可靠性工程概论03.pptx
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可靠性工程基础PPT课件
测试性通常用故障检测率FDR、故障隔离率FIR 和虚警率FAR度量。
可用性（availability）
可用性是产品可靠性、维修性和保障性三种 固有属性的综合反映，指产品处于可工作状态或 可使用状态的能力，也称为有效性。
使用可用性A0
工作时间
工作时间
A 工作时间 不能工作时间 工作时间 维修时间 延误时间
规定的程序和方法：按技术文件规定采用的维修 工作类型、步骤和方法。
维修性是产品的重要性能，对系统效能和使用维 修费用由直接的影响。
保障性（supportability）
保障性指产品设计特性和计划的保障资源满 足平时和战时使用要求的能力，称为保障性。
维修保障只是综合保障工程中的一个方面。 表征保障性的指标是平均延误时间MDT。
定义：产品在任务开始时可用的条件下，在规定 的任务剖面中，能完成规定功能的能力称为产品 的“（狭义）可信性”，简写为D。
产品在执行任务中的状态及可信性取决于与任务 有关的产品可靠性及维修性的综合影响。
可信性（dependability）
产品在规定的条件下，满足给定定量特 性要求的自身能力，称为产品的固有能 力C，一般就是产品的性能。
维修性（maintainability）
产品在规定条件下和维修时间内，按规定的 程序和方法进行维修时，保持或恢复到规定状态 的能力，称为维修性。
维修性指的是产品维修的难易程度，是产品设计 所赋予的一种维修简便、迅速和经济的固有属性。 包括修复性维修、预防性维修等内容。
规定的条件：维修的机构和场所及相应人员与设 备、设施、工具、备件、技术资料等资源条件。
2010.1.1
二、研究内1容2.、4创可新靠点性分析与设计
v三、产品可靠性工作流程与特性
可靠性概念ppt课件
可靠性研究的重点，在于延长正常工作期 的长度。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
故障率曲线分析
(c)损耗时期：零件磨损、陈旧，引起设备故障 率升高。如能预知耗损开始的时间，通过加强 维修，在此时间开始之前就及时将陈旧损坏的 零件更换下来，可使故障率下降，也就是说可 延长可维修的设备与系统的有效寿命。
作的产品数之比。λ(t)可由下式表示。
(t) 1 dNf (t)
Ns(t) dt
式中dNf (t)为d t时间内的故障产品数。
(7-6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设计、制造、加工、装配等质量薄弱环 节。早期故障期又称调整期或锻炼期， 此种故障可用厂内试验的办法来消除。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
故障率曲线分析
(b)正常工作期：在此期间产品故障率低而且 稳定，是设备工作的最好时期。在这期间内产 品发生故障大多出于偶然因素，如突然过载、 碰撞等，因此这个时期又叫偶然失效期。
故障率的单位一般采用10-5小时或10-9小时 (称10-9小时为1fit)。
故障率也可用工作次数、转速、距离等。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
故障率曲线分析
(c)损耗时期：零件磨损、陈旧，引起设备故障 率升高。如能预知耗损开始的时间，通过加强 维修，在此时间开始之前就及时将陈旧损坏的 零件更换下来，可使故障率下降，也就是说可 延长可维修的设备与系统的有效寿命。
作的产品数之比。λ(t)可由下式表示。
(t) 1 dNf (t)
Ns(t) dt
式中dNf (t)为d t时间内的故障产品数。
(7-6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设计、制造、加工、装配等质量薄弱环 节。早期故障期又称调整期或锻炼期， 此种故障可用厂内试验的办法来消除。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
故障率曲线分析
(b)正常工作期：在此期间产品故障率低而且 稳定，是设备工作的最好时期。在这期间内产 品发生故障大多出于偶然因素，如突然过载、 碰撞等，因此这个时期又叫偶然失效期。
故障率的单位一般采用10-5小时或10-9小时 (称10-9小时为1fit)。
故障率也可用工作次数、转速、距离等。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
可靠性工程PPT课件
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可靠性基本概念
可靠性 维修性 保障性 测试性 可用性 可信性
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可靠性（reliability）
产品在规定条件下和规定时间内，完成规定 功能的能力，简写为R。
规定的条件：使用时的环境条件、应力条件，维 护方法，储存时的储存条件，以及使用时对操作 人员技术等级的要求等。
授课章节: 目的要求:
第九章 可靠性工程
（第一节至第二节）
• 掌握可靠性分析方法
重点难点:
可靠性的概念及可靠性分析方法
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第一节 可靠性与可靠性工程
一、可靠性的定义
可靠性是指在给定的条件下和规定的时 间内，零部件、元件、产品或系统所完成 规定功能的概率。
“完成规定功能”：是产品或系统的工 作目的或使用性能。
MDT
维修延误的总时间
故障次数
DT n
显然，MDT愈小愈好。它反映了产品使用者的管理水平， 以及提供资源的能力。
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测试性（testability）
产品能及时并准确地确定其状态（可工作、不 可工作或性能下降），并隔离其内部的一种设计 特性，称为测试性，简写为T。
测试性与维修性及可靠性密切相关，具有良好测 试性的设备将减少故障检测及隔离时间，进而减 少维修时间，改善维修性。通过采用测试性好的 设备可及时检测出故障，排除故障，进而提高产 品的使用可靠性。
“规定时间”：产品或系统的任务时间， 通常以产品使用的寿命周期来表示。
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产品质量与可靠性
产品质量
性可安适经时
品质理念之可靠性工程培训课件ppt(61张)
（它表示在时刻t后的一个单位时间内,产品的故障数与总产品
数之比,是时间的函数）。它是累积故障分布函数的导数。
f(t)=F(t)
如果已知故障数据，且产品数N 相当大，则可求出每个时间间 隔Δt内的故障数Δr(t)，从而得到平均经验故障密度
fˆ(t)= Δr(t) = ΔF(t) N0Δt Δt
故障密度是表示故障概率分布的密集程度，或者说是故障概 率函数的变化率
累计 失效 百分 比
B
A
0 500
4500 5000 h
主要由于设计、制造、贮存、运输等形成的缺陷，以及调试、跑 合、起动不当等人为因素所造成的。
失效主要由非预期的过载、误操作、意外的天灾以及一些尚不清 楚的偶然因素所造成。
由于产品已经老化、疲劳、磨损、蠕变、腐蚀等所谓有耗损的原 因所引起的。
4、R(∞)＝0，F(∞)＝1这表示只要时间充分长，产品终究都会失效； 5、0≤R(t)≤1，0≤F(t)≤1,即可靠度和故障分布函数之值介于0和1
之间。
可靠度R(t)、故障分布函数F(t)与时间t的关系
F(t) F(t)
R(t)
0
F(t)、R(t)与t的关系
t
（二）故障分布密度函数
时刻t后单位时间发生故障的概率，并称其为故障分布密度函数
(t) liF m (t t) F (t)•1 F '(t)f(t)
t 0
t
R (t) R (t) R (t)
设在t= 0时有N 0个产品投试，到时刻t已有r(t)个产品失效，尚有 N 0-r(t) 个产
品在工作。再过Δt时间，即到t +Δt时刻， 有Δr(t)=r(t+Δt)-r(t) 个 产品失效。产品在时刻t前未失效而在时间（t, t +Δt）内失效率为
数之比,是时间的函数）。它是累积故障分布函数的导数。
f(t)=F(t)
如果已知故障数据，且产品数N 相当大，则可求出每个时间间 隔Δt内的故障数Δr(t)，从而得到平均经验故障密度
fˆ(t)= Δr(t) = ΔF(t) N0Δt Δt
故障密度是表示故障概率分布的密集程度，或者说是故障概 率函数的变化率
累计 失效 百分 比
B
A
0 500
4500 5000 h
主要由于设计、制造、贮存、运输等形成的缺陷，以及调试、跑 合、起动不当等人为因素所造成的。
失效主要由非预期的过载、误操作、意外的天灾以及一些尚不清 楚的偶然因素所造成。
由于产品已经老化、疲劳、磨损、蠕变、腐蚀等所谓有耗损的原 因所引起的。
4、R(∞)＝0，F(∞)＝1这表示只要时间充分长，产品终究都会失效； 5、0≤R(t)≤1，0≤F(t)≤1,即可靠度和故障分布函数之值介于0和1
之间。
可靠度R(t)、故障分布函数F(t)与时间t的关系
F(t) F(t)
R(t)
0
F(t)、R(t)与t的关系
t
（二）故障分布密度函数
时刻t后单位时间发生故障的概率，并称其为故障分布密度函数
(t) liF m (t t) F (t)•1 F '(t)f(t)
t 0
t
R (t) R (t) R (t)
设在t= 0时有N 0个产品投试，到时刻t已有r(t)个产品失效，尚有 N 0-r(t) 个产
品在工作。再过Δt时间，即到t +Δt时刻， 有Δr(t)=r(t+Δt)-r(t) 个 产品失效。产品在时刻t前未失效而在时间（t, t +Δt）内失效率为
可靠性工程基础知识 ppt课件
可靠性预测 受物理规律制约，相对容易
开发或升级后失效率随时间 单调下降 可靠性基本不受影响
无法由物理知识预测
冗余设计
故障处理的一般手段，适当 冗余可以提高可靠性，大量 冗余受共因因素影响
采用冗余设计应保证冗余软 件的高度独立性，否则无助 于可靠性提高
-12- ppt课件
12
基本概念（续）
测试期
稳定期
ppt课件
14
目录
一．基本概念 二．可靠性工程发展历史 三．可靠性分析方法 四．可靠性分配方法 五．结语
ppt课件
15
可靠性工程发展历史
开始萌芽期（20世纪30～40 年代） 可靠性概念初步形成，这一阶段的活动主要集中在德国和 美国。1943年美国成立了电子管研究委员会专门研究电子 管的可靠性问题。
➢ 质量管理更多考虑“今天质量”，可靠性侧重于考虑“明 天的质量”。质量概念没有考虑时间因素，控制的是产品 出厂时是否合格以及质保期内故障情况，对于质保期之后 发生故障不能保证，可靠性问题关注产品的寿命、疲劳、 老化。
➢ 质量管理和可靠性管理虽有侧重点或一些不同，但两者都
是提高产品质量的重要手段，都是不可缺少的。
➢难以平衡多个制约条件
➢如何从系统级分配到设备级
➢对于PSA模型中没有模化的 设备怎么办
➢分配结果有说服力
ppt课件
22
可靠性分析方法（续）
故障树分析法示例
ppt课件
23
可靠性分析方法（续）
GO法的一般分析流程为：
定义系统
首先定义系统来确定系统的功能和系统 所包含的部件并给出系统的结构图，之后确
确定边界
定系统边界，也就是确定系统的输入、输出 以及与其他系统的接口，而后确定成功准则，
开发或升级后失效率随时间 单调下降 可靠性基本不受影响
无法由物理知识预测
冗余设计
故障处理的一般手段，适当 冗余可以提高可靠性，大量 冗余受共因因素影响
采用冗余设计应保证冗余软 件的高度独立性，否则无助 于可靠性提高
-12- ppt课件
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基本概念（续）
测试期
稳定期
ppt课件
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目录
一．基本概念 二．可靠性工程发展历史 三．可靠性分析方法 四．可靠性分配方法 五．结语
ppt课件
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可靠性工程发展历史
开始萌芽期（20世纪30～40 年代） 可靠性概念初步形成，这一阶段的活动主要集中在德国和 美国。1943年美国成立了电子管研究委员会专门研究电子 管的可靠性问题。
➢ 质量管理更多考虑“今天质量”，可靠性侧重于考虑“明 天的质量”。质量概念没有考虑时间因素，控制的是产品 出厂时是否合格以及质保期内故障情况，对于质保期之后 发生故障不能保证，可靠性问题关注产品的寿命、疲劳、 老化。
➢ 质量管理和可靠性管理虽有侧重点或一些不同，但两者都
是提高产品质量的重要手段，都是不可缺少的。
➢难以平衡多个制约条件
➢如何从系统级分配到设备级
➢对于PSA模型中没有模化的 设备怎么办
➢分配结果有说服力
ppt课件
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可靠性分析方法（续）
故障树分析法示例
ppt课件
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可靠性分析方法（续）
GO法的一般分析流程为：
定义系统
首先定义系统来确定系统的功能和系统 所包含的部件并给出系统的结构图，之后确
确定边界
定系统边界，也就是确定系统的输入、输出 以及与其他系统的接口，而后确定成功准则，
可靠性工程
1、可靠度
• 可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完 成规定功能的概率”。
显然，规定的时间越短，产品完成规定的功能 的可能性越大；规定的时间越长，产品完成规 定功能的可能性就越小。
▪ 可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度函数， 记作R(t)
R(t)是一递减函数
可靠度函数可写成：
R(t)=P(T>t)
(2)失效率曲线 (浴盆曲线)
•
产品的可靠性取决于
产品的失效率，根据长期
以来的理论研究和数据统
计，发现由许多零Hale Waihona Puke 构成的机器或系统，其失效率
曲线的典型形态如图2.4所
示，由于它的形状与浴盆
的剖面相似，所以又称为
浴盆曲线(Bathtub—
curve)，它明显地分为三
段，分别对应元件的三个
不同阶段或时期。
测 风险
安全性 监测性
现代设备管理的基础
概论
可靠性
可靠性的基本概念、分析方法、设计
课程内容
安全管理 常用的安全分析方法
风险管理
常用的风险分析方法
可靠性—可靠性的基本理论
• 概述 • 可靠性工程的组成 • 基本概念 • 数学基础
可靠性—可靠性的基本理论
• 概述 • 可靠性工程--reliability engineering • 为了达到元件或系统的可靠性要求而进行的一套设计、研制、生产和试验 工作。 • 提高系统（或产品或元器件）在整个寿命周期内可靠性的一门有关设计、 分析、试验的工程技术。系统可靠性是指在规定的时间内和规定条件（如 使用环境和维修条件等）下能有效地实现规定功能的概率。系统可靠性不 仅取决于规定的使用条件等因素，还与设计技术。有组织地进行可靠性工 程研究，是20世纪50年代初从美国对电子设备可靠性研究开始的。到了 60年代才陆续由电子设备的可靠性技术推广到机械、建筑等各个行业。后 来，又相继发展了故障物理学、可靠性试验学、可靠性管理学等分支，使 可靠性工程有了比较完善的理论基础。
可靠性工程培训教材_PPT幻灯片
·对产品性能、精度、寿命、可靠性、安全性影响较大的关键工序； ·工艺上有特殊要求，对下面的工序影响较大者； ·生产不良品较多的工序。
三、工序能 力的调 查
工序能力的调查主要是了解控制特性值的波动情况，找出影响工序品质的主要 因素和具体原因，为进行工序设计、编制工艺规程、制定作业指导书、设立管 理点、决定产品检验方式等提供资料和依据。
管理
人 激励 材料 机器和机械化 现代信息方法 产品规格要求
QE所关注的重点
企业必须具有高度的灵活性
管理注意力集中于品质成本领 域
品质管理部门必须安排整个生 产过程的品质检验方法以确保 最终品质
知识经济的发展产生了对系统 工程师的需求
突出提高品质教育和提高品质 意识
出于对生产成本和品质要求的 考虑，材料要进行精确的控制
提高设备的利用率与有效产出 品率
数据处理方法能提供有用、准 备、及时的预测信息
产品安全性和可靠性
QE的工作事项举例 新产品和改进产品中所用的材料和工艺方法的 试验、验证和可行性分析报告
生产中的废品和返修品对品质成本影响程度的 监控与分析
当出现偏离品质标准时，如何分配各相关部门 负责采取措施？
如何设计、建立和运转各种各样的体系，保证 达到预期的目标；
。其目的是保证工序稳定地生产合格产品。其控制对象是工序形成的特性值的 波动范围(即6σ)和特性围和中心位置的主要因素，就能达到控制工序品质的目 的。
二、品质控 制点的 设置
产品品质取决于每道工序的品质，其中某些工序对产品品质的影响尤为突出。
因此，对于一些关键、复杂、难加工的工序，可将其设置为工序品质控制点， 重点加以控制，工序品质控制点设置的原则是：
强化员工工作的成就感，承认他们对实现公司 品质目标所作的贡献；
三、工序能 力的调 查
工序能力的调查主要是了解控制特性值的波动情况，找出影响工序品质的主要 因素和具体原因，为进行工序设计、编制工艺规程、制定作业指导书、设立管 理点、决定产品检验方式等提供资料和依据。
管理
人 激励 材料 机器和机械化 现代信息方法 产品规格要求
QE所关注的重点
企业必须具有高度的灵活性
管理注意力集中于品质成本领 域
品质管理部门必须安排整个生 产过程的品质检验方法以确保 最终品质
知识经济的发展产生了对系统 工程师的需求
突出提高品质教育和提高品质 意识
出于对生产成本和品质要求的 考虑，材料要进行精确的控制
提高设备的利用率与有效产出 品率
数据处理方法能提供有用、准 备、及时的预测信息
产品安全性和可靠性
QE的工作事项举例 新产品和改进产品中所用的材料和工艺方法的 试验、验证和可行性分析报告
生产中的废品和返修品对品质成本影响程度的 监控与分析
当出现偏离品质标准时，如何分配各相关部门 负责采取措施？
如何设计、建立和运转各种各样的体系，保证 达到预期的目标；
。其目的是保证工序稳定地生产合格产品。其控制对象是工序形成的特性值的 波动范围(即6σ)和特性围和中心位置的主要因素，就能达到控制工序品质的目 的。
二、品质控 制点的 设置
产品品质取决于每道工序的品质，其中某些工序对产品品质的影响尤为突出。
因此，对于一些关键、复杂、难加工的工序，可将其设置为工序品质控制点， 重点加以控制，工序品质控制点设置的原则是：
强化员工工作的成就感，承认他们对实现公司 品质目标所作的贡献；
可靠性系统工程PPT
设计目标范围 … …… …… …… …… …
……………
项目增长
实施要素
01 横向监控
工作项目之间的内在逻辑关系
02 纵向监控
整个供应链的要求监控
03 监控主体
政府/企业；企业/供应商；用户/产品
04 监控方法
定性检查单/定量跟踪线条
25
规范体系 Standard
特性
安全性 保障性 可靠性 测试性 维修性
550K
寿命周期 500K 费用($)
450K
400K
… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … …………………………………………………………………………………………………………………………
主任设计师确认 军代表监控
主任师，T1专家 系统确定，4所会签，主
任设计师确认
预计结果满足整机 对系统的要求
否 问题分类
改进建议表
报质量部 是
分析，改进
纳入监控流程
建议改进措施归零表
系统基本可靠性预计报告
实施要素
什么部门、什么人？ 什么时候？ 做什么工作？ 用什么方法/工具？ 向谁要什么输入？ 得到什么输出？ 输出给谁用？
实施要素
可靠性技术（续）
可靠性增长试验 可靠性强化试验 环境应力筛选试验 寿命试验 加速寿命试验 加速退化试验 可靠性鉴定试验 可靠性验收试验 可靠性评估
测试性技术
故障诊断设计 故障预测设计
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P(n) P(0) Pn
式中
P－1步转移概率；
Pn－n步转移概率； n－转移步数(次数)；
P(0)－系统初始状态向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[ P1(n), P2(n),…] Pi(n) －n步转移后系统处于i状态的概率
3.3 n步转移后系统各状态概率
例：如下图，已知P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等 各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率
解：依次求得 n=1，n=2， n=3，n=5时的状态矩阵
P(1) P(0)P 1
P(n) ij
Pk l ij
P(k iv
)
P(l) vj
v
式中n=k+l,vE(状态空间)
此式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先 经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率
(此处v也可理解为从i到j的通道)。
3.3 n步转移后系统各状态概率
上式中，若令k=1,l=1,由 Pij (i, j E)可决定 Pi(j2，)
3.2 状态转移图
由此可写出系统的转移矩阵为:
转移矩阵Pij也表示事件ei 发生的条件下，事件ej发生的 条件概率：Pij=P(ej|ei) ；
矩阵 P:行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由 小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
例2
对于一可修系统，失效率和修复率λ、μ为常 数，试画出状态转移图：
P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E
则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。
3.1 马尔可夫过程
齐次马尔可夫过程
如果对任意t,u≥0,均有 P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t) i,j∈E
时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此 概率可以忽略不计。
3.1 马尔可夫过程
可修复系统的可靠性特征量
a) 瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t); b) 稳态可用度A、不可用度Q； c) MTBF、MTTFF(首次故障前平均时间)、MTTR(平均
修复时间) 。
3.2 状态转移图
例1
如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1－正常； e2－故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5, 则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5；反过程，如机器处 于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5， P21=3/5(维修度M());则修不好仍处于e2状态的概率是 P22=1－P21=2/5.
e1——正常； e2——故障。
3.2 状态转移图
由此可写出：
此时转移矩阵P也称为微系数矩阵
通常令Δt=1,则有
P
1
1
由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。
3.3 n步转移后系统各状态概率
P 设系统初始状态是 i n步转移 j的概率
(n) ，由切普
ij
曼—柯尔莫哥洛夫方程，Pi(jn) 可表示为：
即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。 若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定 所有的转移概率。
若用矩阵表示n步转移概率，即 P(n) [Pi(jn)] ，则 有：
P P P (n)
kl
P 转移矩阵
3.3 n步转移后系统各状态概率
一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转 移后系统各状态的概率。公式如下：
与始点u 无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。
3.1 马尔可夫过程
转移矩阵
Pij(t)称为从状态i到状态j的转移函数，由转移函数的全 体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩 阵为n×n阶方阵，可写为：
P11 P12 P1n
P
P21
P22
P2
n
P n1
Pn2
P nn
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程定义
马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。 简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t> t0时的状 态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程的数学描述
设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一 个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有:
回顾复习
维修度M(τ)
对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和 规定的时间（0, τ）内完成修复的概率。
修复率μ(τ)
修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时 刻后的单位时间内完成修复的概率。
有效度A(t)
可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。
第三章
可修复系统的可靠性
0
1 / 2 /
2 5
1/ 2 3 / 5
0.5
0.5
P(2) P(0) P2 P(0) P P P(1) P 1/ 2
1/
2
1/ 2Байду номын сангаас/
2 5
1/ 3/
2 5
0.45
0.55
P(3) 0.445 0.555
P(5) 0.44445 0.55555
第三章 可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程 3.2 状态转移图 3.3 n步转移后系统各状态概率 3.4 单部件可修系统 3.5 串联可修系统 3.6 并联可修系统
引言
可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理 可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。 如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可 以借助马尔可夫过程来描述。
3.1 马尔可夫过程
齐次马氏过程的性质
n
0 Pij 1; Pij 1 j 1
可以证明，对系统寿命以及故障后的修 复时间均服从指数分布时，则系统状态变 化的随机过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可 夫过程。
3.1 马尔可夫过程
三条假设
a) ，为常数(即寿命和维修时间服从指数分布) b) 部件和系统取正常和故障两种状态。 c) 在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同
式中
P－1步转移概率；
Pn－n步转移概率； n－转移步数(次数)；
P(0)－系统初始状态向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[ P1(n), P2(n),…] Pi(n) －n步转移后系统处于i状态的概率
3.3 n步转移后系统各状态概率
例：如下图，已知P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等 各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率
解：依次求得 n=1，n=2， n=3，n=5时的状态矩阵
P(1) P(0)P 1
P(n) ij
Pk l ij
P(k iv
)
P(l) vj
v
式中n=k+l,vE(状态空间)
此式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先 经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率
(此处v也可理解为从i到j的通道)。
3.3 n步转移后系统各状态概率
上式中，若令k=1,l=1,由 Pij (i, j E)可决定 Pi(j2，)
3.2 状态转移图
由此可写出系统的转移矩阵为:
转移矩阵Pij也表示事件ei 发生的条件下，事件ej发生的 条件概率：Pij=P(ej|ei) ；
矩阵 P:行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由 小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
例2
对于一可修系统，失效率和修复率λ、μ为常 数，试画出状态转移图：
P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E
则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。
3.1 马尔可夫过程
齐次马尔可夫过程
如果对任意t,u≥0,均有 P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t) i,j∈E
时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此 概率可以忽略不计。
3.1 马尔可夫过程
可修复系统的可靠性特征量
a) 瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t); b) 稳态可用度A、不可用度Q； c) MTBF、MTTFF(首次故障前平均时间)、MTTR(平均
修复时间) 。
3.2 状态转移图
例1
如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1－正常； e2－故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5, 则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5；反过程，如机器处 于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5， P21=3/5(维修度M());则修不好仍处于e2状态的概率是 P22=1－P21=2/5.
e1——正常； e2——故障。
3.2 状态转移图
由此可写出：
此时转移矩阵P也称为微系数矩阵
通常令Δt=1,则有
P
1
1
由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。
3.3 n步转移后系统各状态概率
P 设系统初始状态是 i n步转移 j的概率
(n) ，由切普
ij
曼—柯尔莫哥洛夫方程，Pi(jn) 可表示为：
即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。 若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定 所有的转移概率。
若用矩阵表示n步转移概率，即 P(n) [Pi(jn)] ，则 有：
P P P (n)
kl
P 转移矩阵
3.3 n步转移后系统各状态概率
一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转 移后系统各状态的概率。公式如下：
与始点u 无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。
3.1 马尔可夫过程
转移矩阵
Pij(t)称为从状态i到状态j的转移函数，由转移函数的全 体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩 阵为n×n阶方阵，可写为：
P11 P12 P1n
P
P21
P22
P2
n
P n1
Pn2
P nn
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程定义
马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。 简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t> t0时的状 态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程的数学描述
设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一 个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有:
回顾复习
维修度M(τ)
对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和 规定的时间（0, τ）内完成修复的概率。
修复率μ(τ)
修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时 刻后的单位时间内完成修复的概率。
有效度A(t)
可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。
第三章
可修复系统的可靠性
0
1 / 2 /
2 5
1/ 2 3 / 5
0.5
0.5
P(2) P(0) P2 P(0) P P P(1) P 1/ 2
1/
2
1/ 2Байду номын сангаас/
2 5
1/ 3/
2 5
0.45
0.55
P(3) 0.445 0.555
P(5) 0.44445 0.55555
第三章 可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程 3.2 状态转移图 3.3 n步转移后系统各状态概率 3.4 单部件可修系统 3.5 串联可修系统 3.6 并联可修系统
引言
可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理 可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。 如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可 以借助马尔可夫过程来描述。
3.1 马尔可夫过程
齐次马氏过程的性质
n
0 Pij 1; Pij 1 j 1
可以证明，对系统寿命以及故障后的修 复时间均服从指数分布时，则系统状态变 化的随机过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可 夫过程。
3.1 马尔可夫过程
三条假设
a) ，为常数(即寿命和维修时间服从指数分布) b) 部件和系统取正常和故障两种状态。 c) 在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同