量子力学作业答案

分析：由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长
趋于无限大 ；对称一维波函数的坐标期望值为零，
坐标平方的期望值不为零 ；自由粒子的测不准关系
为无限大
√
从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内 (即向原点)传播的球面波 解：(1)用到的公式
(2)由 , 计算概率流密度
分析： 是向外传播的球面波， 是向原点传播的球面波 与 同向：概率向外流动。 与 反向：概率流向原点 --, 的大小与 有关，与方位角无关：在相同径向坐 标 的曲面(即球面)上，概率流密度相等
(4) 动能的期望值
(2) 势能 的期望值 (5) 动量的概率分布函数
解：(0) 波函数正交归一化，令
(1) r 的期望值
(2) 势能 的期望值
√
3.量子力学中的力学量(3/6)
(3) 最可几的半径
(4) 动能的期望值
(5) 动量的概率分布函数
分析：最可几的半径对应势能的期望值
基态能级 = 动能的期望值 + 势能期望值
√
2.波函数和薛定谔方程(3/4)
2.3 一个粒子在一维势场中运 动，求粒子能级和对应的 波函数
解： (1)定态薛定谔方程
(2)解方程
归一化
能级
√
2.波函数和薛定谔方程(3/4)
(3)分析
波函数和概率密度 ：节点数 = n - 1
能级
√
2.波函数和薛定谔方程(4/4)
2.4 证明(2.6.-14)式中的归一化常数是 证明：
量子力学
习题
http://125.217.162.13/lesson/QuantumMechanics
1.绪论(1/3)
1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值对 应的波长 与温度 成反比，即 (常量) 并近似计算 的数值，准确到二位有效数字。
证明： (1)求能量密度
(2)求极值
最可几的半径不等于半径的期望值
最可几的动量不对应动能的期望值
√
3.量子力学中的力学量(4/6)
3.6 设 时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能
解：(1) 确定未知常数 A
(2) 平均动量
(3) 平均动能
分析：由箱归一化得到未知常数，然后具体分析中令箱长 趋于无限大 ；对称一维波函数的平均动量为零，平 均动能不为零
√
3.量子力学中的力学量(5/6)
3.6 的另一解法，利用
解：(1) 求 y(x) 的复数形式
(2) 求 (3) 求 (4) 求
√
3.量子力学中的力学量(6/6)
3.11 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 解：(1) 坐标的期望值
(2) 坐标平方的期望值
(3) 测不准关系
解：ຫໍສະໝຸດ Baidu
设动能为 E 的氦原子的速度远小于光速，则
。根据
德布罗意波长的定义，有
√
2.波函数和薛定谔方程(1/4)
2.1 证明在定态中，概率流密度与时间无关 证明：
(1)定态波函数
(2)概率流密度
概率流密度是坐标的函数，不显含时间，因此与时间无关
√
2.波函数和薛定谔方程(2/4)
2.2 由下列两定态波函数计算概率流密度：
解：(1) 势能的期望值
，求 (2) 动能的期望值
(2) 动能的期望值
(3) 按动量的本征函数展开一维谐振子的基态
分析：基态的动能与势能相等，各占总能量的一半； 动量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大
√
3.量子力学中的力学量(2/6)
3.2 氢原子处在基态
，求
(1) 的期望值
(3) 最可几的半径
√
1.绪论(2/3)
1.2 在 0 K 附近，钠的价电子能量约为 3 电子伏，求其德布 罗意波长。
解： 设自由电子的动能为 E，速度远小于光速，则
。根据
德布罗意波长的定义，有
√
1.绪论(3/3)
1.3 氦原子的动能是 E = 3kT/2 ( k 为玻耳兹曼常数)，求 T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。
(1) (2.6.-14)式的波函数
(2)归一化
分析：归一化常数与势阱宽度 a 的平方根成反比，也就是概 率幅与 a 成反比。a 与粒子坐标的测量有关，1/a 与动量的 测量有关；越小，表示坐标越容易测量，但动量越难测量 √
3.量子力学中的力学量(1/6)
3.1 一维谐振子处在基态
(1) 势能的期望值 (3) 动量的概率分布函数