第六讲简单几何体的表面积与体积的计算

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算第六讲简单几何体的表面积与体积的计算

一、四种常见几何体的平面展开图

1.正方体

沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─ｌ只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体

沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面

的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由

一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底

面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面

展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体

沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥

体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为

圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一

个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见

图6—4。二、四种常见几何体表面积与体积公式

1.长方体

长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）

长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体

正方体的表面积=6×a2

正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体

圆柱体的侧面积=2πRh

圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）

圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。

4.圆锥体

圆锥体的侧面积=πRl

圆锥体的全面积=πRl+πR2

母线长与高）。

三、例题选讲

例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案

没画出来，请你给补上。

分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相

处于相对面的位置上。只要在图6—7

（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为

对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补

上。

先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。

再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。

最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。

图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见

图6—8中的（a）、（b）、（c）。例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面

展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃

而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段

AC、CQ、QP、PA。

例3 在图6—11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M 到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。

所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若

在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少

（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，

等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧

面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）

一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）

几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）

答：（略）

例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几

何体，求此几何体的表面积是多少？

分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆

了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同

样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。因为

小正方体的棱长是1厘米，所以上面的表面积为12×9=9（平方厘米）

前面的表面积为12×8=8（平方厘米）

左面的表面积为12×7=7（平方厘米）

几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

答：（略）

例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装

有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，

杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面

下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底

面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥

体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

因为圆锥形铅锤的体积为

设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）

所以有下列方程：

60π=100πx，解此方程得：

x=0.6（厘米）

答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。

例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表

面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少