可靠性工程概论03.pptx

P(n) ij
Pk l ij
P(k iv
)
P(l) vj
v
式中n=k+l,vE(状态空间)
此式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先 经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率
(此处v也可理解为从i到j的通道)。
3.3 n步转移后系统各状态概率
上式中，若令k=1,l=1,由 Pij (i, j E)可决定 Pi(j2，)
P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E
则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。
3.1 马尔可夫过程
Biblioteka Baidu 齐次马尔可夫过程
如果对任意t,u≥0,均有 P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t) i,j∈E
即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。 若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定 所有的转移概率。
若用矩阵表示n步转移概率，即 P(n) [Pi(jn)] ，则 有：
P P P (n)
kl
P 转移矩阵
3.3 n步转移后系统各状态概率
一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转 移后系统各状态的概率。公式如下：
第三章 可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程 3.2 状态转移图 3.3 n步转移后系统各状态概率 3.4 单部件可修系统 3.5 串联可修系统 3.6 并联可修系统
引言
可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理 可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。 如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可 以借助马尔可夫过程来描述。
与始点u 无关，则称该马尔可夫过程是齐次的。
3.1 马尔可夫过程
转移矩阵
Pij(t)称为从状态i到状态j的转移函数，由转移函数的全 体组成的矩阵称为转移矩阵。如对n个状态系统的转移矩 阵为n×n阶方阵，可写为：
P11 P12 P1n
P
P21
P22
P2
n
P n1
Pn2
P nn
回顾复习
维修度M(τ)
对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和 规定的时间（0, τ）内完成修复的概率。
修复率μ(τ)
修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时 刻后的单位时间内完成修复的概率。
有效度A(t)
可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。
第三章
可修复系统的可靠性
0
1 / 2 /
2 5
1/ 2 3 / 5
0.5
0.5
P(2) P(0) P2 P(0) P P P(1) P 1/ 2
1/
2
1/ 2 /
2 5
1/ 3/
2 5
0.45
0.55
P(3) 0.445 0.555
P(5) 0.44445 0.55555
P(n) P(0) Pn
式中
P－1步转移概率；
Pn－n步转移概率； n－转移步数(次数)；
P(0)－系统初始状态向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[ P1(n), P2(n),…] Pi(n) －n步转移后系统处于i状态的概率
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程定义
马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。 简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t> t0时的状 态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程的数学描述
设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一 个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有:
3.3 n步转移后系统各状态概率
例：如下图，已知P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等 各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率
解：依次求得 n=1，n=2， n=3，n=5时的状态矩阵
P(1) P(0)P 1
3.2 状态转移图
由此可写出系统的转移矩阵为:
转移矩阵Pij也表示事件ei 发生的条件下，事件ej发生的 条件概率：Pij=P(ej|ei) ；
矩阵 P:行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由 小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
例2
对于一可修系统，失效率和修复率λ、μ为常 数，试画出状态转移图：
3.1 马尔可夫过程
齐次马氏过程的性质
n
0 Pij 1; Pij 1 j 1
可以证明，对系统寿命以及故障后的修 复时间均服从指数分布时，则系统状态变 化的随机过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可 夫过程。
3.1 马尔可夫过程
三条假设
a) ，为常数(即寿命和维修时间服从指数分布) b) 部件和系统取正常和故障两种状态。 c) 在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同
时进行状态转移的概率是t的高阶无穷小，此 概率可以忽略不计。
3.1 马尔可夫过程
可修复系统的可靠性特征量
a) 瞬态可用度A(t)、不可用度Q(t); b) 稳态可用度A、不可用度Q； c) MTBF、MTTFF(首次故障前平均时间)、MTTR(平均
修复时间) 。
3.2 状态转移图
例1
如一台机器，运行到某一时刻t时，可能的状态为： e1－正常； e2－故障。如机器处于e1状态的概率P11=4/5, 则e1向e2转移的概率P12=1－P11=1/5；反过程，如机器处 于e2状态，经过一定时间的修复返回e1 状态的概率是3/5， P21=3/5(维修度M());则修不好仍处于e2状态的概率是 P22=1－P21=2/5.
e1——正常； e2——故障。
3.2 状态转移图
由此可写出：
此时转移矩阵P也称为微系数矩阵
通常令Δt=1,则有
P
1
1
由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。
3.3 n步转移后系统各状态概率
P 设系统初始状态是 i n步转移 j的概率
(n) ，由切普
ij
曼—柯尔莫哥洛夫方程，Pi(jn) 可表示为：