线性规划建模实验题全解
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划题及答案
线性规划题及答案一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每一个产品的生产需要消耗不同的资源，并且每一个产品的销售利润也不同。
公司希翼通过线性规划来确定生产计划，以最大化利润。
已知产品A每一个单位的生产需要消耗2个资源1和3个资源2，每一个单位的销售利润为10元；产品B每一个单位的生产需要消耗4个资源1和1个资源2，每一个单位的销售利润为15元。
公司目前有10个资源1和12个资源2可供使用。
二、数学建模1. 假设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
2. 根据资源的消耗情况，可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 10 （资源1的消耗）3x + y ≤ 12 （资源2的消耗）x ≥ 0, y ≥ 0 （生产数量为非负数）3. 目标是最大化利润，即最大化销售收入减去生产成本：最大化 Z = 10x + 15y三、线性规划求解1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：最大化 Z = 10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12x ≥ 0, y ≥ 02. 通过图形法求解线性规划问题：a. 绘制约束条件的图形：画出2x + 4y = 10和3x + y = 12的直线，并标出可行域。
b. 确定可行域内的顶点：可行域的顶点为(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)。
c. 计算目标函数在每一个顶点处的值：分别计算Z = 10x + 15y在(0, 0)，(0, 2.5)，(4, 0)，(2, 3)四个顶点处的值。
Z(0, 0) = 0Z(0, 2.5) = 37.5Z(4, 0) = 40Z(2, 3) = 80d. 比较所有顶点处的目标函数值，确定最优解：最优解为Z = 80，即在生产2个单位的产品A和3个单位的产品B时，可以获得最大利润80元。
四、结论根据线性规划的结果，公司在资源充足的情况下，应该生产2个单位的产品A和3个单位的产品B，以最大化利润。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过线性函数的约束条件来求解目标函数的最大或最小值。
在实际问题中，线性规划经常被用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。
下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，以帮助您更好地理解线性规划的应用。
题目：某公司生产两种产品A和B，每个单位的产品A需要2个单位的原材料X和1个单位的原材料Y，每个单位的产品B需要1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y。
公司每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和15个单位。
产品A的售价为100元/单位，产品B的售价为150元/单位。
假设公司希望最大化每天的总收入，请问应该生产多少单位的产品A和产品B？解答：首先，我们需要定义决策变量。
设产品A的产量为x个单位，产品B的产量为y个单位。
然后，我们需要建立目标函数和约束条件。
目标函数：总收入 = 100x + 150y约束条件：1. 原材料X的使用量：2x + y ≤ 102. 原材料Y的使用量：x + 3y ≤ 153. 产量非负：x ≥ 0, y ≥ 0接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解最优解。
首先，将目标函数和约束条件转化为标准的线性规划形式：目标函数：Maximize 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0, y ≥ 0然后，我们可以使用单纯形法或其他线性规划求解方法来求解最优解。
在这里，为了简化计算，我们使用图形法来求解。
首先，将约束条件转化为直线的形式：2x + y = 10x + 3y = 15然后，我们可以画出约束条件所对应的直线。
在坐标系中，标出两个直线的交点，即可确定可行域。
接下来，我们需要计算目标函数在可行域内的各个顶点的值，并比较得出最优解。
通过计算，我们得到以下结果：顶点A(0, 5)：总收入 = 100 * 0 + 150 * 5 = 750顶点B(5, 0)：总收入 = 100 * 5 + 150 * 0 = 500顶点C(3, 2)：总收入 = 100 * 3 + 150 * 2 = 750因此，最优解为在顶点A和顶点C处取得，即生产5个单位的产品A和2个单位的产品B，总收入为750元。
数学建模线性规划和整数规划实验
1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此外还有表四问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400225 1.4()9154325(),,,,0M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x =====因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。
[精品]线性计划题目建模和求解
![[精品]线性计划题目建模和求解](https://img.taocdn.com/s3/m/7ff655fa112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada88.png)
线性规划问题建模和求解例 雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。
该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。
问：（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？（4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？表1 雅致家具厂基本数据解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x 1,x 2,x 3,x 4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。
据此，列出下面的线性规划模型：①②③④⑤⑥⑦⑧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤≤+++≤+++≤++++++=（非负约束）需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具（劳动时间约束）（玻璃约束）（木材约束）0,,,41003502200110040023121000226600224..30402060432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x MaxZ其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。
下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。
第一步在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。
第二步在“工具”菜单中选择“规划求解”。
第三步在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。
第四步点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。
第五步选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。
线性规划经典例题
线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。
每天的生产量不能超过100件。
工厂希翼最大化每天的利润。
【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。
【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。
由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。
【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。
这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。
【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。
为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。
线性规划问题求解----数学建模实验报告
084实验报告1、实验目的：（1)学会用matlab软件解决线性规划问题的最优值求解问题。
（2）学会将实际问题归结为线性规划问题用MATLAB软件建立恰当的数学模型来求解。
（3）学会用最小二乘法进行数据拟合。
（4）学会用MATLAB提供的拟合方法解决实际问题。
2、实验要求：（1）按照正确格式用MATLAB软件解决课本第9页1.1、1.3，第100页5.1、5.3这几个问题，完成实验内容。
（2）写出相应的MATLAB程序。
（3）给出实验结果。
（4）对实验结果进行分析讨论。
（5）写出相应的实验报告。
3、实验步骤：（1)、对于习题1.1:a.将该线性规划问题首先化成MATLAB标准型b．用MATLAB软件编写正确求解程序：程序如下:c=[3,-1,-1];a=[4,-1,-2;1,-2,1]; b=[-3;11]aeq=[-2,0,1]; beq=1;[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))x,y=-y（2)、对于习题1.3:a.建立适当的线性规划模型：对产品I 来说，设以A1，A2完成A 工序的产品分别为x 1，x 2件，转入B 工序时，以B1，B2，B3完成B 工序的产品分别为x 3，x 4，x 5件；对产品II 来说，设以A1，A2完成A 工序的产品分别为x 6，x 7件，转入B 工序时，以B1完成B 工序的产品为x 8件；对产品III 来说，设以A2完成A 工序的产品为x 9件，则以B2完成B 工序的产品也为x 9件。
由上述条件可得x 1+x 2=x 3+x 4+x 5， x 6+x 7=x 8.由题目所给的数据可建立如下的线性规划模型：Min z =(1.25-0.25)( x 1+x 2)+(2-0.35) x 8+(2.8-0.5) x 9-3006000(5x 1+10x 6)-32110000(7x 2+9x 7+12x 9)- 2504000(6x 3+8x 8)-7837000 (4x 4+11x 9)-2004000⨯7x 5s.t.{ 5x 1+10x 6≤60007x 2+9x 7+12x 9≤100006x 3+8x 8≤40004x 4+11x 9≤70007x 5≤4000x 1+x 2=x 3+x 4+x 5 x 6+x 7=x 8x i ≥0,i =1,2,3,…9 b.运用MATLAB 软件编写程序求解：程序如下：c=[0.75,1-(321*7*0.0001),-16*6,(-783*4)/7000,-7/20,-0.5,-321*9*0.0001,1.15,2.3-(321*12*0.0001-(783*11)/7000)]; a=[-5,0,0,0,0,-10,0,0,0;0,-7,0,0,0,0,-9,0,-12;0,0,-6,0,0,0,0,-8,0;0,0,0,-4,0,0,0,0,-11;0,0,0,0,-7,0,0,0,0]; b=[-6000;-10000;-4000;-7000;-4000];aeq=[1,1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,1,-1,0];beq=[0;0];[x,y]=linprog(c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))（3)、对于习题5.1:用MATLAB中的三次函数，二次函数，四次函数进行数据拟合，然后与原来结果进行比较。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划建模
一、（20分）用单纯形法求解线性规划问题。
12121212max 34240.. 330,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩二、（15分）建立如下问题的数学模型（只建模不求解）。
某公司现有资金总额为B ，可供选择的投资项目有n 个，项目j 所需投资和预期收益分别为a j 和b j （j=1,2,﹒﹒﹒,n)。
此外由于种种原因，有三个附件条件：第一，若选择项目1，就必须同时选择项目2，反之不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；第三，项目5、6和7中恰好选择2个。
该公司应当怎样投资项目，才能使预期收益最大？ 三、（25分）求解如下运输问题。
某种产品要从A 、B 、C 三个仓库运往甲、乙、丙、丁四个销售点，各仓库的发货量、各销售点的收货量以及各仓库到各销售点的单位运价如表1所示，请问产品如何调运才能使总运费最小？表1 单位运价表四、（25分）用动态规划的方法求解下列问题。
某公司有1000辆运输卡车，在超负荷运输（即每天满载行驶500km 以上）情况下，年利润为25万元/辆，这时卡车的年损坏率为0.3；在低负荷下运输（即每天行驶300km 以下）情况下，年利润为16万元/辆。
年损坏率为0.1。
现要制定一个5年计划，请问每年年初应如何分配完好车辆在两种不同的负荷下运输的卡车数量，使在5年内的总利润最大？五、（20分）求解如下指派问题。
某大型工程有五个工程项目（B 1，B 2，B 3，B 4，B 5），决定向社会公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别获得中标承建。
已知建筑公司A i （i=1，2，3，4，5）的报价ij c （百万元）如表2所示，请问应该怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最小？表2 建造费用表六、（25分）某工程的资料如表3所示。
表3 各工序关系和时间表1、绘制网络图。
2、确定关键路线。
七、论述题（每题10分,共20分）1、论述单纯形法的计算步骤，并说明如何在单纯形表上去判别问题是具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解。
线性规划-建模与求解
Min z= 464x11+513x12+654x13+867x14 + 352x21+416x22+690x23+791x24 + 995x31+416x32+690x33+791x34
供大于需
某水管站主管着广阔地域的水资源分配机构。由于该地域十分干燥，需要从外地引水。已知引入的水来自R1、R2、R3三条河流，主要供应客户为D1、D2、D3、D4四个城市的供水部门。除了R3的水不能供应D4之外，所有的河流均可供应这四个城市。运输表格如下：
当门和窗的单位利润分别在什么范围内变动时，公司的最优生产计划不变？
任务：
Max z=300D+500W 2W ≤12
1
s.t. 3D+2W ≤18
2
其中，D、W分别表示生产的门和窗
3
的个数。
4
数学模型为：
运算结果报告解释
01
列出目标单元格和可变单元格以及它们的初始值、最终结果、约束条件和有关约束条件的信息。
数学模型为：
x11+x12+x13+x14 =75 x21+x22+x23+x24 =125 x31+x32+x33+x34 =100 x11 +x21 +x31 =80 x12 +x22 +x32 =65 x13 +x23 +x33 =70 x14 +x24 +x34 =85 xij≥0 i=1，2，3；j=1，2，3，4
4
Байду номын сангаас
有某个银行的4个分理处数据如下：
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。
它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。
本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。
1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
可行解的集合称为可行域。
二、线性规划问题的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。
2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。
三、线性规划题的实例分析3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。
工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。
求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。
3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。
每单位产品的运输成本如下表所示。
求如何安排运输，使得总运输成本最低。
仓库 | 库存----|----A | 50B | 80C | 70配送点 | 需求------|-----D | 30E | 40F | 50G | 60运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C--------|------|------|------配送点D | 10 | 12 | 15配送点E | 14 | 8 | 11配送点F | 7 | 16 | 9配送点G | 13 | 10 | 63.3 资源分配问题：某公司有3个项目需要分配资源，每一个项目的利润和资源需求如下表所示。
实验三 线性规划的建模与应用
实验三线性规划的建模与应用
一、实验目的和要求
一个游乐场的职工有7种轮休方式，每人每周连续休息2天。
已知每天所需最少的工作人员如下表所示，职工的日薪为40元，问如何安排轮休方式的职工人数，才能使游乐场的职工周薪总数最少？
二、实验步骤和过程
第一步：加载“规划求解”
第二步：建立表格输入数据
第三步：输入公式k4=F13+G13+H13+I13+J13，k5=D13+G13+H13+I13+J13，k6=D13+E13+H13+I13+J13，k7=D13+E13+F13+I13+J13以此类推。
第四步：使用规划求解工具求解，建立关系
第五步得出结果
三、实验体会和结论
规划求解简单迅速，使用方便，很直观的显示出数据，可以解决很多的问题。
大学生数学建模：作业-线性规划的实验
实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。
工作效率（个/人、天）如下表。
如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。
现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。
4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。
在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。
南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。
当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。
南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。
一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。
这些数据由下表给出。
注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。
南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。
农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。
三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。
所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。
对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。
5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
线性规划练习题及解答
线性规划练习题及解答线性规划是数学中一种常见的优化方法，它广泛应用于实际问题的解决中。
本文将提供一些线性规划的练习题及解答，以帮助读者更好地理解和运用线性规划。
练习题1：某公司生产两种产品：甲品和乙品。
每天可用于生产的原料数量分别为A和B。
已知每单位甲品所需的原料A和B的消耗量分别为a1和b1，每单位乙品所需的原料A和B的消耗量分别为a2和b2。
假设甲品和乙品的利润分别为p1和p2，求解出该公司在给定原料限制下能获得的最大利润。
解答：设甲品的生产量为x，乙品的生产量为y，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y。
受限条件为原料A的消耗量限制 a1 * x + a2 * y <= A，原料B的消耗量限制 b1 * x + b2 * y <= B。
另外，x和y的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0）。
这样，我们可以得出完整的线性规划模型如下：maximize p1 * x + p2 * ysubject to:a1 * x + a2 * y <= Ab1 * x + b2 * y <= Bx >= 0y >= 0练习题2：某工厂生产三种产品：甲、乙、丙。
已知每单位甲、乙、丙产品的利润分别为p1、p2、p3，每天需要的原材料A、B的数量为a和b，每单位甲、乙、丙产品消耗的原材料A、B的数量分别为a1、b1和a2、b2以及a3、b3。
现在要求在给定的原材料数量限制下，求解出最大化利润的生产方案。
解答：设甲、乙、丙产品的生产量分别为x、y、z，则目标函数为最大化利润，即maximize p1 * x + p2 * y + p3 * z。
受限条件为原材料A和B的数量限制，分别为 a1 * x + a2 * y + a3 * z <= a 和 b1 * x + b2 * y + b3 * z <= b。
另外，x、y、z的取值范围为非负数（x >= 0，y >= 0，z >= 0）。
第一篇线性规划建模习题答案
第一章习题1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=)3,2,1,(,005.05.05.004.06.06.0015.015.085.008.02.02.006.06.04.0120025002000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 332313322212322212312111312111333231232221131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ijLINGO 求解程序见程序max =3.6*x11+5.6*x21+7.6*x31+1.8*x12+3.8*x22+5.8*x32-0.2*x13+1.8*x23+3.8*x33;-0.4*x11+0.6*x21+0.6*x31<0;0.2*x11+0.2*x21-0.8*x31>0;-0.85*x12+0.15*x22+0.15*x32<0;0.6*x12+0.6*x22-0.4*x32>0;0.5*x13+0.5*x23-0.5*x33>0;x11+x12+x13<=2000;x21+x22+x23<=2500;x31+x32+x33<=1200;求解结果：1200,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元）。
线性规划建模实验题全解
线性规划建模实验题一、李四企业的生产经营规划问题李四经营着一个小企业，这个企业最近出现了一些问题，资金周转出现困难。
该企业一共生产经营着三种产品，当前有两种产品赔钱，一种产品赚钱。
其中，第一种产品是每生产一件赔100元，第二种产品每生产一件赚300元，第三种产品每生产一件赔400元。
三种产品分别消耗（或附带产出）三种原料，其中第一种产品每生产一件附带产生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二种产品每生产一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附带产生100千克原料B；第三种产品每生产一件需要消耗原料A、B、C各100千克。
由于生产第一种产品的设备已经损坏，且企业也无能力筹集资金修复之，所以该企业现已无法组织生产第一种产品。
现在仓库里还存有A原料40000千克，后续货源供应难以得到保证；库存B原料20000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到；库存C原料30000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到。
李四想转行经营其他业务，但苦于仓库里还积压着90000千克原料，如果直接出售原料，则比生产后出售成品赔得更多。
没有办法，李四只好向运筹学专家咨询，看看如何组织生产才能将损失降到最低。
请对李四企业的生产经营情况进行考查和分析，建立该问题的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
二、王五管理的科研课题的经费使用规划问题王五管理着一个科研课题，根据课题进展情况看，不久就要结题了。
由于课题的管理采用经费与任务包干制，所以可以通过节约开支来预留课题完成后的产业推广经费。
现王五需要制订出这样的一个方案：既按期完成科研任务，又要尽可能多地节省费用，人员的收入还不能减少。
同时他还想知道这笔可节省的费用究竟是多少？课题组的费用构成有两个部分：一是人员经费开支，二是试验消耗与器材采购费用开支。
其中，由于出台了增收节支激励政策，所以人员经费开支与原计划相比每月可节省1万元，试验消耗与器材采购费用开支每月可节省4万元。
线性规划经典例题及详细解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 。
3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则 yx的取值范围是（ ）.A. [95，6]B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C.（－∞，3]∪[6，＋∞）D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是 。
四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A. －3B. 3C. －1D. 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A. 4B. 1C. 5D. 无穷大图1解析：1.如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。
图22. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)讲解学习
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
2022年Python数学实验与建模第1章 线性规划
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
5.灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出 来的敏感程度的分析。
实际问题中aij ,bi ,c j是怎么来的？是确定的常数吗？
航空基础学院数学第教12研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
两个问题 （1）如果参数aij ,bi ,c j 中的一个或者几个发生了 变化，现行最优方案会有什么变化？
第三步：根据问题的目标，构造关于决策变量的 一个线性函数，即为目标函数。
航空基础学院数学第教6研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
3.线性规划模型的形式
线性规划模型的一般形式（代数形式）为
max(或min）z c1 x1 c2 x2 cn xn ,
a11 x1 a12 x2
s.t.
第1章 线性规划
约束条件——①生产甲、乙两种机床所花费的加工 时间不能超过 A、B、C 机器每天的最大可用加工时间， 故
2 x1 x2 10, x1 x2 8, x2 7.
约束条件——②甲乙两种机床的产量还应该满足非 负约束，即
xi 0, i 1, 2。
航空基础学院数学第教3研页室
数学建模算法与应用
求解数学规划模型的常用软件有 MATLAB、Python、LINGO 等
MATLAB 求解数学规划问题采用两种模式： （1）基于求解器的求解方法 （2）基于问题的求解方法
航空基础学院数学第教14研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
Naval Aeronautical University
02 线性规划模型求解及 应用
航空基础学院数学第教15研页室
数学建模算法与应用
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线性规划建模实验题一、李四企业的生产经营规划问题李四经营着一个小企业，这个企业最近出现了一些问题，资金周转出现困难。
该企业一共生产经营着三种产品，当前有两种产品赔钱，一种产品赚钱。
其中，第一种产品是每生产一件赔100元，第二种产品每生产一件赚300元，第三种产品每生产一件赔400元。
三种产品分别消耗（或附带产出）三种原料，其中第一种产品每生产一件附带产生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二种产品每生产一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附带产生100千克原料B；第三种产品每生产一件需要消耗原料A、B、C各100千克。
由于生产第一种产品的设备已经损坏，且企业也无能力筹集资金修复之，所以该企业现已无法组织生产第一种产品。
现在仓库里还存有A原料40000千克，后续货源供应难以得到保证；库存B原料20000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到；库存C原料30000千克，如果需要，后续容易从市场采购得到。
李四想转行经营其他业务，但苦于仓库里还积压着90000千克原料，如果直接出售原料，则比生产后出售成品赔得更多。
没有办法，李四只好向运筹学专家咨询，看看如何组织生产才能将损失降到最低。
请对李四企业的生产经营情况进行考查和分析，建立该问题的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
二、王五管理的科研课题的经费使用规划问题王五管理着一个科研课题，根据课题进展情况看，不久就要结题了。
由于课题的管理采用经费与任务包干制，所以可以通过节约开支来预留课题完成后的产业推广经费。
现王五需要制订出这样的一个方案：既按期完成科研任务，又要尽可能多地节省费用，人员的收入还不能减少。
同时他还想知道这笔可节省的费用究竟是多少？课题组的费用构成有两个部分：一是人员经费开支，二是试验消耗与器材采购费用开支。
其中，由于出台了增收节支激励政策，所以人员经费开支与原计划相比每月可节省1万元，试验消耗与器材采购费用开支每月可节省4万元。
该课题由两个子课题构成。
其中第一个子课题的开支情况为：每月人员经费为1万元，每月试验与器材经费的开支为10万元；第二个子课题的开支情况为：人员经费计划为1万元，实际上该子课题每月可通过边研制边推广应用的方式获得净收入1万元，这样就可以保证每月正常的人员经费开支，所节余的1万元可向课题组上缴，同时该子课题的试验与器材经费开支需求是每月8万元。
第一个子课题的总经费还剩20万元，但如果申请，还可以增加；第二个子课题的经费还有40万元，但即使申请也不可能再增加。
课题组研究后一致决定采用如下原则进行决策：（1）所节余的人员经费用于奖励，不计入节省费用的总额当中。
（2）在保证圆满完成课题任务的前提下，最大限度地积累课题应用性推广经费。
请建立该问题的线性规划模型，帮助王五制订最合理的科研结题周期以及可节省的费用（要求使用Excel软件和LINDO软件求解该问题，并附带结果分析报告）。
三、张三同学的自习时间分配方案规划问题张三念大学一年级，半年后他的学习情况如下：必修课平均考试成绩85分，选修课中自然科学类学科的平均考试成绩为60分，而人文科学类学科的平均考试成绩为50分。
他认为自己的学习成绩还不是十分理想，准备增加自修时间（从每天的6小时增加到7小时——即下午和晚上各增加半个小时）来提高成绩，但是，他不知道在哪类功课上增加自修时间对提高成绩最有利。
他请辅导老师帮他认真分析和总结了自己的自修时间分配与各类课程成绩之间的关系，并列出了一张关系表：请帮助张三制定一个关于自习时间优化分配的线性规划模型，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
四、飞行器能源装置设置优化方案问题某飞行器需要使用电源的设备主要包括导航设备、控制仪器设备、伺服机构三个部分。
该飞行器的能源装置为化学电池，一共需要使用三组电池为上述三种设备进行分类供电（第一组为三种设备的大功率部件供电，第二组为三类设备的中功率部件供电，第三组为三类设备的小功率部件供电）。
三组电池可选择三种电池单元进行组合，以便在获得足够输出功率的同时实现电池质量最小化的目标。
其中，导航设备需要的总额定能量为≥200（A·h），控制仪器设备需要的总额定能量为≥220（A·h），伺服机构需要的总额定能量为≥580（A·h）。
再其中，针对导航设备而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为5.5，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为8，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为9.1。
针对控制仪器设备而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为5.6，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为8.2，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为9.2。
针对伺服机构而言，第一种电池单元对大功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为5.47，第二种电池单元对中功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为7.9，第三种电池单元对小功率部件的有效出功系数（A·h/单元）为8.7。
已知每个电池单元的质量分别为2千克、1.5千克和1千克。
由于工艺与结构尺寸的限制，每组电池所包含的单元数不能大于30个。
请建立该问题的线性规划模型，确定需要每种电池单元的数量，并使用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
五、农户种植计划的优化问题某农户共承包土地23亩，其中坡地10亩，旱地8亩，水田5亩。
在这23亩土地上，可以种植的作物有6种。
其中第一种作物适合于在坡地与旱地种植，第二种作物只适合于在旱地种植，第三种作物则三种类型的土地都适合于种植，第四种作物适合于在坡地和旱地种植，第五种和第六种作物只适合于在水田种植。
根据经验，在坡地种植第一种获得100元收入所需要的面积是0.4亩，在旱地种植第一种作物获得100元收入所需要的面积是0.3亩；在旱地种植第二种作物获得100元收入所需要的面积是0.25亩；在坡地种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.2亩，在旱地种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.15亩，在水田种植第三种作物获得100元收入所需要的面积是0.4亩；在坡地种植第四种作物获得100元收入所需要的面积是0.18亩，在旱地种植第四种作物获得100元收入所需要的面积是0.1亩；在水田种植第五种作物获得100元收入所需要的面积是0.15亩，在水田种植第六种作物获得100元收入所需要的面积是0.1亩。
问题是：如何安排种植计划，才能获得最大的收益？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
六、产品结构优化问题某企业可以生产两种产品（分别记为A、B产品），这两种产品都既可以按标准状态出厂，也可以按不同的部件组合方案或者标准产品加部件的组合方案配套出厂。
标准A产品由两种部件（分别记为A1、A2）构成，标准B产品有三种部件（分别记为B1、B2、B3）构成。
今年的市场分析表明，客户甲需要的产品由A、B两种产品组成，以标准状态作为出厂状态；客户乙需要的产品需要由A产品加B1部件组合这种非标准状态作为出厂状态；客户丙需要的产品需要由A2部件加B2部件组合这种非标准状态作为出厂状态。
其中，客户甲需要的产品每套使用5个A1部件，7个A2部件，6个B1部件，4个B2部件，7个B3部件；客户乙需要的产品每套使用10个A1部件，9个A2部件，8个B1部件；客户丙需要的产品每套使用12个A2部件，11个B2部件。
在以上技术状态约束下，经测算，提供给甲客户产品的单套利润为48万元，提供给乙客户产品的单套利润为46万元，提供给丙客户产品的单套利润为36万元。
经生产能力平衡测算，各种部件产品的年生产能力上限分别为：A1部件年产624个，A2部件年产920个，B1部件年产412个，B2部件年产770个，B3部件年产350个。
问题：如何组织生产和销售才能获得最大利润？最大获利为多少？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
七、连续投资的优化问题某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%。
项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。
项目C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。
项目D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。
该企业5年内可用于投资的资金总额100万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
八、人员需求规划问题某生产线需要24小时连续不断地运转，生产线上的工人每工作4小时后需要进餐和休息2小时，然后再上班工作4小时，合计工作8小时后下班，休息14小时后再上班。
已知生产线上各个时段需要完成的工作时间数量为：早上8:00到中午12:00需要596（人·小时）；中午12:00到下午2:00需要304（人·小时）；下午2:00到下午6:00需要492（人·小时）；下午6:00到晚上10:00需要366（人·小时）；晚上10:00到晚上12:00需要202（人·小时）；晚上12:00到早上4:00需要412（人·小时）；早上4:00到早上8:00需要404（人·小时）。
为了保持生产的连续性，每个时段都至少要有一个班组的人员要留下来跟踪关键工艺流程2个小时。
规划的总目标是，在不同的时间段，根据需要安排最低限度的人力资源，既保证生产线的正常运转，又不至于出现冗员。
问这个生产线至少需要配备多少名工人？每班次各需要配备多少名工人？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。
九、连续投资的优化问题某人目前有50万元，在今后4年中有4种不同的投资方式：（1）每年年初投资，年末回收，年利率为0.04；（2）第一年年初投资，第三年末回收，利率为0.15；（3）第二年年初投资，第四年末回收，利率为0.16；（4）第三年年初投资，第四年末回收，利率为0.11。
问如何投资，使得第四年末本利和最大？请建立该问题的线性规划模型，并用Excel软件和LINDO软件求解该问题（要求附带结果分析报告）。