静定结构的位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
静 定 结 构 的 位 移 计 算
式（b）仅要求结构为小变形，因此： （1）适合于各类变形； （2）适合于静定结构和超静定结构； （3）适合于弹性材料和非弹性材料； （4）适合于荷载作用和非荷载因素作用； （5）可计算绝对位移和相对位移。
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
第4章 静定结构的位移计算
在荷载作用下，应变 κ、γ 0、ε 与内力 MP、F 、 QP FNP 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
静定结构的位移计算
第四章静定结构的位移计算［结构的位移］（1）结构在荷载作用下产生应力和应变，以致结构的形状发生变化，即产生变形，由于这种变形，使结构上各点的位置产生位移，截面发生转动，这种移动和转动统称为位移。
（2）位移有水平位移，竖向位移，即线位移；有角位移；又有相对位移和绝对位移；统称为广义位移。
（3）除了荷载作用将引起位移外，温度改变，支座位移，材料收缩，制造误差等因素，虽不一定都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。
［计算位移的假设］（1）材料线性假设：结构的材料服从虎克定律，应力与应变成线性关系；（2）几何线性假设：即小变形假设，结构的变形很小，应变与位移成线性关系；（3）弹性假设：结构在力的作用下发生变形，在力卸载之后，结构完全恢复原来的形状；（4）理想约束假设：结构的约束都为理想约束，不考虑摩擦的影响。
满足上述条件的变形体系，称之为线弹性变形体系。
它们的位移与荷载之间为线性关系，位移计算满足叠加原理。
［虚功的概念］作功的力与位移彼此独立无关，这种功称为虚功；在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。
力所属的状态，称为力状态和第一状态；位移所属的状态，称为位移状态和第二状态。
力状态位移状态表示力状态的外力在位移状态相应位移上所作的虚功。
［静力可能的力状态和位移可能的力状态］静力可能的力状态——满足静力平衡条件和力的边界条件；位移可能的位移状态——满足变形协调条件和位移边界条件。
［虚功原理］如果变形体上的力状态为静力可能的力状态，位移状态为位移可能的位移状态，它们彼此独立无关，则外力虚功等于内力虚功。
［结构位移计算的一般公式］位移状态虚力状态结构在荷载、支座移动和温度变化等作用下而发生变形，为求某点的位移，在点沿所求位移方向加一单位力。
力状态为虚单位力状态，位移状态为实际位移状态。
由虚功原理，求得结构位移计算的一般公式为：其中，、和分别为实际位移状态的轴向应变、剪切角和曲率；、和分别为虚单位力状态的轴力、剪力和弯矩；为实际位移状态的支座位移，为对应支座位移虚力状态的反力。
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
静定结构位移计算
B 1/2
注意： M 和 M P 的积分起点和正号规定应一致。
§11-4 荷载作用下的位移计算
2、求φB 。
A
q
C ΔCV 1）虚设单位力状态。 x ql/2 φB M 2）求 M 和 P 表达式： l/2 l/2 1 ___ M x (0 x l ) l M 1 ql q 2 A MP x x (0 x l ) 2 2 x 1/l 3）代入梁的位移计算公式： MMP B ds EI 1 ql q 2 ( x )( x x ) 1 l q 2 q 3 l l 2 2 ( x x )dx dx 0 0 EI 2 2l EI ql 3 （ ） 24EI
故得变形体的虚功方程 : W外
( Md Nd Qd )
§11-2 虚功原理
4.虚功方程的应用
虚设广义单位荷载必须与拟求的广义位移相对应
虚设力系（需满足平衡条件）求位移 ——单位荷载法 虚设位移（需满足约束条件，且是微小连续的）求未知力 ——单位位移法
§11-3 结构位移计算的一般公式
1 d1
1 d1
C d1
A
1 d2
1 P d BC杆的转角 BC ?
d2
B
AB AC ?
1 d2
§11-4 荷载作用下的位移计算
公式： ( Md Nd Q d ) R k ck 具有普遍性。 ck 0
( Md Nd Q d )
§11-3 结构位移计算的一般公式
P2 K P1
___
P 1
K
c2
c1
R1
K
R2
虚设单位力状态
建筑工程力学单元10-静定结构的位移计算
《建筑工程力学》
单元10 静定结构的位移计算
高等教育出版社
单元10 静定结构的位移计算
10.1 计算结构位移的目的 10.2 变形体的虚功原理 10.3 结构位移计算的一般公式 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移 10.5 图乘法计算静定结构在荷载作用下的 10.6 计算静定结构在支座移支时的位移 10.7 线弹性结构的互等定理
线性变形体系和叠加原理的使用条件是：①材料 处于弹性阶段，应力与应变成正比；②小变形。因 此可以应用叠加原理计算结构的位移。
10.2 变形体的虚功原理
一、功、实功和虚功
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
（2）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （3）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力 在虚位移上作的功），可正可负 力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量； （2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、 M 中至少有一个为直线或分段为直线。
一、图乘法公式推导
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
K FSFSPds GA
10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移
二.位移计算公式
1.梁与刚架
KP
M M P ds EI
2.桁架
KP
FNFNPds EA
FNFNP ds EA
FN FN P l EA
单元10 静定结构的位移计算
高等教育出版社
单元10 静定结构的位移计算
10.1 计算结构位移的目的 10.2 变形体的虚功原理 10.3 结构位移计算的一般公式 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移 10.5 图乘法计算静定结构在荷载作用下的 10.6 计算静定结构在支座移支时的位移 10.7 线弹性结构的互等定理
线性变形体系和叠加原理的使用条件是：①材料 处于弹性阶段，应力与应变成正比；②小变形。因 此可以应用叠加原理计算结构的位移。
10.2 变形体的虚功原理
一、功、实功和虚功
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
（2）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （3）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力 在虚位移上作的功），可正可负 力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量； （2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、 M 中至少有一个为直线或分段为直线。
一、图乘法公式推导
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
K FSFSPds GA
10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移
二.位移计算公式
1.梁与刚架
KP
M M P ds EI
2.桁架
KP
FNFNPds EA
FNFNP ds EA
FN FN P l EA
15.静定结构位移计算
P y0
结论：在满足前述条件下，积分式
M M P ds
l EI
之值等于某一图形 面积乘以该面积形心所对应的另一直
线图形的纵标y0,再除以EI。
四、使用乘法时应注意的问题
1、y0 必须取自直线图形
y0
MK 图
p
MP 图
Δ
1 EI ωP y0
2、当 M 为折线图形时，必须分段计算；
三、图乘法的证明
y
MP(x) d
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
dx
MK(X)
y yo
o
A x
Bx
xo
1 tg EI
b
a xMPdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0
P
1 EI
i (FN FQ 0 M k)ds FRKcK
1.求截面线位移
单位荷载的设置
1
2.求两截面间相对线位移 B
A
1
3.求截面角位移
A
1
(c)
4.求两截面间相对角位移
1 A
(b)
5.求桁架杆件的角位移
1
Ad
B1 A
1
(d)
M=1
A
B
6.求桁架两杆间相对角位移 (e)
11
一对力偶；广义位移是相应的沿力
ф
方向的线位移和沿力偶转向的角位 移或相对位移。
P (b) P
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设温度沿截面高度h以直线传递，
见图（a），则截面上材料的应变
沿高度也呈线性变化。因此，杆
件由于温度改变变形后平截面假
定仍然适用。
t2 ds
h2
h h1
d t0 ds
轴向应变：d t0ds
转角应变：d (t1 t2 ) ds t ds
h
h
由于两个截面之间没有相对竖向
位移，因此剪切应变为零，d 0
（2）求CD杆的转角位移
1 (0.17 10 4 0.17 10 4 2 0.2112.5 5) 26.25 rad
EA
EA
C 1/3m
()
A
B
1/3m D
(d) F N 图（1/m）
例7-4-2 求B结点的水平位移 (a)
解 （1）
x
qL/2
x 1
x
x
qL
q(Lb/)2
1
1(c)
第二部分 静定结构的位移计算
第七章 静定结构的位移计算
虚功原理是结构力学的一个重要原 理，应用广泛。 1、计算结构处于平衡状态时的内力 和反力； 2、计算结构在变形状态下的位移。
第一节概述
什么叫位 移?
结构在外因作用下变形或位移后， 某一横截面产生的相对其初始状态 的位置改变 。
位移是矢量，可分解为三个位 移分量，即两个线位移（一般 常考虑水平位移和竖向位移）， 一个转角位移（简称角位移）。
BV
1 EI
(1 L L 2 FP L ) 2223 2
1 (1 L L FP L 1 L L 2FP L ) 9FP L3 () 2EI 2 2 30 2 2 2 15 240EI
FP =1 B
例7-5-3 求所示刚架B点的水平位移BH
q=5kN/m
B
CD
(a)
A
8kNm
解 （1）求D结点的竖向位移DV
1）计算 FNP
C
A
B
D
(b) FNP 图（kN）
2）计算 F N
C
A
B
D
(c) F N 图（kN）
3）计算 DV
DV
5 1
F N FNP L EA
DV
1 (2 0.6710 4 1 0 3 0.8312.5 5 0.8312.5 5) EA
53.6 m() EA
L
L
L
n
( F N d F Q d M d )
1L
L
L
考虑荷载引起的变形和刚体位移：
( F N d F Q d Md ) F Ri ci
L
L
L
线弹性变形体位移计算公式
对于线弹性体：
A
B
d FN ds
EA
d
k0
FQ GA
ds
B`
d M ds
EI
其中，EA、GA和EI分别为杆件的拉伸刚度、剪切刚度和弯 曲刚度，K0为剪应力的分布不均匀系数，对于矩形截面 K0＝1.2
3
2
9EI EI
或
11
ABV
EI
( 12 2
5 4 2 (1 5 22) 33 8
5 1
1 10 5 4 2 (1 5 22 ) 5 1
2
33 8
2 4 4) 4 5 32 () 9EI EI
第六节 温度改变时静定结构的位移计算
A
BB `
静定结构受到温度改变的影响时， 发生满足约束允许的变形和位移， 但为零内力状态。
虚力 方程
在体系上虚设的平衡力系，此 力系在体系真实的刚体位移上 所作的总虚功等于零
虚力方程用以求真实的位移
真实位移状态
(a)
虚力状态
(b)
k
B
k`
c
d
L
k
B
应用虚功原理，可得：
W FByB FPky 0
由静力平衡条件，可得：FBy
c L
FP
c
ky L B
单位荷载法
一般令 FP FP 1
位移按位置变化的参考状态 （参照物）可分为：
（1）绝对位移
（2）相对位移
绝对 位移
指结构上的一个指定截面，位 移后的新位置相对其位移前旧 位置的改变。
C
C vc
C`uc
c
B
相对 位移
指结构上的两个指定截面，位移后 新的位置关系相对其位移前旧位置 关系的改变。
(a)
(b)
研究结构位移计算的目的
4）求结构在切口处的相对线位移，可在切口处施加两个 方向相反的单位力；
5）求结构两个截面的相对角位移，可在结构的截面 处施加一对方向相反的单位力偶，如果待求的是两根 桁架杆的相对角位移，则可在桁架杆施加一对方向相 反的单位力偶，即在每根杆的两端施加一对大小相等， 方向相反且垂直杆轴的集中力，大小为1/d，其中d为 该杆的长度。
解：
(1)
C
FBx FBy=1/2
（2）按位移计算公式计算位移
CV
2 1
F Ri ci
[( 1 20) ( 3 10)] 17.5cm()
2
4
（3）计算顶铰两侧截面的相对 转角位移
C
FBx=1/4 FBy=0
相对转 角位移
2 1
F Ri
ci
(1 10) 4
2.5rad
()
（内外均为0ºC）的水平位
移GH。各杆杆长均为：
L=6m 。
D
t2
C
t1
t2
A
B
解：
G
D
C
A
B
(b)
0.00001101 6 2 0.00001 20 1 6 6 0.6 2
0.0114m()
第七节 线性变形体的互等定理 1.功的互等定理（基本定理）
状态1
Fp1的虚功 Fp112 L M1d2 L Q1d2
代入虚功原理：
( F N d F Q d Md ) F Ri ci
L
L
L
可得：
(()
L
F
N t0 ds
()
L
M
t h
ds)
假设，温度沿杆件全长不变，且截
面高度相同，则有：
(() t0
L
F N ds
()
t h
L
M ds)
(()t0SF N
()
t h
S) M
注意正负号的选取： 当虚力的变形和温度引起的变形 同向时，取正号；反之，取负号。
第二节 刚体的虚功原理及应用
1.虚功的概念
功——力与其在力方向上的位移的 乘积。
实功——力与位移之间存在直接因 果关系。
1 W 2 FP
虚功——力和位移之间没有因果关 系，即虚功的力和位移不相关。力 与位移分别属于同一体系的两种彼 此无关的状态：力状态和位移状态 （见下页图）。 这是虚功区别于实功的重要特点。
q
A
B
C
L/2
L/2
(a)
返回
解 1)求梁B端的角位移
(1)作荷载作用下 梁的弯矩图
A
B
qL2 8
C
1
2
L/2
5(L/2)/8 L/2
(2)作虚单位力偶 A
作用下的弯矩图
y 1 C
M = 1 B
(3)由图乘公式 计算位移
B
1 EI
(2 3
L
qL2 8
)
1 2
qL3（）
24EI
2)求梁中点C的竖向位移CV
FBy FBy c / L
在支座移动时的位移计算公式
G
C
D
G
C
D
E
E
(a)
F R1
FR3(b)
FR2
虚力方程
1 F R1 c1 F R2 c2 F R3 c3 0
3
则所求位移为： F Ri ci
1
例7-2-2: 求铰C的竖向位移和 相对转角 。
C
4m
20cm
6m
6m 10cm
F N FNP ds
EA
(3)组合结构一般将梁式杆和桁 架杆分别按各自的主要变形考虑， 位移计算公式可写成：
MMP EI
ds
F
N FNP EA
ds
第四节 在荷载作用下静定结构
的位移计算
例7-4-1
C
3m
A
B
D
4m
4m
(a)
求：
(1)D结点的竖向位移 (2)CD杆的转角位移 已知各杆EA相等，并为常数 。
第五节 图乘法 图乘公式代替积分公式
y
MP
A o
y
x EI
yC y
A o
(a)
EI
x
图乘公式的应用条件
(1)结构上各杆均为等截面直杆， 即，各杆EI分别或分段为常数； (2)竖标必须取自直线弯矩图形; (3)另一弯矩图的面积A和面积形 心易求得。
标准二次抛物线
(b)
例7-5-1
求：简支梁B端截面的角位移和 梁中点C处的竖向位移 。 已知梁的EI值为常数。
F
N
FN EA
ds
FQ
k0
FQ GA
ds
M
M EI
ds
F
Ri
ci
在荷载单独作用下，结构的位移 计算公式
F N FNP ds EA
k0
F Q FQP GA
ds
M M P ds EI
(1)梁和刚架，主要考虑弯 曲变形的影响，位移公式：
MM EI
P
ds
(2)桁架，只考虑轴向变形的 影响，位移公式：