2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 (第二课时)解析

如何在频率分布直方图中估计平均数
=2.02
4 8 2 布直方图中每个小矩形的面 x 14 x 512 x 99100 积乘以小矩形底边中点的横 100 100 100 坐标之和。 0 0.5 0.5 1 4 4.5 0.04 0.08 0.02 =2.02 2 2 2
[123，125)
[125，127) [127，129) [129，131]
3
8 4 3
0.15
0.4 0.2 0.15
合计
20
1
(2)
(3)在[125，127)中的数据最多，取这个区间的中点值作 为众数的近似值，得众数 126，事实上，众数的精确值为 5 125.图中虚线对应的数据是 125＋2× ＝126.25，事实上 8 中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数：x＝122×0.1 ＋ 124×0.15 ＋ 126×0.4 ＋ 128×0.2 ＋ 130×0.15 ＝ 126.3，平均数的精确值为x＝125.75.
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多， 即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排 列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组 数据的中位数是1.70； 这组数据的平均数是 1 x (1.50 2 1.60 3 ... 1.90 1) 1.69 米 17 答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5 （2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示：
成绩(米) 人数 1．50 1．60 2 3 1．65 2 1．70 3 1．75 4 1．80 1 1．85 1 1．90 1
三、 众数、中位数、平均数的简单应用
例1、下表是七位评委给某参赛选手的打分，总分为10分， 你认为如何计算这位选手的最后得分才较为合理？
评委 1号 打分 9.6
2号 9.3
3号 9.3
4号 9.6
5号 9.9
6号 9.3
7号 9.4
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
分组 [0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5, 3) [3,， 3.5) [3.5, 4) [4,) 4.5]
合计
频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04 0.02 1
在样本中，中位数的左右各有50%的样本数， 所以反映在频率分布直方图中，中位数左右 两边的直方图的面积相等，各为0.5。
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数． (2)高一参赛学生的平均成绩． 解 (1)由图可知众数为65， 又∵第一个小矩形的面积为0.3， ∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5， ∴中位数为60＋5＝65. (2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15 ＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.
（一）众数、中位数、平均数
一 众数、中位数、平均数的概念
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数:
一组数据的算术平均数,即
1 X ( x1 x2 xn ) n
0.04 0.08 0.15 0.22 0.49
x 0.02
中位数
2 0.02 2.02
可将中位数看作整个直方图面积的“中心”
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？ 答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的 频率分布直方图，只是直观地表明分布的 形状，但是从直方图本身得不出原始的数 据内容，直方图已经损失一些样本信息。 所以由频率分布直方图得到的中位数估计 值往往与样本的实际中位数值不一致.
(1)填写下面的频率分布表：
分组 [121，123) [123，125) [125，127) [127，129) [129，131] 合计 频数 频率
(2)作出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的 众数、中位数和平均数．
解 (1) 分组 [121，123) 频数 2 频率 0.1
－ －
规律方法 1.利用频率分布直方图估计数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两侧直方图的面积相等． (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值， 与实际数据可能不一致．
例3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生 的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率 分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、 四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、 0.05.
思考讨论以下问题：
2、样本中位数不受少数极端值的影响，这 在某些情况下是一个优点，但它对极端值 的不敏感有时也会成为缺点。你能举例说 明吗？ 答：优点：对极端数据不敏感的方法能够 有效地预防错误数据的影响。
对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质 量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错 误、测量错误等）时，用抗极端数据强的中位数 表示数据的中心值更准确。
缺点：（1）出现错误的数据也不知道； （2）对极端值不敏感有弊的例子：某人具 有初级计算机专业技术水平，想找一份收 入好的工作。这时如果采用各个公司计算 机专业技术人员收入的中位数作为选择工 作的参考指标就会冒这样的风险：
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平 人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数 据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资 和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且 中位数较大的公司就业.
二、众数、中位数、平均数与频率 分布直方图的关系
如何在频率分布直方图中估计众数
频率 组距
众数在样本数据的频率分布直方图中， 就是最高矩形的中点的横坐标。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
0.5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
月平均用水量(t)
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率 组距
选择平均数更好：因为，此时的众数20万比中位数25万还小， 所以众数代表的是局部的数。中位数代表的虽然是大多数公路 投资的数额，但由于其不受极端值的影响，不能代表全体，因 而此时成了它的缺点。选择平均数较好，能比较好的代表整体 水平，但缺点是仍不能显示出具体的数字特征
特征数 众数 中位数 平均数 去掉一个最高分和 去掉两个最高分 最低分后的平均分 和最低分后的平 均分
特征值
9． 3
9． 4
9．49
9．42
9．44
1．下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩：82， 91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该 组数据的中位数是 ( ) A．98 B．99 C．98.5 D．97.5 答案 A
问题1：众数、中位数、平均数这三个数 一般都会来自于同一个总体或样本，它们 能表明总体或样本的什么性质？ 众数:反映的往往是局部较集中的数据信息
中位数:是位置型数，反映处于中间部位的 数据信息
平均数:反映所有数据的平均水平
1、求下列各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8 （2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3 2、求下列各组数据的中位数
可将平均数看作整个直方图面积的“重心”
1 1 ( x1 x4 ) ( x5 x12 ) ( x99 x100 ) x ( x1 x2 x100 ) 100 100 平均数的估计值等于频率分
规律方法 根据样本频率分布直方图，可以分 别估计总体的众数、中位数和平均数． (1)众数：最高矩形下端中点的横坐标； (2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的 横坐标． (3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边 中点的横坐标的乘积之和．
如何在频率分布直方图中估计中位数
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
前四个小矩形的 面积和=0.49
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.25
0.22
0.15 0.08 0.04 0.5 1 1.5 2 2.5
0.14 0.06 0.04 3 3.5 4 0.02
4.5
2.02
月均用水量/t
解析 将这组数据按从小到大排列为 73，82，84，91，98， 98，99，101，110，118，则最中间的两个数为 98，98，故 1 中位数是 (98＋98)＝98. 2
频率分布与数字特征的综合应用
例2 已知一组数据：125 129 128 126 121 124 123 125 125 127 127 126 129 122 125 124 128 130 125 126
课堂练习： 1、假设你是一名交通部门的工作人员。你打算向市长报告国 家对本市26条公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公 路的建设投资为2 200万元人民币，另外25个项目的投资在 20万与100万．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万 元。你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？ 你选择这种数字特征的缺点是什么？