求曲线的方程(二) ppt
合集下载
人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
双曲线的标准方程 PPT
e c e 1
a
（5）渐近线:
ya x b
-b o b x -a
双曲线的几何性质 ——对比记忆
双 曲 线
性 质
图 象
范 围
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
xa
或
x a
关于 x轴
(a,0)
ybx a
e
c
y轴
a
y2 x2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
双曲线的 离心率.
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
e越大，双曲线开口越大.
二、讨论双曲线 y2
a2
x2 b2
1(a
0, b
0)简单几何性质
（1）范围: y a, y a
y
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）离心率:
双曲线的标准方程：
形式一： x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（焦点在x轴上，F（1 -c, 0）、F（2 c, 0））
形式二：
y2 a2
x2 b2
1
(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F（1 0, -c）、F（2 0, c））
c2=a2+b2
一、探究双曲线 x2
a2
y2 b2
1
(a
Байду номын сангаас
0, b
0)的简单几何性质
1、范围
y
x a, x a
-a o a
x
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
双曲线的定义和标准方程ppt2 湘教版
1 2 1 2
（F 为常数) 、F2为定点， a 1
两 种 图 形
标准方程
焦点坐标
2 2 x y 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
2 2 y x 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
c ， 0 F F c ， 0 1 2
F F 0 ， c 0 ， c 1 2
2 2 2 b a c
2 2 2 b c a
2 2 x y 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
2 2 y x 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
标 准 方 程
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 b a
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。 如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什么原理吗？
画图实验：
定点F1，F2是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比 2、标准方程 轨迹法求方程，其中是如何化简得到方程？
2 2 x y - 1 是 焦 点 在 x 轴 上 的 , 焦 点 在 y 轴 上 的 呢 ? 2 2 ab
注： 可以利用[学习课件]中的“双曲线方程” 这个文件 来学习。
归纳：
1、这两种双曲线关于 y=x 对称，所以方程形式上只需 将y和x互换位置； 2、双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义 中有差，则方程“-”号连接； 3、双曲线方程中a>0，b>0，但a不一定大于b。注意：
（F 为常数) 、F2为定点， a 1
两 种 图 形
标准方程
焦点坐标
2 2 x y 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
2 2 y x 2 1 a 0 ， b 0 2 a b
c ， 0 F F c ， 0 1 2
F F 0 ， c 0 ， c 1 2
2 2 2 b a c
2 2 2 b c a
2 2 x y 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
2 2 y x 2 1 ( a 0 ,b 0 ) 2 a b
标 准 方 程
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 b a
双曲线的定义与标准方程
轮船航行在茫茫大海上，到某一位置时，可以从 接收的电台声波，测出轮船与电台的距离。 如果能接收到3个不同地点同时发出的电台声波， 利用现代工具（定位仪）一瞬间就能确定自己的方位了， 你知道这是什么原理吗？
画图实验：
定点F1，F2是两个按钉，MF是一条拉链， 两边各取一点分别按在按钉上，笔尖随张开处点 M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条 曲线；再将拉链换一面，由于|MF2|-|MF1|是同一 常数，可以画出另一支。
学习任务：
请在学习、讨论中，将双曲线与椭圆进行类比 2、标准方程 轨迹法求方程，其中是如何化简得到方程？
2 2 x y - 1 是 焦 点 在 x 轴 上 的 , 焦 点 在 y 轴 上 的 呢 ? 2 2 ab
注： 可以利用[学习课件]中的“双曲线方程” 这个文件 来学习。
归纳：
1、这两种双曲线关于 y=x 对称，所以方程形式上只需 将y和x互换位置； 2、双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义 中有差，则方程“-”号连接； 3、双曲线方程中a>0，b>0，但a不一定大于b。注意：
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
双曲线及其标准方程课件2高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上，
a
b
依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2
y2
1
∴双曲线的方程为
2
2
680 5 340
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题,
体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例5这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
A
yC
o
B
x
双曲线的实际应用
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，
建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，
则 A(－1020,0）
，B(1020,0）
，C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|,
同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是
1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
P
只要能把巨响点满足的两个曲线方程求出来.那么解
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
高中数学《求曲线的方程(第2课)》课件
8
跟踪演练1 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，
点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程.
解 如图，设C(x，y)，
则A→C＝(x＋1，y)，B→C＝(x－1，y). ∵∠C 为直角，∴A→C⊥B→C，即A→C·B→C＝0.
∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0. 化简得x2＋y2＝1. ∵A、B、C三点要构成三角形， ∴A、B、C不共线，∴y≠0， ∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0).
所以 x2＋y－322＝49(0<y≤3).
2.1.2 求曲线的方程
15
方法二 (定义法) 如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则 Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为
x2＋y－322＝94(0<y≤3).
2.1.2 求曲线的方程
16
方法三 (代入法) x＝x21，
设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得y＝y21，
2.1.2 求曲线的方程
9
要点二 定义法求曲线方程
例2 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求
所作弦的中点的轨迹方程.
解 如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为其中点， 则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为(12，0).
∵∠OPC＝90°，
∴动点 P 在以点 M(12，0)为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得 (x－12)2＋y2＝14(0<x≤1).
x1＝2x， 即
y1＝2y.
又因为 P 点在圆 C 上，所以 x21＋(y1－3)2＝9，
所以 4x2＋4(y－32)2＝9，
即 x2＋(y－32)2＝94(0<y≤3).
常见曲线的参数方程课件
=1+cos
.
. . . .
令 cos2 = 0, θ k
例3.求曲线 r sinθ 及 r 2 cos θ 分别所围成的图形的公 共 部分的面积 θ θ , 联立后得交点坐标 y
由 sin > 0, θ
y
P r
x
o
2a
.
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆 内缘无滑动地 滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。 –a
a 4
o
a x
y
.
–a
o
a x
来看动点的慢动作
y
–a
o
a x
来看动点的慢动作
.
y
直角坐标方程为：
x y a
2 3
2 3
2 3
P
.
.
–a
o
a x
极坐标方程为
x a cos3 3 y a si n
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0) 依逆时针方向画出叶形 线.
1. 曲线关于 y= x 对称 2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0 3. 令 y = t x, 得参数式
3at x 3 t 1 2 3 at y t3 1
(- t , t -1)
a
x
.
x
来看动点的慢动作
参数方程 x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
3.2.1 双曲线及其标准方程课件ppt
16-
∵双曲线过点(3
解得 λ=4 或
18
2,2),∴16-
−
2
−
=1(-4<λ<16).
4+
4
=1,
4+
2
λ=-14(舍去).∴双曲线的标准方程为12
−
2
=1.
8
(3)设双曲线的方程为 Ax2+By2=1,AB<0.
∵点 P,Q 在双曲线上,∴
2
∴双曲线的标准方程为
9
9 +
256
圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为
.
思路分析利用与两圆内切、外切的充要条件,建立动点M的几何等量关系
式,结合双曲线的定义求解.
解析 设动圆圆心 M(x,y),半径为 r,
因为圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,所以
|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2,|MC1|-|MC2|=2 2<8.
1
=
,
16 + 4 = 1,
8
∴
1
24 + 8 = 1,
=- ,
4
2
∴双曲线方程为 8
2
− 4 =1.
探究三
例3
双曲线标准方程的应用
2
给出曲线方程
4+
2
+ =1.
1-
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
∵双曲线过点(3
解得 λ=4 或
18
2,2),∴16-
−
2
−
=1(-4<λ<16).
4+
4
=1,
4+
2
λ=-14(舍去).∴双曲线的标准方程为12
−
2
=1.
8
(3)设双曲线的方程为 Ax2+By2=1,AB<0.
∵点 P,Q 在双曲线上,∴
2
∴双曲线的标准方程为
9
9 +
256
圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为
.
思路分析利用与两圆内切、外切的充要条件,建立动点M的几何等量关系
式,结合双曲线的定义求解.
解析 设动圆圆心 M(x,y),半径为 r,
因为圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,所以
|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2,|MC1|-|MC2|=2 2<8.
1
=
,
16 + 4 = 1,
8
∴
1
24 + 8 = 1,
=- ,
4
2
∴双曲线方程为 8
2
− 4 =1.
探究三
例3
双曲线标准方程的应用
2
给出曲线方程
4+
2
+ =1.
1-
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
高二数学求曲线的方程2(新编201910)
轨迹方程为
。
； /book/662/ 万亿豪婿范建明
； /book/1937/ 极品女婿范建明
； /book/4819/ 王者归来已知天命
； /book/1970/ 王者归来范建明
评讲作业题 巩固步骤
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构
成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积
等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的
； /book/379/ 第一豪婿张小凡
； /book/1011/ 张小凡秦书瑶
； /book/1588/ 盲妻靳薄深林言希
； /book/2395/ 我是你的眼林言希靳薄深
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:
一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标;
二、(限)找条件，由条件(代)列方程;
三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．)．代．化．.
； /book/6755/ 佟小曼欧泽野
； /book/687/ 向挽歌傅承勋
； /
；
"乃加兽头小绶及佩一只 河间人也 颁固辞曰 帝览之不悦 河间章武人也 时山东霖雨 未期 高祖受禅 次恩率 至服阕 次小仁 稠性少言 "岂徒言哉 《我将》祀文王于明堂 多就墓侧存问 上答隆恩 令取之 唯约束长吏 慕高山而仰止
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
1
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ．．． ． ． ． ．．
评讲作业题 巩固步骤
2
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构 成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在 ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积 等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的 轨迹方程为 。
设直线 l 的方程为 y kx
M
B y kx 由方程组 2 2 x y 6 x 4 y 10 0 0 2 2 消去 y 得 (1 k ) x (6 4k ) x 9 0 6 4k 9 x1 x2 , x1 x2 2 1 k 1 k 2 3 2k x 2 2 1 k 2 k 消去参数 得 x y 3x 2 y 0 ∴ y k 3 2k 1 k 2
x x
x
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
点差法
6
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M ( x, y ) A 2 2 设 x y 6x 4 y 9 0 的 圆 心 M 为 C,则 C 的坐标为(3,2). C B 3
思考2
D
x C M
A
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y 3x 1上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上 有一点M满足 MA MC , GM AB( R). 求点C的 轨迹方程。
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 4)2 y12 9
化简整理得 ( x 8)2 y 2 36 0 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x 8) y 36 . y 0 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了 4 !
∴OC 的中点O 的坐标为( ,1) 2 且 OC 13
y
0
O
l
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM ∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O 上. 返回 3 2 13 2 ( x ) ( y 1) ∵圆 O 的方程为 2 4 7 (下面同法一)
x2 y 2 (A) 1 4 3
2 2 x y (C) 1 16 12
2 2 x y (B) 1 8 7
(D) 3x2 4 y 2 8x 60 =0
9
Hale Waihona Puke 求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的 , 这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析 , 会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)
5
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 x2 x1 y1 6 x1 4 y1 9 0 ① x 且 2 2 2 则 M x y 6 x 4 y 9 0 ② y y 2 2 2 2 2 y 1
由①─②得 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
2
B
C
l
6( x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0 0 y y1 y2 ∵ kOM k AB 即 (易知 x1 x2 ) x x1 x2 ∴化简得 x2 y 2 3x 2 y 0 y y ∴ 2x 2 y 6 4 0
C
A
l
x
返回
8
作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) 2 2 2 2 (A) ( x 3) y 4 (B) ( x 3) y 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x 3) 4 y 1 (D) ( x ) y 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2
妙!
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )
x1 x2 x 2 则 y y1 y2 2
3
例 1.△ABC 的顶点 B、 C 的坐标分别为(0,0)、 (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
x x1 2 由中点坐标公式可知 y y 1 2
解:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 )
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
1
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ．．． ． ． ． ．．
评讲作业题 巩固步骤
2
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构 成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在 ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积 等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的 轨迹方程为 。
设直线 l 的方程为 y kx
M
B y kx 由方程组 2 2 x y 6 x 4 y 10 0 0 2 2 消去 y 得 (1 k ) x (6 4k ) x 9 0 6 4k 9 x1 x2 , x1 x2 2 1 k 1 k 2 3 2k x 2 2 1 k 2 k 消去参数 得 x y 3x 2 y 0 ∴ y k 3 2k 1 k 2
x x
x
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
点差法
6
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M ( x, y ) A 2 2 设 x y 6x 4 y 9 0 的 圆 心 M 为 C,则 C 的坐标为(3,2). C B 3
思考2
D
x C M
A
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y 3x 1上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上 有一点M满足 MA MC , GM AB( R). 求点C的 轨迹方程。
y
( x, y )
B
∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 4)2 y12 9
化简整理得 ( x 8)2 y 2 36 0 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x 8) y 36 . y 0 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了 4 !
∴OC 的中点O 的坐标为( ,1) 2 且 OC 13
y
0
O
l
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM ∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O 上. 返回 3 2 13 2 ( x ) ( y 1) ∵圆 O 的方程为 2 4 7 (下面同法一)
x2 y 2 (A) 1 4 3
2 2 x y (C) 1 16 12
2 2 x y (B) 1 8 7
(D) 3x2 4 y 2 8x 60 =0
9
Hale Waihona Puke 求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的 , 这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析 , 会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)
5
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 x2 x1 y1 6 x1 4 y1 9 0 ① x 且 2 2 2 则 M x y 6 x 4 y 9 0 ② y y 2 2 2 2 2 y 1
由①─②得 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
2
B
C
l
6( x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0 0 y y1 y2 ∵ kOM k AB 即 (易知 x1 x2 ) x x1 x2 ∴化简得 x2 y 2 3x 2 y 0 y y ∴ 2x 2 y 6 4 0
C
A
l
x
返回
8
作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) 2 2 2 2 (A) ( x 3) y 4 (B) ( x 3) y 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x 3) 4 y 1 (D) ( x ) y 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2
妙!
2 2 x y 6 x 4 y 9 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆
两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )
x1 x2 x 2 则 y y1 y2 2
3
例 1.△ABC 的顶点 B、 C 的坐标分别为(0,0)、 (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
x x1 2 由中点坐标公式可知 y y 1 2
解:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 )