南昌大学概率论与数理统计课件 练习四
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⇒ Φ ( C − 3 ) = 0.5 2 ⇒ C − 3 = 0 ⇒C=3 2
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4
二、同时掷两粒骰子.设随机变量ξ为所得 同时掷两粒骰子 设随机变量 两骰子点数和的2倍 两骰子点数和的 倍 (1)写出基本事件集Ω 写出基本事件集Ω 写出基本事件集 (2)对每个ω∈Ω,相应的ξ的值为多少 相应的 对每个 (3)事件 (3)事件{ω: ξ(ω)<4}, {ω : ξ(ω)≤5.5}, 事件{ )≤ {ω : 6≤ξ(ω)≤9}, {ω : ξ(ω)>20} ≤ 各由哪些基本事件组成 (4)求(3)中的各事件的概率 求 中的各事件的概率
5
解: (1) Ω={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6} (2) ξ=4, ω =(1, 1) ξ=6, ω =(1, 2),(2,1) ξ=8, ω =(1, 3),(3,1),(2,2) …… ξ=20, ω =(4,6),(6,4),(5,5) ξ=22, ω =(5,6),(6,5) ξ=24, ω =(6, 6)
10
综合得: 综合得
x<0 0, 22 , 0≤ x<1 35 F ( x) = 34 , 1 ≤ x < 2 35 1, x≥2
11
五、连续型随机变量ξ的概率密度为
A , | x |< 1 1 − x2 f ( x) = 0, | x |≥ 1
1.离散型随机变量 的分布为 离散型随机变量X的分布为 离散型随机变量 的分布为P(X=k)=bλk (k=1,2,…),则______成立 则 ABCD 成立 (A) b>0 (B) λ>0 (C) b=λ−1−1 (D) λ=(1+b)−1 b≠0, λ≠0 ≠ 0<bλ<1 , 0<bλ2<1 ⇒λ>0, b>0 ⇒A,B
3 C 13 22 P {ξ = 0} = 3 = C 15 35 1 2 C 2 C 13 12 P {ξ = 1} = = 3 35 C 15
8
的分布律为: 故ξ的分布律为
2 1 C 2 C 13 1 P {ξ = 2} = = 3 35 C15
ξ
0
1
2
P 22/35 12/35 1/35 (2) F(x)=P{ξ≤x} 为不可能事件 当x<0时,{ξ≤x}为不可能事件 时 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=0
1
x 1 dt + ∫ 0dt =1 ⇒ F ( x ) = ∫ 0dt + ∫ −∞ −1 1 π 1 − x2
14
综合得: 综合得
x < −1 0, 1 1 F ( x ) = + arcsin x , − 1 ≤ x ≤ 1 2 π 1, x≥1
15
六、设ξ~N(3,22) 求:(1) P{2<ξ≤5}; P{−4<ξ<10}; P{|ξ|>2}; − P{ξ>3} (2)决定 使P{ξ>C}=P{ξ≤C} 决定C,使 决定 (1) P{2<ξ≤5} = Φ( 5 − 3 ) − Φ( 2 − 3 ) 解:
6
(3){ξ<4}=φ {ξ≤5.5}={ξ=4}={(1,1)} {6≤ξ≤9}={ξ=6,8}={(1,2),(2,1),(1,3), ξ (3,1),(2,2)} {ξ>20}={ξ=22,24}={(5,6),(6,5),(6,6)} (4)P{ξ<4}=0 P{ξ≤5.5}=1/36 P{6≤ξ≤9}=5/36 P{ξ>20}=3/36=1/12
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1 2 −1 2
( 3) F ( x ) = ∫
x
−∞
f ( t )dt
x
当x<−1时 ⇒ F ( x ) = ∫− ∞0dt = 0 − 时 当−1≤x≤1时 时
⇒ F ( x ) = ∫ 0dt + ∫
−∞ −1
1 dt 2 −1 π 1− x
x
当x>1时 时
−1
= 1 + 1 arcsin x 2 π
2 2
=Φ(1)−Φ −0.5) Φ −Φ −Φ(− =Φ(1)−[1−Φ Φ − −Φ −Φ(0.5)] =0.5328
16
P{−4<ξ<10}=0.9396 − P{|ξ|>2} =1−P{−2≤ξ≤2} =0.6977 − − P{ξ>3} =1−P{ξ≤3} =0.5 − (2) P{ξ>C}=1−P{ξ≤C}=P{ξ≤C} − ⇒P{ξ≤C}=0.5
试求: 系数 系数A 试求 (1)系数
(− 1 , 1 )内的概率 (2)ξ落在 − 2 2
(3)ξ的分布函数
12
解: (1) ∫− ∞ f ( x )dx = 1 ⇒ ∫−1
−∞ +∞
1
⇒Aπ=1 π
A dx = 1 2 1− x
1 ⇒ A=
π
1 1 < ξ < 1} = ( 2) P { − ∫ π 1 − x 2 dx 2 2 =1 3
−1 k
∑
k=1
∞
λ + λ2 +L+ λn +L C−1 P{X = k}= ( )
λ +L+ λ +L C−1 ) = (−1+ 1+ λ +
2 n
1
2!
n!
2!
n!
=(eλ−1)C−1 =1 ⇒C−1=(eλ−1)−1
2
3.社会上定期发行某种奖券,每券1元,中奖 社会上定期发行某种奖券,每券 元 社会上定期发行某种奖券 某人每次购买奖券1张 率为p.某人每次购买奖券 张,如果没有中 则继续购买1张 直到中奖为止. 奖,则继续购买 张,直到中奖为止.则该人 中奖时,已购买奖券次数的分布为_____ 中奖时,已购买奖券次数的分布为 A (A)P(ξ=i)=p(1−p)i−1 (i=1,2,…) − − (B)P(ξ=i)=pi(1−p)n−i (i=1,2,…,n) − − i (C) P {ξ = i } = C n p i (1 − p ) n − i ( i = 1,2,..., n) − (D)P(ξ=i)=(1−p)pi−1 (i=1,2,…) − 次未中,第 次中 前i −1次未中 第i次中 次未中
P{X = k} = 1⇒bλ+bλ2+...+bλn+...=1 ∑ k=1 bλ(1 − λn ) ⇒ = 1 (n → ∞) 1− λ
∞
Hale Waihona Puke Baidu
− bλk<1⇒λ<1 ⇒bλ=1−λ ⇒C, D
1
C λ ( k = 1,2 L) ,其中 2.已知 P { X = k } = 已知 其中 k! D 则 λ>0,则C=______ (B) eλ (A)e−λ (C)e−λ−1 (D)eλ−1
3
4.以下数列中 AB 可以成为某一离散 以下数列中,______可以成为某一离散 以下数列中 型随机变量的分布律
1 ( 2 ) k −1 , k = 1,2,... (A) 3 3
0≤pk≤1 ≤
(B) ( 1 ) , k = 1,2,...
k
∑p
k
k
=1
2
5 ( − 2 ) k −1 , k = 1,2,... (C) 3 3 1 , 1 , 1 , 1 ,... (D) 2 2 2 2
7
件同类型的零件中有两件次品. 三、已知15件同类型的零件中有两件次品 已知 件同类型的零件中有两件次品 在其中取3次 每次取 每次取1件 作不放回抽样.以 在其中取 次,每次取 件, 作不放回抽样 以 表示取出次品的件数. ξ表示取出次品的件数 (1)求ξ的分布律 求 (2)求ξ的分布函数 求 的所有可能值为0,1,2 解: (1) ξ的所有可能值为
9
当0≤x<1时,{ξ≤x}={ξ=0} 时 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=P{ξ=0}=22/35 ∪ 当1≤x<2时,{ξ≤x}={ξ=0}∪{ξ=1} 时 又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件 与 是两互斥事件 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=P{ξ=0}+P{ξ=1} =22/35+12/35=34/35 当x≥2时,{ξ≤x}为必然事件 时 为必然事件 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=1
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二、同时掷两粒骰子.设随机变量ξ为所得 同时掷两粒骰子 设随机变量 两骰子点数和的2倍 两骰子点数和的 倍 (1)写出基本事件集Ω 写出基本事件集Ω 写出基本事件集 (2)对每个ω∈Ω,相应的ξ的值为多少 相应的 对每个 (3)事件 (3)事件{ω: ξ(ω)<4}, {ω : ξ(ω)≤5.5}, 事件{ )≤ {ω : 6≤ξ(ω)≤9}, {ω : ξ(ω)>20} ≤ 各由哪些基本事件组成 (4)求(3)中的各事件的概率 求 中的各事件的概率
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解: (1) Ω={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6} (2) ξ=4, ω =(1, 1) ξ=6, ω =(1, 2),(2,1) ξ=8, ω =(1, 3),(3,1),(2,2) …… ξ=20, ω =(4,6),(6,4),(5,5) ξ=22, ω =(5,6),(6,5) ξ=24, ω =(6, 6)
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综合得: 综合得
x<0 0, 22 , 0≤ x<1 35 F ( x) = 34 , 1 ≤ x < 2 35 1, x≥2
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五、连续型随机变量ξ的概率密度为
A , | x |< 1 1 − x2 f ( x) = 0, | x |≥ 1
1.离散型随机变量 的分布为 离散型随机变量X的分布为 离散型随机变量 的分布为P(X=k)=bλk (k=1,2,…),则______成立 则 ABCD 成立 (A) b>0 (B) λ>0 (C) b=λ−1−1 (D) λ=(1+b)−1 b≠0, λ≠0 ≠ 0<bλ<1 , 0<bλ2<1 ⇒λ>0, b>0 ⇒A,B
3 C 13 22 P {ξ = 0} = 3 = C 15 35 1 2 C 2 C 13 12 P {ξ = 1} = = 3 35 C 15
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的分布律为: 故ξ的分布律为
2 1 C 2 C 13 1 P {ξ = 2} = = 3 35 C15
ξ
0
1
2
P 22/35 12/35 1/35 (2) F(x)=P{ξ≤x} 为不可能事件 当x<0时,{ξ≤x}为不可能事件 时 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=0
1
x 1 dt + ∫ 0dt =1 ⇒ F ( x ) = ∫ 0dt + ∫ −∞ −1 1 π 1 − x2
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综合得: 综合得
x < −1 0, 1 1 F ( x ) = + arcsin x , − 1 ≤ x ≤ 1 2 π 1, x≥1
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六、设ξ~N(3,22) 求:(1) P{2<ξ≤5}; P{−4<ξ<10}; P{|ξ|>2}; − P{ξ>3} (2)决定 使P{ξ>C}=P{ξ≤C} 决定C,使 决定 (1) P{2<ξ≤5} = Φ( 5 − 3 ) − Φ( 2 − 3 ) 解:
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(3){ξ<4}=φ {ξ≤5.5}={ξ=4}={(1,1)} {6≤ξ≤9}={ξ=6,8}={(1,2),(2,1),(1,3), ξ (3,1),(2,2)} {ξ>20}={ξ=22,24}={(5,6),(6,5),(6,6)} (4)P{ξ<4}=0 P{ξ≤5.5}=1/36 P{6≤ξ≤9}=5/36 P{ξ>20}=3/36=1/12
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1 2 −1 2
( 3) F ( x ) = ∫
x
−∞
f ( t )dt
x
当x<−1时 ⇒ F ( x ) = ∫− ∞0dt = 0 − 时 当−1≤x≤1时 时
⇒ F ( x ) = ∫ 0dt + ∫
−∞ −1
1 dt 2 −1 π 1− x
x
当x>1时 时
−1
= 1 + 1 arcsin x 2 π
2 2
=Φ(1)−Φ −0.5) Φ −Φ −Φ(− =Φ(1)−[1−Φ Φ − −Φ −Φ(0.5)] =0.5328
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P{−4<ξ<10}=0.9396 − P{|ξ|>2} =1−P{−2≤ξ≤2} =0.6977 − − P{ξ>3} =1−P{ξ≤3} =0.5 − (2) P{ξ>C}=1−P{ξ≤C}=P{ξ≤C} − ⇒P{ξ≤C}=0.5
试求: 系数 系数A 试求 (1)系数
(− 1 , 1 )内的概率 (2)ξ落在 − 2 2
(3)ξ的分布函数
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解: (1) ∫− ∞ f ( x )dx = 1 ⇒ ∫−1
−∞ +∞
1
⇒Aπ=1 π
A dx = 1 2 1− x
1 ⇒ A=
π
1 1 < ξ < 1} = ( 2) P { − ∫ π 1 − x 2 dx 2 2 =1 3
−1 k
∑
k=1
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λ + λ2 +L+ λn +L C−1 P{X = k}= ( )
λ +L+ λ +L C−1 ) = (−1+ 1+ λ +
2 n
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2!
n!
2!
n!
=(eλ−1)C−1 =1 ⇒C−1=(eλ−1)−1
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3.社会上定期发行某种奖券,每券1元,中奖 社会上定期发行某种奖券,每券 元 社会上定期发行某种奖券 某人每次购买奖券1张 率为p.某人每次购买奖券 张,如果没有中 则继续购买1张 直到中奖为止. 奖,则继续购买 张,直到中奖为止.则该人 中奖时,已购买奖券次数的分布为_____ 中奖时,已购买奖券次数的分布为 A (A)P(ξ=i)=p(1−p)i−1 (i=1,2,…) − − (B)P(ξ=i)=pi(1−p)n−i (i=1,2,…,n) − − i (C) P {ξ = i } = C n p i (1 − p ) n − i ( i = 1,2,..., n) − (D)P(ξ=i)=(1−p)pi−1 (i=1,2,…) − 次未中,第 次中 前i −1次未中 第i次中 次未中
P{X = k} = 1⇒bλ+bλ2+...+bλn+...=1 ∑ k=1 bλ(1 − λn ) ⇒ = 1 (n → ∞) 1− λ
∞
Hale Waihona Puke Baidu
− bλk<1⇒λ<1 ⇒bλ=1−λ ⇒C, D
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C λ ( k = 1,2 L) ,其中 2.已知 P { X = k } = 已知 其中 k! D 则 λ>0,则C=______ (B) eλ (A)e−λ (C)e−λ−1 (D)eλ−1
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4.以下数列中 AB 可以成为某一离散 以下数列中,______可以成为某一离散 以下数列中 型随机变量的分布律
1 ( 2 ) k −1 , k = 1,2,... (A) 3 3
0≤pk≤1 ≤
(B) ( 1 ) , k = 1,2,...
k
∑p
k
k
=1
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5 ( − 2 ) k −1 , k = 1,2,... (C) 3 3 1 , 1 , 1 , 1 ,... (D) 2 2 2 2
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件同类型的零件中有两件次品. 三、已知15件同类型的零件中有两件次品 已知 件同类型的零件中有两件次品 在其中取3次 每次取 每次取1件 作不放回抽样.以 在其中取 次,每次取 件, 作不放回抽样 以 表示取出次品的件数. ξ表示取出次品的件数 (1)求ξ的分布律 求 (2)求ξ的分布函数 求 的所有可能值为0,1,2 解: (1) ξ的所有可能值为
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当0≤x<1时,{ξ≤x}={ξ=0} 时 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=P{ξ=0}=22/35 ∪ 当1≤x<2时,{ξ≤x}={ξ=0}∪{ξ=1} 时 又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件 与 是两互斥事件 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=P{ξ=0}+P{ξ=1} =22/35+12/35=34/35 当x≥2时,{ξ≤x}为必然事件 时 为必然事件 ⇒F(x)=P{ξ≤x}=1