高一数学 存在量词
人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词
人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】命题“∃0∈s 02+30−2=0”的否定为（）A．∀∈s 2+3−2=0B．∀∈s 2+3−2≠0C．∃∉s 12+31−2=0D．∃1∈s 12+31−2≠0【例2.2】已知命题：∃∈N,2−2是素数，则¬为（）A．∀∉N,2−2不是素数B．∃∈N,2−2不是素数C．∃∉N,2−2不是素数D．∀∈N,2−2不是素数【变式2.1】命题“∃>0，2++1≥0”的否定是（）A．∀≤0，2++1<0B．∀≤0，2++1≥0C．∀>0，2++1<0D．∃>0，2++1<0【变式2.2】关于命题“∃0∈R，02−0+1<0”的否定，下列说法正确的是（）A．¬：∀∈R,2−+1>0，为假命题B．¬：∀∈R,2−+1>0，为真命题C．¬：∃∈R,2−+1>0，为真命题D．¬：∀∈R,2−+1≥0，为真命题1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】已知命题G∀∈s2−−2>0．(1)写出命题的否定；(2)判断命题的真假，并说明理由．【例1.2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)G∀∈R,2++1>0；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)G∃∈N,2−2+1≤0．【变式1.1】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃∈，2+2+3≤0；(2)至少有一个实数，使3+1=0；(3)∃s∈，2+=3．【变式1.2】对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀∈R，2−2+1≥0；(2)∃∈Q，2=2；(3)∃∈R，2−0；(4)∀≠0，+∈2,+∞；(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】已知命题G∃∈s−2+2−5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．【例2.2】已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q 的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式2.1】已知命题：方程2+B+1=0有两个不等的负实根；命题：方程42+4−2+1=0无实根.(1)若命题¬为真，求实数的取值范围；(2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.【变式2.2】已知：∀∈，B2+1>0，：∃∈，2+B+1≤0．（1）写出命题的否定¬；命题的否定¬；（2）若¬和¬至少有一个为真命题，求实数的取值范围．一、单选题1．下列正确命题的个数为（）①∀∈，2+2>0；②∀∈s4≥1；③∃∈s3<1；④∃∈s2=3．A．1B．2C．3D．42．已知命题G∀>0,e+3≤2，则¬为（）A．∃≤0,e+3>2B．∃>0,e+3>2C．∃>0,e+3≤2D．∀>0,e+3>23．下列命题中正确的是（）A．∃∈，≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃∈{U是无理数}，+5是无理数D．存在∈R，使得2+1<24．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（）A．所有的素数都是奇数B．∀∈，+1≥1C．有一个实数，使2+2+3=0D．有些平行四边形是菱形5．已知“∃0∈，202402−20240−<0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．>−506B．≥−506C．≤−506D．<−5066．下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．37．已知命题：∀∈，2−+2>0，则“≤0”是“¬是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设∈R，用表示不超过的最大整数，则=称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合=U2−−1=0,−1<<2是单元素集：②对于任意∈R，+=2成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题二、多选题9．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（）A．存在实数，使2≤0B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是180∘10．已知命题G∃∈{b−1≤≤1}，2−5+3<+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．≤0B．≥5C．≥0D．≤5三、填空题11．命题“∃∈−1,1,2+2≤1”的否定是．12．若“∃∈，使得22−B+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是．四、解答题13．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；(4)存在一个自然数n，使代数式2−2+2的值是负数．14．写出下列命题的否定：(1)一切分数都是有理数；(2)正方形都是菱形；(3)∃∈，使2−2=0；(4)∀∈，有2+2+2≤0．15．已知集合=−3≤≤10，=2+1≤≤3−2，且≠∅．(1)若命题p：“∀∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围．16．已知命题G∀∈，2+2−3>0，命题G∃∈，2−2B++2<0.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词答案1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【解题思路】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【解答过程】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.【解答过程】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A.【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据存在量词命题和全称量词命题的定义作出判断.【解答过程】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【解题思路】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.【解答过程】对于A，当=0时，=0，为真命题，故A错误；对于B，因为∈，所以2≥0，则2+1≥1>0，为真命题，故B错误；对于C，当=0时，3=0，为假命题，故C正确；对于D，由2−10=1，得=112，为真命题，故D错误.故选：C.【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【解题思路】对A：由2+1≥1>0判断命题为假；对B：当=0时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由Δ=72−4×15<0判断命题为假.【解答过程】∀∈，2+1≥1>0，故1是假命题；当=0时，+|U=0，故2是假命题；∀∈，|U∈，故3是真命题；方程2−7+15=0中Δ=72−4×15<0，此方程无解，故4是假命题.故选:：C.【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.【解答过程】①由2−5−6=(+1)(−6)=0，可得=−1或=6，为真命题；②由2+2+3=(+1)2+2>0，为假命题；③当=−1时3+1=0，为真命题.故选：C.【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，∈，都有2+2−2(+−1)=2−2+1+2−2+1=(−1)2+(−1)2≥0，即2+2≥2(+−1)，D选项正确.故选：D.【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【解题思路】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围.【解答过程】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则当=0时，不等式为12>0对∀∈R恒成立；当≠0时，要使得不等式恒成立，则>0Δ=42−48<0，解得0<<12综上，的取值范围为0,12.故选：D.【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【解题思路】由题意知需要大于2−1的最小值，求出其最小值即可得.【解答过程】由题意得>2−1min，又2−1min=−1，此时=0，故>−1.故选：A.【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【解题思路】将问题转化为命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B−3<0”为真命题，令=2+2B−3，利用二次函数的性质求解.【解答过程】解：因为命题p “∃∈[−2,1]，2+2B −3≥0”为假命题，所以命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B −3<0”为真命题，令=2+2B −3，其对称轴为=−，当−≤−2，即≥2时，1=1+2−3<0，解得>1，此时≥2；当−≥1，即≤−1时，−2=4−4−3<0，解得>47，此时无解；当−2<−<1，即−1<<2时，1=1+2−3<0−2=4−4−3<0，即>1>47，此时1<<2，综上：实数a 的取值范围是>1，故选：B.【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.【解答过程】命题为真时≤2恒成立，∈1,2，即≤2min ，≤1，命题为真时Δ≥0，即42−42−≥0，解得：≤−2或≥1.命题“且”是真命题时，取交集部分，可得≤−2或=1，所以命题“且”是假命题时，可得>−2且≠1，故选：D.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【解题思路】根据命题“∀∈，”的否定是“∃∈，¬”直接得出结果.【解答过程】命题“∀∈，2≥0”的否定是“∃∈，2<0”．故选：C．【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【解题思路】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.【解答过程】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是“∃≥0, 2−+1<0”，故选：A.【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是∃0∈0,1，03≥02.故选：C.【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【解题思路】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定2024-2025学年高一上学期数学人教A版2019必修一
集合的关系
解析
(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.
由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，
2，3，4}.
(2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的
例4
(1) 若 p ： x2 ＋ x － 6 ＝ 0 是 q ： ax ＋ 1 ＝ 0 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 则 实 数 a 的 值 为
________.
(2) 若 － a<x< － 1 成 立的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 － 2<x< － 1 ，则 a 的 取 值 范 围 是
例3 已知命题:“∀ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≠ 0”为假命题，求实数的取值范围.
解：∵命题“∀ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≠ 0”为假命题，
∴它的否定命题：“∃ ∈ ， 2 + 2 + 1 = 0”为真命题.
即关于的方程 2 + 2 + 1 = 0有实数根，
【训练2】
A.3
答案 D
已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(
B.2
C.2或3
D.0或2或3
)
集合的运算
要点三
集合的运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于
运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，对于任意一个元素a，要么是给定
高一数学中的常用逻辑用语有哪些
高一数学中的常用逻辑用语有哪些在高一数学的学习中，逻辑用语就像是搭建数学大厦的基石，它们帮助我们更准确、清晰地表达数学概念和进行推理。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中常见的逻辑用语。
一、命题命题是能够判断真假的陈述句。
比如“2 是偶数”，这是一个真命题；而“1 ＋ 1 ＝3”，则是一个假命题。
命题通常用小写字母 p、q、r 等来表示。
理解命题的关键在于明确其陈述的内容是否能够明确地判断出真假。
二、充分条件与必要条件这是高一数学中非常重要的逻辑概念。
如果“若p，则q”为真命题，那么我们就说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
举个例子，“如果一个数是偶数，那么这个数能被2 整除”，在这里，“一个数是偶数”就是“这个数能被 2 整除”的充分条件，“这个数能被 2整除”就是“一个数是偶数”的必要条件。
充分条件意味着只要满足 p，就一定能推出 q；必要条件则是说若要使 q 成立，p 必须成立。
三、充要条件当 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件时，我们就说 p 是 q 的充要条件。
简单来说，就是“若 p，则q”和“若 q，则p”都为真命题。
例如，“一个三角形是等边三角形”与“这个三角形的三个内角相等”，这两个条件就是互为充要条件。
四、全称量词与存在量词全称量词常见的有“任意”“所有”“一切”等，用符号“∀”表示。
比如“∀x∈R，x²≥0”，意思是对于任意实数 x，x 的平方都大于等于 0。
存在量词常见的有“存在”“至少有一个”等，用符号“∃”表示。
像“∃x∈R，x ＋ 1 ＝0”，表示存在实数 x，使得 x ＋ 1 等于 0。
理解全称量词和存在量词对于解决一些含有变量的问题非常关键。
五、全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，它的否定是“∃x∈M，¬p(x)”；对于存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，它的否定是“∀x∈M，¬p(x)”。
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高一数学全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂摘要：一、全称量词命题和存在量词命题的定义二、全称量词命题和存在量词命题的否定含义三、全称量词命题和存在量词命题的否定举例四、全称量词命题和存在量词命题的否定在数学中的应用正文：一、全称量词命题和存在量词命题的定义在全称量词命题中，“任意一个”或“所有的”这样的词语表示整体或全部的含义。
例如，“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”是一个全称量词命题。
存在量词命题中，“存在一个”或“至少有一个”这样的词语表示个别或一部分的含义。
例如，“存在一个实数x，使得x^2 < 0”是一个存在量词命题。
二、全称量词命题和存在量词命题的否定含义对于全称量词命题的否定，我们需要找到一个反例，即存在一个x 使得命题不成立。
例如，对于命题“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”，其否定为“存在一个实数x，使得x^2 < 0”。
对于存在量词命题的否定，我们需要证明所有的x 都不满足命题。
例如，对于命题“存在一个实数x，使得x^2 < 0”，其否定为“对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0”。
三、全称量词命题和存在量词命题的否定举例1.全称量词命题的否定举例：命题：对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0否定：存在一个实数x，使得x^2 < 02.存在量词命题的否定举例：命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0否定：对于任意一个实数x，都有x^2 >= 0四、全称量词命题和存在量词命题的否定在数学中的应用在数学中，全称量词命题和存在量词命题的否定经常用来证明数学命题的成立。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5---全称量词与存在量词
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.5全称量词与存在量词【考点梳理】考点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点二含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：含全称量词和存在量词命题的判断1．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等 C ．x R ∀∈，2x x =D ．正方形是矩形2．下列命题不是存在量词命题的是（ ）A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．在实数范围内，有些一元二次方程无解D ．有一个m 使2m -与||3m -异号 3．设2(1):x p x x +<，则以下说法错误的是（ ） A ．“(),x R p x ∀∈”是假命题B ．()p x 是假命题 C ．“(),x R p x ∃∈”是假命题D ．“(),x R p x ∃∈”是真命题 题型二：含含量词的命题的否定问题4．命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定是（ ） A ．()0,1x ∀∉，20x x -≥B ．()0,1x ∃∈，20x x -≥ C ．()0,1x ∀∉，20x x -<D ．()0,1x ∀∈，20x x -≥5．已知命题P ：x R ∀∈，210x +>，则命题P 的否定为（ ） A ．x R ∃∈，210x +≤B ．x R ∀∈，210x +< C ．x R ∃∉，210x +≤D ．x R ∀∈，210x +≤6．已知命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为（ ）A ．01x ∀∈（，）都有2340x x --<恒成立B ．(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立C ． (01) x ∃∈，都有2340x x --=恒成立D ．0(0,1)x ∃∈都有2340x x --≠恒成立题型三：根据全称命题的真假求参数问题7．若命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．[1,1]-D ．(,0)-∞8．已知命题:p x R ∃∈，210mx +≤；命题:q x R ∀∈，210x mx ++>．若p ，q 都是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≤-B ．2m ≥C ．2m ≥或2m ≤-D ．22m -≤≤9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣题型四：根据存在量词命题的真假求参数问题10．若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2{|}2a a -≤≤B ．{|2a a ≤-或}2a ≥ C ．2{|2}a a -<<D ．{2|a a <-或}2a >11．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤12．若命题“0x ∃∈R ，20390x mx -+<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【双基达标】一、单选题 13．命题p ：“有些三角形是等腰三角形"的否定是（）A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形 14．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式是（ ） A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0<2x +1 B ．∀x ∈R ，∀n 0∈N *，使得n 0<2x +1 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x 0+1 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+115．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ） A ．所有菱形的四条边都相等 B ．若2x 为偶数，则x 为自然数 C ．若对任意x ∈R ，则2210x x ++> D ．π是无理数16．下列全称量词命题中真命题的个数为（ ） ①负数没有倒数；②对任意的实数a ，b ，都有220a b +≥； ③二次函数21y x ax =--的图象与x 轴恒有交点；④x R ∀∈，y R ∈，都有20x y +>.A ．1B ．2C ．3D ．417．若存在x ∈R ，使220x x a ++<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．11a -<<D ．11a -<≤18．若命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．[)2-∞，D ．()2+∞， 19．已知[]04x ∃∈，， 使2250x x m -+-<是真命题， 则m 的取值范围为（ ）A ．5∞+（，）B ．()13∞+，C ．()4∞+D ．()13∞-，20．若命题“[]1,2x ∀∈，10ax +>”是真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞21．命题“任意a ∈R ，使方程10ax +=都有唯一解”的否定是（ ） A ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 B ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 C ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 D ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 22．下列说法错误的是（ ）A ．“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”B ．“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0”C ．“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的必要不充分条件D ．“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件【高分突破】一：单选题23．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥24．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞-B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-25．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，2010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ 26．若命题“x R ∃∈，使()2110x a x ++<－”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－27．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 A ．(,22⎤-∞⎦B ．223⎡⎤⎣⎦，C ．223⎡⎤-⎣⎦，D ．3λ= 28．已知命题P ：2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ≤≤B ．13a -≤≤C ．13a <<D ．02a ≤≤二、多选题29．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 A ．21,0.4x x x R $?+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．2,220x x x $?+R …D ．至少有一个实数x ，使310x += 30．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 31．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 32．下列命题中，真命题的是（ ） A ．0a b -=的充要条件是1a b= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”33．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1,[3.9]3,[ 1.5]2==-=-，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A ．,[2]2[]x R x x ∀∈=B ．,[2]2[]x R x x ∃∈=C ．,,[][],x y R x y ∀∈=则1x y -<D ．,,[][][]x y R x y x y ∀∈+≤+三、填空题34．命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________.35．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，36．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________． 37．若全称命题：“x R ∀∈，2304kx kx +-<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是______． 38．若对{}12x x x ∀∈≤≤，{}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立，则实数m 的取值范围是_______.四、解答题39．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数.40．命题p ：任意x ∈R , 2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x ∈R , 2x +410mx +<成立. （1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;41．已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．42．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.43．已知m R ∈，命题p ：[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题q ：存在x ∈R ，使得220x x m -+->. （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案详解】1．D 【详解】对于A 选项，命题“对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<”为全称命题， 但()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≥，该命题为假命题；对于B 选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题； 对于C 选项，命题“x R ∀∈，2x x =”为全称命题，当0x <时，2x x =-，该命题为假命题；对于D 选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题. 故选：D. 2．B 【详解】选项A 、C 中“有些”是存在量词，选项D 中“有一个”是存在量词，选项B 中不含存在量词，不是存在量词命题． 故选：B ． 3．C 【详解】由221551()244x x x +-=+-≥-，对于A 中，命题“(),x R p x ∀∈”是假命题，所以A 是正确的； 对于B 中，命题()p x 是假命题，所以B 是正确的；对于C 中，命题“(),x R p x ∃∈”是真命题，所以C 是错误的，D 是正确的.故选：C. 4．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果. 【详解】则命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定为()0,1x ∃∈，20x x -≥， 故选：B. 5．A 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题P 的否定为：x R ∃∈，210x +≤， 故选：A. 6．B 【详解】因为命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立， 故选：B. 7．A 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题， 所以440m ∆=+<，解得1m <- 故m 的取值范围是(,1)-∞-． 故选：A ．8．B 【详解】因为命题p 为假命题，则命题p 的否定为真命题，即：2,10x R mx ∀∈+>为真命题， 解得0m ≥，同理命题q 为假命题，则命题q 的否定为真命题，即2,10R x mx ∃∈++≤为真命题， 所以240m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 综上：2m ≥， 故选：B 9．C先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 10．C 【详解】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题， 则需满足240a ∆=-<，解得22a -<<.11．C命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题， 即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立 设36()f x x x =+，则3636()212fx x x xx=+≥⋅=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即m i n ()12f x =，12a ∴≥，故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ． 12．C 【详解】若命题“0x ∃∈R ，200390x mx -+<”为假命题，则若命题“x ∀∈R ，2390x mx -+≥”为真命题， 所以29360m ∆=-≤，解得22m -≤≤. 故选：C. 13．C 【详解】 命题p ：“存在 x A ∈，使 ()P x成立”，p ⌝ 为：“对任意 x A ∈，有 ()P x 不成立”．故命题 p ：“有些三角形是等腰三角形’’，则 p ⌝ 是“所有三角形不是等腰三角形”．14．D 【详解】解：由特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+1”， 故选：D ． 15．A 【详解】B 选项，是真命题，但不是全称命题；C 选项，是假命题，1x =-不成立；D 选项，是真命题，但不是全称命题． 故选：A 16．B 【详解】解：：①负数有倒数；故错误；②对任意的实数a ，b ，都有222a b ab +…；由于2()0a b -…恒成立，故正确； ③二次函数2()1f x x ax =--与x 轴恒有交点；由于△240a =+>，故恒有交点，故正确；④x R ∀∈，y R ∈，当0x y ==时，都有2||0x y +=．故错误． 所以真命题的个数为2. 故选：B ． 17．A 【详解】由题意知函数22y x x a =++的图象有在x 轴下方的部分，即440∆=->a ，解得1a <， 故选：A. 18．B 【详解】因为命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，且x R ∀∈，222x +≥， 所以2a <. 故选：B 19．C 【详解】因为[]1,4x ∃∈ 使2250x x m -+-<是真命题，所以2250x x m -+-<在[]1,4x ∈上能成立，即225x x m -+<在[]1,4x ∈上能成立，设()225g x x x =-+，开口向上，且对称轴为1x =，所以()g x 在[]1,4上的最小值为()2112154g =-⨯+=，故4m <，故选：C. 20．A 【详解】解：因为[]1,2x ∀∈，10ax +>，所以10210a a +>⎧⎨+>⎩，解得12a >-故选：A 21．D该命题的否定：存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在. 故选：D. 22．C 【详解】根据命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”，即A 正确；根据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0，即B 正确；不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解为x ＜﹣1或x ＞3，故“x ＞3”可推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”，但 “x 2﹣2x ﹣3＞0”推不出“x ＞3”，即“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充分不必要条件，C 错误，“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件，D 正确. 故选：C. 23．C全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.24．B 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 25．C 【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，2010x x -+<” 故选：C 26．B 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使()2110x a x ++≥－”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 27．A 【详解】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而2211122222x x x x x x +=+≥⋅=（当且仅当12x x =，即22x =时取等号），即22λ≤；故选A. 28．B 【详解】由题：命题P 是假命题，其否定:2,(1)10x R x a x ∀∈+-+≥为真命题， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选：B 29．AC由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD ；又因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，()2222110x x x ++=++>，所以AC 均为假命题，故选AC. 30．BD 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 31．CD 【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D. 故选：CD.32．BCD 【详解】A. 当0b =时，1a b=不成立，故不充分；当1a b=可推出0a b -=，故必要，故错误； B. 由不等式的基本性质知1a >，1b >可推出1ab >，故充分，故正确； C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确； D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：BCD 33．BC1.5x =时，[2][3]3x ==，但2[]2[1.5]212x ==⨯=，A 错；2x =时，[2][4]42[2]2[]x x ====，B 正确；设[][]x y k Z ==∈，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，∴1x y -<，C 正确；0.5,0.6x y ==，则[][]0x y +=，但[][1.1]1x y +==[][]x y >+，D 错．故选：BC ．34．2000,3210x R x x ∃∈-+≤ 【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“0x R ∃∈，2032x x - 10+≤”，故答案为“0x R ∃∈，203210x x -+≤”. 35．[]1,3- 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．36．(,4]-∞ 【详解】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．37．(3,0]-当0k =时，原不等式化为“304-<”对x R ∀∈显然成立．当0k ≠时，只需0k <⎧⎨∆<⎩,即2030k k k <⎧⎨+<⎩ 解得30k -<<．综合①②，得30k -<≤．故答案为：(3,0]-． 38．2m < 【详解】因为12x ≤≤，所以324x ≤+≤，又12t ≤≤，所以12m t m m +≤+≤+， 若对{}12x x x ∀∈≤≤， {}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立， 则需()()min min 2x t m +>+，即31m >+，解得2m <， 故填：2m <. 39． 【详解】(1)2,0∈≥∀x R x ，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数； (4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð.真命题,例如332,2x x Q ==∈. 40． 【详解】解：（1）由题,()()22430m m ∆=---<,即24120m m +<,30m \-<<（2）由题,2(4)40m D=-?,即21640m -≤,1122m \-＃ （3）当q 是真命题时,由（2）, 12m >或12m <-∴若命题p 、q 至少有一个为真命题,由（1）,则需满足30m -<<或12m >或12m <- ∴0m <或12m > 41．(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-，∴10a -≥，解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<； ②当命题p 为假，命题q 为真时，得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞． 42．【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤； （2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤.43．（1）[0,3]；（2）0m <或13m ≤≤.【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-∴230m m -≤，解得03m ≤≤，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q为真命题时，则440m∆=->，解得1m<∵p，q有且只有一个真命题当p真q假时，031mm≤≤⎧⎨≥⎩，解得：13m≤≤当p假q真时，031m mm⎧⎨<⎩或，解得：0m<综上可知，13m≤≤或0m<故所求实数m的取值范围是0m<或13m≤≤.。
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
高一数学复习知识点讲解专题训练8---全称量词与存在量词
答案 B
解析
1 t＝4时，
t>t，所以 A 选项错；由 x2－3x－4＝0，得 x＝－1 或 x＝4，因此当 x
＝－1 或 x＝4 时，x2－3x－4＝0，故 B 选项正确；由 x2＋5x－24＝0，得 x＝－8 或 x
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3．“三角形内角和是 180°”是全称量词命题．( √ )
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例 1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意 x∈Z,2x＋1 是奇数 D．存在 x∈R,2x＋1 是奇数 答案 C 解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项 A，B，D 均为存在量词命题，选项 C 为全称量词命题． (2)给出下列几个命题： ①至少有一个 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立； ②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立； ③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立； ④存在 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立． 其中是全称量词命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．0 答案 B 解析 因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④ 为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为 2. 反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断
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2．存在量词命题“存在实数 x，使 x2＋1<0”可写成( )
A．若 x∈R，则 x2＋1>0
B．∀x∈R，x2＋1<0
C．∃x∈R，x2＋1<0
高一数学人必修课件全称量词与存在量词
03
性质三
存在量词命题可以转化为等价的特称命题。即，如果一个存在量词命题
是真的，那么可以找到一个具体的元素满足给定条件，从而将该命题转
化为一个特称命题。
06
量词间相互转化与等价关 系
量词间相互转化规则
全称量词“任意”与存在量词“存在”的转化
若命题“对任意x，P(x)”为真，则命题“存在x，P(x)”也为真；反之，若命题“存在 x，P(x)”为假，则命题“对任意x，P(x)”也为假。
全称量词命题与存在量词命题 的真假判断
全称量词命题与存在量词命题 的否定形式
拓展延伸：高级逻辑初步介绍
量词的嵌套使用
探讨全称量词与存在量词的组合 使用，如“对于所有x，存在y， 使得…”等复杂命题的构成与真假
判断。
高级逻辑联结词
引入逻辑联结词“且”、“或”、 “非”等，进一步丰富命题的表达 形式，并探讨其逻辑性质。
存在量词“存在”与全称量词“任意”的转化
若命题“存在x，P(x)”为真，不能推出命题“对任意x，P(x)”也为真；但是，若命题 “对任意x，P(x)”为假，则命题“存在x，P(x)”也为假。
等价关系在逻辑推理中应用
等价关系的定义
设P和Q是两个命题，如果P为真当且仅当Q 为真，则称P和Q是等价的，记作P⇔Q。
高中数学课程要求
高一数学人必修课程中，学生需 要掌握全称量词与存在量词的基 本概念、性质和应用，能够运用 它们进行数学推理和证明。
教学目标
知识与技能
Байду номын сангаас
情感态度与价值观
通过本课程的学习，学生应掌握全称 量词与存在量词的定义、符号表示和 基本性质，能够运用它们描述数学对 象之间的关系和性质。
高一数学必修第一册2019(A版)_《全称量词与存在量词》教材分析
1.5全称量词与存在量词一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定.难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定.三、教科书编写意图及教学建议本节的主要内容是全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定.通过本节的学习，学生要在理解全称量词与存在量词的意义的基础上，能正确地使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律.全称量词和存在量词是数学中经常使用的两类量词，本节通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，说明了全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律.这个阶段，只考查含有一个全称量词的命题或含有一个存在量词的命题，不讨论含有多个量词的命题.本节引入了新的数学符号“∀”“∃”“⌝”，以及特定命题的数学符号表示：x M ∀∈，()p x ；x M ∃∈，()p x ；x M ∃∈，()p x ⌝；x M ∀∈，()p x ⌝.符号的特点是简洁、准确，但是形式化、抽象化程度都比较高，教学时应多选取一些数学实例，多鼓励学生使用符号语言，从而能让学生习惯于运用符号语言表达一些数学内容.1.5.1全称量词与存在量词1.通过创设情境，引入基本概念教科书首先引导学生回顾命题的概念，然后思考、讨论本小节的第一个“思考”.“思考”中选取了四个含有变量x 的陈述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基础上分别加了一个短语“对所有的”“对任意一个”对变量进行限定.学生根据命题的概念容易判断出，（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题.通过对比，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念.全称量词有许多种表述形式，除了“思考”中出现的两种形式外，在教科书的边空中列举了其他常用的几种表述形式.教学中，教师可引导学生多举一些数学例子，以加深学生对全称量词的认识.与全称量词和全称量词命题的概念的引入类似，教科书在引入存在量词和存在量词命题的概念时先让学生思考、讨论本小节的第二个“思考”.“思考”中选取了四个含有变量x 的陈述句，其中（3）（4）是在（1）（2）的基础上分别加了一个短语“存在一个”“至少有一个”.学生根据命题的概念容易判断出，（1）（2）不是命题，因为在（1）（2）中不知道变量x 代表什么，无法判断真假.而（3）（4）是命题，因为在（3）（4）中对变量x 的取值范围进行了限定，从而可以判断它们的真假.通过对比，引起学生对“存在一个”“至少有一个”这类短语的兴趣，由此引出存在量词的概念、符号，以及存在量词命题的概念.存在量词也有许多种表述形式，除了思考中出现的两种表述形式外，教科书的边空中列举了其他常用的几种表述形式“有一个”“有的”“有些”“对某个”等.具体教学时，教师可引导学生寻找其他的数学例子，以加深学生对这些存在量词的认识.2.全称量词命题和存在量词命题的符号表示符号语言是数学的基本语言.在数学中，我们经常使用符号语言简洁、准确地表达数学的一些内容.本节中，通过引入符号表述全称量词命题和存在量词命题，可以使学生体会用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性.教科书将含有变量x 的陈述句用符号()p x ，()q x ，()r x ，…表示，将变量x 的取值范围用符号M 表示.这样一来，我们就可以用符号,()x M p x ∀∈表示全称量词命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”.同样地，可以用符号,()x M p x ∃∈表示存在量词命题“存在一个x M ∈，有()p x 成立”.在教学时，教师应鼓励学生适当使用符号语言来表达数学内容，从而习惯于运用符号语言表达一些数学内容.3.例题和练习的设计意图与教学分析例1是通过三个数学实例介绍全称量词命题真假的判断方法，使学生理解全称量词的意义，会判定全称量词命题的真假.通过学生熟悉的数学例子理解全称量词的意义是本节的教学重点之一，而判定全称量词命题的真假则是本节的教学难点之一.教师在介绍完全称量词命题的概念和符号表示之后，可提出如下问题让学生思考：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假呢？引导学生阅读例1中的三个全称量词命题，理解全称量词的意义，然后思考回答.教师最好不要先给出判定全称量词命题的真假的一般方法，而是针对具体的全称量词命题进行分析，最后引导学生自主总结出下面的一般方法：如果对集合M 中每一个x ，()p x 都成立，那么“,()x M p x ∀∈”为真命题； 如果在集合M 中存在一个0x ，使得0()p x 不成立，那么“,()x M p x ∀∈”为假命题.教学中注意通过大量的例子引导学生自主归纳总结，并鼓励学生自己举例巩固加深理解，切忌教师给出方法学生死记硬背.例2是通过三个数学实例介绍存在量词命题真假的判别方法，通过这个例子使学生理解存在量词的意义，会判定存在量词命题的真假.与前面类似，教师在介绍完存在量词命题的概念和符号表示之后，可提出如下问题让学生思考：对给定的一个存在量词命题，如何判断它的真假呢？教师先引导学生阅读例2中的三个存在量词命题，然后思考回答这三个命题的真假.同样地，教师最好先不要给出判定存在量词命题的真假的一般方法，而是针对具体的存在量词命题进行分析，引导学生总结归纳出一般方法：如果在集合M 中存在一个0x ，使得0()p x 成立，那么“,()x M p x ∃∈”为真命题；如果对集合M 中每一个x ，()p x 都不成立，那么“,()x M p x ∃∈”为假命题.本小节的练习1，2是为了巩固学生学习的基本知识，可以让学生在课堂上完成.本小节例题和练习中部分全称量词命题和存在量词命题是用符号语言表达出来 的其目的是让学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性、引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达数学内容.1.5.2全称量词与存在量词命题的否定1.创设情境，引入问题教科书为了引人本小节要考查的问题，首先陈述了一个基本事实：对一个命题进行否定，可以得到一个新的命题，称其为原来命题的否定，然后给出两个学生熟悉的数学命题的否定，由此引出本小节将要考查的问题：如何正确地写出全称量词命题的否定和存在量词命题的否定.2.通过问题引导学生思考全称量词命题和存在量词命题的否定是一个教学难点，教科书以形式化的语言表述为桥梁，通过启发性问题引导学生思考，以降低学生的认知难度。
第07讲 全称量词命题与存在量词命题(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第07讲全称量词命题与存在量词命题知识点一全称量词命题与存在量词命题1．全称量词与全称量词命题全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式∀x∈M，p(x) 2．存在量词与存在量词命题存在量词“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词符号∃存在量词命题含有存在量词的命题形式∃x∈M，p(x)知识点二全称量词命题和存在量词命题的否定p¬p结论全称量词命题：∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题：∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．要否定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬p(x)”成立．2．要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．知识点三存在(全称)量词命题真假的应用1．直接判定命题的真假命题判定为真判定为假存在量词命题找到一个特例严格证明全称量词命题严格证明找到一个反例2．利用命题p和¬p的对立关系(真假性相反)判定．考点一：全称量词命题与存在量词命题的判断例1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整数解．【总结】判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[注意]全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．变式(多选)下列语句是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数D．存在x∈R，2x＋1是奇数考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2＞0.【总结】全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可；(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．变式(多选)下列结论中正确的是()A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题考点三：全称量词命题与存在量词命题的否定例3 (1)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【总结】全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．变式设x∈Z，集合A为偶数集，命题“∀x∈Z，2x∈A”的否定为()A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈AC．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A考点四：存在(全称)量词命题真假的应用例4 已知命题p：∀x∈R，2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．【总结】已知全称(存在)量词命题的真假求参数的解题思路(1)已知全称量词命题的真假求参问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；(2)已知存在量词命题的真假求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．解决此类问题时，应尽量分离参数．变式 已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．1．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题；③命题“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x ＞23．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋12≤0”的否定为( )A ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋12≤0B ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋12＞0C ．∃x 0∈R ，x 20 －2x 0＋12＞0D ．∃x 0∉R ，x 20 －2x 0＋12＞04．(多选)下列命题是真命题的是( )A.∀x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3 B ．∀x ∈{y |y 是无理数}，x 3是无理数 C ．∃x ∈N,x 2＋1 ∈ND ．∃x ∈Z ，x 2＋1是4的倍数5．命题“∃x ∈(－1，2)，2x 2＋a ＝0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．6．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈QC．∃x Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x Q7．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数9．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．10．若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆3．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q5．下列命题中是存在量词命题且为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，－x 2＋x －14 ≥0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∃x ∈R ，使x 3＋1＝06．(多选)已知命题p ：有理数的算术平方根是无理数．则下列结论中正确的是( )A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是真命题C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 是存在量词命题7．(多选)下列命题是真命题的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20 ＋x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1＞0”B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0C ．“x 2－x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件D ．如果a ＜b ＜0，那么1a 2 ＜1b 28．命题“∀x ∈R ，1x －2 <0”的否定是________________．9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．10．命题“∃x ∈[1，3]，x 2－2x －a ≥0”为真命题的充要条件是________．11．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x ，使得方程x 2＋x ＋8＝0成立； (4)∃x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0； (5)∀x ，y ∈Z ，(x －y )2＝x 2－2xy ＋y 2.12．(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤013．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得a ＋b ＝ab ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．A ．0B ．1C ．2D ．314．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围________(填“一致”“不一致”中的一种).15．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋x ＋14 (a －2)≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.16．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤4}，集合B ＝{x |2－a ≤x ≤1＋2a }，其中a ∈R.若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求a 的取值范围．17．已知命题p ：任意x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．18．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，集合A ＝{x |x 2＋2ax ＋b 2＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2cx －b 2＝0，x ∈R}．(1)若a ＝b ＝c ＝4，求A ∪B ； (2)求A ∩B ≠∅的充要条件．。
高一上数学必修一第一章《全称量词命题与存在量词命题的否定》知识点梳理
“非”命题最常见的几个正面词语的否定： 二、全称量词命题与存在量词命题 【数学引入】 下面我们来讨论如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
【概念形成】
2/4
【知识应用】 例 1 写出下列命题的否定，并判断所的命题的真假：
3/4
【总结】 本节课主要的知识点： 1. 量词的否定 2. 存在量词命题的否定及其真假的判断 3. 全称量词命题的否定及其真假的判断
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学习目标 1. 通过探究数学中一些实例，归纳总结出命题的否定形式； 2.能够正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定并能够判断真假； 3.体会从具体到一般的认知过程，培养抽象概括能力； 4. 培养辨析能力以及培养良好的思维品质，树立辩证唯物主义观。 重难点 重点：了解命题否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式； 难点：得到命题的否定。 【数学引入】 你能说出命题 s：“3 的相反数是 ”和 t：“3 的相反数不是 ”这两个命题之间的关系吗？他们 的真假性如何？ 可以发现，命题 s 是对命题 t 的否定，命题 t 也是对命题 s 的否定，而且 s 是真命题，t 是假命 题。 一、命题的否定
人教B版高一数学必修第一册全称量词命题与存在量词命题的否定-课件
其中，表示所有素数组成的集合，表示所有奇数组成的集合.
命题是假命题，因为2是素数，但是偶数.
每个素数都不是奇数.
假命题
不是每个素数都是奇数.
真命题
:每个素数都是奇数.
全称量词命题， :∀ ∈ ， ∈ .
其中，表示所有素数组成的集合，表示所有奇数组成的集合.
命题是假命题，因为2是素数，但是偶数.
全称量词命题，
¬：∃ ∈ −3， + ∞ ， 2 ≤ 9，
解析: （2） ：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
全称量词命题，
¬：∃ ∈ −3， + ∞ ， 2 ≤ 9，
¬: 9 ≠ 3.
是真命题， ¬是假命题
（3） : 0 > 1.
¬: 0 ≤ 1.
（1） : 0是自然数.
¬: 0不是自然数.
是真命题， ¬是假命题
（2） : 9 = 3.
¬: 9 ≠ 3.
是真命题， ¬是假命题
（3） : 0 > 1.
¬: 0 ≤ 1.
是假命题， ¬是真命题
存在量词命题，
¬：∀ ∈ ，一次函数 = + 的图像不经过原点，
是真命题，因为当 = 0 时，正比例函数 = 经过原点，
¬是假命题，因为是真命题，
或当 = 0 时，正比例函数 = 经过原点.
解析: （2） ：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
解析: （2） ：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
解析: （3）：至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
存在量词命题，
¬：所有直角三角形都是等腰三角形.
原命题和命题的否定必须一个为真，一个为假.
1.5 全称量词与存在量词-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版
1.5 全称量词与存在量词一、全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M 中的任意一个x ，()p x 成立（M 表示变量x 的取值范围）， 符号表示为：对(),∀∈M p x ．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
二、存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M 中的元素x ，()p x 成立（M 表示变量x 的取值范围），简记为：对(),∃∈M p x ．【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立； 若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可； 2、判断存在量词命题真假：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立， 则这个命题为真，否则为假。
人教A版高一数学必修一第一学期第一章1.5全称量词与存在量词
(3)∃ ∈ ，使得 2 + +1=0.
(4)∃1 , 2 ∈ 且1 ≠ 2 ，
使得1 2 + 1 +1=0与2 2 + 2 +1=0均成立.
知识讲解
判断是否为命题，若是，是全称还是存在量词命题：
(1) 4 2 + 1是无理数；
(1)不是命题;
它们与原命题在形式上有什么变化？
原命题： 存在量词命题
命题的否定：全称量词命题
知识讲解
1、全称量词命题的否定是存在量词命题
¬
即：“∀ ∈ ， ”的否定是“∃ ∈ ，
”
2、存在量词命题的否定是全称量词命题
¬
即：“∃ ∈ ， ”的否定是“∀ ∈ ，
3、简记：变量词，否结论
(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质
就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),
即a>f(x)max(或a<f(x)min).
(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质
就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),
知识讲解
判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数； (1)假命题，
(2)∀ ∈ , + 1 ≥ 1;
(2)真命题， 逻辑推导：|| ≥ 0，|| +
1 ≥ 1;
(3)对任意一个无理数, 2 也是无理数.
(3)假命题，
举反例：2;
举反例： 2
知识讲解
判断下列全称量词命题的真假：
高一数学必修一 教案 1.5 全称量词与存在量词
1．5 全称量词与存在量词1．5.1 全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( ×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √) 3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √)一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数答案 C解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．(2)给出下列几个命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称量词命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．0答案 B解析因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①②是全称量词命题，③是存在量词命题．二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.解(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．反思感悟全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使1x－1＝0.解(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使1x－1＝0成立，所以该命题是假命题．三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围． 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x >m (x 2＋1)”是真命题，求实数m 的取值范围． 解 由题意知，不等式2x >m (x 2＋1)恒成立， 即不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立．(1)当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m ≠0时，要使不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，4－4m 2<0.解得m <－1.综上可知，所求实数m 的取值范围是m <－1.1．下列语句不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个学生都充满阳光答案 C解析“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．2．下列命题中为全称量词命题的是( )A．有些实数没有倒数B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案 B3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立答案 C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．答案①②③④解析①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．答案a≤3解析对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)通过含量词的命题的真假求参数．2．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3答案 C2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确答案 C解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2答案 B4．给出下列三个命题： ①对任意的x ∈R ，x 2>0； ②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合A ，B ，若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 对于①，存在x ＝0，使得x 2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题． 5．下列说法正确的是( ) A ．对所有的正实数t ，有t <t B ．存在实数x ，使x 2－3x －4＝0C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0 D ．任意实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4 答案 B解析 t ＝14时，t >t ，所以A 选项错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x ＝－1或x ＝4时，x 2－3x －4＝0，故B 选项正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 选项错；x ＝0时，不成立，所以D选项错．6．下列存在量词命题中真命题有________．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．答案①②③7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)①有的实数是整数；②三角形是多边形；③矩形的对角线互相垂直；④∀x∈R，x2＋2>0；⑤有些素数是奇数．答案②③④9．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x，x－2≤0.(2)三角形两边之和大于第三边．(3)有些整数是偶数．解(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．11．下列全称量词命题中真命题的个数为( )①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．0答案 B12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1答案 B解析依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，－1≤a≤1.15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.16．已知函数y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4.。
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是命题
例如，命题： 有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数
都是特称命题． 特称命题的一般形式： 在M中存在一个x, 使p( x)成立 用符号可以简记为：
x M , p(x)
2 判断x ３＝０； 假命题 无特例．
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；假命题 无特例．
(3)有些整数只有两个正因数． 真命题
特例：整数3只有两个正因数1和3．
2 判断下列特称命题的真假：
(1) x R，x 0； 真命题
特例：负数和零都不大于零．
真命题
(2)至少有一个整数，它既不是合数也不是素数；
特例：1既不是合数，也不是素数．
·2007·
新疆 王新敞
奎屯
2020年4月18日星期六
问定题义：：下短语列“语存句在一是个命”题“至吗少？有一(1个)与”在(3逻)，
(辑存2)中 在与通 量(常 词4叫的)之做命间存题在叫有量做什词特么，称用命关符题系号．“？”表示．含有
(1)2x 1 3不； 是命题
(2) x能被2和3整除；
是命题
(3)存在一不个 是命x题Ｒ，使2x 1 3；
(3) x {x | x是无理数}，x２是无理数 ．真命题
特例：４２是无理数，（４２）2 2 也是无理数．
特称命题的定义及形式． 回顾
特称命题的真假判断方法： 只要能举出特例，即可判断特称命题为真．
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯