中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

（I ）若点P 落在矩形OBCD 的边OB 上，

①如图①，当点E 与点O 重合时，求点F 的坐标；

②如图②，当点E 在OB 上，点F 在DC 上时，EF 与DP 交于点G ，若7OP =，求点F 的坐标：

（Ⅱ）若点P 落在矩形OBCD 的内部，且点E ，F 分别在边OD ，边DC 上，当OP 取最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）。

【答案】（I ）①点F 的坐标为(6,6)；②点F 的坐标为85,614⎛⎫

⎪⎝⎭；（II ）86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】

【分析】 （I ）①根据折叠的性质可得45DOF POF ∴∠=∠=,再由矩形的性质，即可求出F 的坐标;

②由折叠的性质及矩形的特点，易得DGF PGE ∆≅∆，得到DF PE =，再加上平行，可以得到四边形DEPF 是平行四边形，在由对角线垂直，得出 DEPF 是菱形，设菱形的边长为x ，在Rt ODE ∆中，由勾股定理建立方程即可求解;

(Ⅱ)当O,P ,F 点共线时OP 的长度最短.

【详解】

解：（I ）①∵折痕为EF,点P 为点D 的对应点

DOF POF ∴∆≅∆

45DOF POF ∴∠=∠=

∵四边形OBCD 是矩形，

90ODF ︒∴∠=

45DFO DOF ︒∴∠=∠=

6DF DO ∴==

点F 的坐标为(6,6)

②∵折痕为EF ，点P 为点D 的对应点.

,DG PG EF PD ∴=⊥

∵四边形OBCD 是矩形，

//DC OB ∴，

FDG EPG ∴∠=∠；

DGF PGE ∠=∠

DGF PGE ∴∆≅∆

DF PE ∴=

//DF PE

∴四边形DEPF 是平行四边形.

EF PD ⊥，

DEPF ∴是菱形.

设菱形的边长为x ，则DE EP x ==

7OP =，

7OE x ∴=-，

在Rt ODE ∆中，由勾股定理得222OD QB DE +=

2226(7)x x ∴+-= 解得8514

x = 8514

DF ∴= ∴点F 的坐标为85,614⎛⎫

⎪⎝⎭ （Ⅱ）86,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

【点睛】

此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题．

2．（问题情境）在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE ＝CF ．

证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE ＝CF ．（不要证明）

（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．

（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-4

3

x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点

A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．

【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】

【变式探究】

连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；

【结论运用】

过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；

【迁移拓展】

分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】

变式探究:连接AP，如图3：

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，

∴1

2AB•CF＝

1

2

AC•PE﹣

1

2

AB•PD．

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．

∵AD＝16，CF＝6，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．

∴DF＝5．

∵∠C＝90°，

∴DC2222

106

DF CF

-=-8．

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．

∴四边形EQCD是长方形．

∴EQ＝DC＝4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB．

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB．

∴BE＝BF，

由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．

∴PG+PH＝8．

∴PG+PH的值为8；

迁移拓展:如图，