高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 角的概念的推广教案
角的概念推广教案
角的概念推广教案主题：角的概念推广教学目标：1.理解角的概念，并能用正确的术语描述角；2.掌握角的度量方法，并能正确地度量角；3.能够应用角的概念和性质解决相关问题。
教学准备：投影仪、白板、书本、尺子、量角器、练习题、实物角模型等。
教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.利用投影仪展示一张平面图，图中有两线段的交叉点，并标出交叉点。
引导学生观察图中的图形，并提问：你们看到了什么图形？2.学生回答后，引导学生发现交叉点所形成的形状，并解释这个形状叫做角。
3.引导学生描述角的特点，例如由两条线段组成、起点和终点等，并总结出角的定义：“两条有公共端点的线段所夹的部分称为角。
”Step 2：发现角的度量方法（15分钟）1.展示一把量角器，并解释量角器的结构和使用方法。
2.找出几个不同的角，让学生使用量角器度量这些角，并记录下度数。
3.引导学生发现度数是用来衡量角的大小的，也就是说，我们可以根据度数来比较角的大小。
Step 3：探究角的度量方法（20分钟）1.给学生提供几个已知角度的角模型，并要求学生用尺子度量这些角，再使用量角器进行度量。
2.让学生比较用尺子和量角器度量角的结果，并发现量角器比尺子更准确。
3.引导学生思考为什么量角器的度量结果更准确，并引导他们发现量角器的刻度更精细，可以更准确地测量角。
Step 4：角度的分类（10分钟）1.提供几个不同的角度，让学生观察这些角，并总结角度的分类规则。
2.引导学生发现锐角、直角、钝角和平角的特点，并解释每种角的定义。
3.让学生分类并标记不同类型的角度。
Step 5：应用角的概念（20分钟）1.提供一些与角相关的问题，并引导学生运用所学知识解决问题，例如：两个不同角度的角哪个更大？如何利用量角器判断一个角是锐角还是钝角？2.让学生尝试解决不同种类的问题，并让他们在小组中交流解决方法和思路。
Step 6：小结和巩固（15分钟）1.教师对所学内容进行小结，并强调角的概念、度量方法和分类规则。
高中数学必修四角的概念的推广教案北师大版Word版
教学设计2 角的概念的推广整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课知识探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.图2我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.如图3.图3②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)585°;(3)-950°12′.解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.变式训练在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图4.图4因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.变式训练写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合图5S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k 的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本习题1—2 1、2.课堂小结提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业①习题1—2 3.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解习题1—21.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°,故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.。
高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛 异面直线及其夹角教案
设 AA =2，AE=1，A E=DE= 5 ，A D=2 2 ，在三角形 DA E 中，
/ ห้องสมุดไป่ตู้ / /
10 10 A / D 2 A / E 2 DE 2 / = ， DA E=arccos DA/E= / /
2 A D. A E
5
5
A E 与 CB 的夹角为 arccos
a b
O
b′
6．同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能不能垂直呢？ 如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 a , b 垂直，记作
a b．
7．异面直线所成的角的范围： (0,
2
]
由动画演示得出异面直线所成的角的范围：(0,
2
] ，及异面直线垂直的概念。 （这一环节主要是先
异面直线及其夹角
教学目标： ： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直 线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较 简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思 维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？
a b b
a
O
b′
已知两条异面直线 a , b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ， a, b 所成的角的大小与点
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案教案名称：角的概念的推广教学目标：1. 了解角的定义和各种特性；2. 掌握角的度量方法；3. 能够应用角的概念解决实际问题。
教学重点：1. 角的定义；2. 角的度量方法；3. 角的特性。
教学难点：1. 度量角的方法；2. 应用角的概念解决实际问题。
教学步骤：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾前一节课所学的角的定义。
2. 提问学生：你能否举出一些你所了解的角的例子？Step 2：引入新知1. 让学生观察图像，引导学生观察图像中的各种角。
2. 让学生尝试用自己的话解释什么是角。
3. 调整学生的回答，引导学生正确理解角的定义。
Step 3：探究1. 针对学生在引入环节中的回答，给出一个准确的角的定义。
2. 让学生观察不同的角，找出它们之间的共同点和不同点。
3. 引导学生总结角的特性，如角的顶点、边、大小等。
Step 4：实践应用1. 引导学生观察实际生活中的角，如门把手上的角、书桌上的角等。
2. 让学生思考这些角的度量方法，并给出自己的解答。
3. 引导学生探究度量角的方法，如用角度的单位度来量角。
Step 5：作业布置1. 让学生在实际生活中寻找各种角，并计算其度数。
2. 布置作业任务，要求学生画出30°、60°和90°的角，并标注度数。
Step 6：课堂小结1. 回顾角的定义和度量方法。
2. 引导学生总结角的特性。
3. 检查学生对角的理解程度，并答疑解惑。
Step 7：拓展延伸1. 让学生阅读相关角的知识，如锐角、钝角等，并总结其特性。
2. 引导学生用创新的思维探索角的应用领域，如建筑设计、工程施工中的角度计算等。
教学手段：1. 多媒体教学：使用图片、视频等多媒体资源引导学生观察和理解角的定义和特性。
2. 集体讨论：鼓励学生在小组中相互讨论，探索角的度量方法和特性。
3. 实践操作：让学生通过实际操作，将角的概念应用于解决实际问题。
教学资源：1. 角的图片、视频资料；2. 画板、白板和笔；3. 角的练习题和作业。
角的概念的推广教案
角的概念的推广教案概要一、教学目标通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念。
理解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念，掌握角的加减运算和表示方法。
通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想，培养抽象、推理、创新的能力。
二、教学重点和难点重点：任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，角的加减运算和表示方法。
难点：终边相同的角的概念，其符号表示、集合表示。
三、教学方法和学法教学方法：讲解法、示范法、讨论法、探究法、评价法。
学法：观察法、练习法、合作探究法、反思法。
四、教学过程准备部分：学生按照指定的队列队形站好，教师检查人数、服装、器材，宣布本课的目标和内容，进行安全教育和准备活动。
基本部分：分为四个环节，分别是：环节一：复习初中学习过的角的定义和分类，提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？引导学生用运动变化的观点来扩充角的概念，即解决旋转中心、旋转方向和旋转量对角的概念有什么影响。
环节二：讲解任意角的概念，即用旋转的方式定义角，区分正角、负角、零角的概念和表示方法，示范正确的画图方法，学生模仿练习，教师个别指导和纠正错误。
环节三：讲解终边相同的角的概念，即当角与角的始边重合时，它们的终边也重合，区分终边相同的角的符号表示、集合表示和判定方法，示范标准的计算过程，学生分组练习，教师观察和评价，学生互相检查和反馈。
环节四：讲解象限角的概念，即在平面直角坐标系中，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，区分象限角的表示方法和判定方法，示范典型的应用问题，学生参与解决，教师监督和评分，学生总结和分享。
结束部分：学生按照指定的队列队形站好，教师进行本课的小结和评价，表扬优秀的学生和小组，提出改进的建议，进行放松活动，下课。
高中数学 1.1.1角的概念的推广1教案 新人教A版必修4
1.1.1角的概念的推广
一、学习目标：
1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法
3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
难点：终边相同的角的表示.
三、教学方法：
讲授法、讨论法、媒体课件演示
四、内容分析：
本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.
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《角的概念的推广》——教学设计方案_
《角的概念的推广》——教学设计双滦职教中心：徐云教学目标设计：知识与技能1.理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义2.掌握所有与α角终边相同的角的表示方法3.体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；过程与方法1.借助图片、视频、实物演示、动手绘制角等手段，让学生充分体会到多媒体等手段对数学教学的作用。
2.在老师的引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。
情感、态度与价值观1.通过本节的学习，让学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学习数学的兴趣。
2.体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物.3.通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，培养学生竞争意识和团队合作意识，锻炼学生的语言表达能力，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点研判：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点体会：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示教学思想方法：本节教学方法采用任务驱动法、情景导入法、问题探究法、教师引导下的讨论法，通过课前预习展示、实例教具展示、观看视频等方式，在教师的带领下，学生轻松地接受新知识，真正做到了让学生成为课堂的主体。
积 探问题5、完成此题后讨论 填空完成下列等式，并在坐标系中作出下列各角30，390，330，7500，-6900指出这些角的终边有什么关系？（三）．终边相同的角 (1).观察：它们的终边都与30角的相差3600的整数倍。
（2）猜想：它们的终边相同。
(3)画图：证实 （4）.探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（5）.结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ在练习中边引导学生，边总结：（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）。
（2）用集合表示终边相同的角请注意以下问题： ①k Z ∈； ②是任意角；③0360⋅k 与之间是“+”号，如0360⋅k -30°，应看成0360⋅k +(-30°)； （3）终边相同的角不一定相等，但是相等的一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍。
北师大版高中数学必修四角的概念的推广教案
§2 角的概念的推广（1课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念的推广(教学设计)
§2 角的概念的推广【教学目标】1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角；2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法；3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念；2.初步学会终边相同的角的表示方法.【教学难点】终边相同的角的集合的表示方法.【教学方法】六环节分层导学法【课前准备】（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查.学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线.（小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。
（检查反馈）学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题：1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写；2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件；3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练；4)概念辨析缺乏方法.完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.【教学过程】一、导入新课初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念.教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角.【板书】角的概念的推广二、展示评价学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价.展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题.三、导引探究教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法.探究1：判断角所在象限例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（1）480°；（2）-760°；（3）932°；归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限.跟踪训练1：象限角的概念：第一象限角的集合可表示为____________ ______；第二象限角的集合可表示为_________ ________ _；第三象限角的集合可表示为；第四象限角的集合可表示为.跟踪训练2：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？探究2：终边相同的角的表示方法例2写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素写出来.归纳小结：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.跟踪训练3：在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°~360°表示）四、当堂检测学生独立完成导学案巩固提高部分，教师巡视学生完成情况，检测学生学习效果.五、课堂小结师生共同回顾本节课的相关概念，总结解题方法1.正角、负角、零角2.象限角和终边相同的角3.角所在象限的判定和终边相同的角的表示方法六、作业布置习题1-2 第2，3题【教学反思】本节课是北师大版必修4第一章第二节的内容，是在初中的基础上进一步学习角的概念，是学好三角函数的基础. 本节课使用的方法是六环节分层导学法，由学生先课前预习，完成导学案，小组进行交流学习，课堂由学生展示和教师引导的课堂探究以及当堂检测组成. 由于学生课前预习的过程中存在较大的问题，自主学习能力较差，学习的主动性不够，获取信息的能力较弱，导致学生课前完成的导学案问题较多，影响了课堂展示评价环节的进行，再加上教师对六环节分层导学模式的应用不够熟练，导致课堂评价展示环节流于形式，变成教师的“满堂解释”，导引探究部分，教师引导学生对角所在象限的判断和终边相同的角的表示方法进行探究，学生基本能掌握两种方法，但理解不够，动手能力还不好. 最后由于时间把握不好，当堂检测部分未能按时完成. 这节课基本上完成了教学任务，但是没能很好的体现六环节分层导学模式，今后在教学中将会对这种教学模式进行进一步的探究，以期能熟练应用这种教学模式进行教学，提升教学效率.。
(北师大版)高中数学必修四：1.2《角的概念的推广》教案设计
§2 角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法: 类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
《角的概念推广》 学历案
《角的概念推广》学历案一、学习目标1、理解角的概念推广的必要性。
2、掌握正角、负角和零角的概念，能正确表示给定角的象限。
3、理解终边相同的角的集合表示，会用集合表示给定范围内与已知角终边相同的角。
二、学习重难点1、重点（1）理解角的概念的推广。
（2）掌握正角、负角和零角的概念。
（3）终边相同的角的集合表示。
2、难点（1）用旋转的观点理解角的概念。
（2）终边相同的角的集合的应用。
三、知识链接1、初中对角的定义：由公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
2、角的度量：把周角平均分成 360 份，每一份是 1 度的角。
四、学习过程（一）引入观察生活中的实例，如钟表的指针转动、车轮的旋转等，发现仅用初中角的定义无法全面描述这些现象。
思考：如何更全面地描述角？（二）角的概念推广1、定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
2、正角、负角和零角（1）按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。
（2）按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
（3）如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
例 1：画出－60°、300°的角。
（三）象限角1、定义：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2、若角的终边在坐标轴上，就称这个角不属于任何象限，称为轴线角。
例 2：判断下列角是第几象限角：（1）120°（2）－240°（3）90°（四）终边相同的角1、所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z2、理解：给定一个角α，加上或减去 360°的整数倍，得到的角与α终边相同。
例 3：在 0°到 360°范围内，找出与－120°终边相同的角。
例 4：写出与 60°终边相同的角的集合。
角的概念推广教案
角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。
《角的概念的推广》 说课稿
《角的概念的推广》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《角的概念的推广》。
接下来，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“角的概念的推广”是高中数学必修 4 第一章“三角函数”中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了角的基本概念，如锐角、直角和钝角等。
而本节课将角的概念进行推广，引入正角、负角和零角的概念，为后续学习三角函数的周期性、诱导公式等知识奠定了基础。
从教材的编排来看，本节课通过实际生活中的例子，如钟表指针的转动、车轮的旋转等，引导学生观察和思考角的变化，从而自然地引出角的概念的推广。
这样的编排既符合学生的认知规律，又能激发学生的学习兴趣。
二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们在初中阶段已经对角有了初步的认识，但对于角的概念的推广可能会感到抽象和难以理解。
然而，这个阶段的学生思维活跃，具有较强的好奇心和求知欲，已经具备了一定的观察、分析和抽象概括能力。
在教学过程中，要充分利用学生已有的知识和经验，通过实例引导、问题驱动等方式，帮助学生逐步理解和掌握角的概念的推广。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正角、负角和零角的概念，掌握角的终边相同的角的表示方法。
（2）能够正确地画出给定角的终边，会进行角的度量与换算。
2、过程与方法目标（1）通过观察实例、分析问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
（2）经历角的概念推广的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
四、教学重难点1、教学重点（1）正角、负角和零角的概念。
（2）终边相同的角的表示方法。
2、教学难点理解角的概念的推广，掌握终边相同的角的集合的表示。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习积极性和主动性。
高中数学的角的概念教案
高中数学的角的概念教案
教学目标：
1. 了解角的定义及相关术语
2. 掌握角的度量和角的种类
3. 能够运用角的性质解题
教学重点：
1. 角的定义及相关术语的理解
2. 角的度量和角的种类
3. 角的性质应用
教学难点：
1. 角度量的理解和运用
2. 角的种类的辨别和分类
3. 角的性质的应用
教学过程：
一、导入
1. 角的概念引入：让学生看图，提问引导学生思考角的概念。
2. 角的定义：通过示意图和解释，让学生理解什么是角。
二、角的度量和种类
1. 角的度量法：介绍度量角的方法和单位。
2. 角的种类：讲解锐角、直角、钝角和平角的分类及特点。
三、角的性质
1. 角的性质：介绍相邻角、对顶角、余角等角的性质。
2. 角的性质应用：通过解决角的性质相关问题，让学生掌握角的性质的运用方法。
四、练习与巩固
1. 小组讨论练习：让学生分组进行练习，巩固所学知识。
2. 课堂练习：布置适量练习题，让学生在课堂上解答，加深理解。
五、作业布置
1. 布置课后作业：让学生自主练习，巩固所学知识。
2. 鼓励学生多做题目，加深对角的理解和应用。
教学反思：
本节课通过引入角的概念，让学生初步了解了角的定义和相关术语，通过讲解角的度量和种类，让学生对角的分类有了更深入的了解。
通过讲解角的性质和应用，能够让学生掌握角的基本性质和应用方法。
在练习和作业中，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
希望学生通过本节课的学习，能够对角有更深刻的理解，提高数学学习的兴趣和能力。
高中数学 111角的概念的推广教案 新人教A版必修4 教案
1.1.1角的概念的推广教学目标『知识与技能』1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3．能用集合和数学符号表示象限角；4．能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.『过程与方法』1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用；2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容；『情感、态度和价值观』通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.知识的重点形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法知识的难点终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示教学方法本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.教学过程环节教学内容师生互动设计意图情境引入复习静态数学观下，按图形组合方式定义角.复习动态的数学观指导下，按“图形（旋转）变换”的方式定义角. 『提问』角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？『解答』有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.『提问』不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值X围是多少？『解答』两个，和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）.『提问』在图上我们如何区分这两个角？『解答』标示、添加描述条件发现静态数学观下，按“图形组合”的方式定义角的概念有很大的局限性.比较两种角的定义，发现差异，为角的概念的推广做准备。
高中数学 1.2角的概念的推广教学案 北师大版必修4
例1在0°～360°间，找出下列终边相同角，并判断它们是第几象限角？
（1）－150°；（2）1040°；（3）－940°.
变式1：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.
（1）120°；（2）－270°；（3）1020°（2）直线y=x.
年级高一
学科数学
课题
角的概念推广
授课时间
撰写人
学习重点
任意大小的角、正角、负角和零角概念；
学习难点
终边相同的角的集合表示和符合语言正确地表示
学习目标
1.理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；
2.掌握终边相同的角的表示；
3.了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.
教学过程
一自主学习
1、正角：；
变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？
学习小结
1.角的推广；2.象限角的定义；3.终边相同角的表示；4.终边落在坐标轴时等；5.区间角表示.
第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z
第三象限角:｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z
5.集合M＝{α=k ，k∈Z}中，各角的终边都在.
6.如图，终边落在OA位置时的角的集合是__；
终边落在OB位置，且在－360°～360°内的角的集合是_ _；
终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是。
7.写出终边在直线y=－x的角的集合.
8.集合 ︳ ，R }中，属于集合 ︳ 的角是
。
四课后反思
五课后巩固练习
1.在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
角的概念的推广教案
角的概念的推广课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
2．生活中很多实例会不在范围如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
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课题：角的概念的推广教案教材分析作为三角函数的起始内容，本节课主要对角的概念进行推广，并在此基础上给出终边相同的角以及象限角的概念.对本部分知识讲解时一是要注意渗透化归与转化、数形结合以及分类讨论的思想；二是应该注意渗透运动与静止的数学观.学情分析角的概念，学生已在初中阶段有所接触，但当时主要局限在[0°，180°]的范围内.由于讨论三角函数需要对角的概念进行推广，而高中学生已经具备了基本的自学能力，本节正好适合学生来进一步发展这一能力.因此，给出一个合适的自学提纲，引导学生自己去完成相关知识的学习，再在必要时逐步加深对主要知识的认识和理解.教学目标分析1.知识与技能：(1)理解正角、负角、零角的概念；(2)理解象限角的概念，会判断某个角终边所在的位置；(3)会表示与角α终边相同的角；会表示特殊位置的角的集合.2.过程与方法：用运动的观点对角的概念进行推广，关键在于引入了旋转的方向.因此，以旋转和旋转方向对角的相关问题展开研究是本节课的主线.3.情感、态度、价值观：通过对本节课的学习，学生对角的概念应该有一个全新的认识；能够体会到用运动变化的观点来认识周边的事物；能够感受到图形运动与静止的和谐与统一.教学重点与难点教学重点：理解正角、负角、零角及象限角的概念，会表示终边相同的角的集合.教学难点：理解终边相同的角的表示，并会运用终边相同的角来判断给定角的终边所在的位置.教学流程设计[问题引入]先以截取的三段视频画面作为本节课的导入，其目的是以此引出旋转——本节课的核心.接着再以一组学生熟悉的几何图形的内角和引出超过学生原有认知范围的角度，从而引起认知冲突，激发学生的求知欲，为本节课的开展作好铺垫.[自学提纲]1.你认为在本节中涉及到了哪些新的数学概念?[及时测评]1.零角就是终边和始边重合的角吗?2.第一象限的角是锐角吗?2.请你指出角30°，130°，230°，330°终边所在的位置.3.你认为例1解决的是什么问题?例1的解答中哪一步最为关键?[及时测评]3.2008°是第几象限的角?（渗透化归转化的思想）4.你是怎样理解例2的求解思路的?[及时测评]4.你能写出终边在x轴上的角的集合吗?（渗透分类讨论的思想）5.你知道例3中元素β是怎样找出来的吗?6.你认为角的概念得到了怎样的推广？角的概念之所以能够推广，关键是引入了什么？答：角的概念的推广指的是角的范围得到了扩大；角的概念之所以能够推广，关键是引入了旋转及旋转的方向.[逐步深入]1.你是怎么理解角30°＋360°的? 30°－360°呢? 30°＋k·360°(k∈Z)呢?练习：若α是第二象限的角，则α＋180°是第几象限的角呢?（渗透数形结合的思想、运动与静止的数学观）2.你能写出终边在直线y＝ x上的角的集合吗?方法一:用集合的并集表示；方法二:用运动观点加以理解直接表示.在此，应该指出两种方法表示的集合的一致性，并作出相应阐释.3.你能判断集合S＝{β|β＝45°＋k·180°,k∈Z}中适合不等式0°≤β≤1080°的元素有几个吗?方法一:先写出一个，再逐步寻找得解；方法二:利用图形旋转，用运动观点整体寻找得解.在此，不宜利用不等式的方法来寻找或作出方法上的归纳.如果学生不答方法一,在此就可以不提.[巩固提高]1.－770°是第几象限的角?2.集合S＝{β|β＝60°＋k·360°,k∈Z}中适合不等式－360°≤β≤1080°的元素有几个?3.你能写出终边在坐标轴上的角的集合吗?[课堂小结]知识要点:1.正角、负角、零角；2.象限角；3.终边相同的角.思想方法:1.数形结合；2.化归转化；3.分类讨论；4.动静结合. [作业布置]习题1.2 第2,3题．[课后思考]1.请写出第一象限的角的集合.2.若角α是第一象限的角，则α / 2的终边在什么位置?[教学反思]北师大版数学4第一章第2节课题：角的概念的推广教案说明陕西师范大学附中王全 710061 wangquan1978@一、知识要点及思想方法说明《角的概念的推广》是三角函数的起始内容。
对本节内容的知识要点及相应的数学思想方法的具体处理如下：第一个知识点——正角、负角、零角易于学生理解和掌握，因此在进行教学设计时，引导学生自学即可。
但，对于正角、负角的含义是应该作进一步研究的，也即是通过设计的问题串“你认为角30°＋360°表示什么含义呢？30°－360°又是什么意思呢？30°＋k×360°(k∈Z)呢？”来渗透“＋”表示逆时针旋转，“－”顺时针旋转。
同时，通过这些问题串的引领，可以很自然地渗透数形结合的思想、运动与静止的数学观，为本节课的学习目标的达成，也为整个高中阶段数学学习目标的达成作好必要的铺垫。
第二个知识点——终边相同的角，这是本节知识的重点，也是后续学习的关键点。
这一方面是因为终边相同的角作为象限角判断最为重要的一个环节——将一个任意角利用终边相同的角的知识将其转化到0°～360°(－180°～180°)范围内来加以判断；另一方面是因为终边相同的角不仅充分体现了角的周期变化的特点，而且将在研究正弦、余弦、正切函数的图象和性质时有着极为重要的应用。
对这一知识点的处理，可以在学生自学的基础上，通过具体的问题逐步引导、逐步抽象，逐步帮助学生形成对它的认识、理解和掌握。
对于终边相同的角准备分两个层次进行处理：第一个层次是从正面通过30°、390°、－330°等角引出终边相同的角的概念及其表示方法；第二个层次是对某个给出的角度，要求在0°～360°范围内找出一个角与之终边相同，为象限角的判定作好准备，也为以后三角函数的诱导公式、化简求值等问题作好铺垫。
第三个知识点——象限角，对这一知识点，主要需从以下几个方面来把握：一是要注意渗透研究三角函数的主要方法——借助图形、图象来进行研究，对数与形的结合在此进行必要的体现；二是要注意让学生了解在数学上有一些必要的规定，并能意识到这些规定的作用和原因，进而全面地体会、理解数学；三是要注意体现化归转化的数学思想，对于一个不易直接作出判断的角，我们可以通过终边相同的角的含义，将其转化到0°～360°(－180°～180°)范围内来进行判断；四是要注意帮助学生建立科学谨慎的学习态度，象限角并没有包括完所有的角，因为终边在坐标轴上的角就不属于任何一个象限的角；五是要注意将文字表示、符号表示、图形表示等有机地整合到一起，帮助学生建立完整的数学认知体系，同时，在此还可以进一步帮助学生全面、深入地认识集合及其基本的运算。
二、教学方法及教学流程说明本教案在教学方法和教学流程的设计过程中注重了以下几个方面：1.体现教师的主导作用（1）为学生设计自学提纲——建立在学生原有的自学能力水平上。
（2）设计合适的问题导语——用问题导语来引导学生积极主动地思考。
（3）注意调控学习的节奏——随时观察学生的学习状况并作出及时、合理的调整。
2.体现学生的主体地位（1）学生能自学的一定要引导学生去自学。
（2）学生能动手完成的一定留给学生完成。
（3）学生能小结归纳的一定要让学生小结。
3.注意三维目标的落实（1）知识与技能目标的落实与达成应该没有问题，只不过应该根据学生实际尽可能地做得更好。
（2）过程与方法目标不应该、也不可能是某一教学瞬间就能实现的，而要注意在整节课，乃至在更长久的时间段内来达成。
对于这一节课，要尽量渗透知识的形成与发展的过程，尽量落实具体知识点的判断方法以及它的方法的形成，例如终边相同的角的判断是怎样一步一步地进行的。
（3）情感、态度、价值观的达成是一点一滴、逐步渗透实现的，而不是，也不可能象贴标签一样指出这一知识点可以增进什么感情、可以培养什么思想、可以树立什么价值观一般地进行。
例如，在本节课中，可以从一开始讲正角、负角的概念，到最后的例3，乃至到后面的课堂巩固与练习等环节，不断地渗透数形结合的思想，不断地体现运动与静止的关系，从而帮助学生树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点来认识事物。
4.用问题串来引领学生学生学会知识主要是学生将所获得的信息进行加工、整合、内化之后形成的，因此教师不应该包办知识的发生发展过程，而尽可能地让学生自己去体会、理解、领悟，之后将其加工、整合、内化后将其转化成真正的自己的认知。
故此，我认为以问题来引领不失为一种好办法。
（1）自学提纲以问题的形式点出在自学过程中应注意的知识要点、例题渗透的知识和方法以及对难点问题的具体指导。
（2）知识要点的呈现也是以问题串的形式逐步深入、深化，一步一步将学生引导到本节知识的核心内容来的，从而使得知识的形成显得更加自然、合理。
值得指出的是，问题的设计一定要注意学生原有的认知水平，不可过于简单化，也不能过于复杂，最好使得一个一个的问题就如同不高不低的一个个台阶，让人走起来感觉非常自然、舒适。
三、自学能力培养及教师主导说明学生自学能力的提高是高中新课程倡导的主要方向之一，教师的主导作用也是我们在教学中尤为注意的。
本课的知识学生进一步发展自学能力。
自学，不是一概不管。
我采用的方法是分以下几个层次来进行：1.用问题来引起学生在自学过程中的积极思考，以期达到自学的效果。
问题串就是教师主导作用的一个重要体现。
2.我们还应该及时了解学生自学的情况，用及时测评来进行了解和巩固是必要的。
3.学生自学的能力还毕竟有限，对知识理解的也还不够，因此需要教师逐步引导、逐步深入讲解，以便帮助学生更好地巩固自学的知识，更好地理解相关的数学知识和数学方法。
这，需要教师的讲解。
四、教学预期效果及备用方案说明对于本班的学生，该教案是非常适合他们的。
对于基础知识较差、或者自学能力还比较薄弱的学生，使用本教案时应该作出相应调整。
本教案应该可以顺利实施，课后学生能够理解角的推广的必要性，能够正确理解相关知识要点，尤其是终边相同的角和象限角的概念及其判断方法。
更理想的情况是：（1）在讲解象限角的概念时，可以将象限角用集合形式表示，渗透不等式、集合、图形与象限角之间的关系；（2）在讲解例3后，可以提及角的集合运算，以及终边在坐标轴上的角的表示。
对于不同认知水平的学生，本教案仅供参考。