学具操作有效性策略的思考
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２１ ０ ２年 ２作有效牲策略的思考
文， 马 英
动手操作 是数 学学习活动的重要组织部分 ， 为学生提供 了 和高各等 于原来 圆柱 的什么？ 它
思考 、 交流 、 究的空间 ， 于学生经历 、 探 有利 体验 、 知识和方法 感悟
的形成过程 ， 获得数学活动经验 。但在教学过程中 ， 教师对学生的 操作活动关注 、 指导是否到位值得我们深思。
样， 运用转化 的方法 ， 让学生 动手操作 、 自主探究 、 发现联 系 、 出 得 结论 。 由于缺少学具 ， 以来都是教师拿 着教 具向学生演示 ， 但 长期
引导学生发现转化前后 的联 系 ， 推导出结论 的。虽然这个过 程比 道 圆柱 的体积和 长方 体一样 ， 以用 “ 可 底面积× ” 高 来计算 ， 我们再
呢？（ 显然在 等待 学生说 “ 底面积× ） 高”
底面积周长的 一 半（ 高）
一
图３
不可否认 ， 圆柱的体 积计算方法 不止一 种 ， 而且另 两种算法
生 ７我也认为 圆柱 的体积等于侧面积的一半× ： 底面半径 。
生 ８ 对 ， 也发现是这样 的…… ： 我
如果进行仔细推敲的话（ ＝／ 侧ｘ＝ｌ ｈｒ￣ｈｒ＇２－ｈ ①Ｖ Ｉ Ｓ ｒｌ Ｃ ｘ ｒ ｘ＝ｒ ｈＳ ， ２ －２ ＝ｒ ｔ ｒ
师： 同学们 ， 既然你们认为 圆柱 的体积 也和长方体一样 ， 以 多数学生 一样 ， 可 将拼成后 的长方体 平躺着摆放 。 用“ 底面积× ” 高 来计算 ， 能不能拿出学具 自己动手操作一下 ， 来验
证你们 的猜想是否成立呢？ 生动手操作 ， 同桌交 流。 并
师： 你们 发现 了什 么？
有变。 接近什么？
应该 是人的一种习惯性动作 ， 其原理或许 可以从行为心理学 的角 生 １我发现 圆柱可 以转化成一个近似的长方体 ， ： 它的体积没 度进行 剖析 ， 因为人 的内心 深处总是希望 自己行动的结果是安全 的， 而将一个长方体放在桌 面上最安全 的放法 就是将最大 的面朝 的姿势 比较好操作。在这 种摆法 的前提下 ， 学生普遍会发现“ 圆柱
生 ４ 我发现长方体的底面积 等于圆柱侧 面积 的一半 。 ：
（ 图 １ 如 ）
师不解 ， 走到生 ４前观察 ， 发现生 ４的长方体是 这样摆放 的 ： 放 已经成为 了一种规 定动作 。但是这种 规定动作学生却不知道 ，
师： ， 哦 原来你让长方体平躺下来 了。
生 ５ 我发 现长方体的高等于圆柱 的底 面半径 。 ： 试想 ， 如果 王老师 不 中途引 导学生 改变长方 体的摆法 ， 而是 师观察 生 ５的学具 ，发现生 ５的长方体 和生 ４的摆 法一样 ， 让他们继续交流下去 的话 ， 还会有 哪些意外 的生成 ？还会不 会有 也是平躺着 的。再环顾 四周 ， 发现绝 大多数 同学都是这样 的摆法 。 人 把新 增加 的长 方形 的面当作底 面 ，把底 面圆周长 的一半 当作
实践 ， 以使 圆柱体 积的计算公式得来更加顺畅 自 ， 而 ， 堂 活动材 料 ， 可 然 然 课 为什么在 老师手里操 作和在 学生手里操 作 ， 产生 的效
上居然生 出了诸多令人意想不到的小插曲。下面是我在王老 师的 果 就不一样 呢？ 问题的根源究竟在哪里？ 我无意识地摆 弄着学具 ，
课堂 中听到 的一个 片段 ：
重复了几遍将圆柱转化成长方 体的过程 。我发 现 ， 我居 然也 和大 我立 即做 了一个小 小的调查 ： 随机找 了几位教 师 ， 发给他们 每人一个 长方体 ，请 他们 随意放在桌 上 ，结 果居然是 惊人 的一 致——大 家都把最 大的面默认成底 面 ， 之与桌面紧密接触 ！这 将
（ 图 ２ 如 ）
高， 将这两者相乘也来求 出圆柱的体积 呢？ 如 图 ３很难保证没有 （ ）
这样的学生。
新增加 的长方形
面 （ 面积 ） 底
图 １
生 ６ 圆柱 的体积等于侧面积 的一半× ： 底面半径 。 师（ 有些意 外， 即很快反应过来 ） 随 那其他 同学 又有什么发 现
的体积等于侧面积的一半× 面半径 ” 底 也就一 点不奇怪 了。 以往 的课堂上 。 教师演示 的时候为什么就不 出现这样的意外 呢？那是 因为教 师在 操作演示 的时候 ， 了引导学 生发现图形转 为 化前后各部分之 间的关 系 ， 将转 化后的长方体原底 面朝 下竖着摆 他们在活动过程 中所表现 出来的状态 ， 完全是一种原生 态的 自然
较顺 利 。 但教师 介入 的成分太多 ， 不利于体现学生学 习的 自主性 。 来 回顾 一下推导过程 ……
为了解决这一 问题 ， 我校这学期特意为学生订 购 了一套推 导圆柱 体积公式 的学具。本 以为摒弃 了教师 的替 代 ， 由学生亲 自动 手 改
【 剖析】
课后 ， 老师一直 为那段意外 生成 的环节感 到纠结 ： 王 同样 的
流露。
师： 很好 。如果我们把 圆柱等分的份数越 多 ， 这个 图形就会越 下 。再者 ， 圆柱等分成一片一片后再拼插成长 方体 ， 将 也是按这样 生（ ： 齐）越接近长方体 。
生 ２我发现把 圆柱转化成长方体之后 ， 了两个长方形的面。 ： 多
生 ３ 我发现长方体的长等于圆柱 底面周 长的一半 。 ：
学生跟着老师 的方法操作 。 生 ８ 圆柱 的高等于长方体的高。 ： 师： 很好 ！你有重大发现 ！还有 呢？
【 案例 】
圆柱 的体积计 算公式 推导 ， 与平行 四边形 、 圆等平 面 图形 一
生 ９ 圆柱 的底面积等于长方体的底面积。 ：
师： 结合这两位同学的发现 ， 说看， 的体积可以怎样计算 ？ 说 圆柱 生（ ： 众） 圆柱 的体积等于底面积× 高。 师（ 如释重 负）通过刚才 的活动 ， ： 我们 验证 了之前 的猜想 ， 知
文， 马 英
动手操作 是数 学学习活动的重要组织部分 ， 为学生提供 了 和高各等 于原来 圆柱 的什么？ 它
思考 、 交流 、 究的空间 ， 于学生经历 、 探 有利 体验 、 知识和方法 感悟
的形成过程 ， 获得数学活动经验 。但在教学过程中 ， 教师对学生的 操作活动关注 、 指导是否到位值得我们深思。
样， 运用转化 的方法 ， 让学生 动手操作 、 自主探究 、 发现联 系 、 出 得 结论 。 由于缺少学具 ， 以来都是教师拿 着教 具向学生演示 ， 但 长期
引导学生发现转化前后 的联 系 ， 推导出结论 的。虽然这个过 程比 道 圆柱 的体积和 长方 体一样 ， 以用 “ 可 底面积× ” 高 来计算 ， 我们再
呢？（ 显然在 等待 学生说 “ 底面积× ） 高”
底面积周长的 一 半（ 高）
一
图３
不可否认 ， 圆柱的体 积计算方法 不止一 种 ， 而且另 两种算法
生 ７我也认为 圆柱 的体积等于侧面积的一半× ： 底面半径 。
生 ８ 对 ， 也发现是这样 的…… ： 我
如果进行仔细推敲的话（ ＝／ 侧ｘ＝ｌ ｈｒ￣ｈｒ＇２－ｈ ①Ｖ Ｉ Ｓ ｒｌ Ｃ ｘ ｒ ｘ＝ｒ ｈＳ ， ２ －２ ＝ｒ ｔ ｒ
师： 同学们 ， 既然你们认为 圆柱 的体积 也和长方体一样 ， 以 多数学生 一样 ， 可 将拼成后 的长方体 平躺着摆放 。 用“ 底面积× ” 高 来计算 ， 能不能拿出学具 自己动手操作一下 ， 来验
证你们 的猜想是否成立呢？ 生动手操作 ， 同桌交 流。 并
师： 你们 发现 了什 么？
有变。 接近什么？
应该 是人的一种习惯性动作 ， 其原理或许 可以从行为心理学 的角 生 １我发现 圆柱可 以转化成一个近似的长方体 ， ： 它的体积没 度进行 剖析 ， 因为人 的内心 深处总是希望 自己行动的结果是安全 的， 而将一个长方体放在桌 面上最安全 的放法 就是将最大 的面朝 的姿势 比较好操作。在这 种摆法 的前提下 ， 学生普遍会发现“ 圆柱
生 ４ 我发现长方体的底面积 等于圆柱侧 面积 的一半 。 ：
（ 图 １ 如 ）
师不解 ， 走到生 ４前观察 ， 发现生 ４的长方体是 这样摆放 的 ： 放 已经成为 了一种规 定动作 。但是这种 规定动作学生却不知道 ，
师： ， 哦 原来你让长方体平躺下来 了。
生 ５ 我发 现长方体的高等于圆柱 的底 面半径 。 ： 试想 ， 如果 王老师 不 中途引 导学生 改变长方 体的摆法 ， 而是 师观察 生 ５的学具 ，发现生 ５的长方体 和生 ４的摆 法一样 ， 让他们继续交流下去 的话 ， 还会有 哪些意外 的生成 ？还会不 会有 也是平躺着 的。再环顾 四周 ， 发现绝 大多数 同学都是这样 的摆法 。 人 把新 增加 的长 方形 的面当作底 面 ，把底 面圆周长 的一半 当作
实践 ， 以使 圆柱体 积的计算公式得来更加顺畅 自 ， 而 ， 堂 活动材 料 ， 可 然 然 课 为什么在 老师手里操 作和在 学生手里操 作 ， 产生 的效
上居然生 出了诸多令人意想不到的小插曲。下面是我在王老 师的 果 就不一样 呢？ 问题的根源究竟在哪里？ 我无意识地摆 弄着学具 ，
课堂 中听到 的一个 片段 ：
重复了几遍将圆柱转化成长方 体的过程 。我发 现 ， 我居 然也 和大 我立 即做 了一个小 小的调查 ： 随机找 了几位教 师 ， 发给他们 每人一个 长方体 ，请 他们 随意放在桌 上 ，结 果居然是 惊人 的一 致——大 家都把最 大的面默认成底 面 ， 之与桌面紧密接触 ！这 将
（ 图 ２ 如 ）
高， 将这两者相乘也来求 出圆柱的体积 呢？ 如 图 ３很难保证没有 （ ）
这样的学生。
新增加 的长方形
面 （ 面积 ） 底
图 １
生 ６ 圆柱 的体积等于侧面积 的一半× ： 底面半径 。 师（ 有些意 外， 即很快反应过来 ） 随 那其他 同学 又有什么发 现
的体积等于侧面积的一半× 面半径 ” 底 也就一 点不奇怪 了。 以往 的课堂上 。 教师演示 的时候为什么就不 出现这样的意外 呢？那是 因为教 师在 操作演示 的时候 ， 了引导学 生发现图形转 为 化前后各部分之 间的关 系 ， 将转 化后的长方体原底 面朝 下竖着摆 他们在活动过程 中所表现 出来的状态 ， 完全是一种原生 态的 自然
较顺 利 。 但教师 介入 的成分太多 ， 不利于体现学生学 习的 自主性 。 来 回顾 一下推导过程 ……
为了解决这一 问题 ， 我校这学期特意为学生订 购 了一套推 导圆柱 体积公式 的学具。本 以为摒弃 了教师 的替 代 ， 由学生亲 自动 手 改
【 剖析】
课后 ， 老师一直 为那段意外 生成 的环节感 到纠结 ： 王 同样 的
流露。
师： 很好 。如果我们把 圆柱等分的份数越 多 ， 这个 图形就会越 下 。再者 ， 圆柱等分成一片一片后再拼插成长 方体 ， 将 也是按这样 生（ ： 齐）越接近长方体 。
生 ２我发现把 圆柱转化成长方体之后 ， 了两个长方形的面。 ： 多
生 ３ 我发现长方体的长等于圆柱 底面周 长的一半 。 ：
学生跟着老师 的方法操作 。 生 ８ 圆柱 的高等于长方体的高。 ： 师： 很好 ！你有重大发现 ！还有 呢？
【 案例 】
圆柱 的体积计 算公式 推导 ， 与平行 四边形 、 圆等平 面 图形 一
生 ９ 圆柱 的底面积等于长方体的底面积。 ：
师： 结合这两位同学的发现 ， 说看， 的体积可以怎样计算 ？ 说 圆柱 生（ ： 众） 圆柱 的体积等于底面积× 高。 师（ 如释重 负）通过刚才 的活动 ， ： 我们 验证 了之前 的猜想 ， 知