高中数学课件-条件概率

进 行 普 查,设 被 试 验 的 人 患 有 癌 症的 概 率 为0.005, 即 P(C ) 0.005, 试 求 P(C A).
解 P(A C) 0.95, P(A C) 1 P(AC) 0.05,
P(C ) 0.005, P(C ) 0.995,
P(C)P( A C)
P(C A)
练习3
练习3 .一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放 回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白 球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则
（1） P( A) 6 0.6 10
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
作业:课本 P68 A 组第 2 题
1． 根 据 以 往 的 临 床 记 录,某 种 诊 断 癌 症 的 试
验 具 有 如 下 的 效 果: 若 以 A 表 示 事 件"试 验 反 应 为 阳 性" ,以 C 表 示 事 件"被 诊 断 者 患 有 癌 症",则 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现 在 对 自 然 人 群
（2）P( AB) P(A)P(B A) 6 5 0.33 10 9
（3）P( AB) P( A)P(B A) 4 6 0.27 10 9
思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品 占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的 概率．
解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出 的产品是合格品， 则
解: 设A={掷出点数之和不小于10},B={第 一颗掷出6点}
练习2
练习2. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二 等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设 事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二 次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
的 概 率,而 P(B A) 表 示 在 缩 小 的 样 本 空 间A 中, 计 算 B 发 生 的 概 率.用 古 典 概 率 公 式,则
AB 中 样 本 点 数
P(B A) A 中 样 本 点 数, 作业:
P P(AB)
AB 中 样 本 点 数 中样本点数
课本
68 A 组第 2 题
一 般 来 说, P(B A)比 P(AB) 大.
首先看一个抓阄的问题: 三个阄, 其中一个阄内写着“奖”字, 两个阄
内不写字 , 三人依次抓取,问各人抓到“奖”字阄的
概率是否相同?
解:记 Ai 表示:“第一人抓到有奖字”的事件，i 1, 2, 3
则有
P( A1 )
1 3
，
P( A2 )
21 32
1 3
， P( A3 )
211 321
1 3
三人抓到“奖”字阄的概率是相同的.
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
j 号产品,则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) , ,(4,1),(4,2),(4,3)},
A {(1, 2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4)}, AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得 P(B A) n( AB) 6 12 2 . n( A) 9 12 3
阅读课文(自学例1然后思考1)
思考一: 一个袋中装有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放
回地抽取两个黑球，记事件“第一次抽到黑球”为 A； 事件“第二次抽到黑球”为 B. ⑴分别求事件 A、B、AB 发生的概率； ⑵求 P(B | A) 练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
n( A) 9 12 3
练习3
练习5.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某 一家有男孩，求这家有两个男孩的概率； 若已知某家第一个是男孩，求这家有两个 男孩（相当于第二个也是男孩）的概率. （假定生男生女为等可能）
解 Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) }
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率
解：∵事件 A 发生的条件下，事件 B 的概 率即Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空 间缩小到只包含A的样本点
P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B A 5 1 32 4,6
练习5.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩， 求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩， 求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率. （假定生男生女为等可能）
解 Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) }
设 Ｂ= “有男孩” ， 则 Ｂ={(男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) }
Ａ= “有两个男孩” ， Ａ={(男, 男) }，
B1 =“第一个是男孩”
于是得 P B 3
4
P BA P
A
B1
1
一般化:
定义：一般地,设 A,B 为两个事件,且 P( A) 0 ,称
P(B | A) P( AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B P( A)
发生的条件概率.
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1;
A AB B
⑵几何解释:
⑶可加性：
如果 B和C 互斥，
那么 P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
⑶可加性：
A AB B
如果 B和C 互斥，
那么 P(B C) | A P(B | A) P(C | A)
练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗 掷出6点,问“掷出点数之和不小于10” 的概率是多少?
练习2
练习2. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一 等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取 一只,作不放回抽样.求第一次取到的是一等 品的条件下第二次取到的也是一等品的概率
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8 P( A) P( A)
0.56 0.7
BA
5
3.甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1） 甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到 难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签 的概率。
0.087.
P(C)P( A C) P(C)P( A C)
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25)
选做作业: 1．根 据 以 往 的 临 床 记 录,某 种 诊 断 癌 症 的 试
验 具 有 如 下 的 效 果: 若 以 A 表 示 事 件"试 验 反 应 为 阳 性" ,以 C 表 示 事 件"被 诊 断 者 患 有 癌 症",则 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查,设 被 试 验 的 人 患 有 癌 症的 概 率 为0.005, 即 P(C ) 0.005, 试 求 P(C A).
4
={(男, 男)
PA|B
P, (男BA,
P(B)
ຫໍສະໝຸດ Baidu女)
1 3
}
P
B1
1 2
P
B1 A
P
A
1 4
P
A | B1
P B1A P( B1 )
1 2
学习小结:
1.条件概率 P(B A) P( AB)
P( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB) 表 示 在 样 本 空 间 中,计 算 AB发 生
思考：(接上题)如果已经知道第一个人没有抓到“奖” 字，那么最后一名同学抓到“奖”字的概率又是多少？
不妨记所求概率为 P(B | A) .由古典概型的知识,
不难求得概率为 P(B | A) n( AB) 1 n( A) 2
在刚才问题中,我们发现 P(B | A) P( AB) . P( A)
{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) , ,(4,1),(4,2),(4,3)}, A {(1, 2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4)},
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得 P(B A) n( AB) 6 12 2 .
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为 0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为 20岁的这种动物活到25岁的概率.
条件概率
我们知道求事件的概率有加法公式： 若事件 A 与 B 互斥，则 P( A B) P( A) P(B) . 那么怎么求 A 与 B 的积事件 AB 呢?
注: 1.事件 A 与 B 至少有一个发生的事件叫做 A 与 B 的和事件,记为 A B (或 A B ); 2.事件 A 与 B 都发生的事件叫做 A 与 B 的积事件, 记为 A B (或 AB ); 3.若 AB 为不可能事件,则说事件 A 与 B 互斥.
解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”
则 P(1) P(A) 4 10
P(3) P(AB) 6 4 10 9
P(2) P(AB) 4 3 10 9
P(4) P( ABC) 4 3 2 10 9 8
4.全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人， 女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中 男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40 人中，有32名男生，8名女生。求
P(A | B) 45%
P(B ) 4%
于是 P(B) 1 P(B ) 96%
所以 P(A) P(AB) P(B)P(A | B)
96%45% 43.2%
练习4
练习5
练习4:抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
P(A), P(B), P(A B), P(B A), P(AB),
80
20
12
12
12
100 100
20
80
100
P(C),
40 100
P(C A),
32 80
P(A B),
12 80
P( AC )
32 100
条件概率
引入
引入问题
条件概率 及思考一
思考二
本课小结
作业:课本 P68 A 组第 2 题
定义：一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A) 0 ,称 P(B | A) P(AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B
P( A)
发生的条件概率.
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1;
⑵几何解释: