地球物理学基础作业答案(6-11)

V G G G 3G 2 2 dm 2 s cos dm 3 s 2 dm s sin dm....4 r r r 2 r3
如果去质量中心为坐标原点，由于对称关系，第二项为零，第三项的积分可写为
s dm x
2
2
y 2 z 2 dm

3. Calculate the gravity change in milligals per kilometer of northward displacement at latitude 45°.
答：重力值沿纬度方向上的变化率公式：
dg 0.81sin 2 0.81 sin( 2 45) 0.81mGal / km dL
所以
地球自转离心力所产生的位为
1 1 2r 2 V ' 2 ( x 2 y 2 ) 2 r 2 sin 2 [1 P2 (cos )] 2 2 3
7. 附加题 推导布格重力异常公式：BC=2πρGh
证明： 布格改正相当于把把测点处到海平面的区间看作为一个无穷大的水平板。我们将水平板看作为无穷大的圆柱体， 以O点为原点，按下图所示建立坐标系。其中圆柱体的高度为h 有圆柱体的对称性易知整个圆柱体对O点在x，y方向的引力分量 为零。在z方向的引力分量为：
其中r为与地心的距离，为余纬，为经度。解上式得：
V
n n GM a a n m m m 1 J n Pn cos Cn cosm S n sin m Pn cos ,..........1 r r r n2 m 1 n2
由于该球介质为均匀各向同性的，因而上述方程可简化为：
1 2 V r r 2 r r 4G ............(1)
解（1）式，有通解：
2 A V Gr 2 B.......2 3 r
考虑到边界条件： r 0, V 所以有：
7. 在均匀弹性半空间中，推导出Rayleigh波，并讨论Rayleigh波的基本性质（速 度特征、频散特征、质点位移特征等）。（20 points）
见书《固体地球物理学导论》P89-P91
8.（附加题）地震学中，面波频散绝大多数为正频散，试问群速度是否会发生负 频散的现象， 请自行查找资料进行回答。
如果只保留项，而忽略高级项，并将 P2 cos cos 2
GM GMa 2 J 2 V 3 sin 2 1 , 为地心纬度。 r 2r 3 2


3 2
1 2
带入上式得：
J 2 与地球形状有关，如图所示质量dm在p点所产生的引力位为： Gdm Gdm dV ,......2 1/ 2 l s2 s r 1 2 2 cos r r
4. 画图示意下列各种震动激发的弹性介质内质点运动：半无限空间中传播的 Rayleigh波、单层半空间中传播的LOVE波。并简述二者的异同点。
5. 简述球振型与环振型的异同。（10 points）
6. 假设一个均匀的弹性平板，覆盖在均匀弹性半无限空间上，其上下界面分 别为 z=0和z=h，求解此时Love波传播的频散方程，并讨论其频散特性。（20 points）
此式即为马古拉公式。 假定OP相对于x、y、z的方向余弦为l、m、n,于是 I Al 2 Bm 2 Cn 2 如果对于旋转轴是对称的，这时 A B
n 2 sin 2 1 l 2 m 2
代入马古拉公式，得到
J2 C-A Ma 2
V-
GM G 3 (C A)(3 sin 2 1) r 2r


G为万有引力常数，M为地球质量，a为地球赤道半径，为连带勒让德多项式， 为n级带谐系数，为n级m阶的田谐系数。 考虑到旋转轴的对称性，随经度的变化可以忽略不计，则（1）式可写成：
V
n GM a 1 J 2 P2 cos ... r r
BC 0
此时的布格异常为： g B g m g F g BP g n 183.5155mGal
，（其中g BP BC ）
6.推导马古拉（MacCullagh）公式和地球自转离心力所产生的位V。
证明： 地球物质在地球外面所产生的引力位满足拉普拉斯方程，即：
2V 1 2 V 1 V 1 2V 0 r 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin 2
答： A) 2 4 （a）：理论重力值：根据公式 g n g e 1 0.00527889 sin 0.000023462 sin 将 48.1195 o ， g e 978031.85mGal 代入上式，求得 g n 980900 . 91 mGal （b）：自由空间校正： FAC 0.308 h 0.308 487.9mGal 150.27mGal （c）：布格校正： BC 2 Gh 0 .0419 h 0 .0419 2 .67 487 .9 54 .58 mGal （d）：自由空间重力异常： g F g m g FA g n 33.24mGal ，(其中 g FA FAC , g m 980717.39mGal ) （e）：布格重力异常：g B g m g F g BP g n 87.84mGal ，(其中 g BP BC ) B) 此时,由于测点在海面。 因此，自由空间重力异常为：g F g m g FA g n 183.52mGal ，（式中g FA FAC , g m 980717.39mGal ） 此时的布格校正变为
若在北纬45°处，向北每走一公里重力增加0.81mGal. 若在南纬45°处，向北每走一公里重力减小0.81mGal.
4.Show that the gravitational potential UG inside a homogenous uniform solid sphere of radius R at a distance r from its center is given by （20 points）
3. Describe the difference between surface wave and body wave.（10 points）
答：（1）走时不同：面波速度小于体波速度，所以面波走时长，传播时间长，到达台站时间晚； （2）振幅不同：体波衰减快Amp ~ r-1，面波衰减慢Amp ~ r-1/2; （3）粒子振动方式不同：
UG 2 G（3R 2 - r 2） 3
证明： 根据题意有右图所示，r处的引力位球体内部质点的引力位满足泊松方程：
V 2 1 2 V 1 V r sin r 2 r r r 2 sin 1 2V 2 2 4G r sin 2
2014年地球物理学基础作业讲解 （6-11）
李园洁 2014/12/30
作业06
1、Translation 略 2、（1）面波：体波在地表衍生而成的次生波，沿两种介质的分界面而传播，一般沿地表传播，振幅
随深度增加而衰减，能量集中在介质分界面并沿分界面而传播，破坏性比较强。 （2）频散：面波速度随着周期而变化，称为面波频散。在记录中面波是很多波列的叠加， 随着到时的先后，各相位的周期逐渐改变。周期越大的速度越大为正频散，周期越大的速度 越小为倒频散除自由表面的瑞利面波无频散外，所有的地震面波都具有频散特性。 （3）群速度：：由于频散，各种频率的波以各自速度传播，相互叠加，形成合振动， 其振幅不断 变化，用其极大值速度表征其传播速度，该速度为群速度，即波群整体移动速度。波传播时能量与 振幅平方成正比，绝大部分能量集中于振幅极大处，因此，群速度也是能量和信号的传播速度。 （4）相速度：单色简谐波传播时，其同相面传播的速度。
1 1 1 1 y 2 z 2 dm x 2 z 2 dm y 2 x 2 dm A B C 2 2 2 2
Βιβλιοθήκη 其中A,B,C分别为相对于x，y，z轴的转动惯量。 （4）中第四项的积分为质量M相对于OP轴的转动惯量,以I表示，则（4）变为：
V GM G 3 A B C 3I r 2r
作业07
1.翻译
略
2.名词解释
（1）正常重力：地球可以近似地看作表面光滑的、内部质量分布均匀、赤道半径略大于极半径的旋转椭球体， 这样这个椭球体表面上各点的重力位便可根据其形状、大小、质量、密度、自转的角速度及各点所在位置等计 算出来。这种条件下得到的重力位就称为正常重力位，求得的相应重力值就称为正常重力值。 （2）自由空间校正：重力测量中的一种高程校正。重力测量是在地球的自然表面上进行的，为了能比较重力测 量的结果，应把地球自然表面上的重力观测值换算到大地水准面上。为此进行的重力观测值校正。 （3）布格重力异常：重力观测值经过自由空间校正和布格校正后与相应的参考椭球体面上的正常重力值之差称 为布格重力异常，得到的重力异常只反映地下物质密度不均匀状态。 （4）地形校正：重力测量中，每个测点上为消除地形起伏产生的重力影响所进行的校正。重力测量中经过地形 校正，校正后的重力值就相当于观测点周围完全是平坦地形的重力值。将测点周围起伏地表与该测点所在水准 面所包含的（无论高于或是低于测点的）物质在测点处产生的引力之铅锤分量加到观测重力值中。
4 r R, V GR 2 3 A0 B 2GR 2 ............(3) ............4
得到离球心距离r的引力位为：
UG 2 G 3R 2 r 2 3


得证。
5.Given the following data for a gravity station: Latitude:48.1195°N Longitude：12.1878°E Elevation:487.9m Observed gravity:980,717.39mGal A) Calculate the :i)theoretical gravity; ii)free air correction; iii)Bouguer correction; iv) free air gravity anomaly; and v)Bouguer gravity anomaly. B) Suppose that the gravity station in (a) had exactly the same latitude, longitude and observed gravity, but it was located on the surface of ocean, over a water depth of 487.9m.Recompute the free-air and Bouguer gravity anomalies.