高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题

一、选择题1.

设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞

→n n n x y ，则n n z ∞

→lim （C ）

(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.

设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（A ）(A)当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数；(B)当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数；

(C)当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数；(D)当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.

3.

设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰

-=a a

dx x f I )(，则有（B ）

(A)0=I ;

(B)0>I ;

(C)0

(D)不确定.

4.设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，

⎰

-=x dt t f t x x F 0

22)()()(，当0→x 时，k

x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （B ）

(A)4；(B)3；(C)2；

(D)1.

5.

设⎪

⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0

0,),(22222

22y x y x y x y

x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（D

）

(A)不连续；

(B)连续但偏导数不存在；

(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.

6.

设k j b j i a

+-=+=2,，则以向量a

、b

为边的平行四边形的对角线的长度为（A ）(A)

11,3；

(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.

7.

设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2

22

2L xdx ydy

k

x y +=+⎰ （k 为常数），则有1

22

2L xdx ydy

x y ++⎰

（D

）

(A)等于k ；(B)等于k -；(C)大于k ；(D)不一定等于k ，与L 2的形状有关.

8.

设

∑

∞

=0

n n

n x a 在1=x 处收敛，则

∑

∞

=-+0

)1(1n n n

x n a 在0=x 处（D ）

二、设)(1

lim

)(2212N n x bx

ax x x f n n n ∈+++=-∞

→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1

x f x →)(lim 1

x f x -→都存在.

解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞

→∞

==，故2()f x ax bx =+；

当||1x >时，1()f x x

=

1121

1

1

,

1,lim ()1,

lim (),1

(),11,

1,1,lim (),

lim ()1,

1

x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -

+

-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪

=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。

三、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求

dx x f ⎰

π0

|)(|.

解：()()F x f x '=，()()cos 2F x F x x '=，()()cos 2F x F x dx xdx

'=⎰⎰2()sin 2F x x C =+，由(0)1F =知1C =

，()|cos sin |F x x x ==+，22|cos 2||cos sin |

|()||cos sin |

|()||cos sin |

x x x f x x x F x x x -===-

+40

4

|()|(cos sin )(sin cos )1)(12f x dx x x dx x x dx π

π

π

π=-+-=++=⎰

⎰⎰四、设}0,0|),,{(2223>≤≤---∈=Ωa z y x a R z y x ，S 为Ω的边界曲面外侧，计算

⎰⎰

+++++=

S

z y x dzdx

y a x dydz ax I 1

)(2222

解：1:S z =（下侧）

，222

2:0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩（上侧）， 20S =⎰⎰，

∴

1

2

1

1

1222()S

S S S S S S axdydz x a dzdx +⎛

⎫

=+==

++=-⎪⎪⎭

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

[]12

2()2()S axdydz x a ydzdx a x a dV +Ω

=

++=

++⎰⎰

43

14(32)323a x dV adV a πΩ

Ω

=

+==⋅=