(名师导学)高考数学总复习综合试题(二)理(含解析)新人教A版

（名师导学）高考数学总复习综合试题（二）理（含解析）新人

教A 版

理科数学 【p 325】 时间：60分钟 总分：100分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知复数z 满足()2－i z ＝－3＋4i ，则z 的共轭复数是( )

A ．－2＋i

B ．－2－i

C ．2＋i

D ．2－i

【解析】因为z ＝－3＋4i 2－i ＝()－3＋4i ()2＋i 5＝－10＋5i

5＝－2＋i ，所以z 的共轭复

数是－2－i .

【答案】B

2．实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，

则2x －y

的最小值为( )

A ．16

B ．4

C ．1

D .12

【解析】作出可行域，令z ＝x －y ， 当直线过(0，1)时，z min ＝－1， 故(2

x －y

)min ＝12

.

【答案】D

3．设M 是△ABC 内任一点，且AB →·AC →

＝23，∠BAC ＝30°，设△MBC，△MAC ，△MAB

的面积分别为x ，y ，z ，且z ＝1

2，则在平面直角坐标系中，以x ，y 为坐标的点(x ，y)的轨

迹图形是( )

【解析】由题意得bc cos 30°＝23⇒bc ＝4⇒S △ABC ＝12bc sin 30°＝12×4×1

2＝1，因此

x ＋y ＋z ＝1⇒x ＋y ＝1

2

，又x>0，y>0，所以选A .

【答案】A

4．已知函数f(x)＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f(x)的图象向左平移π

6个单位得到函数y ＝g(x)的图象，则下列是函数y ＝g(x)的减区间的是( )

A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3

，0B .⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4

，π4 C .⎝

⎛⎭

⎪⎫0，π3D .⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4

，π3

【解析】因为f(x)＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx－π3，所以由已知得，2πω＝2×

π2＝π，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x ，由2k π＋π

2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π

4

，k ∈Z ，故选D.

【答案】D

5．在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中北京大学2名，清华大学2名，复旦大学2名，并且北京大学和复旦大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )

A ．54

B ．45

C ．24

D ．72

【解析】由题意可分为两类：第一类是将3个男生每个大学各推荐1人，共有A 33A 3

3＝36种推荐方法；第二类是将3个男生分成两组分别推荐给北京大学和复旦大学，其余3个女生从剩下的大学中选，共有C 23A 22C 2

3＝18种推荐方法．故共有36＋18＝54种推荐方法．

【答案】A

6．在△ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2n ，BC ＝210，AB ＋AC ＝8，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，

AC 三边中点，将△BEF ，△AEG ，△GCF 分别沿EF 、EG 、GF 向上折起，使A 、B 、C 重合，记

为S ，则三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为( )

A.

29

2

π B ．233π C ．14π D ．9π 【解析】根据题意，三棱锥S －EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S －EFG 补充成长方体， 则对角线长分别为m ，n ，10，设长方体的长宽高分别为x ，y ，z, 则x 2

＋y 2

＝m ，y 2

＋z 2

＝10，x 2

＋z 2

＝n ， ∴x 2

＋y 2

＋z 2

＝5＋

m ＋n

2

，

∴三棱锥S －EFG 的外接球直径的平方为5＋

m ＋n

2

，

而m ＋n ＝4，

m ＋n 2≥⎝

⎛⎭

⎪⎫m ＋n 2

2

＝4，∴5＋m ＋n

2≥9，

∴三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为4π·9

4＝9π.

【答案】D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．已知向量a ，b 满足|a|＝5，|a －b|＝6，|a ＋b|＝4，则向量b 在向量a 上的投影为________．

【解析】由|a －b |＝6，|a ＋b|＝4分别平方得|a|2

－2a ·b ＋|b |2

＝36，|a |2

＋2a·b ＋|b|2

＝16，两式相减化简得a·b ＝－5，则b 在a 上的投影为

a·b

|a|

＝－1. 【答案】－1

8．某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为____________．