131平方根
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3．培养优算意识，了解两个方向无限逼近的 数学思想；
4．体验“无限不循 环”的含义，感受存在着 不同于有理数的一类新数；
5．通过用计算器求 值及近似值计算，提高运 算能力和动手能力；
6．通过利用计算器 求值体验现代科技产品迅 速、精确的功能，激发学 习知识的兴趣．
教学重难点
重点
1．平方根的概念、算术平方根的定 义；
1，4，9，16，25．36
解： 1 1； 4 2； 9 3；
16 4； 25 5； 36 6；
比较结果：1 < 4 < 9 < 16 < 25＜36，
1 4 9 16 25 36.
结论
被开方数大的数算术平方根也大．
即：若a bห้องสมุดไป่ตู้ 0，则 a b 0.
例4 一个正方形的面积变为原来的4 倍，其边长变为原来的多少倍？
新课导入
某教学模具厂要制面积 如下表所示的正方形模具， 你能帮他们计算出这些正方 形模具的边长是多少吗？
面积x2=a 1 1.96 2.25 9 16 25 36 边长x 1 1.4 1.5 3 4 5 6
这些正方形模具的边长和面积是什么 关系呢？
教学目标
知识与能力
1．理解平方根和算术平方根的概念，了解平方 与开平方的关系；
解：设这个正方形原来的边长为a，则其原来 的面积为a2．又设变大后的正方形的边长为b，则 b2=4a2=(2a)2
b 4a2 2a
所以，正方形的面积变为原来的4倍，则其边 长变为原来的2倍．
结论 正方形的面积扩大n倍，那么其边长
对应扩大 n 倍．
想一想
某气垫厂接到订单，要求把 两块面积为1的正方形材料，缝 成一块正方形的气垫面，你有没 有办法进行设计，帮助他们解决 这个问题？缝成的这个大正方形 的边长是多少呢？
81
解：（1）因为202=400，所以400的算术平 方根为20，即 400 =20．
是
5 9
（，2即）因25为= 95
81
52=
9
25 ，所以 25
81
81
．
的算术平方根
（3）因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术 平方根为0.05，即 0.0025 =0.01．
例2 填空 （1）121 的算术平方根是__1_1___；
知识要 点
无限不循环小数：即无理数，是指小 数位数无限，且小数部分不循环的小数．
无限不循环小数是不能转化为分数 的．
常见无限不循环小数：圆周率π，自然对
数的底数e， 2, 3, 5……
无限不循环小数的计算：借助于计算器．
如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开， 将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面 积为2的大正方形气垫面．小正方形的对角线长度 即为大正方形的边长．
设大正方形的边长为x，则
x2=2.
由算术平方根的意义可知
x= 2 ．
2 有多大呢？
∵12=1，22=4，
想一想
∴1＜ 2＜2；
∵1.42=1.96，1.52=2.25，
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的 人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉 斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖 毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚 的，他所说的一切都是真理．
毕达哥拉斯认为“宇宙间的一切现象都能 归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描 述．
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理 数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条， 引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现， 然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为 他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到 毕氏成员的围捕，被投入大海．
规定：0的算术平方根是0．
其中： 是算术平方根的运算符号．
a 表示a的算术平方根．
被开方数a是非负数，即a≥0．
a的算术平方根也是非负数，即 a 0 ．
下列各式中哪些有意 义？哪些无意义？
想一想
（9）2， 9， 9， 9
答：有意义的是：
（ 9）2， 9， 9
无意义的是： 9
例1 求下列各数的算术平方根： （1）400 （2） 25 （3）0.0025
2．探索被开方数扩大（缩小）与算 术平方根扩大（缩小）的规律；
3．用计算器求一个正数的平方根的 程序 ；
4．体验“无限不循环”的含义．
难点
1．平方根的概念和平方根的表示方法；
2．利用平方根定义解决问题；
3．用夹值法估计一个（无理）数的大 小；
4．准确用计算器求解一个正数的平方 根．
知识要 点
一般地，如果一个正数x的平方等于 a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术 平方根．a的算术平方根记为 a ，读作 “根号a”，a叫做被开方数．
2．会求一个数的平方根； 3．理解开平方与平方互为逆运算； 4．通过学习算数平方根，建立初步的数 感和符号感，发展抽象思维；
5．通过探究 2 的大小，培养估算意识， 了解从两个方向无限逼近的数学思想．
情感态度与价值观
1．通过学习算术平方根，进一步建立数感和 符号感，发展抽象思维；
2．通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算 术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力， 抽象概括能力；
2．学会平方根、算术平方根的表示方法； 3．会用计算器求一个数的算术平方根； 4．理解无限不循环的含义，能用夹值法估计一 个数的算术平方根的大小范围； 5．理解被开方数越大，它的算术平方根也越大， 被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或 缩小）的规律．
过程与方法
1．发展数感，经历认识平方根的概念， 经历总结发现正数、负数、零的平方根的情 况；
0.25 的算术平方根是_0_._5____； 0 的算术平方根是__0_____．
（2）100 的算术平方根是__1_0___； 25 的算术平方根是___5____； 0.81 的算术平方根是_0_._9____．
例3 求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来．
∴1.4＜ 2 ＜1.5；
∵1.412=1.999 396，1.4152=2.002 225，
∴1.414＜ 2 ＜1.415
……
接着往下计算，可以发现 2 =1.414
213 56…，是一个无限不循环小数．
读一读
无限不循环小数的发现
第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却 被抛进了大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？
4．体验“无限不循 环”的含义，感受存在着 不同于有理数的一类新数；
5．通过用计算器求 值及近似值计算，提高运 算能力和动手能力；
6．通过利用计算器 求值体验现代科技产品迅 速、精确的功能，激发学 习知识的兴趣．
教学重难点
重点
1．平方根的概念、算术平方根的定 义；
1，4，9，16，25．36
解： 1 1； 4 2； 9 3；
16 4； 25 5； 36 6；
比较结果：1 < 4 < 9 < 16 < 25＜36，
1 4 9 16 25 36.
结论
被开方数大的数算术平方根也大．
即：若a bห้องสมุดไป่ตู้ 0，则 a b 0.
例4 一个正方形的面积变为原来的4 倍，其边长变为原来的多少倍？
新课导入
某教学模具厂要制面积 如下表所示的正方形模具， 你能帮他们计算出这些正方 形模具的边长是多少吗？
面积x2=a 1 1.96 2.25 9 16 25 36 边长x 1 1.4 1.5 3 4 5 6
这些正方形模具的边长和面积是什么 关系呢？
教学目标
知识与能力
1．理解平方根和算术平方根的概念，了解平方 与开平方的关系；
解：设这个正方形原来的边长为a，则其原来 的面积为a2．又设变大后的正方形的边长为b，则 b2=4a2=(2a)2
b 4a2 2a
所以，正方形的面积变为原来的4倍，则其边 长变为原来的2倍．
结论 正方形的面积扩大n倍，那么其边长
对应扩大 n 倍．
想一想
某气垫厂接到订单，要求把 两块面积为1的正方形材料，缝 成一块正方形的气垫面，你有没 有办法进行设计，帮助他们解决 这个问题？缝成的这个大正方形 的边长是多少呢？
81
解：（1）因为202=400，所以400的算术平 方根为20，即 400 =20．
是
5 9
（，2即）因25为= 95
81
52=
9
25 ，所以 25
81
81
．
的算术平方根
（3）因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术 平方根为0.05，即 0.0025 =0.01．
例2 填空 （1）121 的算术平方根是__1_1___；
知识要 点
无限不循环小数：即无理数，是指小 数位数无限，且小数部分不循环的小数．
无限不循环小数是不能转化为分数 的．
常见无限不循环小数：圆周率π，自然对
数的底数e， 2, 3, 5……
无限不循环小数的计算：借助于计算器．
如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开， 将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面 积为2的大正方形气垫面．小正方形的对角线长度 即为大正方形的边长．
设大正方形的边长为x，则
x2=2.
由算术平方根的意义可知
x= 2 ．
2 有多大呢？
∵12=1，22=4，
想一想
∴1＜ 2＜2；
∵1.42=1.96，1.52=2.25，
这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的 人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉 斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖 毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚 的，他所说的一切都是真理．
毕达哥拉斯认为“宇宙间的一切现象都能 归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描 述．
但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯 发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理 数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条， 引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现， 然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为 他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到 毕氏成员的围捕，被投入大海．
规定：0的算术平方根是0．
其中： 是算术平方根的运算符号．
a 表示a的算术平方根．
被开方数a是非负数，即a≥0．
a的算术平方根也是非负数，即 a 0 ．
下列各式中哪些有意 义？哪些无意义？
想一想
（9）2， 9， 9， 9
答：有意义的是：
（ 9）2， 9， 9
无意义的是： 9
例1 求下列各数的算术平方根： （1）400 （2） 25 （3）0.0025
2．探索被开方数扩大（缩小）与算 术平方根扩大（缩小）的规律；
3．用计算器求一个正数的平方根的 程序 ；
4．体验“无限不循环”的含义．
难点
1．平方根的概念和平方根的表示方法；
2．利用平方根定义解决问题；
3．用夹值法估计一个（无理）数的大 小；
4．准确用计算器求解一个正数的平方 根．
知识要 点
一般地，如果一个正数x的平方等于 a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术 平方根．a的算术平方根记为 a ，读作 “根号a”，a叫做被开方数．
2．会求一个数的平方根； 3．理解开平方与平方互为逆运算； 4．通过学习算数平方根，建立初步的数 感和符号感，发展抽象思维；
5．通过探究 2 的大小，培养估算意识， 了解从两个方向无限逼近的数学思想．
情感态度与价值观
1．通过学习算术平方根，进一步建立数感和 符号感，发展抽象思维；
2．通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算 术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力， 抽象概括能力；
2．学会平方根、算术平方根的表示方法； 3．会用计算器求一个数的算术平方根； 4．理解无限不循环的含义，能用夹值法估计一 个数的算术平方根的大小范围； 5．理解被开方数越大，它的算术平方根也越大， 被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或 缩小）的规律．
过程与方法
1．发展数感，经历认识平方根的概念， 经历总结发现正数、负数、零的平方根的情 况；
0.25 的算术平方根是_0_._5____； 0 的算术平方根是__0_____．
（2）100 的算术平方根是__1_0___； 25 的算术平方根是___5____； 0.81 的算术平方根是_0_._9____．
例3 求下列各数的算术平方根，并用“ < ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来．
∴1.4＜ 2 ＜1.5；
∵1.412=1.999 396，1.4152=2.002 225，
∴1.414＜ 2 ＜1.415
……
接着往下计算，可以发现 2 =1.414
213 56…，是一个无限不循环小数．
读一读
无限不循环小数的发现
第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却 被抛进了大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？