊥AB(已知),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定义).∴∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形两锐角互余).∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等量加等量和相等).∴∠A+∠B+∠ACB=180°.请你对上述两名同学的证法给出评价,并另给出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法.思路点拨:两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导得到的,这种用结论来说明的错误称为“循环论证”,不符合推理论证的逻辑规律.解题过程:评价:两位同学都巧妙地通过作辅助线将问题转化,作辅助线的思路对解题有帮助,但证明过程用到的理论依据是由本命题的结论推导出来的,所以证明方法不正确,陷入了“循环论证”的错误之中. 图3正确的证法如下:如图3,过点A作直线MN,使MN∥BC.∵MN∥BC,∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC(两直线平行,内错角相等).∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°(平角定义),∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换).方法归纳:要证明三角形的内角和等于180°,即三角形三个内角的和是平角,可以通过作辅助线,使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和.平行线是几何证明中常用的辅助线.易错误区:“循环论证”是初学几何证明者比较容易出现的一种错误,即用命题的结论推导得到的性质来证明命题本身,做证明题时对每一步的说理依据要认真考证,以避免出现“循环论证”.例4、如图,在△ABC 中,点E 在AC 上,∠AEB=∠ABC.图1 图2(1)在图1中,作∠BAC 的平分线AD ,分别交CB ,BE 于点D ,F ,求证:∠EFD=∠ADC;(2)在图2中,作△ABC 的外角∠BAG 的平分线AD ,分别交CB ,BE 的延长线于点D ,F ,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?思路点拨:(1)首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC,再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,进而得到∠EFD=∠ADC;(2)首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠GAD,再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD,然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB -∠FAE,∠ADC=∠ABC -∠BAD,进而可得∠EFD=∠ADC.解题过程:(1)∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,又∵∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC.(2)探究(1)中结论仍成立.理由:∵AD 平分∠BAG,∴∠BAD=∠GAD.∵∠FAE=∠GAD,∴∠FAE=∠BAD.∵∠EFD=∠AEB -∠FAE,∠ADC=∠ABC -∠BAD,又∵∠AEB=∠ABC,∴∠EFD=∠ADC.方法归纳:本题主要考查了三角形外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.易错误区:利用三角形外角的性质要注意找准三角形及相应的内角,看清并读懂图形很重要.例5、在△ABC 中,BO 平分∠ABC,点P 为直线AC 上一动点,PO⊥BO 于点O .图1 图2 图3(1)如图1,当∠ABC=40°,∠BAC=60°,点P 与点C 重合时,∠APO= ;(2)如图2,当点P 在AC 的延长线上时,求证:∠APO=21(∠ACB -∠BAC);(3)如图3,当点P 在边AC 上如图所示位置时,请直接写出∠APO 与∠ACB,∠BAC 之间的等量关系式 .思路点拨:(1)根据三角形的内角和定理求出∠ACB,再根据角平分线的定义求出∠OBC,然后求出∠OCB,再根据∠APO=∠ACB -∠OCB 计算即可得解;(2)作射线AO ,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2,∠3=∠5+∠P ,从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P,再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB 和∠BAC 表示出∠2,代入整理即可得解;(3)用∠ACB 和∠BAC 表示出∠OBC,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解.解题过程:(1)∵∠ABC=40°,∠BAC=60°,∴∠ACB=180°-∠ABC -∠BAC=180°-40°-60°=80°.∵BO 平分∠ABC,∴∠OBC=21∠ABC=20°. ∵PO⊥BO,∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°.∴∠APO=∠ACB -∠OCB=80°-70°=10°.(2)如图4,作射线AO.则∠4=∠1+∠2,∠3=∠5+∠P,∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P.∵PO⊥BO,∴∠3+∠4=90°.∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°,即∠BAC+∠2+∠P=90°. 图4 ∵BO 平分∠ABC,∴∠2=21∠ABC. ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∴∠ABC=180°-∠BAC -∠ACB.∴∠2=12(180°-∠BAC -∠ACB).∴∠APO=90°-∠BAC -∠2=90°-∠BAC -21(180°-∠BAC -∠ACB)=21(∠A CB-∠BAC). (3)∵BO 平分∠ABC,∴∠ABO=12(180°-∠BAC -∠ACB). ∵PO⊥BO,∴∠APO=90°+(∠ABO+∠BAC)=90°+21(180°-∠BAC -∠ACB)+∠BAC=180°+21(∠BAC -∠ACB),即∠APO=180°+21(∠BAC -∠ACB). 方法归纳:本题考查了三角形的内角和定理,三角形的外角性质,难度中等,熟记性质并准确识图是解题的关键.易错误区:本题中涉及的角较多,要准确表示出各角度之间的等量关系,运用三角形外角的性质时要注意对应的角度关系不要混淆.探究提升例、如果一个数能表示成x 2+2xy+2y 2(x ,y 是整数),我们称这个数为“好数”.(1)判断29是否为“好数”;(2)写出1,2,3,…,20中的“好数”;(3)如果m ,n 都是“好数”,求证:mn 是“好数”.思路点拨:(1)根据x 2+2xy+2y 2=(x+y)2+y 2可以得到好数特征,根据“好数”定义判断29是否为“好数”;(2)根据好数的定义判断1,2,3,…,20中的“好数”;(3)设m=x 2+2xy+2y 2,n=p 2+2pq+2q 2,化简得到mn=[(x+y)(p+q)+qy ]2+[q(x+y)-y(p+q)]2,令u+v=(x+y)(p+q)+qy ,v=q(x+y)-y(p+q),于是可以判断出mn为“好数”.解题过程:(1)x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2,特征:“好数”就是两个整数的平方和,而29=52+22,故29是“好数”.(2)1,2,3,…,20中的“好数”有1,2,4,5,8,9,10,13,16,17,18,20.(3)m=x2+2xy+2y2,n=p2+2pq+2q2.则mn=(x2+2xy+2y2)(p2+2pq+2q2)=[(x+y)2+y2][(p+q)2+q2]=[(x+y)(p+q)+qy]2+[q(x+y)-y(p+q)]2,令u+v=(x+y)(p+q)+qy,v=q(x+y)-y(p+q).那么mn=(u+v)2+v2=u2+2uv+2v2,∵x,y,p,q均为整数,∴(x+y)(p+q)+qy,q(x+y)-y(p+q)也为整数.∴u+v,v为整数.∴u,v为整数.∴mn为“好数”.方法归纳:本题是代数证明题,解答本题的关键是掌握“好数”的定义,并能将此定义作为依据利用完全平方式的知识进行推理证明.易错误区:题(3)中代数式的变形是本题难点,要注意正确利用完全平方式对式子进行恒等变形.专项训练拓展训练A组1.略2.下列命题中,正确的是( ).A.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行B.相等的角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截,同位角相等D.和为180°的两个角叫做邻补角3.略(第4题)4.如图,点A,B,C,D,E,F是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( ).A.180°B.360°C.540°D.720°5.略6.略7.如图,已知AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3= .(第7题)(第8题)8.如图,CD,CE分别是△ABC的高和角平分线,∠A=30°,∠B=60°,则∠DCE= .9.如图,有三个论断:①∠1=∠2;②∠B=∠D;③∠A=∠C.请从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个命题,并证明该命题的正确性.(第9题)10.略11.如图,已知∠EGF=∠E+∠F,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.(第11题)B组12.略13.如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE与CF交于点G,若∠BDC=140°,∠BGC=110°,则∠A为( ).A.70°B.75°C.80°D.85°(第13题) (第14题)14.如图,AB⊥AC,CD,BE分别是△ABC的角平分线,AG∥BC,AG⊥BG,下列结论:①∠BAG=2∠ABF;②BA平分∠CBG;③∠ABG=∠ACB;④∠CFB=135°.其中正确的结论是( ).A.①③B.②④C.①③④D.①②③④15. 略16.略17.在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值都是负数.于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由.18.探究发现图1 图2 图3(第18题)探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?如图1,∠FDC,∠ECD为△ADC的两个外角,则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为.探究二:在四边形ABCD中,∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角,设∠A=α,∠D=β.(1)如图2,若α+β>180°,求∠F;(用α,β表示)(2)如图3,若α+β<180°,请在图中画出∠F,并求∠F=;(用α,β表示)(3)一定存在∠F吗?如有,直接写出∠F的值,如不一定,直接指出α,β满足什么条件时,不存在∠F.走进重高1.略2.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A在四边形BCDE的外部时,记∠AEB为∠1,∠ADC为∠2,则下列∠A,∠1与∠2的数量关系中,正确的是().A.∠1=∠2+∠AB.∠1=2∠A+∠2C.∠1=2∠2+2∠AD.2∠1=∠2+∠A (第2题)3.略4.在A,B,C三个盒子里分别放一些小球,小球数依次为a0,b0,c0,记为G0=(a0,b0,c0).游戏规则如下:若三个盒子中的小球数不完全相同,则从小球数最多的一个盒子中拿出两个,给另外两个盒子各放一个(若有两个盒子中的小球数相同,且都多于第三个盒子中的小球数,则从这两个盒子序在前的盒子中取小球),记为一次操作.若三个盒子中的小球数都相同,游戏结束,n次操作后的小球数记为G n=(a n,b n,c n).(1)若G0=(5,8,11),则第次操作后游戏结束;(2)小明发现:若G0=(1,5,12),则游戏永远无法结束,那么G2016= .5.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC.(1)若∠B=30°,∠C=70°,求∠DAE的度数;(2)在△ABC中,若∠B=α,∠C=β(α<β),请你根据(1)问的结果大胆猜想∠DAE 与α,β间的等量关系,并说明理由.(第5题)6.已知△ABC,△DEF是两个完全一样的三角形,其中∠ACB=∠DFE=90°,∠A=∠D=30°.(1)将它们摆成如图1的位置(点E,F在AB上,点C在DF上,DE与AC相交于点G).求∠AGD的度数;(2)将图1的△ABC固定,把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°(0<n<180).①当△DEF旋转到DE∥AB的位置时(如图2),n= ;②若由图1旋转后的EF能与△ABC的一边垂直,则n的值为.图1 图2(第6题)高分夺冠1.如图,A,B,C是固定在桌面上的三根立柱,其中A柱上穿有三个大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B柱上,要求每次只能移动一片(叫移动一次),被移动的圆片只能放入A,B,C三根立柱之一,且较大的圆片不能叠在较小的圆片上面,那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是( ).A.6B.7C.8D.9(第1题) (第2题) (第3题)2.如图,△ABC内有三个点D,E,F,分别以A,B,C,D,E,F这六个点为顶点画三角形,如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部,那么这些三角形的所有内角之和为( ).A.360°B.900°C.1260°D.1440°3.如图,平面镜A与B之间夹角为120°,光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上,再反射出去,若∠1=∠2,则∠1= 度.4.(1)阅读理解:如图1是二环三角形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°.理由:连结A1A4.∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°,∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°,又∵∠A1OA4=∠A5OA6,∴∠1+∠2=∠A5+∠A6.∵∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°,∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°,即S=360°.(2)延伸探究:①如图2是二环四边形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°,请你加以证明;②如图3是二环五边形,可得S= ,聪明的你,请根据以上的规律直接写出二环n 边形(n≥3的整数)中,S= 度.(用含n的代数式表示最后的结果)图1 图2 图3(第4题)第三讲 全等三角形思维导图重难点分析重点分析:1.能够完全重合的两个三角形全等,全等三角形对应边相等、对应角相等.2.三角形全等的条件有:SAS(边角边)、SSS(边边边)、ASA(角边角)、AAS(角角边).3.角平分线上的点到角两边的距离相等,线段中垂线上的点到线段两端的距离相等. 难点分析:1.找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角,找对应边、对应角常用的方法有:公共边或公共角一般是对应边或角;对顶角、角平分线、直角等得到的等角一般是对应角;最大(或最小)的边或角是对应边或角;对应边的夹角是对应角,对应角的夹边是对应边;书写全等时顶点字母要对应,便于我们找对应的边和角.2.注意边边角(两边及一角对应相等)不能判定两个三角形全等,这是本节内容的易错点.3.注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确定图形中的全等三角形.例、如图,已知点A ,E ,F ,C 在一条直线上,△AED ≌△CFB ,你能得出哪些结论?(答出5个即可,不需证明)思路点拨:根据全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等即可解答.参考答案:AD=CB ,AE=CF ,ED=FB ,∠ADE=∠CBF,∠AED=∠CFB,∠EAD=∠FCB 等.方法归纳:本题主要考查了全等三角形的性质,正确判断对应角、对应边是解答本题的关键.如果再根据全等三角形的判定定理,图形中还能再找出两对全等的三角形.易错误区:要正确找出两个全等三角形的对应边和对应角,除了利用图形直观判断外,还要能应用“△AED ≌△CFB”中字母的对应关系来确定对应边及对应角.例2、如图,已知点B ,F ,C ,E 在同一直线上,并且BF=CE ,∠B=∠E.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线),使得△ABC≌△DEF.你添加的条件是: ;(2)添加了条件后,请证明△ABC ≌△DEF.思路点拨:(1)根据全等三角形的判定定理AAS 可以添加条件∠A=∠D;根据ASA 可以添加条件∠ACB=∠DFE,根据SAS 可以添加条件AB=DE ;(2)根据题意可得BC=EF ,再根据全等三角形的判定定理即可证明结论.解题过程:(1)∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE,AB=DE).(2)以添加∠A=∠D 为例证明:∵BF=CE ,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中,∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,EF BC E B D A ∴△ABC≌△DEF(AAS).。

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基础巩固篇第一讲有理数思维导图重难点分析重点分析:1.回顾以前学过的关于“数”的知识,进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景,通过学生身边的例子体验自然数与分数的意义和在它们计数、测量、排序、编码等方面的应用.2.从相反意义的量的表示,理解正数、负数的概念,理解有理数产生的必然性、合理性.3.有理数的分类:按有理数的整分性可以分为整数和分数;按有理数的正负性可以分为正有理数、负有理数和零.难点分析:1.分数都可以化为小数,有些小数(有限小数和无限循环小数)可以化为分数.2.相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都具有数量(必须是同一类量,数量大小可以不相等).例题精析例1、判断:(1)前进和后退是两个具有相反意义的量;(2)零上6℃的相反意义的量只有零下6℃;(3)收入50万元和亏损20万元是两个具有相反意义的量;(4)上涨100元和下降50点是两个具有相反意义的量.思路点拨:先判断意义是否相反,再看是不是有数量.解题过程:(1)前进和后退具有相反意义,但没有数量,所以错误.(2)相反意义的量中数量可以不相等,所以错误.(3)收入和支出才具有相反意义,所以错误.(4)相反意义的量中数量必须是同一类量,100元和50点不是同一类量,所以错误.方法归纳:判断是否是相反意义的量时要抓住两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都具有数量(必须是同一类量,数量大小可以不相等).易错误区:注意(3)中收入的相反意义是支出,亏损的相反意义是盈利,不要混淆.例2、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1~98次为特快列车,101~198次为直快列车,301~398次为普快列车,401~498次为普客列车;二是单数与双数表示不同的行驶方向,其中单数表示从开出,双数表示开往,根据以上规定,开往的普快列车“海西号”的车次号可能是( ).A.96B.118C.335D.336思路点拨:根据普快列车的车次号在301~398之间,开往的列车车次号为双数作答.参考答案:D方法归纳:本题是材料题,要仔细阅读所给信息,才能得出正确的结论.易错误区:解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.例3、(1)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶,现有15个矿泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝 瓶矿泉水;(2)师生共52人外出春游,到达后,班主任要给每人买一瓶矿泉水,给了班长买矿泉水的钱.班长到商店后,发现商店正在进行促销活动,规定每5个空瓶可换1瓶矿泉水.班长只要买 瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶.思路点拨:(1)看15里面有几个4,再看余下的空瓶包含几个4,把个数相加即可;(2)因为5个空瓶=1个空瓶+1瓶的水,可知4个空瓶可以换1瓶的水,因此花4瓶的钱可以喝到5瓶水,所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水,还差2瓶单买.解题过程:(1)15÷4=3……3,可先换3瓶矿泉水,喝完后还剩3+3=6个空瓶,拿出4个空瓶换一瓶矿泉水,还剩3个空瓶,找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水,喝完还剩一个空瓶再把这个空瓶还给那个人,故最多可以喝5瓶矿泉水.(2)52÷5=10组……2瓶;4×10+2=42瓶.答:班长只要买42瓶矿泉水,就可以保证每人一瓶.方法归纳:本题考查的知识点是推理与论证,关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”这个条件,得出“4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶”这一结论,然后再列式计算.易错误区:换来的矿泉水喝完又是空瓶,可以继续换.例4、分子为1的分数叫做单位分数.早在三千多年前,古埃及人就利用单位分数进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题.例如:2141424142143+=+=+=;216163616316432+=+=+==. (1)仿照上例分别把分数85和53拆分成两个不同的单位分数之和. 85= ;53= ; (2)在上例中,214143+=,又因为316162616216321+=+=+==,所以31614143++=,即43可以写成三个不同的单位分数之和.按照这样的思路,它也可以写成四个,甚至五个不同的单位分数之和.根据这样的思路,探索分数85能写出哪些两个以上的不同的单位分数之和.思路点拨:(1)由单位分数的意义可知将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和,就是利用同分母分数的加法或约分的性质,把这个分数拆成两个同分母分数,使其中一个分子是1,另一个分数分子能整除分母;(2)只要根据单位分数的转化方法,把其中的一个单位分数利用分数的性质继续拆分即可.解题过程:(1)21101105110653,218184185+=+==+=+=. (2)41121618185,2112124185,31618185+++=++=++=. 方法归纳:本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法,也考查了学生的观察能力.易错误区:分子为1的分数叫做单位分数,最大的单位分数是11,21是整数,不是分数.例5、已知有A ,B ,C 三个数集,每个数集中所含的数都写在各自的大括号,请把这些数填入图中相应的部分.A.{-5,2.7,-9,7,2.1}B.{-8.1,2.1,-5,9.2,-71} C.{2.1,-8.1,10,7}思路点拨:由已知观察,先找出三个数集相同的数,再找出每两个数集相同的数,把相同的数分别填入公共部分.解题过程:通过观察,A ,B ,C 三个数集都含有2.1,A ,B 数集都含有-5,A ,C 数集都含有7,B ,C 数集都含有-8.1.方法归纳:本题主要考查学生对数集的理解与应用.易错误区:每个数在图中只能出现一次,多个数集都有的数要填在公共部分.例6、把下列各数填入相应的数集:-100,+12,331,-72,0.01,68,-10%,0,18‰,-241,2.0,0.4·5·,π. 正有理数集:{ …};负有理数集:{ …};整数集:{ …};分数集:{ …};自然数集:{ …};非负数集:{ …}.思路点拨:按照有理数的分类进行判断:有理数包括:整数和分数或者正有理数、负有理数和零;整数包括:正整数、0和负整数;分数包括:正分数和负分数;自然数包括:零和正整数.解题过程:正有理数集:{+12,331,0.01,68,18‰,2.0,0.4·5·,…}; 负有理数集:{-100,-72,-10%,-241,…}; 整数集:{-100,+12,68,0,2.0,…};分数集:{331,-72,0.01,-10%,18‰,-241,0.4·5·,…}; 自然数集:{+12,68,0,2.0,…}; 非负数集:{+12,331,0.01,68,0,18‰,2.0,0.4·5·,π,…}. 方法归纳:本题考查了有理数的概念,认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数等的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数. 易错误区:π是无限不循环小数,不能转化为分数,所以它既不是分数,也不是有理数.探究提升例、请根据各数之间的关系,找规律填空.思路点拨:(1)观察图形中的数字可知:(9+6)×1=15;(6+7)×4=52;(5+8)×3=39;由此可得,每个三角形中:(上面的数字+左下的数字)×右下的数字=中间的数字;(2)根据图形中的数字可知:中间的数字=上下数字之差;左边的数字=中间的数字×右边的数字;由此即可解答;(3)观察每组图形中的三个数字特点可知:下边的数字由三部分组成:最左边的数字是右上方的数字十位上的数字;最右边的数字是左上方的数字个位上的数字;中间的数字是左上方的数字十位上的数字与右上方的数字个位上的数字之和,由此即可解答. 解题过程:①(11+3)×2=28.故?=28.②61-56=5,5×3=15.故?=5,△=15.③最左边数字是6,最右边数字是8,中间数字是1+1=2,所以这个数是628.故?=628. 方法归纳:主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.易错误区:规律的确定通常至少要三个特例,从一个或两个特例中总结出的结论不一定正确,所以归纳出的一般结论要检验,使每一个特例都满足规律.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【】在1~45的45个正整数中,先将45的因子全部删除,再将剩下的整数由小到大排列,求第10个数为( ).A.13B.14C.16D.173.【】有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450g)为基数,超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示的实际克数最接近标准克数的是( ).A.+2B.-3C.+3D.+44.略5.略6.略7.【仙游】有一口9m深的水井,蜗牛和乌龟同时从井底向上爬.因为井壁滑,蜗牛白天向上爬2m,晚上向下滑1m;乌龟白天向上爬3m,晚上向下滑1m.当乌龟爬到井口时,蜗牛距井口m.高分夺冠1.略2.略3.五羊矿泉水为了环境保护而回收空矿泉水瓶.允许消费者用4个空瓶换1瓶矿泉水(少于4个空瓶则不能换),花城中学买了1999瓶五羊牌矿泉水,如果尽可能把空瓶拿去换矿泉水,那么花城中学师生一共能喝上瓶矿泉水;反过来,如果一共能喝上3126瓶矿泉水,那么最初应该买了瓶矿泉水.4.略5.某路公交车从起点经过A,B,C,D四站到达终点,途中上下乘客如下表所示.(用正数表(1)(2)车行驶在哪两站之间车上的乘客最多?站和站;(3)若每人乘坐一站需买票0.5元,问该车出车一次能收入多少钱?要求写出算式.第二讲数轴和绝对值思维导图重难点分析重点分析:1.数轴的三要素:原点、单位长度、正方向.2.理解有理数可以用数轴上的点表示,数轴上的点不一定表示有理数.3.相反数:实数a与-a互为相反数,零的相反数仍是零.若a,b互为相反数,则a+b=0.4.倒数:若两个实数的乘积为1,就称这两个实数互为倒数,零没有倒数.5.绝对值的几何意义:表示这个数到原点的距离.6.比较有理数大小的两种基本方法:利用数轴比较大小;利用法则比较大小.难点分析:1.数轴涉及数和形两个方面,是解决许多数学问题的重要工具.2.绝对值具有非负性,去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.例题精析例1、下列所画的数轴正确的有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条思路点拨:利用数轴的概念和三要素(原点,正方向和单位长度)来判断正误.解题过程:第一条数据顺序不对,错误;第二条正确;第三条没有正方向,错误;第四条刻度不均匀,错误.所以正确的共有1条.故选A.方法归纳:本题主要考查了数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.三个要素缺一不可. 易错误区:数轴的单位长度可以根据实际需要选取.例2、数轴上点A,B的位置如图所示,若点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数为.思路点拨:点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4;点B关于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=4.设点C表示的数为x,则-1-x=4,解出x即可求得点C表示的数.解题过程:如图,点A表示的数是-1,点B表示的数是3,所以|AB|=4.又点B关于点A的对称点为C,所以点C到点A的距离|AC|=4.设点C表示的数为x,则-1-x=4,解得x=-5.故答案为-5.方法归纳:由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.易错误区:数轴上两点间的距离是表示这两个点的数的差的绝对值.例3、已知数轴上A,B两点分别为-3,-6,若在数轴上找一点C,使得A与C的距离为4;找一点D,使得B与D的距离为1,则下列( )不可能为C与D的距离.A.0B.2C.4D.6思路点拨:将点A,B,C,D在数轴上表示出来,然后根据绝对值与数轴的意义计算CD 的长度.解题过程:根据题意,点C与点D在数轴上的位置如图所示:在数轴上使AC的距离为4的点C有两个:C1,C2,数轴上使BD的距离为1的点D有两个:D1,D2,∴C与D的距离为:①C2D2=0;②C2D1=2;③C1D2=8;④C1D1=6.综合①②③④,知C与D的距离可能为:0,2,6,8.故选C.方法归纳:本题综合考查了数轴,绝对值的有关容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.易错误区:在数轴上找一点C,使得A与C的距离为4,满足这个条件的点A有两个;同理找一点D,使得B与D的距离为1,满足条件的点D也有两个,注意不要遗漏.例4、如图,数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点G 表示8.(1)点B表示的有理数是,表示原点的是点是;(2)图中的数轴上另有点M到点A、点G距离之和为13,则这样的点M表示的有理数是;(3)若相邻两点之间的距离不变,将原点取在点D,则点C表示的有理数是,此时点B与点表示的有理数互为相反数.思路点拨:(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离,再求出相邻两点之间的距离即可解答;(2)设点M表示的有理数是m,根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值;(3)根据两点间的距离是2可求出C点坐标,再根据相反数的定义即可求出结论.解题过程:(1)∵数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示-4,点G 表示8,∴AG=|8+4|=12.∴相邻两点之间的距离=612=2. ∴点B 表示的有理数是-4+2=-2,点C 表示的有理数-2+2=0.故答案为:-2;C.(2)设点M 表示的有理数是m ,则|m+4|+|m-8|=13,∴m=-4.5或m=8.5.故答案为:-4.5或8.5.(3)若将原点取在点D ,∵每两点之间距离为2,∴点C 表示的有理数是-2.∵点B 与点F 在原点D 的两侧且到原点的距离相等,∴此时点B 与点F 表示的有理数互为相反数.故答案为:-2;F.方法归纳:本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义,熟知数轴上两点之间距离公式是解答本题的关键.易错误区:第(2)题中A ,G 两点间的距离为12,所以数轴上到点A 、点G 距离之和为13的点M 在线段AG 外,这样的点有两个.例5、已知|a+3.5|+|b-9|+|c-13.5|=0,求ab+c 的值.思路点拨:根据非负数的性质可求出a ,b ,c 的值,再将它们代入ab+c 中求解即可. 解题过程:∵|a+3.5|+|b-9|+|c-13.5|=0,∴a+3.5=0,b-9=0,c-13.5=0.∴a=-3.5,b=9,c=13.5.∴ab+c=-3.5×9+13.5=-18.方法归纳:非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.易错误区:只有当若干个非负数相加等于零时,才能得出每个非负数都同时为零.探究提升例、观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3,回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: ;(2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为―1,则点A 与点B 两点间的距离可以表示为 ;(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ,取得最小值时x 的取值围为 ;(4)满足|x+1|+|x+4|>3的x 的取值围为 .思路点拨:(1)通过观察容易得出结论;(2)在数轴上找到点B 所在的位置,点A 可以位于数轴上的任意位置,分三种情况进行分类讨论;(3)(4)根据(2)中的结论,利用数轴分析. 解题过程:(1)相等.(2)结合数轴,分以下三种情况:当x ≤-1时,距离为-x-1当-1<x≤0时,距离为x+1当x>0,距离为x+1综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为x+1.(3)|x-2|即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离.|x+3|=|x-(-3)|即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离.如图,x在数轴上的位置有三种可能:图1图2图3图2符合题意,所以|x-2|+|x+3|的最小值为5,取得最小值时x的取值围为-3≤x≤2.(4)同理|x+1|表示数轴上x与-1之间的距离,|x+4|表示数轴上x与-4之间的距离.所以本题即求:当x在什么围时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3.借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1.方法归纳:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴的距离问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便.事实上,|a-b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题.易错误区:|a-b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离,|a+b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数-b的点之间的距离.专项训练拓展训练A组略B组略走进重高1.略2.【】如图,数轴上的A ,B ,C 三点所表示的数分别是a ,b ,c ,其中AB=BC ,如果|a|>|b|>|c|,那么该数轴的原点O 的位置应该在( ).A.点A 的左边B.点A 与点B 之间C.点B 与点C 之间D.点B 与点C 之间或点C 的右边(第2题)(第3题)3.【】如图,A ,B 两点在数轴上表示的数分别是a ,b ,则下列式子中成立的是( ).A.a+b <0B.-a <-bC.1-2a >1-2bD.|a|-|b|>04.略5.略(第6题)6.【】实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则|a | |b |(填“>”“<”或“=”).7.【略8.【】在数轴上,点A (表示整数a )在原点的左侧,点B (表示整数b )在原点的右侧.若|a-b|=2013,且AO=2BO ,则a+b 的值为 .高分夺冠1.略2.当x 满足条件 时,y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|会得到最小值.3.求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值.4.略5.有理数a ,b ,c 均不为0,且a+b+c=0.设x=||||||||ba c a cbc b a +++++,试求代数式x 19+99x+2013之值.第三讲有理数的加减思维导图重难点分析重点分析:1.有理数加法法则:(1)同号相加,取相同符号,并把绝对值相加;(2)绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0;(3)一个数同0相加,仍得这个数.2.加法交换律:a+b=b+a,两个数相加,交换加数的位置,和不变.加法结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.3.有理数减法法则:减去一个非零的数,等于加上这个数的相反数.其中,两变:减法运算变加法运算,减数变成它的相反数;一不变:被减数不变.可以表示成:a-b=a+(-b).难点分析:1.在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中,一定要牢记“先符号,后绝对值”,熟练以后就不会出错了.2.在进行有理数加法运算时,一般采取:(1)是互为相反数的先加(抵消);(2)同号的先加;(3)同分母的先加;(4)能凑整数的先加;(5)异分母分数相加,先通分,再计算.例题精析例1,、钟面上有1,2,3,4,5,…,12共12个数.(1)试在某5个数的前面添加负号,使这5个负数与其余7个正数的和为0;(2)在解题过程中你能总结出一些什么规律?思路点拨:先求出1,2,3,4,5,…,12这12个数的和为78,将78÷2得出5个负数绝对值的和为39,找到12个数中5个数绝对值的和等于39的数前面添加负号即可.解题过程:(1)1+2+3+4+5+…+12=78,78÷2=39.∵1+6+9+11+12=39,∴5个数为1,6,9,11,12(答案不唯一).(2)规律:5个负数绝对值的和等于1,2,3,4,5,…,12这12个数的和的一半.方法归纳:认真审题,找出“5个负数绝对值的和等于1,2,3,4,5,…,12这12个数的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在.易错误区:要利用互为相反数的两个数相加和为0,从而找到规律,不能盲目乱凑.例2、计算:(1)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28; (2)75.1)321()432()323(------.思路点拨:(1)注意运算过程中的简便方法,让能够凑成整十的两个数相结合;(2)首先化简,然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.解题过程:(1)原式=(-6-8-2-4.72-5.28)+(3.54+16.46)=-26+20=-6.(2)原式=)431432()321323(431321432323-++-=-++-=-2+1=-1. 方法归纳:在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.易错误区:当使用运算定律后不能使运算更简便的,就按一般运算顺序计算.例3、用简便方法计算:(1)111.1+(-12)+0.9;(2)(+13)+(-21)+(+28)+(-10);(3)4.33+(-7.52)+(-4.33); (4))76()61()71(65-+-+-+. 思路点拨:(1)能凑整的先凑整简称凑整结合法;(2)把正数与负数分别结合在一起再相加简称同号结合法;(3)有相反数的先把相反数相加简称相反数结合法;(4)遇到分数,先把同分母的数相加,简称同分母结合法.解题过程:(1)原式=111.1+0.9+(-12)=112+(-12)=100.(2)原式=[(+13)+(+28)]+[(-21)+(-10)]=(+41)+(-31)=10.(3)原式=(-7.52)+[(+4.33)+(-4.33)]=(-7.52)+0=-7.52.(4)原式=31)1(32)]76()71[()]61(65[-=-+=-+-+-+. 方法归纳:认真观察算式的特点,合理利用简便计算规则:①凑整结合法;②同号结合法;③相反数结合法;④同分母结合法.易错误区:不是所有的计算都有简便方法的.例4、一天,有个年轻人来到“高记”童鞋店里买了一双鞋,这双鞋的成本是15元,标价是21元,这个年轻人掏出一50元的人民币要买这双鞋,鞋店当时没有零钱,就用那50元钱向街坊换了50元的零钱,找给年轻人29元,但是,街坊后来发现那50元的钱是假钞,鞋店老板无奈之下,还了街坊50元,那么鞋店在这次交易中共损失了( ).A.15元B.44元C.50元D.100元思路点拨根据题意可知,鞋店老板首先损失了这双鞋的成本15元,然后损失了找给年轻人的29元,共损失了44元.解题过程:15+29=44(元).答:鞋店老板共损失了44元.方法归纳:本题的关键在于充分理解题意,若那50元的钱是真钞,鞋店老板就没有损失了. 易错误区:注意还给街坊的50元不属于损失之列,因为换零钱时街坊也给了鞋店老板50例5、小上周末买进股票(1)(2)本周,股票最高价出现在星期几?是多少元?(3)已知小买进股票时付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额1.5‰的手续费和3‰的交易税.如果小在本周末卖出全部股票,他的收益如何?思路点拨:(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格;(2)比较五天涨跌可知,星期一和星期二都是涨,则该股票最高价出现在星期二,进而求出每股的价格;(3)收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费,代入求值即可.解题过程:(1)20+4+5-1=28(元).答:到本周三,小所持股票每股28元.(2)20+4+5=29(元).答:本周,股票最高价出现在星期二,是29元.(3)29-1-3-6=19(元),1000×19=19000(元),1000×20=20000(元),19000-20000-20000×1.5‰-19000×(1.5‰+3‰)=-1000-30-85.5=-1115.5(元).答:小亏了1115.5元.方法归纳:本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.所以学生在学这一部分时一定要联系实际,活学活用.易错误区:股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.例6、实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)根据这次测量的数据,可得观测点A相对观测点B的高度是D.-210 m思路点拨:认真审题可以发现:A比C高90 m,C比D高80 m,D比E高60 m,F比E 高50 m,F比G高70 m,B比G高40 m.然后转化为算式,通过变形得出A-B的关系即可.解题过程:由表中数据可知:A-C=90…①,C-D=80…②,D-E=60…③,E-F=-50…④,F-G=70…⑤,G-B=-40…⑥.①+②+③+…+⑥,可得(A-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-B)=A-B=90+80+60-50+70-40=210.∴观测点A相对观测点B的高度是210 m.故选A.方法归纳:解答本题的关键是理解表格中数据的实际意义,然后转化为算式,本题也可以通过画线段图来求解.易错误区:注意A-C 与C-A 表示的意义不同.探究提升例、观察下列等式4131431,3121321,211211-=⨯-=⨯-=⨯,将以上三个等式两边分别相加得:4341141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯. (1)猜想并写出:)1(1+n n = ; (2)直接写出下列各式的计算结果: ①201320121...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= ; ②431321211⨯+⨯+⨯+…+)1(1+⨯n n = ; (3)探究并计算:201420121...861641421⨯++⨯+⨯+⨯; (4)计算1801...40124112141+++++. 思路点拨:(1)观察可得分子为1,分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差,即111)1(1+-=+n n n n ;(2)根据此规律把各分数转化,再进行分数的加减运算;(3)先提出41,然后按照前面的运算方法计算即可;(4)根据)901...1216121(211801...40124112141++++=+++++计算即可. 解题过程:(1) 111+-n n (2)①20132012 ②1+n n (3)原式=20145031007100641)100710061...321211(41=⨯=⨯++⨯+⨯. (4)原式=.20910921)1091...431321211(21)901...1216121(2190121...1212161212121=⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++++=⨯++⨯+⨯+⨯ 方法归纳:本题考查了关于数字的变化规律:通过观察数字之间的变化规律,得到一般性的结论,再利用此结论解决问题.易错误区:(3)(4)要注意观察算式的特点,转化为第(2)题中的运算方法.专项训练拓展训练A 组略B 组略走进重高1.略2.略3.【】-8的绝对值与它的相反数的差是( ).A.8B.-8C.0D.164.略5.【】请阅读一小段约翰斯特劳斯的作品,根据乐谱中的信息,确定最后一个音符的时值长应为( ).A.81B.21C.41D.43(第5题)(第6题)6.【】如图,一个数表有7行7列,设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,j=1,2,3,…).例如:第5行第3列上的数a 53=7,则:(1)(a 25-a 22)+(a 52-a 53)= ;(2)此数表中的四个数a np ,a nk ,a mp ,a mk ,满足(a np -a nk )+(a mk -a mp )= .高分夺冠1.略2.略3.如图的是由14位数字组成的,把每一位数字写在下面的方格中,若任意相邻的三个数字4.略5.解答题:(1)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x2-cdx的值;(2)10箱苹果,如果每箱以30kg为准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重的记录如下:+2,+1,0,-1,-1.5,-2,+1,-1,-1,-0.5.这10箱苹果的总质量是多少千克?(3)小亮用50元钱买了10支钢笔,准备以一定的价格出售,如果每支钢笔以6元的价格为标准,超过的记作正数,不足的记作负数,记录如下:0.5,0.7,-1,-1.5,0.8,1,-1.5,-2.1,9,0.9.①这10支钢笔的最高售价和最低售价各是几元?②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏?。

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