2020届江苏高考数学(理)总复习讲义： 基本不等式及其应用

第三节基本不等式及其应用

1．基本不等式ab ≤

a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)；

(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2

＋b

2

2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2

4(简记：和定积最大)．

[小题体验]

1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤⎝⎛⎭⎫m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn

取得最大值1

8

.

答案：1

8

2．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 2

3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.

解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，

由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22

＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.

答案：25

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]

1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________．

解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9

x －1

＋1≥2(x －1)·9

x －1

＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．

答案：7

2．函数f (x )＝x ＋1

x 的值域为____________________．

答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

考点一 利用基本不等式求最值 (重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4

b 的最小值为________． 解析：∵a ＋b ＝1，

∴b a ＋4b ＝b a ＋4(a ＋b )b ＝b a ＋4a b ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23

时等号成立，

∴b a ＋4

b 的最小值为8. 答案：8

2．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9

x ＋4的最小值为________．

解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0，

所以f (x )＝x ＋

9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 (x ＋4)·9

x ＋4

－4＝2，

当且仅当x ＋4＝9

x ＋4

，即x ＝－1时取等号． 答案：2

3．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1(2x ＋y )2＋4

(x －2y )2

的最小值为________．

解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，

1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2

＝1t ＋4μ＝115

(t ＋μ)⎝⎛⎭⎫1t ＋4μ＝115⎝⎛⎭⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以1(2x ＋y )2＋4(x －2y )

2的最小值为3

5. 答案：3

5

[由题悟法]

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．

(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

[即时应用]

1．设0＜x ＜3

2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．

解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝9

2， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4时，等号成立．

又因为3

4∈⎝⎛⎭

⎫0，32， 所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为9

2. 答案：9

2

2．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x 2

2x

，

所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32

⎝⎛⎭⎫

x ＋1x ≥3，