曲线积分与曲面积分-第一类曲线积分

Γ
线 x = a cos t , y = a sin t , z = k t (0 ≤ t ≤ 2 π ) 的一段弧.
( x 2 + y 2 + z 2 ) ds ∫
Γ 0
= ∫ [(a cost )2 + (a sint )2 + (kt)2 ] a2 sin2 t + a2 cos2 t + k2dt = a +k
上的连续函数, 则曲线积分
∫ f ( x , y ) ds 存在 , 且
L
∫ f ( x , y ) ds = ∫ α
L
β
′2 (t ) + ψ′2 (t ) d t f [φ( t ) , ψ ( t )] φ
注 1 Q Δ sk > 0, ∴ Δ t k > 0, 因此积分限必须满足下限小于上限：
则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线L上的第一类 曲线积分或对弧长的曲线积分，记作 被积函数
弧微分
n
积分和式
∫ f ( x , y ) d s = λlim0 ∑ f (ξ i ,ηi )Δsi → i =1
L
积分弧段
被积表达式
注 1 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分 z f ( x , y )ds 存在(充分条件).
L
特别的有
| ∫ f ( x , y )ds |≤ ∫ f ( x , y ) ds
L L
L
(二) 第一类曲线积分的计算法
1. 直接法 基本思路: 求曲线积分 定理10.1
转化
计算定积分
设 f ( x , y ) 是定义在光滑曲线弧 L : x = φ( t ), y = ψ ( t ) (α ≤ t ≤ β )
2 2
∫0
2π
[a 2 + k 2 t 2] d t
2 k 2 3 2π = a2 + k 2 a t + t 3 0 2π 2 = a + k 2 ( 3a 2 + 4 π 2 k 2 ) 3
例4 计算
2
∫ x ds , 其中L为双纽线：
L 2 2 2 2 2
( x + y ) = a ( x y ) (常数 a > 0).
L
5 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y μ d s,
2
y
L (x, y)
I y = ∫ x μ d s.
2 L
L
6 曲线弧的质心坐标
x=
O
x
∫ xμ d s
L
∫ μds
L
,
y=
∫ yμ d s
L
∫ μds
L
.
7
∫ f ( x , y ) d s 与 ∫∫ f ( x , y ) d σ 的区别：
O
a b
a b
x
是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否！ 对弧长的曲线积分
∫ f ( x, y)d s
L
要求 ds ≥ 0,
但定积分中dx 可能为负.
3. 性质 1 1 线性性质： α，β ∈ R ∫ [α f ( x, y) + β g( x, y)]ds = α ∫ f ( x, y)ds + β ∫ g( x, y)ds
L
b
′2 ( x ) d x 1+ ψ
2 如果L为极坐标形式
ρ = ρ (θ ) (α ≤ θ ≤ β ),
则
∫ f ( x , y )d s
L
= ∫ f ( ρ (θ ) cosθ , ρ (θ ) sin θ ) ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ α
β
3 设空间曲线弧的参数方程为
L L L
2 可加性： L由L1和L2组成
∫ f ( x , y ) ds = ∫ Leabharlann Baidu ( x , y ) ds + ∫ f ( x , y ) ds
L L1 L2
3 保序性： 在 L上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ),
∫ f ( x , y ) d s ≤ ∫ g ( x , y ) ds
∫
L
2 曲线形构件的质量可以表示为 M = ∫ μ( x , y )ds
L 3 当 f ( x , y ) ≡ 1 时， 弧长 = ∫ ds ;
L L
z=f (x, y)
O x L
y
4 当 f ( x , y )表示立于 L上的 柱面在点 ( x , y )
处的高时 , S柱面面积 =
∫ f ( x , y )ds.
当 L关于 y轴对称时，有类似的结 论 .
( 2 ) 轮换对称性
若在曲线 L 的方程中，将 x与 y进行交换，
L 的方程不变，则
∫ f ( x, y ) d s = ∫ f ( y, x ) d s
L L
二、典型例题
例1 计算
x ds , 其中 L 是抛物线 y = x 2 上点 ∫
L
点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 Q L : y = x2 ( 0 ≤ x ≤ 1)
lim ∫ f ( x , y, z ) d s = λ→0 ∑ f (ξ i , ηi , ζ i )Δsi i =1
Γ
n
2 对空间曲线弧 Γ 有与平面曲线弧类似的 重心公式和转动惯量公式. 3 如果L 是闭曲线 , 则记为
∫ f ( x , y ) d s.
L
思考： 定积分
∫a
b
f ( x)d x
2 近似 在小弧段 Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi )， 该弧段 的质量可近似表示为 ΔM i ≈ μ( ξ i , ηi )Δsi ( i = 1,2,L, n) 3 求和 整个构件质量的近似值
M = ∑ ΔM i ≈ ∑ μ( ξ i , ηi )Δsi
i =1 i =1 n n
y
θ= π
4
解 L 的极坐标方程为：
1o 求 d s
ρ = a cos 2θ
2
2
2
O
2
x
a sin 2θ 2 ρ (θ ) ρ ′(θ ) = 2a sin 2θ , ρ ′(θ ) = ρ (θ )
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) d θ
2
ds =
=
a2 ρ (θ ) + ( a sin 2θ ) dθ dθ = ρ (θ ) ρ (θ )
2. 利用对称性
设 f ( x , y )在曲线 L 上连续，
(1) 轴对称性
若 L 关于 x 轴对称，则 0, ∫ f ( x , y ) d s = 2 ∫ f ( x , y ) d s, L1 L
L1 : L 在 y ≥ 0 的部分 .
f ( x , y ) = f ( x , y ) f ( x , y ) = f ( x , y )
∴ ∫ x d s = ∫ x 1 + ( 2 x )2 d x
L 0 1
y
B (1,1)
y=x o
2
= ∫ x 1 + 4 x dx
2 0
1
L 1x
1
1 = (1 + 4 x 2 ) 12
3
2
1 = 12 ( 5 5 1 ) 0
例2 计算半径为 R ,中心角为 2α 的圆弧 L 对于它 的对称轴的转动惯量I (设线密度μ = 1). y 解 建立坐标系如图, 则 I = ∫ y 2 ds α L o R x L x = R cos θ L: ( α ≤ θ ≤ α ) y = R sin θ
L1
∫
a2 ρ (θ ) cos θ dθ ρ (θ )
O
y
θ= π
4
= 2 2a
2
x
x2 + y2 + z2 = a2 , 例5 求I = ∫ x 2ds , 其中 Γ为圆周 x + y + z = 0. Γ 解 由轮换对称性, 知
x 2ds = ∫ y 2ds = ∫ z 2ds . ∫
Γ : x = φ( t ), y = ψ ( t ) , z = ω( t ) (α ≤ t ≤ β )
则
β
∫ f ( x , y , z )d s
Γ
= ∫ f (φ( t ) , ψ ( t ), ω( t ) ) φ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + ω′ 2 ( t ) d t α
x = a (1 + cos t ), y = a sin t , 0 ≤ t ≤ π , ds = adt . A1 = ∫ z ds =
L
∫
4a 2 x 2 y 2 d s
t 2 π 2a sin dt 0 2
Γ Γ Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ 点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程
将圆周表示成参数 方程的形式比较困 难，由表达形式的 对称性可利用对称 性计算
2 πa 3 ( 2 πa = ds , 球面大圆周长 ) a2 = ∫ ds = ∫Γ 3 3
Γ
例6 求圆柱面 x 2 + y 2 = 2ax 被球面 x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 所截部分面积 A. 截取的柱面面积A是第一卦限 解 曲面对称于 xoy面， 部分面积 A1的4倍。 圆柱面的准线L的参数方程：
L D
∫ f ( x , y ) d s : 点( x , y ) ∈ L
L
y
L (x, y) (x, y)
x 与 y 不独立 .
f ( x , y ) d σ : 点( x , y ) ∈ D
O
∫∫
D
x
在 D 内， x与 y 彼此独立 .
推广 1 若积分弧段为空间曲线弧 Γ ,则函数 f ( x, y, z )在曲线弧 Γ 上对弧长的曲线积分为
= ∫ R 2 sin 2 θ ( R sin θ )2 + ( R cos θ )2 d θ
α
3 θ sin 2θ 3 2 = R ∫ sin θ d θ = 2 R 4 0 α 2
α
α
α
= R 3 (α sin α cos α )
例3 计算曲线积分 解
2π
( x 2 + y 2 + z 2 )ds , 其中Γ为螺旋 ∫
1≤ i ≤ n
Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi ), 作乘积 f ( ξ i , ηi )Δsi
（i = 1,2,L, n）并作黎曼和 ∑ f ( ξ i , ηi )Δsi . ,
n
令λ → 0， 若此和的极限总存在， 即极限值与曲线
L的分法及点 M i的取法无关，
i =1
M = lim ∑ μ ( ξ i , ηi )Δ si
λ→ 0 i =1 n
B
Ai
( ξ i , ηi )
Δ si Ai 1
A
1 分割 用曲线AB上的任意点 A0 , A1 ,L, An , 将AB 分割成 n小段， 小弧段的弧长为 Δsi , λ = max {Δsi }.
1≤ i ≤ n
第十章 曲线积分与曲面积分
本章基本要求
1. 理解两类曲线积分的概念，知道两类曲 线积分的性质. 2. 掌握两类曲线积分的计算方法. 3. 熟悉格林公式(Green)，会用平面曲线积分 与路径无关的条件. 4. 知道两类曲面积分的概念及高斯公式 (Gauss)、斯托克斯公式(Stokes)，并会计算两类 曲面积分.
5. 知道散度、旋度的概念. 6. 能用曲线积分及曲面积分来表达一些几 何量与物理量 (如：体积、质量、重心等).
第十章
第一节 第一类曲线积分
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 第一类曲线积分的概念与性质
1. 问题的提出 曲线形构件的质量 设有一位于 xOy 平面上的曲 构件分布是 线形状的构件(如图)， 非均匀的，其线密度为 μ( x , y ), 求构件的质量. 采用分割，近似，求和，取极 限的方法来求曲线形构件的质量
4 2
2 o 由轴对称性，
Q L关于 x轴对称，f ( x , y ) = x = f ( x , y )
L关于 y轴对称，f ( x , y ) = x = f ( x , y )
∴
∫
L
x d s = 4 ∫ x d s ( L1 : L 在第一象限部分 )
L1 π 4 4 0
= 4 ∫ xd s=
B
Ai Δ si Ai 1
( ξ i , ηi )
4 取极限 构件的质量
M = lim ∑ μ( ξ i , ηi )Δsi
λ→ 0 i =1 n
A
2. 定义 10.1 设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L 上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为
A0 , A1 ,L, An . 记第 i 个小弧段 Ai 1 Ai的长度为 Δs（i = 1,2,L, n） 记 λ = max {Δsi }. 在小弧段 , i
α< β !
2 注意到
ds = (d x ) + (d y )
2 2 2 2
y
= φ′ ( t ) + ψ ′ ( t ) d t
o
ds d y dx x x
因此上述计算公式相当于“换元法”.
推广 1 如果曲线 L 的方程为
y = ψ ( x ) (a ≤ x ≤ b ),
则
∫ f ( x , y )d s = ∫ a f ( x , ψ ( x ) )