平面向量基本定理

胜利彼岸
典 例 精 析
平面向量基本定理的应用 例3.已 知 点A，B 是 直 线 l上 任 意 两 点 ， 点 o是 直 线l 外 一 点 ，
求证：直线上 任意一P 点 ,存 在 实 数 t ,， 使 得OP 关 于 基 底 {OA,OB} 的 分 解 式 为 OP (1 t )OA OB. 并且满足上式的点 P 一定在直线 l上.
A. e1 e 2 和e1 e 2 C. e1 3e 2 和e 2 3e1 D. e 2 和e1 e 2
)
B. 3e1 2e 2 和4e 2 6e1
典
用基底表示向量 → → → → 例 【例 2】在▱ABCD 中，设AC＝ a，BD＝ b，试用 a ， 表示 AB ，BC. b
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中 ,分别取与x轴、y轴正方向 j 作基底. 同向的两个单位向量 i、
平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数x,y,使 a xi y j 则称（x，y）是向量 a的坐标
精 析
思路分析：画出平行四边形，以 a , b 作为基底， 利用向量加法的三角形或平行四边形法则转化 表示．
典 例 精 析
变式训练 . 设向量 e1， e 2是表示平面内所有向量 的一组基底，若向量 a e1 e 2 ,向量b e1 2e 2 ,且a // b ,则实数 的值为_______ .
i
x
平面向量的坐标表示 并求它们的坐标． 解：由图可知
j 例1．如图，用基底 i ，
分别表示向量a, b, c, d
y A2
a (2,3) 同理， b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2, 3)
知识点一
讨论探究
平ຫໍສະໝຸດ Baidu向量基本定理
a与 向 量 e1， e2共 起 点 ， 向 量 a是 同 一 平 面 内 任 一 向 量 探究1 向 量 e1与e 2 不 共 线 ， 探 究 向 量 a 与e1， e2 之 间 的 关 系 .
e 2同一平面内不共线的两 个向量，向量 a是这一平面 探究2 向量e1， 内的任一向量，探究向 量 a 与 e1， e 2 之间的关系 .
思路分析：以基底为出发点，应用平面向
量基本定理结合向量共线，推证结论.
O
A P B
O
A P
B
典 例 精 析
1 令t ,点P是AB的中点，则 2 1 OP （ OA OB ) 2
课本P97例2
胜利彼岸
巩 固 练 习
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内 所有向量基底的是 ( ) → → → → → → → → A.AB，DC B.AD，BC C.AD，CB D.AB，DA
a
B
A

O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
b
a
0
b
a
O

B A
B
b
O

与 b同向
夹角的范围：00 ,1800

a
180

a
与 b 反向

a
90 与 垂直， 记作 a b b
A
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
1.下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向 展 量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的 反 基底； ③零向量不可作为基底中的向量， 其中正确的说法是( ) 馈 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
拓 拓 展 反 馈
2.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋ (2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝________.
C
'
C
120
A
0
60

B
1. 平面向量基本定理
2.平面向量基本定理的应用
3.向量的夹角与垂直 4.转化思想方法及其应用
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
d 2i 3 j (2, 3)
a AA1 AA2 2i 3 j
b
j
O A
a
A1
c
i
1
x
d
例2.已 知i , j是 两 个 不 共 线 向 量 , 若 AB 2i 3 j , CB i j , CD 3i 2 j , 那 么 当 实 数 为 何 值 时 , A , B , D三 点 共 线 ?
二、数乘的运算律： ( a ) ( )a (1)结合律: (2)第一分配律: ( ) a a a
(3)第二分配律:
(a b ) a b
三、向量共线的充要条件： 1. 定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有
e2 e1
a
平移
a
e2
共同起点
e1
a OA OB
B
a
e1
A
分解
e2
O
OA 1 e1 OB 2 e2
1 1
a e e

2 2
1．平面向量基本定理
(1)定理： 如果向量 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使得a 1 e1 2 e 2 . (2)基底：不共线的向量 e1 , e 2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底．
y
y1 ), b （3）两个向量 a ( x1, ( x2 , y2 )
0 (0, 0)
a
j
O
A (x, y)
a
相等的等价条件： a b x1 x2且y1 y2 (4)如图以原点 O为起点作 OA a ，点A 的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同 (6) a x 2 y 2
2. 若 点o是 平 行 四 边 形 ABCD 的 中 心 ， AB 4e1 , BC 6e 2 , 则3e 2 2e1 _______ .
巩 固 练 习
3.已 知G为ABC 的 重 心 ， 设 AB a , AC b, 若AG
a b （ , R),则 _______; ________.
3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， → → → 若AD＝xAB＋yAC，则 x＝_______，y＝______.
知识点二、向量的夹角与垂直 : 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
叫做向量 a 和 b
特别的：
O

B
b
AOB OB b ,则
2. 定理说明 （1）基底 e1、 不共线，零向量不能做基底. e2
（2）定理中向量a 是任一向量，实数 1与 2唯一. （3） 1 e1 2 e 2 叫做向量 a关于基底 e1 , e 2 的分解式.
(4)基底给定时,分解形式唯一.
典
基底的概念
3a 2b, 试判断
向量c 与d 能否作为基底 .
且只有一个实数 ,使得.b a
2. 定理的应用： 1).证明 向量共线 AB ∥ BC 2).证明 三点共线: AB=λBC 又B为公共点 A,B,C三点共线 3).证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD 直线AB∥直线CD AB与CD不在同一直线上
利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注 意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线 重合,而两向量平行则含两向量重合.
d c， d 是否 思路分析：要判断 c ，能否作为基底，只需看 共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．
若向量 a， b不共线，且 c 2a b, d 例 【例1】
精 析
跟踪练习 . 若e1， e 2是表示平面内 所有向量的一组基底，则
典 例 精 析
胜利彼岸
下面的四组向量中不能 作为基底的 (
一、数乘的定义：
一般地,实数 与向量 a 的积是一个向量,记作: a
它的长度和方向规定如下:
(1) | a || || a |; (2)当 0 时, a 的方向与 a 的方向相同; 当 0 时,a 的方向相同 ; a 的方向与 (3)当 0 时,或 a 0 时, a 0
记作： a ( x, y)
成立
a
y
a
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)
注意：
j
O
i
x
平面向量的坐标表示 注意： （1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y) (2) i i 0 j (1, 0) j 0i j (0,1)