微积分在物理学中的应用

大学物理

课题名称：微积分在物理学中的应用

专业：数学与应用数学

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摘要

在大学物理学当中，许多问题都会用到微积分来解决。微积分是研究函数的的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极

限的基础上的。微积分最重要的思想就是用“微元”与“无限逼近”，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行，这就是微积分在各个领域中应用的优点。微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法。物理学更是接近于生活，因此微积分也经常应用于物理学当中。

关键词：微积分物理学微元

以前听过这样一句话“学好数理化，走遍天下都不怕”，可以知道，数理是不分家的。我们知道从物理到数学其实就是一个建模抽象的过程，同时也是一个化归的过程，也就是说，物理中的任何一个领域都必然地涉及数学,不存在与数学毫无关联的物理分支。所以，在物理学当中是处处用到数学知识的，在这里要说的就是微积分在物理学当中的应用。

微积分的方法是一种辨证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一。它把复杂的物理问题进行时间、空间上的有限次分割，在有限小的范围内进行近似处理，然后让分割无限的进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样在理论上得到精确的结果。微分就是在理论分析时，把分割过程无限进行下去，局部范围便无限小下去。积分就是把无限小个微分元求和。这就是微积分的方法。物理学就是要抓住主要方面而忽略次要方面，从而使得复杂问题简单化，因此在大学物理中应用微积分的方法，能够把看似复杂的问题近似成简单基本可研究的问题。

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。

微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念，物理定律就是直接以微积分的形式给出的，像我们学大学物理是一开始接触到的速度v=dr/dt,加速度a=dv/dt,转动惯量I= r2dm,安培定律df=Idl*B......

在用微积分解决物理问题时还要注意微元的选取，正确的微元选取有助于解题。在用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，有时积分元或积分变量选得好，计算就变得很方便和简单，否则就难于计算甚至求不出结果。

在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。

微元的选取不唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦。所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解

在这里举一个例子：用微积分的方法解决变力做功的问题变力作功的问题是热学和力学中的常见问题。例如，质点在恒力F的作用下，沿直线产生位移△r过程中的功A=F*△r。但对一般情况，质点沿曲线从a运动到b ，且质点运动过程中，作用于质点上力的大小和方向都可能不断改变，要计算F力对质点所做的功，可将运动曲线分成许多微小的线段dr，计算出F在每一小段上所做的元功，再对整个轨道上所有元功求和。由于dr 极小，所以每一小曲段都可看成直线段，而质点所受力可视为恒力。这样质点所做的功为dA=F*dr

变力所做的功就是全部元功的和，写成积分的形式就是：A= F*dr

因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为不变的量，先求微元再求和的方法，从而求出变力在整个物理过程中做的总功，使看似复杂的问题简单化。

微积分在大学物理中的应用不仅是数学工具的应用，还是一种思维方法的应用。把实际中复杂的物理问题化整为零，把它分割成较小时间或空间内的局部问题，然后再积零为整，把局部问题累积起来。但是，使用的微积分的时候，最重要的是要正确理解物理量微分形式的物理意义，只有这样才能从物理学的角度理解物理规律，形成物理观，正确地利用微积分这一利器解决好物理问题。

参考文献

[1]张礼近代物理学进展清华大学出版社，1997

[2]祝之光物理学高等教育出版社 2003

[3]朱荣华基础物理学高等教育出版社 2000