与相似三角形有关的实际应用问题

与相似三角形有关的实际应用问题

江苏 王伟根

运用相似三角形的性质解决实际问题是中考的热点问题，近年来各地中考试题中都有出现.本文列举相关中考试题加以分析，供同学们学习参考.

一、求大楼的高度问题

例1（四川省成都市）如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来

同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米 分析：在同一时刻，物长与影长成正比，从而有BC ﹕AC ＝EF ﹕DF

由AC ＝0.5米，DF ＝15米，BC ＝1.6米，可求得大楼的高度.

解：根据题意画出图形，如图2所示，因在同一时刻，物长与影长成正

比，所以BC ﹕AC ＝EF ﹕DF ，所以1.6﹕0.5＝EF ﹕15，所以EF ＝48.

答：他所住楼房的高度为48米.

二、杂技表演中的相似问题

例2（浙江省嘉兴市）马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB 的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到

吊环上？为什么？

（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A

移到跷跷板PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 分析：本题是一道设计新颖的实际问题，具有创新性和探索性；解决此类

问题的关键是从实际问题中画出符合题意的数学图形：（1）根据实际问题画出图形如图3（1），只要求出QH 的长度，然后判断是否大于2米即可解决问题.（2）如图3（2），由QH ＝3.6米，并借助相似三角形的

性质可求得支点A 在PQ 上的位置.

解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．

当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt △PHQ ， ∵AB 为△PHQ 的中位线，AB ＝1.2（米） ∴QH ＝2.4＞2（米）． 故狮子能将公鸡送到吊环上．

（2）当支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（P A ＝31PQ ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上 如图，△P AB ∽△PQH ，

3

1

＝＝PQ PA QH AB ∴QH ＝3AH ＝3.6（米）. 三、其它实际问题

例3（河北省）如图4所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB ，PQ ，并且AB ∥PQ ．建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ，交PQ 于点N ．小亮从胜利街的A 处，沿着AB 方向前进，小明一直站在点P 的位置等候小亮．

（1）请你在图4中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此

时小亮所在位置（用点C 标出）；

（2）已知：MN ＝20 m ，MD ＝8 m ，PN ＝24 m ，求（1）中的点C 到胜利街口的距离CM ．

Q

A

B

P

Q

H

3（1）

A

B

P

Q

H

3（2）

图2

图3 P 图4

分析：此题设计与实际生活相联系，题型新颖.第（1）小题可通过连结PD 并延长得到点C.第（2）小题可利用相似三角形的有关知识求得.

解：（1）如图1所示，连结PD 并延长交AB 与点C ，则CP 为视线，点C 为所求位置．

（2）∵AB ∥PQ ，MN ⊥AB 于M ，

∴∠CMD ＝∠PND ＝90°． 又∵ ∠CDM ＝∠PDN ， ∴ △CDM ∽△PDN ，

∴ CM MD

PN ND

=． ∵MN ＝20m ，MD ＝8m ，∴ND ＝12m ．

∴

8

2412

CM =， ∴CM ＝16（m ）

． ∴点C 到胜利街口的距离CM 为16m ．

评注：运用相似三角形的性质解决实际问题，其关键是从实际问题中构建数学模型，并借助相应的数学知识加以解决，此类问题是中考的热点问题，应引起同学们的注意.

图5