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湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题

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江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题(解析版)

江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题(解析版)

2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B = （ ）A. (1,)-+∞B. ∅C. RD. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A ，B ，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A =+∞，由10x +>得1x >-，所以()1,B =-+∞，所以()()()0,1,0,A B ∞∞∞⋂=+⋂-+=+.故选：D2. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）A. ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B. ()()221221x x '⎡⎤+=+⎣⎦C. ()21log ln 2x x '= D. ()2222x x x x'+=+【答案】C 【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A ，()ππsin sin sin sin cos 66x x x ''⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，根据复合函数的求导法则，()()()()22122121421x x x x ''⎡⎤+=++=+⎣⎦，故B 错误；对于C ，()21log ln 2x x '=，故C 正确；对于D ，()()()22222ln 22x x x x x x '''+=+=+，故D 错误.故选：C.4. 已知角α终边上有一点5π5π(sin ,cos 66P ，则πα-是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P 所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos 066><，所以点P 在第四象限，即角α为第四象限角，所以α-为第一象限角，所以πα-为第三象限角.故选：C5. 已知直线:10l x y λλ--+=和圆22:40C x y y +-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l x y λ--+=，令1x =，则1y =，所以直线l 过定点()1,1，当1,1x y ==得22114120+-⨯=-<，则()1,1在圆内，则直线l 与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l 的距离d ≤=，所以AB =≥故选：D .6. 已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（ ）．A.467B.477C.487D. 7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=-+，则下列说法正确的是（ ）A 3522f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数()f x 的一个周期为2C. ()20230f =D. 函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】C.【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,f x f x -=-+∴ 函数()f x 关于点()1,0中心对称，因此选项D 不正确；又因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，由()()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x f x -=-+⇒+=--=-⇒+=，所以函数()f x 的周期为4，所以选项B 不正确；因为函数()f x 是周期为4的偶函数，所以355222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此选项A 不正确；在()()11f x f x -=-+中，令0x =，得()10f =，因为函数()f x 的周期为()()()()4,20233110f f f f ∴==-==，因此选项C 正确，故选：C8. 已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ）A. (-∞ B. (],2-∞C. (,1-∞+ D. (],3-∞【答案】D 【解析】【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中，令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠，则有222||MN a b ab =++，显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图，而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+，因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++，当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN dλ≤恒成立，则3λ≤，所以λ的取值范围是(,3]-∞.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 设复数z 满足3i 1z z +=--，则下列说法错误的是（ ）A. z 为纯虚数B. z 的虚部为2iC. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限D. ||z【答案】ABC 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z ，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数i z a b =+，由3i 1z z +=--得()3i 1z z +=--，则()()()()22i 31i i 3i i 33i 4i 2=2i 11i 1i 1i 1i 2z -----+-====-++--，故A错误；z 的虚部为2，故B 错误；复平面内，z 对应的点为()1,2--，z 对应的点位于第三象限，故C 错误；z ==D 正确.故选：ABC .10 已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（ ）A. ()1,2b =B. 225a b -=C. 向量a 与向量b的夹角是45 D. 向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a =r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b b⋅⋅==，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域为[]22-,B. 若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为2πωC. 若函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.D. 若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则ω的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，可知其值域为[]22-,，故选项A 正确；若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以12x x -的最小值为π2T ω=，故选项B 错误；函数()f x 的单调递增区间为πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，()5ππ2π2π66,Z k k x k ωω⎡⎤-+⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以5π2ππ66π2ππ63k k ωω⎧-⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，令0k =，则10,2ωω<≤∴的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项C 正确；若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由如图可得：5ππ138π3π2363ωω<+≤⇒<≤，ω∴的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：ACD12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121af x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x 在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa aaf a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x 的展开式中，3x 的系数为325C 2=40⋅；在()41y -的展开式中，2y 的系数为224C 1=6⋅；所以在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为32254C 2C =240⋅；故答案为：24014. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245C A 454=⨯⨯80=种.故答案为：80.15. 已知22,1()e ,1xx x f x x ->-⎧=⎨≤-⎩，若a b <，()()f a f b =，则实数2a b -的取值范围是______．【【答案】(1,3e ⎤-∞--⎥⎦【解析】【分析】作出函数图象，设()()t f a f b ==，数形结合可知t 的范围，2a b -转化为关于t 的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()f x 图象，如图，设()()t f a f b ==，则10et <≤，e ,,2e 1112a b a b +<∴≤-<≤ ，又()(),e 22af a t f b b t ===-= ，()1ln 2,2a t b t ∴==+，2ln 2a b t t ∴-=--，设()()110,,1ln 21e t g t t t t g t t t -'=--<≤=-=，当10et <≤时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，()1111ln 23e e e e g t g ⎛⎫∴≤=--=-- ⎪⎝⎭，即实数2a b -的取值范围是(1,3e ⎤-∞--⎥⎦故答案为：(1,3e ⎤-∞--⎥⎦16. 在正三棱锥A BCD -中，底面BCD △的边长为4，E 为AD 的中点，AB CE ^，则以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．π【解析】【分析】首先证明,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD 中点为F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由正三棱锥性质可知，O 为正三角形BCD 的中心，所以O 在BF 上，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，由正三角形性质可知，BF CD ⊥，又BF AO O ⋂=，,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO ，因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又,,,CE AB CE CD C CE CD ⊥⋂=⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB⊥由正三棱锥性质可知，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，则AD ==，如图，易知以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D 为圆心，AD 为半径的三段圆弧，则π4ADC ADB ∠=∠=，π3BDC ∠=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ443⨯⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足52215a a =+，981S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）129928n n n +--+【解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列{}n a 的公差为d ，因为981S =，所以()59199812a a a +==，则59a =，因为52215a a =+，即21815a =+，所以23a =，所以52932523a a d --===-，121a a d =-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =- .【小问2详解】因为,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以21,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()()24221353433nn T n =++++⋅⋅⋅+-+()()2421543333n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()231919n ⨯-=+-129928n n n +-=-+．18. 已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求函数()f x 的最值；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】（1）最大值为2，最小值为2-（2【解析】【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．【小问2详解】结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则263A A ππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 2ABC S bc A == 23c =时，1sin 2ABC S bc A ==△．综上，ABC ．19. 在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB SB 、的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接SO ，OB ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO ，BO 交于点O ，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，于是可知AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,那么(00)(200)(000)(0B C S M N -,,,,,,,,,，∴(30),(10CM MN ==- ,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，那么30=0CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ ，取1z =，那么==x y ，∴n = ，又(0,0,OS = 为平面MBC一个法向量，的1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴==，sin ,n OS ∴= ，即二面角N CM B --.20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B 中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X 的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，则()222223422221221264C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲班在项目A 中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B 中获胜”为事件B ，则()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()64132281281P X P AB P A P B ====⨯=，()()()111022P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为X 012P 17162123281()17132209012162281162E X =⨯+⨯+⨯=．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为20916221. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0，+∞）（2）a ≤－2【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x '+++=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x .当x ∈(0)时，()f x '＞0；x ∈，+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0，+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-22. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点(4,3)A，离心率e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线1x =于点P ，Q ，求||||PB QB 的值.【答案】（1）22143x y -= （2）||=1||PB QB 【解析】【分析】（1）根据已知列关于a ,b ,c 的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA ，NA 的方程，然后可得点P ，Q 坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得0P Q y y +=，然后可得.【小问1详解】由题知222221691a b c a a b c⎧-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，27c =，22143y x ∴-=；【小问2详解】.设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，则2222(34)84120k x k x k -+--=，则2=144144k ∆-，2122834k x x k -+=-，212241234k x x k --=- ，设直线113:3(4)4y MA y x x --=--，223:3(4)4y NA y x x --=--，令1x =，113334P y y x -=--，223334Q y y x -=--，则12123363()44P Q y y y y x x --+=-+--，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)y y y x x y x x x x ----+--+=----1212122(35)()8(3)=(4)(4)kx x k x x k x x -++++--222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636k k k k k k k k k k k ---+-++--=----+--所以12123363()=044P Q y y y y x x --+=-+--，B 为PQ 的中点，所以||=1||PB QB .【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0P Q y y +=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.。

南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期8月联合调研数学试题

南京市六校联合体2022-2023学年高三上学期8月联合调研数学试题

六校联合体2023届高三8月联合调研数学一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2. 复数满足，则（ ） A.B.C. 2D.3. 若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）A.B.C.D.4. 如图，用种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）种A. B.C. D.5. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（ ） A.B. 2C. 3D.6. 若，则的大小关系是（ ） A.B. C. D.7. 设双曲线的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且，若的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）{}11M =-，1124Z 2x N x x +ìü=<<Îíýîþ，M N =!{}1{}1-{}1,1-(2,1)-z ()12i 3i z +=-z =a !b !a b =r r ()+2a b a ^!!!a !b !6p 3p 23p 56p 4A B C D 144734832π()2sin()(0)3f x x w w =->3wp()y g x =()y g x =[,]64p p-w 320.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===a b c ，，a b c <<b c a <<c b a <<c a b <<222:1y C x b-=12F P F P ^12PF F △AB. 2C. 3D.8. 定义在R 上的偶函数满足对任意的，都有 ，当时，在上恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为研究混凝土的抗震强度与抗压强度的关系，某研究部门得到下表的样本数据：140 150 170 1801952324262828若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当增加1个单位时，增加约0.1个单位 C. 与正相关D. 若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.110. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则圆不可能过点 B. 若圆与两坐标轴均相切，则C. 若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4D. 若圆上有两点到原点的距离为1，则11. 若，则下列选项正确是（ ）A.B.CD.12. 已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有且仅有一条切线 B. 当时，可作三条切线，则 C. 当，时，可作两条切线()f x x ÎR ()()13+=-f x f x []02x ,Î()=f x ()=-y f x kx ,()0x Î+¥k èøèøèøëøy x x y y x !!0.1y x a =+!9.1a=x y y x ()()22:1C x a y b -+-=a b =C ()0,2C a b =()3,4C C C 224a b +<()52210012102x x a a x a x a x -+=++++!的032a =280a =121032a a a +++=!1210992a a a +++=!()ex xf x =(,)a b ()f x 00a b ==，0a =240e b <<2a =0b >D. 当时，可作两条切线，则的取值范围为或 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列的前n 项和为S n ，且满足，则的值为________． 14. 已知，，，，则值为_______．15. 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．16. 在三棱锥中，△是边长为3的正三角形，且的大小为，则此三棱锥外接球的体积为________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知的三个内角所对的边分别为a ，b ，c ，. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积.18. 已知数列{an }满足a 1＝1，a 2＝3，数列{b n }为等比数列，且满足b n (a n ＋1－a n )＝b n ＋1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，若________，记数列{c n }满足c n ＝求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．在①2S 2=S 3-2，②b 2，2a 3， b 4成等差数列，③S 6＝126这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．19. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜．商定每局比赛（决胜局第三局除外）胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立． （1）求比赛结束，甲得6分概率；（2）设比赛结束，乙得分，求随机变量的概率分布列与数学期望．20. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为02a <<b 24ea -e a a{}n a 23n n a S +=5a π(0,)2a Îπ(,π)2b Î7cos 29b =-7sin()9a b +=sin a 的P 28y x =P y 1d 22:(3)(3)4C x y ++-=Q 2d 12d d +A BCD -BCD AD =AB =A BD C --3p ABC !,,A B C )tan tan tan tan 1+=B C B C A 1a =21)0c b -=ABC !,,,,n n a n b n ìíî为奇数为偶数2313的X X S ABCD -ABCD SAD !SAD ^ABCD 1AB =P AD S ABCD -（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆C :的上下顶点分别为，过点P 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于两点，直线与交于点. （1）设的斜率分别为，求的值; （2）求证：点在定直线上.22. 已知函数，.（1）求函数的极值；（2）若不等式在上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明不等式：.E SB //PE SCD SA M PMB SAD 5M 22154x y +=A B ，()03，M N ，BM AN G AN BN ，12k k ，12k k ×G ()()()2ln 2f x x x =++()()2g (3)21()x x a x a a R =+-+-Î()f x ()g()f x x £(2,)x Î-+¥1*32311111+1+1+1+e ()4444n n N æöæöæöæö×××<Îç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø六校联合体2023届高三8月联合调研数学一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】化简集合N ，据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B2. 复数满足，则（ ） A.B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】先求出复数z ，再求 【详解】因为，所以， 所以故选：A3. 若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】{}11M =-，1124Z 2x N x x +ìü=<<Îíýîþ，M N =!{}1{}1-{}1,1-(2,1)-{}1124Z 1,02x N x x +ìü=<<Î=-íýîþ，{}11M =-，{1}M N Ç=-z ()12i 3i z +=-z =.z ()12i 3i z +=-()()()()3i 12i 3i17i 12i 12i 12i 55z ---===-++-z ==a !b !a b =r r ()+2a b a ^!!!a !b !6p 3p 23p 56p【分析】由，得，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为（），因为，所以，所以，得，因为非零向量，满足，所以， 因为，所以， 故选：C4. 如图，用种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）种A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】依次对区域、、、涂色，结合分类加法与分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先对区域涂色，有种选择，其次再对区域涂色，有种选择， 然后再与区域、涂色，有两种情况： （1）若区域、同色，有种情况； （2）若区域、不同色，有种情况. 综上所述，不同的涂法种数为种. 故选：C.5. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（ ） ()+2a b a ^!!!()+20a b a ×=!!!a !b !q [0,]q p Î()+2a b a ^!!!()+20a b a ×=!!!220a a b +×=!!!22cos 0a a b q +=!!!a !b !a b =r r 1cos 2q =-[0,]q p Î23p q =4A B CD 144734832B C A D B 4C 3A D A D 2A D 212´=()432248´´+=π()2sin()(0)3f x x w w =->3wp()y g x =()y g x =[,]64p p-wA. B. 2 C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】先求出，又因为在上为增函数，则，且，即可求出最大值.【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则，又因为在上为增函数，所以，且，解得：，故的最大值为2.故选：B.6. 若，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】，因为在R上为减函数，所以，因为在上为增函数，所以，所以，所以，故选：D.7. 设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（）A.B. 2C. 3D.32()g x()y g x=ππ[,]64-ππ62wæö×-³-ç÷èøππ42w×£wπ()2sin()(0)3f x xw w=->3wp()y g x=()ππ2sin2sin33g x x xw wwéùæö=+-=ç÷êúèøëû()y g x=ππ[,]64-ππ62wæö×-³-ç÷èøππ42w×£2w£w0.5.4320.4,0.5,log4a b c===a b c，，a b c<<b c a<<c b a<<c a b<< 322log40.45===c0.4xy=10.50.40.40.40.4=<=<c a0.4y x=()0,xÎ+¥0.40.40.50.4>=b a b<c a b<<222:1yC xb-=12F P F P^12PF F△【答案】D 【解析】【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式，列出方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可知，设，可得， 又因为，若的面积为，所以，且， 联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为故选：D.8. 定义在R 上的偶函数满足对任意的，都有 ，当时，在上恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A.B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用为偶函数、得为的一条对称轴，且周期为4，若函数在与的图象的交点恰有3个，画出他们的图象，结合图象可得答案.【详解】因为为偶函数，所以， 由得为的一条对称轴，由得， 所以的周期为4，若函数在上恰有3个零点，即与的图象交点恰有3个， 画出与的图象，c 222:1y C x b-=1a=21,PF m PF n ==2m n -=12F P F P ^12PF F △4142mn =2224m n c +=25c =ce a==()f x x ÎR ()()13+=-f x f x []02x ,Î()=f x ()=-y f x kx ,()0x Î+¥k èøèøèøëø()f x ()()13+=-f x f x 2x =()f x ()=-y f x kx ()x Î()=0,+¥上恰有3个零点，转化为y f x y kx =()f x ()()f x f x =-()()13+=-f x f x 3122-++==x xx ()f x ()()13+=-f x f x ()()()()1333++=--=-=f x f x f x f x ()f x ()=-y f x kx ,()0x Î+¥()y f x =y kx =()y f x =y kx =om当与的上半圆相切时，与的图象交点恰有2个，此时当与的上半圆相切时，与的图象的交点恰有4个，此时， 所以若函数在上恰有3个零点，则. 故选：A.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 为研究混凝土的抗震强度与抗压强度的关系，某研究部门得到下表的样本数据：140 150 170 1801952324262828若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当增加1个单位时，增加约0.1个单位 C. 与正相关 D. 若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.1【答案】ABC 【解析】【分析】由于线性回归直线过样本中心点，所以求出，代入回归方程中可求出，从而可求出回归直线方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可得，，()0y kxk =>()2244x y -+=()y f x =y kx =2=3k =()0y kxk =>()2284+=-y x ()y f x =y kx =2=15k =()=-y f x kx ,()0x Î+¥153k <<y x x y y x !!0.1y x a =+!9.1a=x y y x ,x y !a1401501701801951675x ++++==232426282825.85y ++++==所以，解得， 所以线性回归方程为， 所以A 正确，对于B ，由，可知当增加1个单位时，增加约0.1个单位，所以B 正确， 对于C ，因为，所以与正相关，所以C 正确，对于D ，当时，，所以抗压强度为220时，抗震强度约为33.1，所以D 错误， 故选：ABC10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则圆不可能过点 B. 若圆与两坐标轴均相切，则C. 若点在圆上，则圆心到原点的距离的最小值为4D. 若圆上有两点到原点的距离为1，则【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，将点代入圆的方程，进而通过判别式法判断答案； 对B ，根据题意得到a ,b 间的关系，进而判断答案；对C ，由题意得到，，将其视为圆的方程，进而根据圆的性质判断答案； 对D ，根据题意得到圆与圆C 总有两个交点，进而根据圆与圆的位置关系求得答案. 【详解】对A ，若，将点代入方程得：，方程无解.A 正确；对B ，若圆与两坐标轴均相切，则，则可以有.B 错误； 对C ，由题意，，则到原点的距离的最小值为：.C 正确；对D ，由题意，圆与圆C 总有两个交点，圆心距!25.80.1167a=´+!9.1a =!0.19.1y x =+!0.19.1y x =+x y 0.10>y x 220x =!0.12209.131.1y =´+=()()22:1C x a y b -+-=a b =C ()0,2C a b =()3,4C C C 224a b +<()0,2()()22341a b -+-=221x y +=a b =()0,2()222212430,162480a a a a +-=Þ-+=D =-=-<C ||||1a b ==a b =-()()22341a b -+-=(),C a b 14=221x y +=d =m .D 正确.故选：ACD. 11. 若，则下列选项正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，令，可求出，对于B ，根据多项式的乘法法则，结合组合知识求解，对于C ，令，可求出，再结合可求得结果，对于D ，利用展开式所有项系数和为，再结合可求得结果. 【详解】对于A ，令，则，所以A 正确，对于B ，因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，所以，所以B 错误， 对于C ，令，则，因为，所以，所以C 错误，对于D ，展开式所有项系数和为，令，则，因为，所以，所以D正确， 故选：AD12. 已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有且仅有一条切线 B. 当时，可作三条切线，则 C 当，时，可作两条切线D. 当时，可作两条切线，则的取值范围为或 【答案】ABD22111104a b -<<+Þ<+<()52210012102x x a a x a x a x -+=++++!032a =280a =121032a a a +++=!1210992a a a +++=!0x =0a 1x =01210a a a a +++…+0a 25(2)x x ++01210a a a a ++++!0a 0x =50232a ==2x 2x x -14222255C 12C (1)2120a =´´+´-´=1x =2501210(112)32a a a a ++++=-+=!032a =12100a a a +++=!25(2)x x ++01210a a a a ++++!1x =2501210(112)1024a a a a ++++=++=!032a =1210992a a a +++=!()ex xf x =(,)a b ()f x 00a b ==，0a =240eb <<2a =0b >02a <<b 24ea -e a a【解析】【分析】分点为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A ；设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，当时，，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断B ；当时，求出，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断C ；当时，由切线方程为得则，设，利用导数判断出 单调性，结合图象可判断D. 【详解】对于A ，当时，点在函数的图象上，， 若点为切点，则切线斜率为，所以切线方程为， 若点不为切点，设切点坐标为，所以， 切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，故A 正确；对于B ，设切点坐标为，所以，， 则切线的斜率为，切线方程为，当时，，则，设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时有极小值，为，时有极大值，为，时 ，画出的图象，()0,0()00,x y ()000001e e --=-x x x x y x x 0a =02e x x b =()2e =x x g x ()g x 2a =020022e -+=x x x b ()222e -+=x x x h x ()h x 02a <<()000001e e --=-x x x x y x x ()02001e +-=x x x ab ()()21e+-=xx x at x ()t x 00a b ==，()0,0()e x x f x =1()exxf x -¢=()0,0(0)1k f ¢==y x =()0,0()00,x y 00e =x x y 00001e-=x y x x 00x =00y =00a b ==，()00,x y 000e =x x y 1()exx f x -¢=001e x x k -=()000001e e --=-x x x xy x x 0a =()000001e e --=-x x x x b x 020ex x b =()2e =x x g x ()()222e e --¢==x x x x x x g x (),0Î-¥x ()0g x ¢<()g x ()2,x Î+¥()0g x ¢<()g x ()0,2x Î()0g x ¢>()g x 0x =()g x ()00g =2x =()g x ()242e =g 0x >()0e x x f x =>()e xxf x=k当时，若做三条切线，则与的图象有3个交点，由图可得 ，故B 正确； 对于C ， 当时，由切线方程得，则，设，则，所以单调递减，且，如图，所以当，时，与的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C 错误；当时，由切线方程为得 ，则，设，则， 因为，所以当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以当时，单调递减，时，有极小值为， 时，有极大值为，的图象为0a =y b =()e xxf x =240eb <<2a =()0000012e e --=-x x x x b x 020022e -+=x x x b ()222e -+=x x x h x ()()222440e e---+-¢==£x xx x x h x ()h x ()()2110e-+=>xx hx 2a =0b >y b =()222e-+=xx x h x 02a <<()000001e e --=-x x x x y x x ()000001e e --=-x x x x b a x ()02001e +-=x x x a b ()()21e +-=x x x a t x ()()()()2222e e+----¢==x xa x x a x a x t x 02a <<(),2Îx a ()0t x ¢>()t x (),Î-¥x a ()0t x ¢<()t x ()2,x Î+¥()0t x ¢<()t x x a =()t x ()()210e e +-==>a aa a aat a 2x =()t x ()()22412420e e+--==>a at ()t x若作两条切线，则的取值为或，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1）利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题。

广东省惠州一中等六校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题(解析版)

广东省惠州一中等六校2023-2024学年高三上学期11月期中联考数学试题(解析版)

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =−，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,0− C.{}2,1,0− D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =−，所以{}0,1A B = .故选：A2.若复数z 满足()34i 1z −（ ） A 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++−=⇒====+−+⋅−，所以15z . 故选：B.3.已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥− ，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.5π6.【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅−=，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥− ， 则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅−=−⋅=−⋅=−=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ+=−，则cos 2θ=（ ） A. 12−B.12C. 45−D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ+++===−−−， 整理可得2tan 6tan 90θθ−+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ−−−====−+++. 故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =−∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ， 则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a == =+ ，可得2π,a k k Z =−∈， 所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切； 直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件． 故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a =−时取等号，所以当1,1a b −=时，22121a b a b +++取得最小值4+. 故选：D7. 已知三棱锥S ABC −如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC −的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB −、G SEF−的体积，可得出EFG ABCC SAB G SEF V V V −−−=−，即可得解. 【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ∩=，AB 、AS ⊂平面SAB ， 所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GHSG ACSC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==××=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH −=⋅=×=△(3111332C SABSAB V S AC −=⋅=××=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V −−−=−==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j ∗∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ） A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列； 选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a ++++，B 是4-连续可表数列； 选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列； 选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列． 故选：B ．二、选择题：本题共45分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 9,2a k =，(),8b k = ，若//a b，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b =C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =− ，()2,3b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k = ，(),8b k = ，若//a b ，则298362k =×=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅−⋅=⋅−= ，所以，a b = 或()c a b ⊥−，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =− ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a aa b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+−的图象为C ，以下说法中正确的是（ ） A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08−中心对称 D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+−cos 2111sin2π222224x x x x x ++−=+=+， 所以函数()f x，故A 错误； 函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f−=×−+=，所以图象C 关于π,08 − 中心对称，故C 正确；将()π24f x x=+的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x+，再将π4yx +向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一．．的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数” B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x −也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x∈−是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()(121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确， 对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一的2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x −+−=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一．．的2x D ∈，使得()()12111f x f x −+−=，故()1f x −是“Ⅰ型函数”，C 正确， 对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =−−，由于[]11ππ,,sin 1,122x x −∈− ∈，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =−−∈−−，由于sin y x =在ππ,22x∈−单调递增，所以21m −≥−且221m −≤，故12m =，D 正确， 故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ） A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D −C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r =， 由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥∩=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ， 1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥, 因此11,,BD BC B BD BC ∩=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ， 因此三棱锥1P BC D −为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R=0h =时，R r ==B 正确， 取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM=,所以截面面积为16sin602×，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==−−=−−，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=−=−−−=−−−,所以点P到直线11B C的距离为d=由于01a≤≤，所以d=，由于45∈,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=−−−∴−−，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=−−−,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=−−−共线，则10a−=，1a=，此时()10,0,1C P=−，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=−不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1−，则a b +=______. 【答案】43−##113−【解析】【分析】分析可知，3−、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值. 【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1−，则a<0，且3−、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根， 由韦达定理可得31a b a+−+=−，231a −×=，解得23a =−，所以，423a b a +==−. 故答案为：43−. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =−，则210log a =_________. 【答案】9 【解析】【分析】根据10109a S S =−求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n nS =−， 所以()10991010921212a S S =−=−−−=，所以92102log log 29a ==. 故答案：9为15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x −≤ = −> ，关于x 的方程()()20f x a f x −⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(0,1) 【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围． 【详解】2()()0f x af x −=，则()0f x =或()f x a =，2100x x −=⇒=，2(2)02x x −=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =， 由图象可知，当01a <<时满足题意， 故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33 −【解析】π|sin|2Aϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A，B，C，D的坐标，根据||AD=222π28(1)243A sinϕω−+=，进而解出ω，ϕ，A，即可求出()f x，再由三角函数的性质求解．详解】由题意可得：||||OB OC=，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A，2,0Bπω+，(0,sin)C A，πsin1,22ADϕω∴+，AD=，222πsin281243Aϕω∴−+=，把πsin)Aϕω=+代入上式可得：2ππ()2240ωω−×−=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=−.πsin263−=+，0A>，解得163A=，所以函数16ππ()sin()363f x x=−，【[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x −∈− ，ππ1sin(),1632x −∈− ，16ππ816()sin(),36333f x x=−∈−故答案为：816,33−四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n ∗∈N .（1）证明：数列n S n为等差数列，并求{}n S 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）21n nT n =+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式； （2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T . 【小问1详解】解：对任意的n ∗∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++−++−===+++， 所以，数列n S n为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+−=，故2n S n =. 【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n −=−=−−=−，11a =也满足21n a n =−，故对任意的n ∗∈N ，21n a n =−. 所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +===− ⋅−+−+，故111111111111232352212122121n nT n n n n=−+−++−=−=−+++. 18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=−. （1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值. 【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值. 【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C −=+=+=，所以，1cos 2A =−，故2π3A =. 【小问2详解】解：因为D 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ， 所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+−= ， 由余弦定理可得222222π2cos3a b c bc b c bc =+−=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =−，由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥−，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc = +−=时，即当4b c ==时，等号成立， 故a的最大值为19 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=−−− （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =−− （2）[)(]2,10,1−−∪ 【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c ++≠，根据()()25152f x f x x x ++=−−−可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围. 【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a ++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c ++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=−−−， .所以，21225522a a b a b c=− +=− ++=−，解得1220a b c =− =− =，故()2122f x x x =−−. 【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +−==−的定义域为()0,∞+， 且()ln 12ln 1g x x x x x ′=+−−=−−， 令()ln 1h x x x =−−，其中0x >，则()111xh x x x−′=−=， 由()0h x ′>可得01x <<，由()0h x ′<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞， 故对任意的0x >，()()()10g x h x h ′=≤=， 所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x −≤<−或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1−−∪.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD ，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B −−所成角的正切值为2，求二面角C DF E −−所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B −−的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E −−所成角的余弦值. 【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥， 翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ∩=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ， 因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD −中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ， 因此，AD EF ⊥. 【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B −−的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=， 因为AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴， 平面BCD 内过点D 且垂直于BD z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠= ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD == ，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D 、12E、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC = ，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⋅=+= ⋅==，取1x =，可得(2,m =− ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF=−，则22220102n DF x n EF x z ⋅=+=⋅=−=，取2x =(n − ，所以，13cos ,19m n m n m n ⋅==⋅， 由图可知，二面角C DF E −−的平面角为锐角，故二面角C DF E −−的余弦值为1319. 21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n ∗∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：{}22n n b b −是等比数列； （3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn nb =+（2）见解析 （3）见解析 【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224n n n b b −=⋅，结合等比数列的定义即可得证； （3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b −+<−⋅，进而可得112k k n n k −∑<∑，结合错位相减法即可得证. 【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a −=⋅=，又221144n n n n nb a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n nnn n n b b −=+−+=⋅， 所以220n n b b −≠，且211222224424n n n n n nb b b b +++−⋅==−⋅， 所以数列{}22n n b b −是首项为8，公比为4的等比数列； 【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222nnnn nn n n n n n b b −+−+−==<−⋅⋅⋅，12n n−<，所以112k k nn k−∑<∑，设10121112322222nnk n k k n T −−===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222nnn T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n nn T −⋅− + =+++⋅⋅⋅+−=−=−−，所以1242n n n T −+=−，所以1112422k k n nn kn −−+∑<∑=−< 【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =−，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>−+−.【答案】22. ()10,e t −上单调递增，()1e,t −+∞上单调递减.23 证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【小问1详解】()()ln f x x t x =−,()n 1l 1ln t x f x t x x x ′− =−+=−−, ()100e t f x x −>⇔<<′,()10e t x f x −<⇔>′,()10,e t −上单调递增，()1e,t −+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =−,()ln f x x ′=−,()()1ln f x x x =−在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→== − =−− −==， 因为()10f x x′ =−< ′，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数， 函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示. 不妨设12x x <，则1201e x x <<<<..第21页/共21页连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1e y x −−, 当y a =时，()41e e x a =−+, 由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>−+−，只需证明411(2e)e ex x a +>−+−，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >−+−−=−， 连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ， ()1ln 1e x f x x ′−===⇒，1121ln e e e f = − =， 直线3l 的方程为21e e y x −=−,即1ey x =+， 令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1e a −, 由图可知，11ex a >−， 故要证不等式成立.。

专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点P 到直线上各点距离的最小值为该点P 到直线的垂线段的长度；（2）圆C 外一定点P 到圆上各点距离的最大值为||PC R +，最小值为||PC R -(R 为圆C 半径)；（3）过圆C 内一定点P 的圆的最长的弦即为经过P 点的直径，最短的弦为过P 点且与经过P 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[,]a c a c -+，a c -与a c +分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦典例2．3．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点()0,P x a 为双曲线上的一点，若12PF F △的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A 32B 33C 2D 3【来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考数学试题【举一反三】1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点1F 作2BF 的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若1137PF FQ =，则椭圆的离心率是（ ） A 36B 255C 2127 D ．59214【来源】浙江省温州市普通高中2022届高三下学期返校统一测试数学试题类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例3．已知点F 为拋物线2:4C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则9AB DE +的最小值为（ ） A ．32B ．48C ．64D ．72【来源】江西省五市九校（分宜中学、高安中学、临川一中、南城一中、彭泽一中、泰和中学、玉山一中、樟树中学、南康中学）协作体2022届高三第一次联考数学（理）试题【举一反三】坐标原点O 且斜率为()0k k <的直线l 与椭圆2214x y +=交于M 、N 两点.若点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MAN △ 面积的最大值为（ ） A 2B ．22C ．22D ．1【来源】四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例4．（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为2B ．若12PF PF ⊥，且123PF F S =△，则2a =C ．以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则12212PF A PA F ∠=∠【来源】广东省2022届高三上学期第三次联考数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为4，则C 的离心率为（ ） A ．12B ．35C 2D 3【来源】衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一）【精选名校模拟】1．点F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，斜率为34的直线l 过点F 且与双曲线C 的右支交于点P ，过切点P 的切线与x 轴交于点M .若FM PM =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．207B ．165C ．259D ．143【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．32y x =±D ．52y x =±【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题3．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为2C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52【来源】江西省吉安市2022届高三上学期期末数学（理）试题4．已知点(5A ，(0,5B -，若曲线()222200,0y xa b a b-=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（ ） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a >【来源】浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题5．已知圆()2222p x y b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭与抛物线22(0)y px b p =>>的两个交点是A ，B ．过点A ，B 分别作圆和抛物线的切线1l ，2l ，则（ ）A ．存在两个不同的b 使得两个交点均满足12l l ⊥B ．存在两个不同的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥C ．仅存在唯一的b 使得两个交点均满足12l l ⊥D ．仅存在唯一的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥【来源】浙江省2022届筑梦九章新高考命题导向研究卷Ⅱ数学试题6．已知双曲线22221x y a b -=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．53C 3D ．112【来源】浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题7．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为（ ） A ．22B ．842+C ．222+D ．23+【来源】江西省上饶市2022届高三一模数学（理）试题8．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，12PF F △的重心为G .若12PF F △的内切圆H 的直径等于1212F F ，且12GH F F ∥，则椭圆E 的离心率为（ ） A 6B ．23C 2D ．12【来源】安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题9．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上不与A ，B 重合的任意一点，直线AM 与直线2x =交于点D ，过点B ，D 分别作BP ⊥直线2MF ，DQ ⊥直线2MF ，垂足分别为P ，Q ，则使BP DQ BD +<成立的点M （ ） A ．有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不存在【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．2312⎤⎢⎥⎣⎦C ．)31,1⎡⎣D ．232⎢⎣⎦11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(2B ．)2,2C ．2,3D ．()2,3【来源】重庆市巴蜀中学校2022届高三上学期适应性月考（六）数学试题12．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题13．双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为3时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ） A ．221x y -=B ．22122x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【来源】陕西省商洛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题14．过点()3,0P-作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A ．0,55⎡+⎣B ．55,5⎡⎤⎣⎦C ．5,55⎡+⎣D ．55,55⎡⎣15．（多选）已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，()()12,0,,0F c F c -分别为椭圆C 的左､右焦点，2PF =21212,6F F PF PF c ⋅=，线段12,PF PF 分别交椭圆于1122,,,M N F M F P F N F P λμ==，设椭圆离心率为e ，则下列说法正确的有( ) A ．若e 越大，则λ越大 B ．若M 为线段1PF 的中点，则31e = C ．若13μ=，则131e -=D ．334eλμ=- 【来源】湖北省部分重点中学2022届高三上学期第二次联考数学试题16．（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（ ） A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(323bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【来源】湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第二次适应性考试数学试题17．（多选）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为4，过焦点F 的直线与抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线l 的方程为2x =- B ．MN 的最小值为4C ．若()4,2A ，点Q 为抛物线C 上的动点，则QA QF +的最小值为6D ．122x x +的最小值2【来源】山东省滨州市2021-2022学年高三期末数学试题。

湖南省长郡十五校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题(含答案)

湖南省长郡十五校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题(含答案)

2021届长郡十五校高三联考第一次考试数学试卷由长郡中学；衡阳八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；联合命题石门一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际联合命题炎德文化审校､制作 总分：150分时量：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}11U x Nx =∈∣，集合{}0,4,6,8,9,10,{315}A B x x ==<<∣，则()UA B ⋂中元素的个数为（ ）A.5B.4C.3D.22.若复数z 满足():125z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限.C 第二象限 D.第一象限3.已知,a b 都是实数，则“11lnln a b<”是“22a b >”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C 智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(I 单位)2:W/m表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级(L 单位:dB)与声强I 的函数关系式为()10lg ,L aI =已知13210W/m I =时,10dB.L =若要将某列车的声强级降低30dB ，则该列车的声强应变为原声强的（ ）A.210-倍B.310-倍C.410-倍D.510-倍5.在平面四边形ABCD 中，2,3,23AB AD AC AB AD ===+，若BD AC ⊥，则向量AB AD 与夹角的余弦值为（ ）A.13 B.25 C.6 D.36.若多项式()210910019101(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则3a =（ ）A.56B.-120C.-56D.1207.新型冠状病毒肺炎(COVID 19-)疫情暴发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测，若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为(01).p p <<该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，此时0p =（ ）A.5 B.5 C.15- D.1-8.已知()2,2,,A B C 是拋物线22y px =上的三点，如果直线,AB AC 被圆22(2)3x y -+=截得的两段弦长都等于，则直线BC 的方程为（ ）A.210x y ++=B.3640x y ++=C.2630x y ++=D.320x y ++=二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.2020年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，关于下列说法，其中正确的是（ ）A.2025年我国5G 用户数规模最大B.2022年我国5G 用户规模年增长率最高C.从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D.这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的解析式可以表示为()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 C.该图象向右平移6π个单位可得2sin2y x =的图象 .D 函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A.112000a =B.1 1.21000n n a a +=-C.2020年小王的年利润为40000元D.两年后，小王手中现款达41万12.函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在：[)0,∞+上单调递增，则（ ） A.函数()()cos g x f x x =为奇函数B.函数()()()2h x x f x f ⎡⎤=-⎣⎦有且只有3个零点C.不等式()()20x f x f ⎡⎤-⎣⎦的解集为][(,20,2∞⎤--⋃⎦ D.()f x 的解析式可能为()2rxf x e ex -=+-三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.4名同学到A ､B ､C 三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A 小区，则共___________有种不同的安排方案. 14.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数()f x =___________.15.已知点())()()(),,1,0,1,0,,A BC D P x y -，如果直线,PA PB 的斜率之积为45-，记,PCD PDC ∠α∠β==，则()sin sin sin αβαβ+=+___________.16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,ABC AB BC PA AB AC ⊥===P ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为________；若点,M N 分别是ABC 与PAC 的重心，直线MN 与球O 表面相交于,D E 两点，则线段DE 长度为__________.(本小题第一空2分，第二空3分)四､解答题(本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4,a =求ABC 面积的取值范围.18.(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且n a 与1n a +. （1）证明{}2:n n a a +-是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足121:n n n b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得2n n nT <的n 的取值范围.19.(本小题满分12分)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本､兴国之器､强国之基，发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布()2,Nμσ，并把质量差在(,)μσμσ-+内的产品为优等品，质量差在(,2)μσμσ++内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则:()0.6827,(2P P μσξμσμσξ-<+≈-<2)0.9545,(33)0.9973.P μσμσξμσ+≈-<+≈（3）假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列及期望值. 20.(本小题满分12分)在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//,,,1,2CD AE AC AE AB BC CD AE AC ⊥⊥===，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =（1）证明：GF //平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求一面角A BE D --的余弦值. 21.(本小题满分12分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，点A 为C 上位于第二象限的动点，（1）若点A 的坐标为(-2，3)，求双曲线C 的方程；（2）设,B F 分别为双曲线C 的右顶点､左焦点，是否存在常数λ，使得.AFB ABF ∠λ∠=如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由. 22.(本小题满分12分) 已知曲线()()()3212mxf x ea x a R =-++∈在0x =处的切线斜率为21a --. （1）确定m 的值，并讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x 时，()2212(1)2f x x a ++，求a 的取值范围. 2021届长郡十五校高三联考第一次考试数学参考答案一､二､选择题1.B 【解析】{}1,2,3,5,7,11,{315}UA B x x ==<<∣(){}()5,7,11,U U A B A B ∴⋂=∴⋂中元素的个数为3.故选.B2.A 【解析】由已知51212z i i==-+，于是12,z i ==+它在复平面内对应的，点为()1,2,在第一象限，故选.A3.B 【解析】1111lnln ,0,0a b a b a b<∴<<∴>> 而22a b >得到11,lnln a b a b>∴<"是“22a b >"的充分不必要条件.故选B . 4.C 【解析】已知13210W/m I =时,10dB,L =所以()131010lg 10,a =⨯解得12:10a -=，所以()()1210lg 101012lg L I I -=⨯=-+设列车原来的声强级为1L ，声强为1,I 该列车的声强级降低30dB 后的声强级为2,L 声强为2I则()()()112121221012lg 1012lg 10lg lg 10lg30I L L I I I I I -=-+--+=-==， 所以12lg3,I I =解得312:10,I I =即32110II -=， 即该列车的声强应变为原声强的310-倍.故选C.5.D 【解析】因为,BD AC ⊥所以()0AB AD AC -⋅=又因为23,AC AB AD =+所以()()230AB AD AB AD -⋅+=所以222|3|0AB AB AD AD +⋅-=又因为2,3,AB AD ==所以22223(3)0AB AD ⨯+⋅-=所以1,AB AD ⋅=所以cos ,6BAD ∠==故选.D 6.D 【解析】法一()()210210:11]11],x x x x ⎡⎡+=+-++-⎣⎣则37310(1)120,a C =-=-故选D 法二：对等式()21091001910:1(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++两边连续求导三次得： ()767349101098324321987(1)1098(1)x a a x a x a x ⨯⨯=⨯+⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯+令1,x =-得3:120,a =-故选.D7.C 【解析】由题意可知：该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性或前4人检测阴性，第5人为阳性.()34(1)(1)(01)f p p p p p p ∴=-+-<<()()2334223(1)(1)4(1)(1)(1)5102f p p p p p p p p p p =--+---+-=--+'25(1)p p p ⎛=- ⎝⎭⎝⎭201,(1)0p p p ⎛<<∴-< ⎝⎭0p ∴<<时(),0f p '>1p <<时(),0f p '< ()f p ∴在50,5⎛ ⎝⎭上递增，在55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，5155p ∴==-时(),f p最大，即015p =-故选C .8.A 【解析】法一：()2,2A 在抛物线22y px =上，故2222,p =⨯即1,p =抛物线方程为22,y x =设()221212122212122,,,,1222BC y y y y B y C y k y y y y ⎛⎫⎛⎫-∴==⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭- ∴直线BC 的方程为211122:,2y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即()121220x y y y y y -++=设直线()AB AC 的方程为():22y k x -=-，即220kx y k -+-=，依题意：圆心(2，0)到直线()AB AC的距离1,d ==解得k =，由122AB k y ==+1:2y =-+，同理22212128:24,23y y y y y =-∴+=-=-=，故直线BC 的方程为3640x y ++=，故选.A法二：设221212,,,,22y y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线()11:2220,AB x y y y -++=依题意：圆心(2，0)到直线AB 的距离1,d ==即211111131280,61280,3640y y x y x y ++=++=++=，同理：223640,x y ++=所以直线BC 的方程为3640,x y ++=故选.A9.AC 【解析】由某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，知：对于A ，2022年我国5G 用户规模年增长率接近300.0%，达到最高，故A 正确；对于B ，2029年我国5G 用户数达到137205.3万人，规模最大，故B 错误；对于C ，从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C 正确； 对于D ，这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，后5年的方差小于前5年的方差，故D 错误.故选A C.10.ABD 【解析】依题可求得:2,2,,3A πωϕ===所认()2sin 2,,,3f x x A B D π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均对，故选AB D. 11.BCD 【解析】()1120%10000100011000a =+⨯-=元，故A 错误;由题意1 1.21000,n n a a +=-故B 正确；由1 1.21000,n n a a +=-得()15000 1.25000,n n a a +-=-所以数列{}5000n a -是首项为6000,公比为1.2的等比数列，1111121250006000 1.2,6000 1.2500050000a a ∴-=⨯=⨯+=即，2020年小王的年利润为500001000040000-=元，故C 正确；22324950006000 1.2500060004100001.2a =+⨯=+⨯=元，即41万，故D 正确. 故选BCD.12.BCD 【解析】根据题意，依次分析选项：对于,A 若()()cos ,g x f x x =则()()()()()cos cos ,g x f x x f x x g x -=--==则()()cos g x f x x =为偶函数，A 错误;对于,B 设函数()()()()()()()()()()()2,2220,222220,F x f x f F f f F f f f f =-=-=-=--=-=则()F x 在R 上有且只有2个零点，所以()()()()2200,h h h h x =-==在R 上有且只有3个零点，B 正确; 对于,C 因为()()20,x f x f ⎡⎤-⎣⎦所以当0x <时，()()20,f x f -即()()2,f x f -可得2,x -当0x 时，()()20f x f -，即()()2,f x f 可得02x ，故()()20x f x f ⎡⎤-⎣⎦的解集为][(,20,2,C ∞⎤--⋃⎦正确;对于,D 若()2,x x f x e e x -=+-易得()f x 为偶函数，其导数()2,x x f x e e x -'=--则有()2220.x x f x e e -=+'--='则()f x '为R 上的增函数，在[)0,∞+上()(),00,f x f ''=所以此函数还满足在[)0,∞+上单调递增，D 正确.故选BCD.三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上)13.12【解析】分两类：（1）A 小区安排2人(同学甲及另一名同学)1232:6,C A = （2）A 小区只安排同学甲1人2232:6,C A =故答案为12.14.3cos x π(答案不唯—)(4:5PA PB k k x ⋅==-≠得(22:1,54x y x +=≠可见,C D 为两个焦点.()sin sin 2sin 2PC PD a CD cαβαβ++∴===+；【解析】依题：球O所以体积334433V R ππ===⎝⎭将该三棱锥P ABC -放置在单位正方体中，如图建立空间直角坐标系，则11121111,,,,,0,,,22233333O M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11111111,,,,,,,0,,66266633OM ON MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0ON MN ∴⋅= 3ON ∴=即为弦心距d ，∴线段3DE ===. 或利用在正方体中,AO PB ⊥又//,,PB MN AO MN ∴⊥即.ON MN ⊥ 四､解答题(本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.（1）()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-()()()a c a c b a b ∴+-=-即222a b c ab +-=，2221cos ,22a b c C ab +-∴== 3C π∴=（2）由余弦定理得：2221624cos 4163c b b b b π=+-⋅⋅=-+ ABC 为锐角三角形且,3C π=()()222222222241616,cos 0,,cos 016416,b b b A b c a B a c b b b b ⎧⎧⎧+-+>>+>⎪⎪⎪∴⇔⇔⎨⎨⎨>+>+-+>⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 解得28b << ABC面积(1sin 23S ab π==∈18.（1）n a 与1n a +12n n n S a a +∴=①1122n n n S a a +++∴=①由①-①可得22n n a a +-={}2n n a a +∴-是等差数列.取1,n =由1得1122,a a a =解得2 2.a =()()21211221,2122,n n a n n a n n -∴=+-⨯=-=+-⨯=n a n ∴=（2）()()1211111212n n n b a a n n n n ++===-++++ 123n n T b b b b ∴=++++1111111123344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1122n =-+ ()22n n =+由()222n n n n <+得()1:22*n n -+>， 不难发现1,2,3n =满足(*).法一：当4n 时，设()122,n f n n -=--则()()1212n f n n +=-+- ()()11210n f n f n -∴+-=->()()(){}()1,4f n f n f n n ∴+>∴单调递增()(),40f n f ∴> ∴当4n 时1,22n n -+<∴使得2n n n T <的n 的取值范围为{}1,2,3. 法二：当4n =时，4142628-+=<=当5n 时，()01221212(11)2222242n n n n n n n n n n n n n C C C C C C n n n n ---=+=++++++>⨯++=++>+∴当4n 时1,22,n n -+<∴使得2n n n T <的n 的取值范围为{}1,2,3. (其他方法酌情给分)19.（1）4656566666760.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 768686960.020100.0051022+++⨯⨯+⨯⨯70=（2）由题意样本方差2100,s =故10,σ≈=所以()270,10,X N ~由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<<()10.68270.95450.81862=+= （3）X 所有可能取值为0，1，2，3，()()0312353533885150,12828C C C C P X P X C C ====== ()()2130353533881512,35656C C C C P X P X C C ====== 随机变量X 的分布列为19()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20.（1）分别取,AB EB 中点,,M N 连接,,.CM MN ND在梯形ACDE 中，//DC EA 且1,2DC EA =且,M N 分别为,BA BE 中点 1//,2MN EA MN EA ∴= //,MN CD MN CD ∴=∴四边形CDNM 是平行四边形，//CM DN ∴ 又14EG EB =，N 为EB 中点,G ∴为EN 中点，又F 为ED 中点， //GF DN ∴//GF CM ∴又CM ⊂平面,ABC GF ⊄平面,ABC//GF ∴平面ABC（2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H .BH ⊂平面,,ABC BH AC ⊥BH ∴⊥平面.ACDEBH ∴即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB BC == H 为AC 中点，连接HF ，易知,,HB HC HF 两两垂直，以{},,HB HC HF 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()()()()0,1,0,1,0,0,0,1,2,0,1,1A B E D --()()()1,1,0,1,1,2,0,2,1,AB BE DE ==--=-设()1111,,n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则110,0n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩ 取()11,1,0n =-设()2222,,n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则2200,n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取()23,1,2n =所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ 由图，二面角A BE D --为针二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为. 21.（1）离心率2,2c e c a a==∴=， 又22223,b c a a =-=∴双曲线方程2222:13x y C a a -=， 把点()2,3A -代入双曲线方程得2249,1,3a a-=解得21a =， 故双曲线C 的方程为22: 1.3y x -=（2）由（1）知：双曲线方程2222:1,3x y C a a-= ()(),0,2,0,B a F a ∴-①当直线AF 的斜率不存在时，则290,3,3b AFB FB a AF a a ∠====， 45,ABF ∠∴=此时 2.λ=①当直线AF 的斜率存在时，设()00,,,,AFB ABF A x y ∠α∠β==其中00,0x a y <-> 因为2,e =故2,,c a b ==故渐近线方程为:y =， 所以20,,0,,33ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又0000tan ,tan 2y y x a x aαβ==-+-， 所以()()0000222000022tan21y y x a x ax a y y x a β----==--⎛⎫- ⎪-⎝⎭()()()()()00002222220000222331y x a y x a x x a x a x a a a ----==⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ()()00000232y y x a x a x a -==--++tan tan2αβ∴=又2,20,,23παβαβ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭综上：存在常数2λ=满足:2.AFB ABF ∠∠=(其他方法酌情给分)22.（1）定义域为()(),21,mx R f x me a =-+'依题意()():02121,f m a a =-+=--'所认 1.m =所以()()()()321,212x x f x e a x f x e a =-'++=-+， 当1a -时()(),0,f x f x '在R 上单调递增，当1a >-时，令()0,f x '=得()ln21x a =+，当()ln21x a <+时，()()0,f x f x '<在()(),ln21a ∞-+上单调递减， 当()ln21x a >+时()(),0,f x f x >'在()()ln21,a ∞++上单调递增， 综上，当1a -时，()f x 在R 上单调递增；当1a >-时，()f x 在()(),ln21a ∞-+上单调递减，在()()ln21,a ∞++上单调递增（2）设()()2212(1),2g x f x x a =--+则()()213[21]22x g x e x a =-+++， 依题()0g x 对[)0,x ∞∈+恒成立，又()()22x g x e x a =-++'， 令()(),h x g x ='则()10xh x e ='-， ()h x ∴单调递增()(),021,h x h a ∴=--①当210,a --即12a -时()()(),0,h x g x g x '=在[)0,∞+上单调递增 ()2min 555()02(1)0,11,2g x g a a ∴==-+∴---+ 又151,1;22a a -∴--- ①当210,a --<即12a >-时 则存在唯一的[)00,x ∞∈+使()00,h x =即()00210x e x a --+=，当()00,x x ∈时()(),0,h x g x <'=当()0,x x ∞∈+时()(),0h x g x '=>，即()00,x x ∈时(),g x 单调递减，()0,x x ∞∈+时(),g x 单调递增，故()002min 013()0,22x x g x g x e e ==-+解得003,x e <从而00ln3x < 又()0021,x a e x +=-而x e x -在[)0,∞+上单调递增， ()1213ln3,a ∴<+-解得综上，实数a的取值范围为1ln3 122⎡⎤---⎢⎥⎣⎦.。

湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题(wd无答案)

湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题(wd无答案)

湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考(一)数学试题一、单选题(★) 1. 已知全集，集合，则为（）A．B．C．D．(★) 2. 下列选项中正确的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则(★★★) 3. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A．2B．4C．16D．8(★★★) 4. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“ ”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（）．A．10个B．15个C．16个D．18个(★★★) 5. 的三内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足，则的形状是（）A．正三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(★) 6. 设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（）A．－2B．2C．3D．－3(★★★) 7. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．(★★★★)8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A．B．3C．6D．二、多选题(★★) 9. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数，则．B．复数满足，在复平面内对应的点为，则．C．若复数，满足，则．D．复数的虚部是3．(★★) 10. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（）A．该市14天空气质量指数的平均值大于100B．此人到达当日空气质量优良的概率为C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大(★★★)11. 已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，，，则下述正确的是（）．A．该四棱台的高为B．C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为(★★★★) 12. 已知函数，以下结论正确的是（）A．在区间上是增函数B．C．若函数在上有6个零点，则D．若方程恰有3个实根，则三、填空题(★★★) 13. 已知，，，则向量与的夹角是____(★★) 14. 已知随机变量，若，则______.(★★★) 15. 如图，直四棱柱，底面是边长为的菱形，，，则直线与成角的余弦值为_____．四、双空题(★★★) 16. 已知函数，则的最大值为________，若在区间上是增函数，则的取值范围是________.五、解答题(★★★) 17. 已知函数，（，，）的最小正周期为. （1）从① ；② ；③ ，都有这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数的解析式；（2）求（1）中所求得的函数在区间上的最大值和最小值.(★★★) 18. 已知是数列的前 n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，为侧棱上一点，且，，，.（1）证明：平面. （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.(★★★★) 20. 已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数 t的最大值.(★★★) 21. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.求椭圆的方程；直线：与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程.(★★★) 22. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了 A餐、 B餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时 A、 B两种餐盒的配餐比例为3：1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，（1）求抽取的5个餐盒中有三个 B餐的概率；（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑 B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个 B餐盒查看.如果抽出一个是 A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是 B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中 A、 B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的 A餐盒数以随机变量 X表示，求 X的分布列与数学期望.。

北京市朝阳区六校联考2024-2025学年高三上学期9月数学试题

北京市朝阳区六校联考2024-2025学年高三上学期9月数学试题

北京市朝阳区六校联考2024-2025学年高三上学期9月数学试题一、单选题1．已知集合{}{}0,1,2,3,4,13A B x x ==-<<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}1,2,3 C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32．下列函数在区间()0,1上为增函数的是（ ）A ．1y x =-B ．22y x x =-C ．yD ．1y x=3．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，终边关于原点O 对称.若角α的终边与单位圆⊙O 交于点2(3P ,，则cos β=（ ）A ．23B ．23-C D ．4．已知22log log 1m n -=，则（ ） A ．2mn = B ．2m n -= C ．2m n =D ．2m n =5．已知,0a b >且2ab =，则(1)(2)a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．86．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞上的增函数，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．若a b ∈R 、，则“22a b >”成立是“2cos 2cos a a b b ->-”成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要8．已知函数21()cos sin cos (1)2f x x x x ωωωω=+->的一个零点是π2，且()f x 在ππ,616⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则ω=（ ）A ．54B ．74C ．94D ．1149．成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解n 元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解n 元一次方程组大约需要对实系数进行3C n ⋅（C 为给定常数）次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（ ） A ．310机时B ．410机时C ．510机时D ．610机时10．已知函数()1e xf x x kx k +=-+，有且只有一个负整数0x ，使()00f x ≤成立，则k 的取值范围是（ ）A ．21,3e 2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．21,3e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题 11．已知2cos 3α=，则cos2=α. 12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示. ①函数()f x 的最小正周期为；②将函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数，则t 的最小值是.13．在ABC V 中，若BC 边上的高为13a ，则 ()2b c bc+的一个取值为. 14．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4,3AB AD ==，当BM =时，矩形花坛AMPN 的面积最小．15．已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，给出下列四个结论.①若函数()=-y f x kx 有4个零点，则实数k 的取值范围为11,246⎛⎫⎪⎝⎭②关于x 的方程*1()0()2n f x n -=∈N 有24n +个不同的解③对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立④当1*[2,2]()n n x n -∈∈N 时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=其中所有正确结论的序号是．三、解答题16．已知函数()2sin cos f x x x x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数()f x 在2π,123π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；(3)若π243f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求4πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)若()()2ππ,,1044x f x mf x ⎡⎤⎡⎤∀∈---≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围.18．在①sin A B ，②c ③222a b c +-=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得ABC V 存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在ABC V 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且cos B =________，________，求ABC V 的面积．19．已知函数()e ln e x xf x x a =-+.(1)若0a =，求函数()f x 的零点.(2)若01,1e x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()00f x ≥成立，试求a 的取值范围(3)当()()exf x ag x -=在点()()1,1A g 处的切线与函数()2y f x =-的图象交于点B 时，若ABO V 的面积为e 1-，试求a 的值．20．已知函数ln ()xf x x=． (1)求()f x 在[2，](2)a a >上的最小值；(2)若关于x 的不等式2()()0f x mf x +>有且仅有三个整数解，求实数m 的取值范围． 21．对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a ∈A ，b ∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A ∪S （A ）．（1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d （S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ）），求元素个数最少的集合A ．。

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一上学期大联考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一上学期大联考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一上学期大联考数学试题一、单选题 1．计算()tan 330-=（ ）A ．B ．-C D ．【答案】A【分析】利用正切的诱导公式即可求解. 【详解】()()3tan 330tan 330360tan 303-=-+==， 故选：A.2．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,0,2}-【答案】D【分析】A B B ⋂=,可以得到B A ⊆，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合.【详解】A B B B A ⋂=⇒⊆,{}2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--， 当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a ，符合题意，实数a 值集合为{}1,0,2-，故本题选D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 3．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】把对数写成指数25b =，根据指数函数的单调性可判断,,1a b 的大小，再根据指数函数的单调性得到1c <，从而可得三者的大小关系.【详解】因为2log 5b =， 则25b =， 故222b a >>， 故1b a >>； 又323c =<， 故1c <.综上，b a c >>， 故选：A.【点睛】本题主要考查了指数对数互化，以及利用指数函数的单调性比较大小的问题.属于较易题.4．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】D【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.5．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论．【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．则 5.196sin 0.8666θ==≈． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是（ ） A ．cos y x = B ．2sin y x =C ．cos 2x y =D ．tan y x =【答案】B【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A 、D ，利用单调性可排除选项C ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由于cos y x =的周期为2π，故选项A 不正确； 对于选项B ：由于2sin y x =以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，故选项B 不正确；对于选项C ：故由于cos 2xy =的周期为2412ππ=，故选项C 不正确；对于选项D ：由于tan y x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故选项D 不正确. 故选：B8．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin()13,02()390e14,2x x x f x x π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n (n N *∈)小时才可以驾车，则n 的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln 30≈3.40）（ ）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL) 饮酒驾驶[)20,80醉酒驾驶 [)80,+∞A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，利用指数不等式的求解即可 【详解】由题意可知当酒精阈值低于20mg/100mL 时，才可以开车，则可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，即0.5115xe -<，两边取自然对数可得0.51ln ln 15xe-<，即0.5ln15x -<-，则ln15 2.715.420.50.5x >≈=，取整数可得为6h 故选：B【点睛】关键点睛：利用指数函数的性质求解不等式即可，属于基础题二、多选题9．给出下面四个结论﹐其中正确的是（ ） A ．设正实数a ，b 满足1a b +=，则11a b+有最大值4 B ．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<” C ．方程3log 30x x +-=的零点所在区间是()2,3D ．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()(2)f x f x =-+，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则()2019f 2=-【答案】BCD【分析】A.根据1a b +=，利用“1”的代换转化为112b a a bab +=++，再利用基本不等式求解判断；B.利用含有一个量词的命题的否定的定义求解判断；C.设()3log 3f x x x =+-，利用零点存在定理判断；D. 由()(2)f x f x =-+，得到函数的周期为4，再结合()f x 在R 上是奇函数求解判断. 【详解】A.因为1a b +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭, 当且仅当1a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩,即11,22a b ==时取等号，所以有最小值4，故错误；B.命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<”，故正确；C. 设()3log 3f x x x =+-，因为()()332log 210,3log 30f f =-<=>，所以函数的零点所在区间是()2,3，故正确；D. 因为()(2)f x f x =-+，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数的周期为4，又()f x 在R 上是奇函数，所以(2019)(20163)(3)(1)(1)2f f f f f =+==-=-=-，故正确；故选：BCD 10．已知243fx =-，则下列结论错误的是（ ）A ．()11f =B ．2()21f x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 有唯一零点【答案】BC【分析】利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可. 【详解】t =，则2()21(0)f t t t =-≥. 所以()11f =，即A 正确； 由2()21(0)f x x x =-≥，即B 错；因为定义域为()0,∞+不关于原点对称，故不是偶函数，C 错； 由()2()210,0f x x x =-=≥得2x =，即D 正确 故选：BC11．给出下面四个结论，其中正确的是（ ） A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2 B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确.【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间 故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确 故选：ABD12．给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）A ．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n 次（2n ≥）购买同一物品，用第一种策略比较经济B ．若二次函数2()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点﹐则实数a 的取值范围是15,00,824⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则32b a +的取值范围是)⎡+∞⎣D ．设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB x =，则ADP △的面积是关于x 的函数且最大值为108-【答案】BCD【分析】利用基本不等式可判断AD 的正误，对于B ，利用参变分离可得参数a 的取值范围，从而可判断B 的正误，利用对勾函数的性质可判断C 的正误. 【详解】对于A ，设两次购买此种商品的单价分别为1p ，2p （都大于0），第二种方案每次购买这种物品数量为0x >； 第一种方案每次购买这种物品的钱数为0y >.可得： 第二种方案的平均价格为：121222xp xp p p x ++=； 第一种方案的平均价格为1212121212121222222p p p p p p y p p yy p p p p p p +=≤=≤++.当且仅当12p p =时取等号，故A 正确.对于B ，因为2()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点，所以224410ax x +-=在()1,1-内恰有一个根，且此根不为零， 故21424xa x -=在()1,1-内恰有一个根，令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞， 故2244a t t =-在()(),11,-∞-+∞内恰有一个根，24y t t =-的图象如图所示：故()(){}243,00,54a ∈--即a 的取值范围是151,00,8246⎛⎫⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭， 故B 错误.对于C ，由()lg f x x =，0a b <<，()() f a f b =知1ab =，且01a <<， 所以3232a b a a+=+， 又01a <<，函数3()2g a a a=+在()0,1上是减函数， ∴32(1)5a g a+>=，325b a +>，故C 错误.对于D ，由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为24，AB x =，即12AD x =-， 因为0AB AD >>，故612x <<.设PC a =，则DP x a =-，AP a =，而ADP △为直角三角形， ∴222(12)()x x a a -+-=， ∴7212a x x =+-，∴7212DP x =-，其中612x <<， ∴1172(12)1222ADPSAD DP x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 43243210861086x x x x=--≤-⋅108722=-当且仅当4326x x=，即62x =时取等号， 即62x =ADP △取最大面积为108722-. 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：（1）利用基本不等式求最值时，注意检验等号成立的条件；（2）对于含参数的二次方程有解问题，利用参变分离求参数的取值范围，注意换元时变量范围的相应的变化.三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过函数()()1log 34a g x x =++（0a >且1a ≠）图象上的定点A ，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭__________.【答案】4【分析】令31+=x 求出函数()g x 的图象所过定点A 的坐标，设()af x x =，将点A 的坐标代入函数()f x 的解析式，求出a 的值，进而可求得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】令31+=x ，可得2x =-，则()112log 144a g -=+=，所以，点12,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()af x x =，则()()1224af -=-=，解得2a =-，()2f x x -∴=， 因此，211422f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：4.14．计算：3sin 2cos25212log 253log 6434πππ-⎛⎫-+⨯+= ⎪⎝⎭__________.【答案】1-【分析】利用指数、对数的运算性质以及特殊角的的三角函数值即可求解. 【详解】3sinsin sin 1222ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，cos 02π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以3sin 2cos25212log 253log 6434πππ-⎛⎫-+⨯+ ⎪⎝⎭21605212log 53log 234π-⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭5222log 536log 2341=⨯-⨯+⨯+2236341=⨯-⨯+⨯+1=-故答案为：1-.15．已知函数10()2,0x f x x x -<<=≥⎪⎩，若实数a 满足()()1f a f a =-，则(())f f a -=__________.【分析】根据函数定义，求出a 值后再计算函数值．【详解】根据题意，10()2,0x f x x x -<<=≥⎪⎩，其定义域为(1,)-+∞，则函数()f x 在(1,0)-和区间[)0,+∞上都是增函数， 当1a ≥时，有22(1)a a =-，无解； 当10a -<<时，无解； 若实数a 满足()()1f a f a =-， 必有110a -<-<且10a >>，且有2a =解得14a =，所以(())f f a -=【点睛】思路点睛：本题考查分段函数求函数值，解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式．16．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n（单位：小时）大致服从的关系为0()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【分析】根据第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，求得()t n ，然后将49n =代入求解.【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >，16=，解得064t =.8=，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t ==.故答案为：647四、解答题17．已知(){}2:()ln ,p t A t f x x tx t x R ∈==++∈，{}:211q t B t a t a ∈=-<<+. （1）求集合A ；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}04t t <<；（2）12a ≥. 【分析】（1）由题意，对于2,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立，利用判别式列出不等式，解出t 的取值范围可得集合A ；（2）由p 是q 的必要不充分条件，可得B A ，分B φ=和B φ≠两种情况，列出不等式解出a 的取值范围．【详解】（1）由2,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立， 240t t ∆=-<，得到04t <<，{}04A t t =<<，（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B φ=，即211a a -≥+，所以2a ≥； 当B φ≠，即211a a -<+，所以2a <， 由210a -≥，得12a ≥， 由14a +≤得3a ≤，所以122a ≤<， 综上所述：12a ≥.18．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭.（1）化简()fθ；（2）若()3f πθ-=-，求3sin 2cos 5cos 2sin θθθθ-+的值；（3）解关于θ的不等式：2f πθ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】（1）tan θ-；（2）3-；（3）212,2,3k k k Z ⎛⎤-+-+∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简，即可得到化简结果；（2）结合（1）得到的结果，将问题转化为齐次式进行求解，即可计算出结果；（3）结合（1）得到的结果，将其转化为不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为sin()sin θπθ-=-，cos()sin 2πθθ+=-，3cos()sin 2πθθ-=-，sin()sin πθθ-=， cos(2)cos()cos πθθθ--=-=，3sin()cos 2πθθ+=-，tan()tan()tan πθθθ--=-=-，22(sin )(sin )(sin )sin ()tan sin sin cos (cos )(tan )cos cos f θθθθθθθθθθθθθ---∴==-=---⋅. （2）由（1）可知()tan ,f θθ=-()()tan tan 3f πθπθθ∴-=--==-，3sin 2cos 3tan 25cos 2sin 52tan θθθθθθ--∴=++3(3)252(3)⨯--=+⨯-=11（3）因为()tan f θθ=-，()2f πθ∴≥tan()2πθ-≥整理可得tan()2πθ≤ 则()223k k k Z ππθπππ-+<≤-+∈，解得2122()3k k k Z θ-+<≤-+∈， 故不等式的解集为212,2()3k k k Z ⎛⎤-+-+∈⎥⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：解答第一问时关键是需要熟练掌握诱导公式，对其进行化简，并能结合同角三角函数关系计算结果，解答第二问时可以将其转化为齐次式，即可计算出结果.19．已知函数()sin f x x =，()cos g x x =；用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()m x ={}min (),()f x g x . （1）求23y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的值域； （2）若()fθ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，求a 的值；（3）若[]0,2x π∈，且方程()m x b =有两个实根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；（2）1（3）{}20,12⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到52,366x πππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）由题意得到sin cos sin cos aaθθθθ+=⎧⎨⋅=⎩，再利用平方关系得到212a a +=求解.（3）由最小函数得到()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，然后画出其图象，根据方程()m x b =有两个实根，利用数形结合法求解. 【详解】（1）因为,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以52,366x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以1sin 2[1,)32x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 即23y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域是1[1,)2-.（2）因为()fθ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，所以sin cos sin cos aaθθθθ+=⎧⎨⋅=⎩，且240a a ->，所以222sin 2sin cos co s a θθθθ+⋅+=，即212a a +=，解得12a =-或12a =+（舍）.（3）由题意得：()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，其图象如图所示：因为方程()m x b =有两个实根，由图象知：实数b 的取值范围是{}220,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 20．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象过点(3,1)A -. （1）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1m ≥-；（2）11k -≤≤.【分析】（1）代入即可求出函数()f x ，化简不等式，即可求出结果. （2）由121()log 1x f x x +=-在[]2,3上是增函数，12()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，结合函数图象，列不等式组即可得到结果. 【详解】（1）由题可知1213(3)log 131af -==--，所以1322a-=，1a =-， 所以121()log 1xf x x +=-. 当()1,x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，即11221log log (1)1xx m x ++-<-， ∴12log (1)x m +<在(1,)+∞恒成立， 当(1,)x ∈+∞时，1122log (1)log 21=+<=-y x∴1m ≥-，即实数m 的取值范围是1m ≥-. （2）令12111x u x x +==+--，在[]2,3上单调递减， 又1log2y u =单调递减. 所以121()log 1xf x x +=-在[]2,3上是增函数， 12()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，∴只需要(2)(2)(3)(3)f g f g ≤⎧⎨≥⎩，即可保证关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，下解此不等式组.代入函数解析式得11221122log 3log (2)log 2log (3)k k ≤+⎧⎪⎨≥+⎪⎩，解得11k -≤≤，即当11k -≤≤时关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解.【点睛】方法点睛：方程在区间上有解问题，结合函数图象列不等式组求解，是常用的方法.本题考查了计算能力和数形结合思想，属于一般题目.21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案.（1）当使用参数13m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 【答案】（1）不满足条件；答案见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当13m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由(4)2f <，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x +=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x mx+≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解. 【详解】（1）当13m =，函数()1344x f x x=-+，可得()211304'f x x =+>，所以()f x 在[]4,8x ∈为增函数满足条件①； 又因为71(4)2442f =<=⨯，所以当13m =时不满足条件②. 综上可得，当使用参数13m =时不满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x mf x x x+=+=， 所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<， 综上可得，4m ≥-，由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+.当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知函数3()()31x x af x a R -=∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值，并求此时函数()f x 的值域； （2）若存在120x x <<，使()()120f x f x +=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =，(1,1)-；（2）133a <<. 【分析】（1）利用(0)0f =可求1a =，分离常数后可求函数的值域.（2）由题设可得故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a 的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.【详解】（1）因为3()31x x af x -=+为奇函数，所以1(0)02a f -==，所以1a =， 又当1a =时，31()31x x f x -=+，此时()3131()3131x x x x f x f x -----==-=-++，满足奇函数的定义，故1a =符合.此时312()13131x x xf x -==-++， 又2231102()1(1,1)3131xx xf x +>⇒<<⇒=-∈-++， 故函数()f x 的值域为(1,1)-.（2）3111()13131x x xa a f x +--+==-++. ①当10a +≤时，()1f a ≥，故不成立； ②当10a +>即1a ≥-时，因为存在120x x <<，使()()120f x f x +=，故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集， 因为()f x 在R 上为增函数，故()f x 在()0,∞+上的取值区间为1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭， ()f x 在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()f x -在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭，若区间1,2aa-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭无公共元素，则12aa-≤或112a-≥，也就是13a≤或3a≥，故区间1,2aa-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭有公共元素时，必有133a<<.综上，13 3a<<.【点睛】方法点睛：（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.。

湖北省宜城一中、枣阳一中等六校联考2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题

湖北省宜城一中、枣阳一中等六校联考2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题

宜城一中　枣阳一中曾都一中　襄州一中南漳一中　河口一中　２０２２－２０２３学年上学期高三期中考试 数学试题 考试时间：　２０２２．１０．２６　１５：００－１７：００ 时限：１２０（分钟） 分值：１５０（分） 主命题学校教师： 副命题学校教师：　注意事项：１．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚。

２．选择题答案用２Ｂ铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用０ ５ｍｍ的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．设集合Ａ＝｛ｘ｜｜ｘ－３｜＜２｝，Ｂ＝｛ｙ｜２ｙ－１－１＞３｝，则Ａ∩Ｂ＝（ ）Ａ．（３，５） Ｂ．（１，５） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（３，＋∞）２．当１＜ｍ＜２时，复数ｍ（２＋ｉ）－（４＋ｉ）在复平面内对应的点位于（ ）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限３．已知平面向量ａ，ｂ，满足｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝２，｜ａ－２ｂ｜＝３，则ａ·ｂ＝（ ）Ａ．－２Ｂ．－１Ｃ．１Ｄ．２４．已知ｔａｎα＝２，则ｓｉｎαｃｏｓα＝（ ）Ａ．－２５Ｂ．－５２Ｃ．５２Ｄ．２５５．已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，ｐ（ｘ）＝ｘ，则图像为下图的函数可能是（ ）Ａ．ｙ＝ｐ（ｘ）２＋｜ｆ（ｘ）｜Ｂ．ｙ＝ｆ（ｘ）２＋ｇ（ｘ）Ｃ．ｙ＝｜ｐ（ｘ）｜２＋ｆ（ｘ）Ｄ．ｙ＝ｐ（ｘ）２＋ｆ（ｘ）６．我们可以把（１＋１％）３６５看作每天的“进步”率都是１％，一年后是１．０１３６５；而把（１－１％）３６５看作每天的“落后”率都是１％，一年后是０．９９３６５．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的１．０１３６５０．９９３６５≈１４８１倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是２０％，大约经过（ ）天后，“进步”是“落后”的１００００倍．（ｌｇ２≈０．３０１，ｌｇ３≈０．４７７）Ａ．１７Ｂ．１８Ｃ．２１Ｄ．２３７．已知函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ２＋ｌｎｘ＋１的图像在（１，ｆ（１））处的切线过点（２，８），则ｍ＝（ ）Ａ．５３Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４８．已知ａ＝ｌｏｇ３４，ｂ＝ｌｏｇ４５，ｃ＝ｌｏｇ５６，则下列说法正确的是（ ）Ａ．ａ＞ｂ＞ｃＢ．ａ＞ｃ＞ｂＣ．ｂ＞ｃ＞ａＤ．ｃ＞ａ＞ｂ二、多项选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．９．已知命题ｐ：“ ｘ∈（０，＋∞），ｘ＋１≥ｅｘ”．下列说法正确的是（ ）Ａ．ｐ为真命题Ｂ．ｐ为假命题Ｃ． ｐ： ｘ∈（０，＋∞），ｘ＋１≥ｅｘＤ． ｐ： ｘ∈（０，＋∞），ｘ＋１＜ｅｘ１０．已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ－π３）＋２，下列说法正确的是（ ）Ａ．函数ｆ（ｘ）的图像可以由ｇ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋２的图像向右平移π３个单位得到Ｂ．函数ｆ（ｘ）的一条对称轴是ｘ＝５π１２Ｃ．函数ｆ（ｘ）的对称中心是（π６＋ｋπ２，０）（ｋ∈Ｚ）Ｄ．函数ｆ（ｘ）的单调递增区间是（ｋπ－π１２，ｋπ＋５π１２）（ｋ∈Ｚ）１１．定义在（０，＋∞）上的函数ｆ（ｘ），满足２ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）＝１ｘ２，且ｆ（１）＝０，下列说法正确的是（ ）Ａ．ｆ（ｘ）＝ｌｎｘｘ２Ｂ．ｆ（ｘ）的极大值为１２ｅＣ．ｆ（ｘ）有两个零点Ｄ．ｆ（槡２）＞ｆ（槡３）１２．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上的图像的两个端点分别为Ｍ（ｍ，ｆ（ｍ）），Ｎ（ｎ，ｆ（ｎ）），设Ａ（ａ，ｆ（ａ））是ｙ＝ｆ（ｘ）图像上任意一点，其中ａ＝μｍ＋（１－μ）ｎ，（０＜μ＜１），→ ＢＮ＝μ→ ＭＮ．若不等式｜→ ＡＢ｜≤ｋ恒成立，则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上为“ｋ”函数．若函数ｙ＝３ｘ＋４ｘ在［１，４］上为“ｋ”函数，则下列能够满足条件的ｋ的值有（ ）Ａ．１２Ｂ．１Ｃ．３２Ｄ．２三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．复数ｉ３＋４ｉ的共轭獉獉复数的虚部为 ．１４．设点Ｍ是 ＡＢＣＤ的对角线的交点，Ｏ为任意一点，满足→ ＯＡ＋→ ＯＢ＋→ ＯＣ＋→ ＯＤ＝λ→ＯＭ，则λ为 ．１５．已知－３＜ｘ＜３，则ｆ（ｘ）＝ｘ９－ｘ槡２的最小值为 ．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ，ｘ≤０ｅｘｘ，ｘ{＞０，若函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）的零点一共有３个，则实数ｍ的取值为 ．四、解答题：本题共６小题，共７０分．第１７题１０分，其他每题１２分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１７．已知函数ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＋ｍ在区间０，π[]２上的最大值为３．（１）求常数ｍ的值；（２）在△ＡＢＣ中，若ｆＣ()２＝２，求ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ的最大值．１８．已知ｋ为实数，命题甲：关于ｘ的不等式２ｋｘ２＋ｋｘ－３８＜０的解集为Ｒ；命题乙：关于ｘ的方程ｘ２－２ｋｘ＋ｋ＋６＝０有两个不相等的负实根．（１）若甲为真命题，求实数ｋ的取值范围；（２）若甲、乙至少有一个为真命题，求实数ｋ的取值范围．１９．已知△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ，向量ｍ＝（ａ，槡３ａ），ｎ＝（ｃｏｓＣ，ｓｉｎＣ），且ｍ·ｎ＝ｂ＋ｃ．（１）求角Ａ；（２）若ａ槡＝２３，△ＡＢＣ的面积为槡２３，求ｂ、ｃ．２０．已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，且ｆ（ｌｎｘ）＝ｘ＋１ｘ＋２．（１）判断ｆ（ｘ）的奇偶性及ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上的单调性，并分别用定义进行证明；（２）若对 ｘ∈［－１，１］，ａｆ（ｘ）≤ｆ（２ｘ）＋２ａ恒成立，求实数ａ的取值范围．２１．环境污染日益严重，某科研单位为了净化空气，进行实验研究发现，在一定范围内，每喷洒１个单位的净化剂，空气中释放的浓度ｔ（单位：毫克／立方米）随着时间ｘ（单位：天）变化的关系如下：当０≤ｘ≤４时，ｔ＝８＋ｘ８－ｘ；当４＜ｘ≤１０时，ｔ＝１０－ｘ２．如果进行多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于４毫克／立方米时，它才能起到净化空气的作用．（１）若一次喷洒４个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？（２）若第一次喷洒２个单位的净化剂，６天后再喷洒ｍ（１≤ｍ≤４）个单位的净化剂，要使接下来的４天能够持续有效净化，试求ｍ的最小值．（精确到０．１，参考数据：槡２≈１．４）２２．若函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａｘ，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－２（ｘ－１）ｘ＋１＋ａｘ．（１）求ｇ（ｘ）的零点个数；（２）若ｆ（ｘ）的两个相异零点为ｘ１，ｘ２求证：ｘ１ｘ２＞ｅ２．。

2022届高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲空间角与距离空间向量及应用作业试题2含解析新人教版

2022届高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲空间角与距离空间向量及应用作业试题2含解析新人教版

第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.[2020湖北部分重点中学高三测试]如图8-5-1,E,F分别是三棱锥P-ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为( )图8-5-1A.30°B.60°C.120°D.150°2.[2020湖南长沙市长郡中学模拟]图8-5-2中的三个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G 作正方体的截面.下列各选项中,关于直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是( )图8-5-2∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②③1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有①1∥平面EFG的有且只有①,BD1⊥平面EFG的有且只有②1∥平面EFG的有且只有②,BD1⊥平面EFG的有且只有③13.[多选题]如图8-5-3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则以下说法正确的是( )图8-5-31D1所成的角等于π4B.点C到平面ABC1D1的距离为√221C和BC1所成的角为π41D1-BB1C1的外接球的半径为√324.[2019吉林长春质量监测][双空题]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为,CE 和该截面所成角的正弦值为.5.[2021广州市阶段模拟]如图8-5-4,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为菱形,BE⊥平面ABCD,G为AC与BD的交点.(1)证明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠BAD=60°,AE⊥EC,求直线EG与平面EDC所成角的正弦值.图8-5-46.[2021晋南高中联考]如图8-5-5,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD,PA⊥PD,∠PAD=60°,Q为PD的中点.(1)证明:CQ∥平面PAB.(2)求二面角P-AQ-C的余弦值.图8-5-57.[2021湖南六校联考]如图8-5-6,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2a,AD=√2a,点E是SD 上的点,且DE=λa(0<λ≤2).(1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有AC⊥BE.(2)设二面角C-AE-D的大小为θ,直线BE与平面ABCD所成的角为φ,若sin φ=cos θ,求λ的值.图8-5-68.[2020福建五校联考]图8-5-7是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,⏜上的动点(不与B1,A1重合).且AC⊥BC,P为B1A1(1)证明:PA1⊥平面PBB1.,求二面角P-A1B1-C的余弦值.(2)若四边形ABB1A1为正方形,且AC=BC,∠PB1A1=π4图8-5-79.[2020全国卷Ⅱ,12分]如图8-5-8,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.图8-5-810.[2021黑龙江省六校联考]如图8-5-9,正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直,且边长都是1,M,N,G分别为线段AC,BF,AB上的动点,且CM=BN,AF∥平面MNG,记BG=a(0<a<1).(1)证明:MG⊥平面ABEF.(2)当MN的长度最小时,求二面角A-MN-B的余弦值.图8-5-911.[2021蓉城名校联考]如图8-5-10(1),AD是△BCD中BC边上的高,且AB=2AD=2AC,将△BCD沿AD翻折,使得平面ACD⊥平面ABD,如图8-5-10(2)所示.(1)求证:AB⊥CD.时,求直线AE与平面BCE (2)在图8-5-10(2)中,E是BD上一点,连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为12所成角的正弦值.图8-5-1012.[2020洛阳市联考]如图8-5-11,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE,AD⊥DE,AF=2√6,DE=3√6.(1)求证:平面ACE⊥平面BED.(2)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值.的值;若不存在,请说明理由. (3)在线段AF上是否存在点M,使得二面角M-BE-D的大小为60°?若存在,求出AMAF图8-5-1113.如图8-5-12,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,平面α经过棱PC的中点E,与棱PB,AC分别交于点F,D,且BC∥平面α,PA∥平面α.(1)证明:AB⊥平面α.(2)若AB=BC=PA=2,点M在直线EF上,求平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值.图8-5-1214.[2021安徽江淮十校第一次联考]如图8-5-13(1),已知圆O的直径AB的长为2,上半圆弧上有一点C,∠COB=60°,点P是弧AC上的动点,点D是下半圆弧的中点.现以AB为折痕,使下半圆所在的平面垂直于上半圆所在的平面,连接PO,PD,PC,CD,如图8-5-13(2)所示.(1)当AB∥平面PCD时,求PC的长;(2)当三棱锥P-COD体积最大时,求二面角D-PC-O的余弦值.图8-5-13答案第四讲直线、平面垂直的判定及性质1.B 如图D 8-5-8,取AC的中点D,连接DE,DF,因为D,E,F分别为AC,PA,BC的中点,所以DF∥AB,DF=12AB,DE∥PC,DE=12PC,所以∠EDF或其补角为异面直线PC与AB所成的角.因为PC=10,AB=6,所以在△DEF中,DE=5,DF=3,EF=7,由余弦定理得cos∠EDF=DE2+DF2-EF22DE×DF =25+9−492×5×3=-12,所以∠EDF=120°,所以异面直线PC与AB所成的角为60°.故选B.图D 8-5-82.A 对于题图①,连接BD,因为E,F,G均为所在棱的中点,所以BD∥GE,DD1∥EF,又BD⊄平面EFG,DD1⊄平面EFG,从而可得BD∥平面EFG,DD1∥平面EFG,又BD∩DD1=D,所以平面BDD1∥平面EFG,所以BD1∥平面EFG.对于题图②,连接DB,DA 1,设正方体的棱长为1,因为E,F,G 均为所在棱的中点,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1×√2×cos 45°-√2×√2×cos 60°)=0, 即BD 1⊥EG.连接DC 1,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1×√2×cos 45°-√2×√2×cos 60°)=0,即BD 1⊥EF. 又EG ∩EF=E,所以BD 1⊥平面EFG.对于题图③,设正方体的棱长为1,连接DB,DG,因为E,F,G 均为所在棱的中点,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DG ⃗⃗⃗⃗⃗ -DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12-√2×1×√22+12×√2×1×√22=0, 即BD 1⊥EG.连接AF,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-12×√2×1×√22-12×√2×1×√22=0, 即BD 1⊥EF.又EG ∩EF=E,所以BD 1⊥平面EFG.故选A.3.ABD 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,对于A,直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1=π4,故A 正确;对于B,点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 长度的一半,即距离为√22,故B 正确;对于C,连接AC,因为BC 1∥AD 1,所以异面直线D 1C 和BC 1所成的角即直线D 1C 和AD 1所成的角,又△ACD 1是等边三角形,所以异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π3,故C 错误;对于D,三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1的外接球就是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球半径r=√12+12+122=√32,故D 正确.故选ABD.√2√1010如图D 8-5-9,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设CD,BC 的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.图D 8-5-9易知ME ∥NH,ME=NH,所以四边形MEHN 是平行四边形,所以MN ∥HE.因为MN ⊄平面EFHG,HE ⊂平面EFHG,所以MN ∥平面EFHG,所以过EF 且与MN 平行的平面为平面EFHG,易知平面EFHG 截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=√2,FH=2,所以截面EFHG 的面积为2×√2=2√2.连接AC,交HG 于点I,易知CI ⊥HG,平面EFHG ⊥平面ABCD,平面EFHG ∩平面ABCD=HG,所以CI ⊥平面EFHG,连接EI,因为EI ⊂平面EFHG,所以CI ⊥EI,所以∠CEI 为直线CE 和截面EFHG 所成的角.在Rt △CIE 中,易知CE=√1+22=√5,CI=14AC=2√24=√22,所以sin ∠CEI=CICE=√1010. 5.(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BE.又BE ∩BD=B,所以AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED.(2)解法一 设AB=1,在菱形ABCD 中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=√32,BG=GD=12.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中可得EG=AG=√32.由BE ⊥平面ABCD,得△EBG 为直角三角形,则EG 2=BE 2+BG 2,得BE=√22.如图D 8-5-10,过点G 作直线Gz ∥BE,因为BE ⊥平面ABCD, 所以Gz ⊥平面ABCD,又AC ⊥BD,所以建立空间直角坐标系 G-xyz.G(0,0,0),C(0,√32,0),D(-12,0,0),E(12,0,√22),图D 8-5-10所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,√22),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√22),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√32,√22). 设平面EDC 的法向量为n=(x,y,z),由{DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{x +√22z =0,12x -√32y +√22z =0,取x=1,则z=-√2,y=-√33,所以平面EDC 的一个法向量为n=(1,-√33,-√2).设直线EG 与平面EDC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<GE⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|12+0−1√14+12×√1+13+2|=|-12√32×√103|=√1010. 所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010. 解法二 设BG=1,则GD=1,AB=2,AG=√3.设点G 到平面EDC 的距离为h,EG 与平面EDC 所成角的大小为θ.因为AC ⊥平面EBD,EG ⊂平面EBD,所以AC ⊥EG.因为AE ⊥EC,所以△AEC 为等腰直角三角形.因为AC=2AG=2√3,所以AE=EC=√6,EG=AG=√3.因为AB=BD=2,所以Rt △EAB ≌Rt △EDB,所以EA=ED=√6.在△EDC 中,ED=EC=√6,DC=2,则S △EDC =√5.在Rt △EAB 中,BE=√EA 2-AB 2=√(√6)2-22=√2.V E-GDC =13BE ·12S △CBD =16×√2×S △ABD =16×√2×12×2×√3=√66.由V G-EDC =13h ·√5=V E-GDC =√66,得h=√62√5=√3010.所以sin θ=ℎEG =√1010.所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010.解法三 如图D 8-5-11,以点B 为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz.图D 8-5-11不妨设AB=2,在菱形ABCD 中,由∠BAD=60°,可得AG=GC=√3,BG=GD=1.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中可得EG=AG=√3.由BE ⊥平面ABCD,得△EBG 为直角三角形,则EG 2=BE 2+BG 2,得BE=√2.则C(2,0,0),E(0,0,√2),D(1,√3,0),G(12,√32,0), 所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,-√2),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-√2),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-√2). 设平面EDC 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x +√3y -√2z =0,2x -√2z =0,令x=√3,则z=√6,y=1.所以平面EDC 的一个法向量为n=(√3,1,√6).设EG 与平面EDC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<EG⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|√32+√32-2√3|√1+2×√3+1+6=√1010. 所以直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为√1010. 6.(1)如图D 8-5-12,取PA 的中点N,连接QN,BN.图D 8-5-12∵Q,N 分别是PD,PA 的中点,∴QN ∥AD,且QN=12AD. ∵PA ⊥PD,∠PAD=60°,∴PA=12AD, 又PA=BC,∴BC=12AD,∴QN=BC,又AD ∥BC,∴QN ∥BC,∴四边形BCQN 为平行四边形,∴BN ∥CQ.又BN ⊂平面PAB,CQ ⊄平面PAB,∴CQ ∥平面PAB.(2)在图D 8-5-12的基础上,取AD 的中点M,连接BM,PM,取AM 的中点O,连接BO,PO,如图D 8-5-13.图D 8-5-13设PA=2,由(1)得PA=AM=PM=2,∴△APM 为等边三角形,∴PO ⊥AM,同理BO ⊥AM.∵平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,PO ⊂平面PAD,∴PO ⊥平面ABCD.以O 为坐标原点,分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz, 则A(0,-1,0),C(√3,2,0),P(0,0,√3),Q(0,32,√32), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,52,√32), 设平面ACQ 的法向量为m=(x,y,z),则{m ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{√3x +3y =0,52y +√32z =0,取y=-√3,得m=(3,-√3,5)是平面ACQ 的一个法向量,又平面PAQ 的一个法向量为n=(1,0,0),∴cos<m,n>=m ·n|m|·|n|=3√3737, 由图得二面角P-AQ-C 的平面角为钝角,∴二面角P-AQ-C 的余弦值为-3√3737. 7.(1)由题意SD ⊥平面ABCD,AD ⊥DC,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DS ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别作为x,y,z 轴的正方向建立如图D 8-5-14所示的空间直角坐标系,图D 8-5-14则D(0,0,0),A(√2a,0,0),B(√2a,√2a,0),C(0,√2a,0),E(0,0,λa), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,√2a,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,-√2a,λa), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2-2a 2+0×λa=0, 即AC ⊥BE.(2)解法一 由(1)得EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a,0,-λa),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a,-λa),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2a,-√2a,λa). 设平面ACE 的法向量为n=(x,y,z),则由n ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√2x -λz =0,√2y -λz =0,取z=√2,得n=(λ,λ,√2)为平面ACE 的一个法向量,易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为DS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2a)与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2a,0), ∴sin φ=|DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||DS⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√λ2+4,易知二面角C-AE-D 为锐二面角,∴cos θ=|DC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||DC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=√2λ2+2,由sin φ=cos θ得√λ2+4=√2λ2+2,解得λ2=2,又λ∈(0,2],∴λ=√2.解法二 如图D 8-5-15,连接BD,由SD ⊥平面ABCD 知,∠DBE=φ.图D 8-5-15由(1)易知CD ⊥平面SAD.过点D 作DF ⊥AE 于点F,连接CF,则∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角,即∠CFD=θ.在Rt △BDE 中,BD=2a,DE=λa,∴BE=√4a 2+λ2a 2,sin φ=DEBE =√λ2+4,在Rt △ADE 中,AD=√2a,DE=λa,∴AE=a √λ2+2,∴DF=AD ·DE AE=√2λa√λ2+2, 在Rt △CDF 中,CF=√DF 2+CD 2=2√λ2+1√λ2+2a,∴cos θ=DFCF =√2λ2+2,由sin φ=cos θ得√λ2+4=√2λ2+2,解得λ2=2,又λ∈(0,2],∴λ=√2.8.(1)在半圆柱中,BB 1⊥平面PA 1B 1,PA 1⊂平面PA 1B 1,所以BB 1⊥PA 1.因为A 1B 1是上底面对应圆的直径,所以PA 1⊥PB 1.因为PB 1∩BB 1=B 1,PB 1⊂平面PBB 1,BB 1⊂平面PBB 1,所以PA 1⊥平面PBB 1.(2)根据题意,以C 为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz,如图D 8-5-16所示.图D 8-5-16设CB=1,则C(0,0,0),A 1(0,1,√2),B 1(1,0,√2), 所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√2).易知n 1=(0,0,1)为平面PA 1B 1的一个法向量. 设平面CA 1B 1的法向量为n 2=(x,y,z),则{n 2·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +√2z =0,x +√2z =0,令z=1,则x=-√2,y=-√2,所以n 2=(-√2,-√2,1)为平面CA 1B 1的一个法向量.所以cos<n 1,n 2>=1×√5=√55.由图可知二面角P-A 1B 1-C 为钝角,所以所求二面角的余弦值为-√55.9.(1)因为M,N 分别为BC,B 1C 1的中点,所以MN ∥CC 1.又由已知得AA 1∥CC 1,故AA 1∥MN.因为△A 1B 1C 1是正三角形,所以B 1C 1⊥A 11C 1⊥MN,故B 1C 1⊥平面A 1AMN.所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F.(2)由已知得AM ⊥BC.以M 为坐标原点,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长度,建立如图D 8-5-17所示的空间直角坐标系M-xyz,则AB=2,AM=√3.图D 8-5-17连接NP,则四边形AONP 为平行四边形,故PM=2√33,E(2√33,13,0).由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC.作NQ ⊥AM,垂足为Q,则NQ ⊥平面ABC.设Q(a,0,0),则NQ=(2√331(a,1,(2√33故B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33-a,-23,-√4−(2√33-a)2),|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103. 又n=(0,-1,0)是平面A 1AMN 的一个法向量,故 sin(π2- n,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=cos n,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ·B 1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|·|B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1010.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为√1010. 10.(1)因为AF ∥平面MNG,且AF ⊂平面ABEF,平面ABEF ∩平面MNG=NG,所以AF ∥NG,所以CM=BN=√2a,所以AM=√2(1-a),所以AMCM =AGBG =1−a a,所以MG ∥BC,所以MG ⊥AB.又平面ABCD ⊥平面ABEF,且MG ⊂平面ABCD,平面ABCD ∩平面ABEF=AB,所以MG ⊥平面ABEF.(2)由(1)知,MG ⊥NG,MG=1-a,NG=a,所以MN=√a 2+(1−a)2=√2a 2-2a +1=√2(a -12)2+12≥√22,当且仅当a=12时等号成立,即当a=12时,MN 的长度最小.以B 为坐标原点,分别以BA,BE,BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图D 8-5-18所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0),M(12,0,12),N(12,12,0),图D 8-5-18设平面AMN 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-12), 所以{m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x12+z12=0,m ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12-z 12=0,取z 1=1,得m=(1,1,1)为平面AMN 的一个法向量.设平面BMN 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-12), 所以{n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x22+z22=0,n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 22-z 22=0,取z 2=1,得n=(-1,1,1)为平面BMN 的一个法向量.所以cos<m,n>=m ·n|m||n|=13, 又二面角A-MN-B 为钝二面角,所以二面角A-MN-B 的余弦值为-13.11.(1)由题图(1)知,在题图(2)中,AC ⊥AD,AB ⊥AD.∵平面ACD ⊥平面ABD,平面ACD ∩平面ABD=AD,AB ⊂平面ABD,∴AB ⊥平面ACD,又CD ⊂平面ACD,∴AB ⊥CD.(2)以A 为坐标原点,AC,AB,AD 所在的直线分别为x,y,z 轴建立如图D 8-5-19所示的空间直角坐标系,不妨设AC=1,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),D(0,0,1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,0),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1).图D 8-5-19设E(x,y,z),由DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1),得(x,y,z-1)=(0,2λ,-λ), 得E(0,2λ,1-λ),∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,1-λ),又平面ABC 的一个法向量为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AE 与底面ABC 所成角的正切值为12, 所以|tan AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,于是|cos AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5=√55, 即|√(2λ)2+(1−λ)2|=√55,解得λ=12,则E(0,1,12),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,12). 设平面BCE 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x -2y =0,-y +12z =0, 令y=1,得x=2,z=2,则n=(2,1,2)是平面BCE 的一个法向量,设直线AE 与平面BCE 所成的角是θ,则sin θ=|cos AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n |=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√52×3=4√515, 故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4√515.12.(1)因为平面ADEF ⊥平面ABCD,平面ADEF ∩平面ABCD=AD,DE ⊂平面ADEF,DE ⊥AD,所以DE ⊥平面ABCD.因为AC ⊂平面ABCD,所以DE ⊥AC.又四边形ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD.因为DE ∩BD=D,DE ⊂平面BED,BD ⊂平面BED,所以AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面ACE,所以平面ACE ⊥平面BED.(2)因为DA,DC,DE 两两垂直,所以以D 为坐标原点,建立如图D 8-5-20所示的空间直角坐标系D-xyz. 则A(3,0,0),F(3,0,2√6),E(0,0,3√6),B(3,3,0),C(0,3,0),所以CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,3√6),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-√6).图D 8-5-20设平面BEF 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x -3y +3√6z =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x -√6z =0,取x=√6,得n=(√6,2√6,3)为平面BEF 的一个法向量.所以cos<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√63√2×√39=-√1313. 所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为√1313.(3)假设在线段AF 上存在符合条件的点M,由(2)可设M(3,0,t),0≤t ≤2√6,则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,t).设平面MBE 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1), 则{m ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3y 1+tz 1=0,m ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x 1-3y 1+3√6z 1=0,令y 1=t,得m=(3√6-t,t,3)为平面MBE 的一个法向量.由(1)知CA ⊥平面BED,所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BED 的一个法向量,|cos<m,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||m||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6-3√2×√(3√6-t)2+t 2+9=cos 60°=12,整理得2t 2-6√6t+15=0,解得t=√62,故在线段AF 上存在点M,使得二面角M-BE-D 的大小为60°,此时AMAF =14. 13.(1)因为BC ∥平面α,BC ⊂平面PBC,平面α∩平面PBC=EF,所以BC ∥EF,且F 为棱PB 的中点,因为BC ⊥AB,所以EF ⊥AB.因为PA ∥平面α,PA ⊂平面PAC,平面α∩平面PAC=DE,所以PA ∥DE.因为PA ⊥平面ABC,所以PA ⊥AB, 所以DE ⊥AB.又DE ∩EF=E,DE ⊂平面DEF,EF ⊂平面DEF,所以AB ⊥平面DEF,即AB ⊥平面α.(2)如图D 8-5-21,以点B 为坐标原点,分别以BA,BC 所在直线为x,y 轴,过点B 且与AP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(1,1,1),F(1,0,1),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0), BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2).图D 8-5-21设M(1,t,1),平面MAC 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t,1),则{m ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2y 1=0,m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+ty 1+z 1=0,令x 1=1,则y 1=1,z 1=1-t,所以m=(1,1,1-t)为平面MAC 的一个法向量.设平面PBC 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2=0,n ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2+2z 2=0,得y 2=0,令x 2=1,则z 2=-1,所以n=(1,0,-1)为平面PBC 的一个法向量.设平面MAC 与平面PBC 所成的锐二面角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=|m ·n||m|×|n|=√12+12+(1-t)2×√2=√t 2-2t+3×√2.当t=0时,cos θ=0; 当t ≠0时, cos θ=√3t 2-2t+1×√2=√3(1t -13)+23×√2,当且仅当1t =13,即t=3时,3(1t -13)2+23取得最小值23,cos θ取得最大值,最大值为√23×√2=√32.所以平面MAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值的最大值为√32.14.(1)因为AB ∥平面PCD,AB ⊂平面OCP,平面OCP ∩平面PCD=PC,所以AB ∥PC.又∠COB=60°,所以∠OCP=60°.又OC=OP,所以△OCP 为正三角形,所以PC=1.(2)由题意知DO ⊥平面COP,而V P-COD =V D-COP ,S △COP =12·OC ·OP ·sin ∠COP, 所以当OC ⊥OP 时,三棱锥P-COD 的体积最大.解法一 易知OP,OD,OC 两两垂直,以O 为坐标原点,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图D 8-5-22所示的空间直角坐标系O-xyz,则P(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).图D 8-5-22设平面DPC 的法向量为n 1=(x,y,z),则{PC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0,即{-x +z =0,x -y =0,取x=1,得平面DPC 的一个法向量为n 1=(1,1,1).易知平面PCO 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设二面角D-PC-O 的平面角为α,由题图知,二面角D-PC-O 的平面角为锐角,则cos α=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√33, 所以二面角D-PC-O 的余弦值为√33.解法二如图D 8-5-23所示,取PC的中点H,连接OH,DH.图D 8-5-23 因为OC=OP,DC=DP,所以OH,DH都与PC垂直,即∠OHD为所求二面角的平面角.在Rt△OPC中,可得OH=√22,在Rt△OHD中,DH=(√22=√62,所以cos∠OHD=√22√62=√33,所以二面角D-PC-O的余弦值为√33.。

南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题(含答案)

南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学试题(含答案)

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x| x 2－2x －8＜0}，B ＝{x| x ≤4 }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若复数z 满足－z ＝2－i3＋i，则|z |＝ A ．510 B ．102 C ．22 D ．123．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A ．6B ．12C ． 18D ． 24 4．已知等比数列{a n }满足a 4a 5a 6＝64，则a 2a 4＋a 6a 8的最小值为A ．48B ．32C ．24D ．85．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 3＋ax 2－a －4(x ≥0)ax －sin x (x ＜0)在R 上单调，则实数a 的取值范围为A ．()－∞，－1B ．(]－∞，－1C ．[)－4，－1D ．[]－4，－1 6．已知圆(x －2)2＋y 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该双曲线的离心率为A ．2B ．13C ．21313D ．413137．已知函数f (x )＝(x －4)3 cos ωx (ω＞0)，存在常数a ∈R ，使f (x ＋a )为偶函数，则ω的最小值为A ．π12B ．π8C ．π4D ． π28．已知2024m ＝2025，2023m ＝x ＋2024 ，2025m ＝y ＋2026，则A ．0＜x ＜yB ．x ＜y ＜0C ．y ＜x ＜0D ．x ＜0＜y二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－x ＝4，－y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则 A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6 B ．直线EF 与OM 所成的角的正切值为 2 C ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为2 2 D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0 D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－2 2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，AB ⊥AD ，P A ＝PD ， AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c －3a (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA →＝4CD →，BD ＝37，求△ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用 （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分） 已知f (x )＝ln(x ＋1)(1) 设h (x )＝x f (x －1)，求h (x )的极值．(2) 若f (x )≤ax 在[0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(3) 若存在常数M ，使得对任意x ∈I ，f (x )≤M 恒成立，则称f (x )在I 上有上界M ，函数f (x )称为有上界函数．如y ＝e x 是在R 上没有上界的函数， y ＝ln x 是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y ＝－e x ，y ＝－x 2都是在R 上有上界的函数．若g (n )＝1＋12＋13＋···＋1n (n ∈N *)，则g (n )是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，C 的上顶点为B ，左右顶点分别为A 1、A 2，左焦点为F 1，离心率为12．过F 1作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且| DE |＝3．(1)求C 的方程；(2)若M ，N 是C 上任意两点①若点M (1，32)，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设△MA 1G 和△NA 2G的面积分别为S 1，S 2，若2S 1－2S 2＝3，求线段MN 的长度；②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆， 求证：线段MN 的长度不大于14．2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学参考答案 2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC 10．ACD 11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．0 13．8 14．y =32x ＋32四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =， 且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，………………...........................2分 ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD PA ⊥，且PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ， ∴PD ⊥平面PAB ；…………................................……..4分又PD ⊂平面PAD ，所以平面⊥PCD 平面PAB ………………..6分 （2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ⊥ 则4==PO AO因为5==CD AC ，所以AD CO ⊥，则322=-=AO AC CO以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A -,)4,4,0(),4,0,3(--=-=PD PC ，)4,4,2(-=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅PD n PC n 得⎩⎨⎧=+=-043z y z x ，令,3=z 则3,4-==y x ， 所以)3,3,4(-=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ则51344363416sin =⋅-==θ所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b A c =，所以2sin cos 2sin B A C A =2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A =+=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分 （2）由1sin cos -=C A ，得1sin -65cos -=C C ）（π， 1sin sin 65sin cos 65cos-=+C C C ππ，1)3sin(=+πC ………..7分 因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以c b A ==，32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以b AD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅-+==)21(43216922-⋅⋅-+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分 所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4， P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝570＝114P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“回答被采纳”为事件C ，…………………………………………………………10分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得 P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分 解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分） 解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分 所以在(0，1e )上h ′(x ) ＜0，h (x )递减； 在(1e ，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增；所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e ，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分 (2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0 m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分 综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分(3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n ，…………………………15分 将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．．＋1n ＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为12，得b 2 a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3，解得a ＝2，b ＝ 3所以故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2=32，S △MA 1O =32， 所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x,……………………………………6分由⎩⎨⎧y ＝－32x ，x 24＋y 23＝1．得N (1,－32)，N (－1,32)（舍去）. 所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0， 所以，x 1＋x 2＝－8mk4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0． 所以中点H 的坐标为(－4mk 4k 2+3，3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k, 故直线OH ：y ＝－34k x. ………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分由|HM |·|HN |=14|MN |2=14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2; 联立⎩⎨⎧y ＝－34k x ，x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝16k24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3，所以|HP |·|HQ |=(1+916k 2)|x 20－x 23|=(9+16k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2, 所以12(1+k 2)=9+16k 2得，k =±32……………………………………………………16分所有m 2<3+4k 2=6，得m ∈(－ 6 ,6)，|MN |2=48(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2=42－7m 23 ≤14 即|MN |≤14…………………………………………………………………………17分。

2023-2024学年第一学期10月六校联合调研试题 高一数学参考答案

2023-2024学年第一学期10月六校联合调研试题 高一数学参考答案

2023-2024学年第一学期10月六校联合调研试题参考答案【备注】第二问共5分，选②时，不等关系（※※）“写错”或“部分写错”，第二问最多得1分；18.解：（1）0)4)(6(2422<+−=−−x x x x ， ............................1分 ∴不等式的解集为：{}64|<<−x x . ...................................2分 []0)()12(2)13(22≤−+−=+++−a x a x a a x a x ..............................3分 当a a =+12，即1−=a 时，()012≤+x ，此不等式的解集为：{}1|−=x x ..................4分 当a a >+12，即1−>a 时，此不等式的解集为：{}12|+≤≤a x a x .......................5分 当a a <+12，即1−<a 时，此不等式的解集为：{}a x a x ≤≤+12| .......................6分【备注】区间表达或不等式形式也可以（2）记命题p 对应的集合为{}64|<<−=x x A ，当1−>a 时，q 对应的集合为{}12|+≤≤=a x a x B ；p 是q 的必要且不充分条件，则B ⊂≠A . ..........................................8分则满足： <+−>6124a a ，则254<<−a ， ........................................11分 又1−>a ，∴251<<−a . ..............................................12分 19. 解：（1）设10t a =−>，则1a t =+则22(1)3(1)25665t t t t y t t t t++++++===++ ………………………………4分5≥+ ………………………………5分当且仅当t =1a =时等号成立所以原式最小值为5 ………………………………6分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分 （2）法一：由1a b ab +−可得11b a b +=− ………………………………8分则12222122(1)3111b a b b b b b b b ++=+=++=+−+−−−37≥= ……11分 当且仅当2,3b a ==时取“等号”所以2a b +最小值为7 ………………………………12分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分法二：由1a b ab +−可得(1)(1)2a b −−=………………………………8分2(1)2(1)337a b a b +=−+−+≥+= ………………………………11分当且仅当2,3b a ==时取等号所以2a b +最小值为7 ………………………………12分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分20．解：（1）由题意，若p 为真，则240a ∆=−≥解得22a a ≤−≥或，………………………………4分 （2）法一：若q 为真，2(1)20(1)(2)0x a x a x x a +−+−=⇔++−=，方程两根为-1和2a − ………………………………6分 则由题意得23a −>，所以1a <− ………………………………8分当,p q 均为假时，有221a a −<< ≥−，可得12a −≤< ………………………………10分 因此，如果,p q 中至少有一个为真时，12a a <−≥或 .………………………………12分 法二：设2()(1)2f x x a x a =+−+−若q 为真，则有(0)20(3)440f a f a =−< +< 解得1a <− ………………………………8分 当,p q 均为假时，有221a a −<< ≥−，可得12a −≤< ………………………………10分 因此，如果,p q 中至少有一个为真时，12a a <−≥或 ………………………………12分【备注】若讨论,p q 一真一假和两真：2p q a ≥真假：，21p q a −<<−假真：，,2p q a ≤−都真： ………………………………11分 所以，12a a <−≥或【考查内容】集合的综合运用.21.解：（1）由已知得：182≤<x ， .................................................1分 候车区宽为：x98m ， ..............................................................2分 200)196(100)1962(100−+=+−=xx x x y .............................4分 26002001962100=−⋅⋅≥x x ........................................................6分即2600≥y ，当且仅当 ≤<=182196x x x ， ................................7分即14=x 时”“=取到最小值2600元. ................................8分 （2）由（1）可知：≤<≤−+=+−1823300200)196(100)1962(100x x x x x ...................9分 即≤<≤+−1820196352x x x ， .............................10分 解得：187≤≤x ....................................11分 答：所需总费用不超过3300元时，187≤≤x . ................................12分从而对集合中的运算进行检验判断.。

湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试题(含答案解析)

湖南省五市十校2021届高三上学期第二次大联考数学试题(含答案解析)

姓名__________ 准考证号____________________（在此卷上答题无效）绝密★启用前湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题2020.12命题：宁乡一中雷锋学校东山学校本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动•用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时•将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数Z= 亍+2i,则IZl =Λ.0 B. 1 C.√2 D. 22.已知 SinG＞0,COS（@—兀）＞0,则 0是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.设等差数列仏＞的公差为厶仇=2■则是为递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件4.陈镜开（1935〜2010）,新中国举重运动员.1956年在上海举行的“中苏举垂友谊赛”中，他以133 公斤的成绩，打破美国运动员C・温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录. 1956〜1964年期间•在上海、北京、英斯科、莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破眾轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中，运动员对所要重虽冇3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛，才冇资格进人下轮所耍更大重量的比赛.结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0. 6（每次试举之间互不影响）・则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的槪率是A.0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365.已知直线Z：^+J-I=0,圆C S（^-I）2 + ⅛-2）2 = 8,则圆C上到直线/的距离为√T的点共有A. 1个 B 2个 C. 3个 D. 4个6.原油作为“工业血液”、“黑色黃金”,其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油网次,这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升,第二种方案是每次加油200元、则下列说法正确的是A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算C.两种方案一样D.无法确定7. 如图，在半径为2的扇形AOB 中，ZA0B = ¥，P 是弧∕∖B 上的一 个三等分点.M ∙N 分别是线段OA,OB±的动点.则页？ •两的最 大值为 A.√2 B. 2 C.4D.4√28. 函数/(-2∙) = 7⅛T+ 2COS (^)在区间［一2.4］上的所有零点的和为二、多项选择题：本题共4小題，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高三上学期六校联考(一)数学试卷及答案

2020-2021学年高三上学期六校联考(一)数学试卷及答案

湖南省2021届高三上学期六校联考（一）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）A. {}1,2,4B. {}2,3,4C. {}0,2,4D. {}0,2,3,42. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 若ac bc >，则a b > B. 若a b >，c d >，则ac bd > C. 若a b >，则11a b< D. 若22ac bc >，则a b >3. 已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A. 8B. 4C. 16D. 24. 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合(){}**,|12,,M a b a b a N b N =⊕=∈∈中的元素个数是（ ）A. 10个B. 15个C. 16个D. 18个5. ABC △的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC △的形状是（ ） A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6. 设常数a R ∈.若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-15，则a =（ ）A. -2B. 2C. 3D. -37. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.1B.C. D. 38. 已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）A.B. 3C. 6D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A. 若复数3z i =+，则131010i z =-. B. 复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=. C. 若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥. D. 复数13z i =-的虚部是3.10. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（ ）A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100B. 此人到达当日空气质量优良的概率为813C. 此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为213D. 每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大 11. 已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）A. B. 11AA CC ⊥C. 该四棱台的表面积为26D. 该四棱合外接球的表面积为16π12. 已知函数23,0()(3),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A. ()f x 在区间[]4,6上是增函数B. ()()220204f f -+=C. 若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D. 若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共10个题，共90分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.13. 已知1a =，6b =，()4a b a ⋅-=-，则向量a 与b 的夹角是_______. 14. 已知随机变量()2~1,X N σ，若()20.2P X >=，则()0P X >=_______.15. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，12AA a =，则直线11A C 与1B C 成角的余弦值为_______.16. 已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最小正周期为4π. （1）从①03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②213f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③x R ∀∈，都有2()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数()f x 的解析式； （2）求（1）中所求得的函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*14n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(2)(1)n n n a b n n +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，E 为侧棱PA 上一点，且2AE PE =，3AP =，2AB BC ==，4AD =.（1）证明：//PC 平面BDE .（2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值.20. 已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()(),e f e 处的切线方程为4y x e =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，四点131,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，231,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，(30,P ，()41,1P 中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：()0y kx m m =+>与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当MON △面积取最小值时，求此时直线l 的方程.22. 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A 餐、B 餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时A 、B 两种餐盒的配餐比例为3:1.为保证配餐的分量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同. （1）求抽取的5个餐盒中有三个B 餐的概率；（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B 餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B 餐盒查看.如果抽出一个是A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B 餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过()*n n N ∈次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A 、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A 餐盒数以随机变量X 表示，求X 的分布列与数学期望.湖南六校联考试卷（一）答案解析 参考答案 一、选择题 1-5：CDABD 6-8：DAC1. C 【解析】由题得，∵{}0,4U C A =，∴(){}{}{}0,42,40,2,4U C A B ==.故选C.2. D 【解析】当0c <时，若ac bc >，则a b <，故A 为假命题；当0a b >>，0c d >>时，ac bd <，故B 为假命题； 若0a b >>或0a b >>，则11a b <，但当0a b >>时，11a b>，故C 为假命题﹔ 若22ac bc >，则2222c a c bc c>，则a b >，故D 为真命题.故答案为D.3. A 【解析】等比数列{}n a 中，31174a a a =，可得2774a a =，解得74a =，且77b a =，∴74b =，数列{}n b 是等差数列，则59728b b b +==.故选A. 4. B 【解析】根据定义知12a b ⊕=分两类进行考虑，a ，b 一奇一偶，则12ab =，*,a b N ∈，所以可能的取值为()1,12，()12,1，()3,4，()4,3，共4个，a ，b 同奇偶，则12a b +=，由*,a b N ∈，所以可能的取值为()2,10，()10,2，()1,11，()11,1，()3,9，()9,3，()4,8，()8,4，()5,7，()7,5，()6,6，共11个，所以符合要求的共15个，故选B. 5. D 【解析】ABC △中，由正弦定理得：sin sin a b A B =，∴sin sin a A b B =，又cos cos a b B A=， ∴sin cos sin cos A B B A =，∴sin 2sin 2A B =，∴A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=， ∴ABC △为等腰三角形或直角三角形.故选：D. 6. D 【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()52103155rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =. 令1037r -=，得1r =，所以展开式中7x 项的系数为1515a C ⋅=-，解得3a =-.故选：D.7. A 【解析】由题点()3,0A 和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧， 设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点()',A a b ，'AA 中点3,22a b M +⎛⎫⎪⎝⎭在直线4x y +=上，3422013a bb a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得：41a b =⎧⎨=⎩，即()'4,1A ，设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，则总路程'PB PA PB PA +=+，要使路程最短，只需'PB PA +最短，即点'A 到军营的最短距离，即点'A 到221x y +≤区域的最短距离为：'11OA -=.故选：A.8. C 【解析】设椭圆长轴12a ，双曲线实轴22a ，由题意可知：1222F F F P c ==，又∵1212F P F P a +=，1222F P F P a -=，∴1122F P c a +=，1222F P c a -=，两式相减，可得：122a a c -=，∵22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=， ∴()22221242222c a a ce e ca +++=2222222844222ca a c a c ca c a ++==++，∵22222a c c a +≥=，当且仅当2222a c c a =时取等号，∴2122ee +的最小值为6，故选：C.二、多选题9. ABC 10. AD 11. AD 12. BCD 9. ABC 【解析】由11333(3)(3)1010i i z i i i -===-++-，故A 正确，由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=， 则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以2212()()0z z a bi a bi a b =+-=+≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确.故选：A 、B 、C. 10. AD 【解析】 A.1(86255714322016040217160121158867937)15614+++++++++++++≈，故正确； B. 在6月1日至6月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613，故不正确； C. 6月1日至6月14日连续两天包含的基本事件有13个，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的基本事件是{}4,5，{}5,6，{}7,8，{}8,9共4个，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是413，故不正确； D. 空气质量指数趋势图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大，故正确.故选：AD. 11. AD【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于AB =11A B C =11SA B △与SAB △相似比为1:2；则124SA AA ==，2AO =，则SO =1OO =A 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为84422S S S S =++⨯++⨯=上底下底侧12=+，C 错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，在平面11B BOO 上中，由于1OO =，111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等， 则2r OB ==，该四棱合外接球的表面积为16π，D 对， 故选：AD.12. BCD解：由题意可知当3x ≥-时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[]4,6上的单调性与()f x 在[]2,0-上的单调性相同，而当0x <时，()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[]2,0-上不单调，故A 错误；又()()202022f f =-=，故()()220204f f -+=，故B 正确；作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点， 不妨设1i i x x +<，1,2,3,4,5i =，由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点()3,0，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2310x k x +++=，令0∆=可得()2340k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍），故1k =-.若直线1y kx =+与()y f x =在()0,3上的图象相切，由对称性可得1k =.因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， ∴113k -<<-或1k =，故D 正确.故选：BCD. 三、填空题13.23π 14. 0.8 15. 16. 2；30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.23π 【解析】因为()4a b a ⋅-=-，所以24a b a ⋅-=-，∴16cos ,14a b ⨯⨯-=-， 所以1cos ,2a b =-，因为0,a b π≤≤，所以2,3a b π=.向量a 与b 的夹角是23π. 故答案为：23π. 14. 0.8【解析】因为随机变量()2~1,X N σ，()20.2P X >=，所以()()020.2P X P X <=>=，因此()()01010.20.8P X P X >=-≤=-=. 故答案为：0.8.15.【解析】连接AC ，1AB ，如图所示：因为11//AC A C ，所以1ACB ∠或其补角为直线11A C 与1B C 成角. 因为底面是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，12AA a =，所以11AB CB ===，AC ==.2221cos 10ACB ∠==. 所以直线11A C 与1B C..16. 2；30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>，所以()[]2sin 2,2f x x ω=∈-， 所以()f x 的最大值为2，因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：（1）2 （2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题 17.【解析】（1）因为()f x 的最小正周期为4π，所以24ππω=，解得12ω=. 选①②：因为03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得6k πϕπ=+，k Z ∈. 因为2πϕ<，所以6πϕ=.又因为213f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以sin 136A ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以2A =.所以1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选②③：因为x R ∀∈，都有2()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以23x π=时，()f x 取得最大值，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以232k ππϕπ+=+，k Z ∈，所以2πϕ<，所以6πϕ=.又因为213f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以sin 136A ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即sin 16A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2A =. 所以1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）因为2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,2663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin ,2622x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，当23x π=-时，()f x 取得最小值为-1；当3x π=时，()f x所以()f x 取得最小值为-1. 18.【解析】 （1）∵14n n S a =-，∴1114n n S a ++=-，∴111144n n n n S S a a ++⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，∴11n n n a a a ++=-，即112n n a a +=， 令1n =得：1114a a =-，即118a =，{}n a 是首项为118a =，公比为12的等比数列，∴12211118222n n n n a -++⎛⎫⎛⎫=⨯==⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）∵(2)(1)nn n a b n n +=+，∴212111(1)222(1)2n n n n n b n n n n ++⎡⎤+==-⎢⎥+⋅⋅+⋅⎣⎦， ∴123n n T b b b b =++++122334111111111111121222222322324222(1)2n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦112111111212(1)24(1)24n n n n ++⎡⎤=-=-<⎢⎥⨯++⋅⎣⎦， ∴14n T <. 19. 解：（1）证明：如图所示，连接AC 交BD 于点F ，连接EF . ∵四边形ABCD 为梯形，且2AD BC =， ∴::2:1AF CF AD BC ==，即2AF CF =， 在PAC △中，∵2AE PE =，2AF CF =， ∴//EF PC .又PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ， ∴//PC 平面BDE .（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴和z z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,2E ，()0,0,3P .所以，()2,0,2BE =-，()2,4,0BD =-，()2,2,3PC =-，()0,4,3PD =-， 设()111,,m x y z =和()222,,n x y z =分别是平面BDE 和平面PCD 的法向量，则m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111240220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令12x =得11y =，12z =，即()2,1,2m =， 0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222222230430x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令23y =得23x =，24z =，即()3,3,4n =， 所以，cos ,3m n m n m n⋅===⨯⋅故平面BDE 和平面PCD 所成角锐二面角的余弦值为6.20.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()'ln f x n x m n =++，所以有()()'244f e m n f e me ne e e=+=⎧⎪⎨=+=-⎪⎩，解之得21m n =⎧⎨=⎩，故函数的解析式为：()2ln f x x x x =+；（2）()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+， 因为()1,x ∈+∞，所以2ln 11x x x t x +-<-，令2ln 1()(1)1x x x g x x x +-=>-，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，而()22ln ('1)x xg x x --=-，()1,x ∈+∞， 再令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'110x x h x x-=-=>， 所以()h x 在()1,+∞上为增函数，又()31ln30h =-<，()42ln 40h =->，所以存在唯一的()03,4x ∈，使得()00h x =，即002ln x x -=，当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，所以()g x 在()01,x 上单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，所以()g x 在()0,x +∞上单调递增， 所以()000min 002ln 1()1x x x g x g x x +-==-()0000022111x x x x x +--==+-，所以01t x <+，又()03,4x ∈，所以()014,5x +∈， 因为t 为正整数，所以t 的最大值为4. 21.【解析】（1）根据椭圆的对称性，必过1P ，2P .必不过4P ， 代入点3P 得，23b =，代入点1P 得，24a =.∴椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2224384120k x kmx m +++-=. 直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知()()2222644434120k m k m ∆=-+-=， 整理得2243m k =+. 由条件可得0k ≠，,0m M k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,N m ， ∴211222MONm m S OM ON m k k=⋅=⋅=△， ∵2243m k =+， ∴24313422MONk S k k k ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭△. ∵0k >，∴1342k k ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当34k k =，即k =，k =±时等号成立，MON S △的最小值为 ∵2243m k =+，∴26m =，又0m >，解得m =故此时直线l的方程为y x =+y x = 22.【解析】（1）依题意，随机地抽取一个餐盒得到B 餐盒的概率为14，用ξ表示“抽取的5个餐盒中B 餐盒的个数”，则ξ服从二项分布，即1~5,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴其中有三个B 餐盒的概率2335314544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）X 的可能取值为：0，1，2，…，n .1(0)4P X ==，313(1)4416P X ==⨯=，……，131(1)44n P X n -⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭， 3()4nP X n ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为X 的数学期望为：231313131313()123(1)444444444n nE X n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭① 2313313131()12(2)4444444n E X n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1313(1)444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②①-②得23113131313131()44444444444n nE X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴23133333()44444n nE X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 即X 的数学期望为3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.。

2020-2021学年高三上学期六校联考(一)数学试卷及答案

2020-2021学年高三上学期六校联考(一)数学试卷及答案

湖南省2021届高三上学期六校联考（一）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集。

= {0,1,2,3,4},集合A = {1,2,3}, 8 = {2,4},则（G；4）U8为（）A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4）2.下列命题中，为真命题的是（）A.若 ,则。

B.若a>b, c>d,则ac〉bdC.若a>b,则D.若ac? >be?,则a b3.已知等比数列{q}中，/卬=4%，数列{'}是等差数列，且伪=%,则么+d=（）A. 8B.4C. 16D. 24.对于任意两个正整数m , 〃，定义某种运算“㊉”如下：当团,〃都为正偶数或正奇数时,加㊉〃 = 〃?+ 〃；当加，〃中一个为正偶数，另一个为正奇数时，团㊉〃=〃〃?，则在此定义下，集合M ={（a,Z?）la㊉〃nlZMwN'/eN”}中的元素个数是（）A.10 个B.15 个C.16 个D. 18 个5. AABC的三内角4,3 , C的对边分别为。

，〃，c ,且满足‘一=/一，则AABC的形状是（）cos B cos AA,正三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形/ \56.设常数。

£/?.若的二项展开式中『项的系数为-15,则〃=（）A. -2B. 2C.3D. -37.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平而直角坐标系中，设军营所在区域为寸+ >2<1,若将军从点4（3,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y = 4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. 717-1B. y/n-y/2C. 2y/5D. 3-5/28.已知小E是椭圆与双曲线的公共焦点，户是它们的一个公共点，且号，线段PE的垂直平分线过F,,若椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为的，则区的最小值为（）-♦。

2022—2023学年南京市第一学期12月份高三六校联考期末考试试卷

2022—2023学年南京市第一学期12月份高三六校联考期末考试试卷

2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i + B ．14i -+ C ．4i - D ．4i +3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116- B ．3316-C ．1-D ．3-5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．12386. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16 B ．14C ．29D ．1367. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A. 15 B. 3 C. 23 D. 28. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n β D ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．854812. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积．18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >．2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}【解答】解：2{|230}{1A x Z x x =∈-++=-，0，1，2，3}，{|2}B y y =<，{1AB ∴=-，0，1}，故选：D ．2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i +B ．14i -+C ．4i -D ．4i +【解答】解：由(1)35z i i +=+， 得35(35)(1)8241(1)(1)2i i i iz i i i i ++-+====+++-， 则复数4z i =-． 故选：C ．3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程22240x y x y a ++++=表示圆， 41640a ∴+->，5a ∴<，(-∞，5)(⊆-∞，8)，8a ∴<是方程22240x y x y a ++++=表示圆的必要不充分条件，故选：B ．4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116-B ．3316-C ．1-D ．3-【解答】解：24y x =-，214x y ∴=-，∴其焦点F 的坐标为1(0,)16F -， 抛物线24y x =-上的一点0(M x ，0)y 到焦点距离为2， 由抛物线的定义得：01216y -=， 03116y ∴=-，即点M 的纵坐标是3116-． 故选：A ．5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．1238【解答】解：棱长为1的正方形的面积为111⨯=， 正六边形的面积为13336112⨯⨯⨯=又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点， 则最多有6个正方形，最少有4个正六边形，一个正六边形与3个正方形相连， 所以该多面体有6个正方形，正六边形有6438⨯÷=个． 故该多面体表面积是33611812362⨯⨯+=． 故选：C ．6. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16B ．14C ．29D ．136【解答】解：甲被安排到了冰壶的情况共有32233212A C A +⋅=（种)，甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的情况共有222A =（种)，故在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为21126=．故选：A ．7. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A. 15B.3 C. 23 D. 2【解答】解：如图所示，设线段PF 的中点为M ，连接OM ． 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '．则//OM PF '． 又||||2OM OF c ===，11||||(22)122FM PF a c a c ==-=-=． 设MFO α∠=，在OMF ∆中，2222121cos 2214α+-==⨯⨯，215sin 1cos αα∴-， tan 15α∴=；15．8. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：sin(810)sin(90)1a =-︒=-︒=-，331tan()tan()tan 128882b πππ=-=-=-=-， 15c lg =，112c ∴-<<-，a cb ∴<<，故选：B ．二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 【解答】解：由折线图得：对于A ，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A 错误； 对于B ，甲组数据除第二天数据图低于乙组数据， 其它天数数据都高于乙组数据，可知12x x >，故B 正确； 对于C ，甲组数据比乙组数据稳定，2212s s <，故C 错误； 对于D ，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D 正确． 故选：BD ．10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n βD ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥【解答】解：若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ或α与β相交，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又n α⊂，则//n β，故B 正确；若αβ⊥，m α⊥，则m β⊂或//m β，又m n ⊥，//n β∴或n β⊂或n 与β相交，故C 错误； 若//αβ，m α⊥，则m β⊥，又//n β，m n ∴⊥，故D 正确． 故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．8548【解答】解：可设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 即有2m n a =+，由122||9||PF PF ，即29m n ，可得2(2)9n a a +， 即47a n， 222122||4||||PF OF PF =-，即22222444m c n n an a =-=++， 可得2222221616424424497a a c n an a a =++⋅++，化为228549c a ， 即有857c e a=． 则Γ的离心率的取值范围是85[，)+∞． 故选AC12. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值 【解答】解：对于A ，由111111E BB D F BB D B BED V V V ---=+，且11////CC AA 平面11BB D ， 所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值， 则四棱锥11B BED F -的体积为定值， 故选项A 正确；对于B ，可作出过CG 的平面与1EBD 平行，由面面平行的性质定理可得，存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ，同理可得，也存在无数个点E ，对棱1AA 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交， 故选项B 错误；对于C ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形， 所以11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥，由三垂线定理可得，1B D BE ⊥， 又1BD BE B =，BD ，BE ⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ， 故选项C 正确；对于D ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形， 由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值， 存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值， 故选项D 正确． 故选：ACD ．三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ． 【解答】解：2cos sin y x x '=-，∴切线的斜率|2x k y π=='=-，切点坐标(,1)π-∴切线方程为(1)2()y x π--=--，即221y x π=-+-．故答案为：221y x π=-+-．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ． 【解答】解：由题意，可知20191234520182019S a a a a a a a =+++++⋯++ 1234520182019()()()a a a a a a a =+++++⋯++1(21009)(41009)(20181009)=+-+-+⋯+- 1(242018)10091009=+++⋯+-⨯ 1009(22018)1100910092⨯+=+-⨯1010=．故答案为：1010．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________【解答】解：因为随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =， 所以2a =，代入可得3252(12)()x x x ++，该式展开式中含4x 的项为：22320322333444535322()()()()(2)40640680C x C C x C x x x x x x+=+=．故4x 的系数为680．16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________ 【解答】解：由22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，得22cos 3cos 2sin sin 2θθθθ+-=-， (2cos 1)(cos 2)sin (12cos )θθθθ-+=-，(2cos 1)(cos 2sin )0θθθ-++=，所以1cos 2θ=，结合图象3πθ=，所以BFC ∆为等边三角形， ||FD p ∴=，23||||BC FB p ∴==， 即圆的半径23||FA p =，设0(A x ，0)y ， 01||2ABC S BC x ∆∴=，2211232128|||||()222333p BC FA p p +====， 解得8p =，四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由sinsin 2A C c b C +=及正弦定理得，sin sin sin sin (*)2A CC B C +=， 因为B ，(0,)C π∈，所以sin 0C >，(0,)22B π∈， 所以sin sinsin cos 222A CB BB π+-===， 代入(*)式化简得，2sin cos cos 222B B B =，即1sin 22B =， 所以26B π=，即3B π=． （2）11cos cos cos sin cos sin sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A A C B A C A C A C A C A C +++=+===，22cos 1tan sin sin B B B B==， 因为112tan tan tan A C B+=，所以2sin sin sin A C B =， 由正弦定理，得24ac b ==， 故1sin 32ABC S ac B ∆==18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+． 【解答】解：（1）由已知有：2221(1)2(1)23(1)2(1)n n a n n a n n n +-+-+=+--+-+222242(2)n n a n n a n n =--=--， 211212a --⨯=，∴{}22n a n n --为等比数列；（2）由（1）可得：212222n n n a n n ---=⨯=，∴222n n a n n =++，∴222(2)n n n b a n n n n =-=+=+， ∴1111111111[(1)()()]132435(2)23242n T n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯++ 11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑ （1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．【解答】解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围， 所以21c x y c e =适宜作为y 与x 之间的回归方程模型；⋯⋯（2分） （2）①令z lny =，则21z c x lnc =+，⋯⋯（3分）10121021()()3011505()iii ii x x zz c x x ==--===-∑∑；⋯⋯（5分） 12 3.33lnc z c x =-=-，⋯⋯（6分）13.3375z x ∴=-；⋯⋯（7分） y ∴关于x 的回归方程为 13.335ˆx zye e -==；⋯⋯（8分）②成本函数()h x 与x 和y 的关系为 ()( 2.4)170h x x lny =-+ 1( 3.33 2.4)1705x x =--+215.731705x x =-+，⋯⋯（10分） ∴当 5.7314125x =≈⨯时，培养成本的预报值最小．⋯⋯（12分）20. 四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//AE BF ，22AE BF ==． （1）证明：平面EAC ⊥平面EFC ；（2）若CF 与平面AEC 所成角为30︒，求二面角F EC D --的余弦值．【解答】解：（1）取EC 的中点G ，连接BD 交AC 于M ，连接GM ，GF ， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且M 是AC 的中点，所以//GM AE 且12GM AC =，又//AE BF ，22AE BF ==， 所以//GM BF 且GM BF =，所以四边形BMGF 是平行四边形， 所以//GF BM ，又EA ⊥平面ABCD ，所以EA BM ⊥， 又因为ACEA A =，所以MB ⊥面EAC ，所以GF ⊥面EAC ， 又GF ⊂面EFC ，所以面EFC ⊥面EAC ；（2）以A 为原点，AD ，AB ，AE 为坐标轴建立空间直角坐标系， 由（1）知FCG ∠为CF 与平面AEC 所成的角，所以30FCG ∠=︒， 所以12GF CF =，又设BC a =，则21CF a =+2GF MB =，所以解得1a =，所以(1D ，0，0)，(1C ，1，0)，(0E ，0，2)，(0F ，1，1)则(0DC =，1，0)，(1DE =-，0，2)，(1CF =-，0，1)，(1CE =-，1-，2)， 设平面CDE 的一个法向量(n x =，y ，)z20n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩．则，令2x =，则0y =，1z =， 所以平面CDE 的一个法向量(2n =，0，1)， 设平面CFE 的一个法向(m a =，b ，)c ，20m CF a c m CE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1c =，则1a =，1b =， 所以平面CFE 的一个法向(1m =，1，1)， cos n <，31535m >=⨯ 所以二面角F EC D --的余弦值为15．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可得2c =，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46446a =6a =， 可得222b a c =-故椭圆的方程为22162x y +=．（Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，MN 与x 轴重合，不合题意，舍．②当直线l 斜率为0时，||26AB a ==MN 的方程为2x =，不妨设M 在N 上方， 则66(2,M N ，从而26||MN ． 所以||1||3MN AB =． ③当直线l 斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠， 则MN 的方程为1(2)(0)y x k k=--≠．由22(2)162y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2222(13)121260k x k x k +-+-=．所以△224(1)0k =+>．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++． 因为222121212||(1)|(1)[()4]AB k x x k x x x x +-=++- 所以22222221212626(1)||(1)[()4]1313k k k AB k k k -+=+-⨯=++ 同理，将上式中k 换为1k -，得222126(1())26(1)||113()k k MN k +-+==+-． 所以22222||3139883(0)||333MN k k k AB k k k ++-===-≠+++．由23(3,)k +∈+∞，得221188(0,),(,0)3333k k ∈-∈-++， 所以2||813(,3)||33MN AB k =-∈+． ④综上，由①②③，||||MN AB 的取值范围为1[,3)3．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >． 【解答】解：（1）当1a =，3b =时，2()3f x x x lnx =-+，∴21231(1)(21)()23x x x x f x x x x x-+--'=-+==， 0x >，令()0f x '>，则102xx <或， 令()0f x '<，则112x <<， ()f x ∴的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2；（2）证明：由题可得2221()(0)ax x f x x x-+'=>，函数2()2f x ax x lnx =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，∴方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得102a <<．不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，1212[()()()]max t f x f x x x ∴<+-+．22121211122212()()()22()f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x +-+=-++-+-+2121212122[()2]3()()1(2)a x x x x x x ln x x ln a a=+--++=---．设h （a ）211(2)(0)2ln a a a =---<<，h '（a ）220aa -=>，故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，5t ∴<-．故实数t 的取值范围为(,5)-∞-．（3）()g x lnx bx =-，设()g x 的两个相异零点为1x ，2x ， 设120x x >>，欲证212x x e >，需证122lnx lnx +>． 1()0g x =，2()0g x =， 110lnx bx ∴-=，220lnx bx -=，1212()lnx lnx b x x ∴-=-，1212()lnx lnx b x x +=+．要证122lnx lnx +>，即证12()2b x x +>， 即1212122lnx lnx x x x x ->-+，即1122122()x x x ln x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)(1)1t lnt t t ->>+， 设2(1)()1t G t lnt t -=-+，22(1)()0(1)t G t t t -'=>+．()G t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()G t G ∴>（1）0=，∴2(1)1t lnt t ->+， 122lnx lnx ∴+>，∴212x x e >．。

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∴b7＝4，
数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．
故选D．
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
4．B
【分析】
根据定义知 分两类进行考虑， 一奇一偶，则 ， 同奇偶，则 ，由 列出满足条件的所有可能情况即可.
【详解】
根据定义知 分两类进行考虑， 一奇一偶，则 ， ，所以
B．此人到达当日空气质量优良的概率为
C．此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为
D．每连续3天计算一次空气质量指数的方差，其中第5天到第7天的方差最大
11．已知四棱台 的上下底面均为正方形，其中 ， ， ，则下述正确的是（）．
A．该四棱台的高为 B．
C．该四棱台的表面积为26D．该四棱台外接球的表面积为
3．已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 （ ）
A．2B．4C．16D．8
4．对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“ ”如下：当 ， 都为正偶数或正奇数时， ；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则在此定义下，集合 中的元素个数是（ ）．
A．10个B．15个C．16个D．18个
12．已知函数 ，以下结论正确的是（ ）
A． 在区间 上是增函数
B．
C．若函数 在 上有6个零点 ，则
D．若方程 恰有3个实根，则
三、填空题
13．已知 ， ， ，则向量 与 的夹角是____
14．已知随机变量 ，若 ，则 ______.
15．如图，直四棱柱 ，底面是边长为 的菱形， ， ，则直线 与 成角的余弦值为_____．
（1）求抽取的5个餐盒中有三个B餐的概率；
（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑B餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个B餐盒查看.如果抽出一个是A餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是B餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不超过 次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A、B餐盒的比例.若抽样结束时抽到的A餐盒数以随机变量X表示，求X的分布列与数学期望.
（1）求函数 的解析式；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求正整数t的最大值.
21．已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上.
求椭圆 的方程；
直线 ： 与椭圆 有且仅有一个公共点，且与 轴和 轴分别交于点 ， ，当 面积取最小值时，求此时直线 的方程.
22．疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了A餐、B餐两种餐盒量足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查5个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同，
四、双空题
16．已知函数 ，则 的最大值为________，若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是________.
五、解答题
17．已知函数 ，（ ， ， ）的最小正周期为 .
（1）从① ；② ；③ ，都有 这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数 的解析式；
（2）求（1）中所求得的函数 在区间 上的最大值和最小值.
18．已知 是数列 的前n项和，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
19．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为梯形， ， ， 为侧棱 上一点，且 ， ， ， .
（1）证明： 平面 .
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
C．若复数 ， 满足 ，则 ．
D．复数 的虚部是3．
10．下图是某市6月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择6月1日至6月13日中的某一天到达该市，并停留2天.下列说法正确的有（）
A．该市14天空气质量指数的平均值大于100
A． B． C． D．
8．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（）
A． B．3C．6D．
二、多选题
9．已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数 ，则 ．
B．复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 ．
湖南省六校2020-2021学年高三上学期联考（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，则 为（）
A． B． C． D．
2．下列选项中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
C：当 时，显然 成立，但是 显然不成立,因此本选项不正确；
D：因为 ，所以 ，因此本选项正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式性质的应用，属于基础题.
3．D
【分析】
利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．
【详解】
等比数列{an}中，a3a11＝4a7，
可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，
5． 的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，则 的形状是（ ）
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．设常数 .若 的二项展开式中 项的系数为－15，则 （）
A．－2B．2C．3D．－3
7．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）
参考答案
1．C
【分析】
首先根据题意求出 ，再根据并集运算即可求出结果.
【详解】
由题意可知
所以 .
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合补集和并集的运算，属于基础题.
2．D
【分析】
利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.
【详解】
A：只有当 时，才能由 推出 ，故本选项不正确；
B：只有当 时，才能由 ， 推出 ，故本选项不正确；
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