北师大版高一数学必修2电子课本课件【全册】
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1.7正切函数-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
课文精讲
➢ 正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦
函数相应的诱导公式得到:
tan(kπ+α) =tanα (k∈Z)
tan(-α) =−tanα
tan(π+α) =tanα
tan(π-α) =−tanα
tan
tan
+ =−
− =
其中角α可以为使等式两边都
正切函数
授课教师：
温故知新
学习目标
1. 理解正切函数的定义. （重点）
2.掌握正切函数的诱导公式，并能够灵活运
用其进行化简求值. （重点）
3. 会画y=tanx的图象.（重点）
4.推导并理解正切函数在区间 − ， 内的
性质.（难点）
5.能够利用正切函数的性质解决有关问题.
（难点）
课文精讲
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周
期和单调区间:
(1) tan2x； (2) tan − .
解： (2)由于tan − =tan − +
=tan ( + ) − ，因此函数tan −
的
最小正周期是π.
典型例题
例4：画出下列函数的图象，并求出定义域、周
；
；
tan − +
.
典型例题
；
例3: (1) tan
解: (3)tan −
(2) tan −
=− tan = −
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 利用正切函数图象解决不等式的解决方法
解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量
的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周
期为π.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练 2(1)求满足- 3<tan x≤1 的 x 的集合;
7.3
正切函数的图象与性质
-1-
课标阐释
1.能够正确画出正切函数的图象.(数学抽象)
2.会通过正切函数的图象研究其性质.(逻辑推理)
3.能运用正切函数图象与性质解决问题.(数学运算)
思维脉络
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、
测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.同学们,你能够类
2
是全体实数.
2.正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π.一般地,函数
π
y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是 T= .若不知 ω 正负,则该
π
函数的最小正周期为 T= .
||
3.正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,
并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间.
1
tan
答案-5
(- )
=- tan α+
1
tan
=-5.
.
2π
=-tan 5 ,
3π
>tan -
12π
5
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
π
y=-2sin 2- +1 的图象.
6
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 正、余弦函数图象的变换方法
1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图象的基本变换有
四种.(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时其
函数图象上每个点的纵坐标伸长;当A<1时其函数图象上每个点的
得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象.
名师点析由y=sin x变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩:
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
(2)先伸缩后平移:
课前篇自主预习
由 y=sin x 的图象得到函数 y=3sin 2x-3 的图象?
2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,明确A,ω,φ
的物理意义.(数学抽象)
3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质的基本方法,会研
究其性质.(数学运算)
思维脉络
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=Asin(ωt+φ) A>0,
列表如下:
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
这五个点为
π-2
2
P1 - ,0 ,P2
, ,P3
π-
,0 ,P4
y=-2sin 2- +1 的图象.
6
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 正、余弦函数图象的变换方法
1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图象的基本变换有
四种.(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时其
函数图象上每个点的纵坐标伸长;当A<1时其函数图象上每个点的
得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象.
名师点析由y=sin x变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩:
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
(2)先伸缩后平移:
课前篇自主预习
由 y=sin x 的图象得到函数 y=3sin 2x-3 的图象?
2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,明确A,ω,φ
的物理意义.(数学抽象)
3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质的基本方法,会研
究其性质.(数学运算)
思维脉络
课前篇自主预习
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知识点拨
电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=Asin(ωt+φ) A>0,
列表如下:
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知识点拨
这五个点为
π-2
2
P1 - ,0 ,P2
, ,P3
π-
,0 ,P4
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第一章-§7正切函数
17
.
5
6
＝ .
∵ - 2 < 6 < 4 < 2 ，且＝tan x在区间 − 2 ， 2 上单调递增，∴ 6 < 4 ，即tan −
11
4
>tan −
17
6
.
高中数学
必修第二册
北师大版
<3>求单调区间
例5
求函数＝tan
解：＝tan
π
3
π
3
− 2 的单调递减区间.
（2）原式＝tan ·
−2tan
3
3
2
2
+ 3×
＝ −tan2 ＝ tan .
3
1
4
＝
+1＝
.
3
3
3
高中数学
必修第二册
北师大版
跟踪训练
求值：
tan
1+tan
π
π
π
7
2
−tan
4
3
4
− 3 ·tan
π
π.
−4
π
π
π−π3
−tan 4 +tan 3
＝
π ＝
π+π3 tan π4
1+tan 3
（2）角 ≠ π +
π
2
sin
，这是同角三角函数的基本关系.
cos
的正弦、余弦、正切之间的关系为tan ＝
（3）由正切函数的定义域可知，角的终边不能在轴上.
高中数学
必修第二册
北师大版
二、正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到：
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
解在平面内任取一点 O,作向量=a,=b,则向量 a-b=,再作向
量=c,则向量=a-b-c.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
向量的减法运算
例2化简下列各式:
(1)( + )+(- − );
(2) − − .
解(1)原式= + + + =( + )+( + )= +
起点相同时,可以考虑用减法.
事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和,即
= + 以及 = − (M,N 是同一平面内任意一点).
课堂篇探究学习
探究一Biblioteka 探究二探究三探究四
探究五
当堂检测
变式训练4如图,解答下列各题:
(1)用 a,d,e 表示;
(2)用 b,c 表示;
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练 3 已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 +
= ,则下列结论正确的是(
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在直线上
D.点P在△ABC的外部
)
解析由 + = ,可得 = − = ,
(1)两个相等向量之差等于0.(
)
(2)两个相反向量之差等于0.(
)
(3)两个向量的差仍是一个向量.(
)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.(
答案(1)√ (2)× (3)√ (4)√
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3π
D. 24
解析由题意知,g(x)=cos 2x+4 =sin 2x+ 4 ,其图象向左平移 a 个
3π
单位得到函数 f(x)=sin 2x+2a+
3π
π
5π
4
π
,而函数 f(x)=sin 2x+3 ,所以有
19π
2a+ 4 = 3 +2kπ,则 a= +2kπ(k∈Z),取 k=1 得 a= 24 .故选 C.
专题二
专题三
π
(3)已知|x|≤ ,求函数 y=f(x)=-sin2x+sin x+1 的最小值.
4
π
2
2
解令 t=sin x.因为|x|≤4 ,所以- 2 ≤sin x≤ 2 .
所以
y=-t2+t+1=-
-
2
1 2
2
π
+
5
4
-
2
2
≤≤
2
2
.
所以当 t=- ,即 x=- 时,f(x)有最小值,且最小值为
2
单调性:有递增和递减区间
π
π + 2 -
π-
对称性:对称中心
,0 (∈Z),对称轴 =
(∈Z)
实际应用:在生活、建筑、物理、航海等方面的应用
题型突破深化提升
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数的求值与化简
例1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),求
sin (4π-)cos (3π+)cos
章末整合
-1-
知识网络系统构建
角:一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角
北师大版（）高中数学必修第二册课件(22份)
=800 2(km).其中∠BAC=45°,
所以方向为北偏东 35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是 1 600 km,
两次飞行的位移和的大小为 800 2 km,方向为北偏东 80°.
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探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟
.
解析 + + =( + )+ = + =0.
答案0
(
)
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
A. =
)
B. + =
C. + = D. + =0
解析在平行四边形 ABCD 中,应有 + = ,故 C 项错误.
答案C
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探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的加法运算律及应用
行 800 km,从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km.
飞机飞行的路程指的是||+||,两次飞行的位移的和指的是
+ = .依题意,有||+| |=800+800=1 600(km).又
α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以||= ||2 + | |2 = 8002 + 8002
例3化简下列各式:
(1) + + ;
(2) + + + .
解(1) + + =( + )+=0+ = .
所以方向为北偏东 35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是 1 600 km,
两次飞行的位移和的大小为 800 2 km,方向为北偏东 80°.
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反思感悟 向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟
.
解析 + + =( + )+ = + =0.
答案0
(
)
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
A. =
)
B. + =
C. + = D. + =0
解析在平行四边形 ABCD 中,应有 + = ,故 C 项错误.
答案C
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探究三
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向量的加法运算律及应用
行 800 km,从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km.
飞机飞行的路程指的是||+||,两次飞行的位移的和指的是
+ = .依题意,有||+| |=800+800=1 600(km).又
α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以||= ||2 + | |2 = 8002 + 8002
例3化简下列各式:
(1) + + ;
(2) + + + .
解(1) + + =( + )+=0+ = .
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图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经
过的某些关键点是否包含.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
1
变式训练 3 判断方程 sin x=-2,x∈[0,2π]根的个数.
1
解画出 y=sin x 和 y=-2在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知
(1)列表:
x
0
y=sin x
y=Asin x+b
0
b
2
1
A+b
0
b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),
3π
2
3
2
π
-1
-A+b
π
2
, + ,(π,b),
,- + ,(2π,b)五个点.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
2π
0
b
课堂篇探究学习
探究一
探究二
3
(1)y=
1-2sin
;
(2)y= 2sin + 1.
1
解(1)要使函数式有意义,需 1-2sin x≠0,即 sin x≠2,而在[0,2π]上有
π
1
5π
1
sin 6 = 2,sin 6 = 2,故该函数的定义域为
π
5π
x x≠6 +2kπ,且 x≠ +2kπ,k∈Z .
6
1
π 3π
2
2
(2)由题意知 2sin x+1≥0,sin x≥- .因为在一个周期 - ,
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经
过的某些关键点是否包含.
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探究六
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1
变式训练 3 判断方程 sin x=-2,x∈[0,2π]根的个数.
1
解画出 y=sin x 和 y=-2在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知
(1)列表:
x
0
y=sin x
y=Asin x+b
0
b
2
1
A+b
0
b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),
3π
2
3
2
π
-1
-A+b
π
2
, + ,(π,b),
,- + ,(2π,b)五个点.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
2π
0
b
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探究二
3
(1)y=
1-2sin
;
(2)y= 2sin + 1.
1
解(1)要使函数式有意义,需 1-2sin x≠0,即 sin x≠2,而在[0,2π]上有
π
1
5π
1
sin 6 = 2,sin 6 = 2,故该函数的定义域为
π
5π
x x≠6 +2kπ,且 x≠ +2kπ,k∈Z .
6
1
π 3π
2
2
(2)由题意知 2sin x+1≥0,sin x≥- .因为在一个周期 - ,
2020最新北师大版高一数学必修第二册(2020版)电子课本课件【全册】
第一章 三角函数
2020最新北师大版高一数学必修第 二册(2020版) 第二册(2020版)电子课本课件【
全册】目录
0002页 0004页 0006页 0008页 0010页 0012页 0014页 0016页 0018页 0020页 0022页 0024页 0026页 0028页 0030页 0032页 0034页
第一章 三角函数 2 任意角 2.2 象限角及其表示 3.1 弧度概念. 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 诱导公式与旋转 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象 6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 7 正切函数 7.2 正切函数的诱导公式 8 三角函数的简单应用 1 从位移、速度、力到向量 1.2 向量的基本关系 2.1 向量的加法 3.1 向量的数乘运算
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0002页 0068页 0111页 0120页 0181页 0247页 0302页 0355页 0412页 0438页 0509页 0556页 0600页 0616页 0640页 0688页 0710页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
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1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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1.2简单多面体
最新北师大版高一数学必修2全册 ห้องสมุดไป่ตู้件【完整版】
习题1—1
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第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
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1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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1.2简单多面体
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习题1—1
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1
1
DM=2MC,BN=2BC,则 ·=
.
解析以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐
标系(图略),则 A(0,0),M(1,2),N(3,1),所以=(1,2),=(3,1),所以
·=1×3+2×1=5.
答案5
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-1),
所以 a-2b=(-5,4),
|a|= 2 + 2 .
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
(1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±
(2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±
1
02 +02
1
02 +02
·
(x0,y0);
·
(-y0,x0).
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练 2 若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为
|c+td|= (2 + 4)2 + (-3)2 = √5 2 + 10 + 25,
5+5
√2
因此可得 =
,解得
2
1
DM=2MC,BN=2BC,则 ·=
.
解析以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐
标系(图略),则 A(0,0),M(1,2),N(3,1),所以=(1,2),=(3,1),所以
·=1×3+2×1=5.
答案5
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探究二
探究三
)
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探究一
探究二
探究三
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
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解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-1),
所以 a-2b=(-5,4),
|a|= 2 + 2 .
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
(1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±
(2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±
1
02 +02
1
02 +02
·
(x0,y0);
·
(-y0,x0).
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探究二
探究三
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变式训练 2 若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为
|c+td|= (2 + 4)2 + (-3)2 = √5 2 + 10 + 25,
5+5
√2
因此可得 =
,解得
2
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最新北师大版高一数学必修2电 子课本课件【全册】目录
0002页 0061页 0085页 0094页 0140页 0170页 0213页 0227页 0262页 0264页 0317页 0367页 0369页 0394页 0452页 0454页 0524页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.1平行关系的判定 习题1-5 6.1垂直关系的判定 习题1—6 7.1简单几何体的侧面积 7.3球的表面积和体积 阅读材料 蜜蜂是对的 本章小结 第二章 解析几何初步
Hale Waihona Puke 第一章 立体几何初步最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
1.简单几何体
最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
1.1简单旋转体
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第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.1平行关系的判定 习题1-5 6.1垂直关系的判定 习题1—6 7.1简单几何体的侧面积 7.3球的表面积和体积 阅读材料 蜜蜂是对的 本章小结 第二章 解析几何初步
Hale Waihona Puke 第一章 立体几何初步最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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北师大版必修二数学全册教学课件
提升总结：几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，
则这个几何体一定是 ( C )
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分 别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2.下列说法正确的是( D ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱. C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥. D.棱台各侧棱的延长线交于一点.
转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情
形，请画出来？
O
O
O
直线的倾斜角
当直线l和x轴平行时，我们规定直线的倾斜角为0°.
明确直线的 旋转方向
思考2：由倾斜角的定义你能说出倾斜角α的范围吗？ 0°≤ α＜180°
探究点3 直线的斜率 思考1：在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了 直线倾斜的程度，在日常生活中，还有没有表示倾 斜程度的量？
五棱柱……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
（2） 我们把侧棱_垂__直__于底面的棱柱叫作直棱柱，
底面是_正__多__边__形__的直棱柱叫作正棱柱.
关注侧棱
3.棱柱的表示方法(下图)
B1
O1
用底面各顶点的字母表示棱柱,如：五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1.
想一想：观察下面的空间几何体，结合棱柱的定义， 思考下列问题.
小结： 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体. 圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个 圆锥而得到的.
北师大版（）高中数学必修第二册ppt(22份)
(π,-1).
2.要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位长
度即可,这是利用诱导公式 cos x=sin x+2 得出.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)函数 y=cos x 的图象与 y 轴只有一个交点.
解(1)列表:
x
0
y=cos x
y=2cos x+3
1
5
π
2
0 -1
3 1
3
2
0
3
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
5
(2)描点:
在平面直角坐标系中描出(0,5),
π
2
,3 ,(π,1),
3π
2
,3 ,(2π,5)五个点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
π
3
+ 2π ≤ <
5π
6
+ 2π,∈Z
探究五
探究六
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
例5判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
(2)f(x)=sin2 cos2 ;
(3)f(x)=
cos
1-sin
.
探究五
探究六
当堂检测
当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
π
π
6
2
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- +
3
∈Z).故选 A.
答案A
(k
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的单调性
例 4 求函数 y=sin
解 y=sin
π
π
3
-2x 的单调递减区间.
π
π
π
π
π
-2x =-sin 2x-3 ,故由 2kπ-2 ≤2x-3 ≤2kπ+2 ,解得 kπ3
φ=- +kπ(k∈Z).
6
2π
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟 正、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正、余弦函
数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看
成一个变量.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令
π
ωx+φ= +kπ(k∈Z),求x.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中
2
心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
π
变式训练 3 已知函数 f(x)=sin ωx+ 3 (ω>0)的最小正周期为 π,则该
π
6
2
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- +
3
∈Z).故选 A.
答案A
(k
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正、余弦函数的单调性
例 4 求函数 y=sin
解 y=sin
π
π
3
-2x 的单调递减区间.
π
π
π
π
π
-2x =-sin 2x-3 ,故由 2kπ-2 ≤2x-3 ≤2kπ+2 ,解得 kπ3
φ=- +kπ(k∈Z).
6
2π
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反思感悟 正、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正、余弦函
数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看
成一个变量.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令
π
ωx+φ= +kπ(k∈Z),求x.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中
2
心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
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π
变式训练 3 已知函数 f(x)=sin ωx+ 3 (ω>0)的最小正周期为 π,则该
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(2)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, , + , −
1
,2 + .
2
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以 a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得
m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ=
.
1
解析 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得 λ=2.
D.(-6,-10)
)
解析 = + = − =(-2,-4),故选 A.
答案A
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(
1
A.2
B.2
1
C.-2
D.-2
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
1
,2 + .
2
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探究三
当堂检测
解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以 a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得
m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ=
.
1
解析 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得 λ=2.
D.(-6,-10)
)
解析 = + = − =(-2,-4),故选 A.
答案A
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探究一
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探究三
当堂检测
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(
1
A.2
B.2
1
C.-2
D.-2
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
高一下学期数学北师大版必修第二册2.4.1平面向量基本定理课件PPT
可以用形如λ1e1+λ2e2 的形式表示呢?
分析
如图，给定两个不共线的向量e1， e2，以及任
意一个向量a
在平面内任取一点O，作 = , = , = .
C
M
1
Ԧ
2
A
O
N
B
过点C作平行于OB的直
线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于OA的直
线，与直线OB交于点N.
的线性表示。.
C
M
1
Ԧ
2
A
O
N
B
分析
如图， ， 是两个不共线的向量，容易看出 =
2 + 3 , = − + 4 , = 41 − 4 , =
− 2 + 5 ,可以发现，平面内任意一个向量都可以由这
个平面内两个不共线的向量 ， 线性表示.
平面向量基本定理应用
→ → →
而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
λ＝4，
λ＋2μ＝2，
5
得
解得
3
3λ＋μ＝3，
μ＝5.
→ 4 → → 3→
∴AP＝5AM，BP＝5BN，
3
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝2.
解后心得
应用平面向量基本定理时的关注点
1充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形
A．①
B．②
C．①③
C [由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的．]
D．②③
练习
对基的理解
设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四
组向量中，不能作为基的是(
A．e1＋e2和e1－e2
分析
如图，给定两个不共线的向量e1， e2，以及任
意一个向量a
在平面内任取一点O，作 = , = , = .
C
M
1
Ԧ
2
A
O
N
B
过点C作平行于OB的直
线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于OA的直
线，与直线OB交于点N.
的线性表示。.
C
M
1
Ԧ
2
A
O
N
B
分析
如图， ， 是两个不共线的向量，容易看出 =
2 + 3 , = − + 4 , = 41 − 4 , =
− 2 + 5 ,可以发现，平面内任意一个向量都可以由这
个平面内两个不共线的向量 ， 线性表示.
平面向量基本定理应用
→ → →
而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
λ＝4，
λ＋2μ＝2，
5
得
解得
3
3λ＋μ＝3，
μ＝5.
→ 4 → → 3→
∴AP＝5AM，BP＝5BN，
3
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝2.
解后心得
应用平面向量基本定理时的关注点
1充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形
A．①
B．②
C．①③
C [由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的．]
D．②③
练习
对基的理解
设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四
组向量中，不能作为基的是(
A．e1＋e2和e1－e2
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
积,该推理不正确,即a·
b=b·
c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般
不成立.这是因为(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量,而a·
(b·
c)表示一个
与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般不成立.
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;
3.a·a=|a|2,即|a|= ·;
4.cos<a,b>=
·
(|a||b|≠0);
||||
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·
是
.
5
解析易知||2=||2+||2,C=90°,cos B=13,
5
所以 cos <, >=cos(180°-B)=-cos B=- .
13
所以 ·=||·||cos(180°-B)
=13×5× -
5
13
答案-25
=-25.
a·b=
.
解析 a·b=|a||b|cos <a,b>=2× 3×cos 30°=2× 3 ×
答案3
3
2
=3.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
二、投影
1.如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,
过点 A 向直线 OB 作垂线,垂足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ
b=b·
c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般
不成立.这是因为(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量,而a·
(b·
c)表示一个
与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般不成立.
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;
3.a·a=|a|2,即|a|= ·;
4.cos<a,b>=
·
(|a||b|≠0);
||||
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·
是
.
5
解析易知||2=||2+||2,C=90°,cos B=13,
5
所以 cos <, >=cos(180°-B)=-cos B=- .
13
所以 ·=||·||cos(180°-B)
=13×5× -
5
13
答案-25
=-25.
a·b=
.
解析 a·b=|a||b|cos <a,b>=2× 3×cos 30°=2× 3 ×
答案3
3
2
=3.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
二、投影
1.如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,
过点 A 向直线 OB 作垂线,垂足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第二章-§4平面向量基本定理及坐标表示
（， ∈ ），则 + 的值是（
1
5
A.-
B.
1
5
2
5
C.-
D.
）
2
5
解题提示：建立适当的直角坐标系，运用向量的坐标运算求解.由题意知，
，，三点共线，则 ＝ ，用 和表示出 ，根据，，三点共线，
可得到的值，整理化简即可得到和的值，从而可得答案.
高中数学
新知学习
一、平面向量基本定理
如果 和 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数1，2 ，
使＝11 + 22.
我们把不共线的向量和叫作表示这一平面向量的一组基，记为{，}.
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5
B.(2 , 2) C.（-1，12）
）
D.（5，4）
解析：因为＝（2，8），＝（-3，4），所以＝-＝（-5，-4）.因为＝，
1
5
即为的中点，所以＝2 ＝(− 2 , −2)，
5
1
所以＝+＝（2，8）+(− 2 , −2)＝(− 2 , 6).
3
∴ ( 2 − 1)+2 +(2 + 2 )( + 2 )＝0，则(4 + 4 − 1)+( + 2 )＝0.
又，不共线，∴{
1
4
3
+ 2 ＝0，
4
＝ − 5 ，
4
解得{
∴
+
＝
.
8
5
＝ 5 .
+ 4 − 1＝0，
1
5
A.-
B.
1
5
2
5
C.-
D.
）
2
5
解题提示：建立适当的直角坐标系，运用向量的坐标运算求解.由题意知，
，，三点共线，则 ＝ ，用 和表示出 ，根据，，三点共线，
可得到的值，整理化简即可得到和的值，从而可得答案.
高中数学
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一、平面向量基本定理
如果 和 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数1，2 ，
使＝11 + 22.
我们把不共线的向量和叫作表示这一平面向量的一组基，记为{，}.
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5
B.(2 , 2) C.（-1，12）
）
D.（5，4）
解析：因为＝（2，8），＝（-3，4），所以＝-＝（-5，-4）.因为＝，
1
5
即为的中点，所以＝2 ＝(− 2 , −2)，
5
1
所以＝+＝（2，8）+(− 2 , −2)＝(− 2 , 6).
3
∴ ( 2 − 1)+2 +(2 + 2 )( + 2 )＝0，则(4 + 4 − 1)+( + 2 )＝0.
又，不共线，∴{
1
4
3
+ 2 ＝0，
4
＝ − 5 ，
4
解得{
∴
+
＝
.
8
5
＝ 5 .
+ 4 − 1＝0，
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第一章 立体几何初步
北师大版高一数学必修2电子课本 课件【全册】
1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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北师大版高一数学必修2电子课 本课件【全册】目录
0002页 0043页 0067页 0102页 0147页 0177页 0221页 0274页 0345页 0406页 0450页 0475页 0522页 0561页 0624页 0626页 0663页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.1平行关系的判定 习题1-5 6.1垂直关系的判定 习题1—6 7.1简单几何体的侧面积 7.3球的表面积和体积 阅读材料 蜜蜂是对的 本章小结 第二章 解析几何初步