一元二次方程根的判别式与韦达定理常见题型

1 x1
1 x2
Biblioteka Baidu；⑶ (x1
x2 )2
变式：已知 a, b 是方程 x2 2012x 3 0 的两实根，求 (a2 2010a 3)(b2 2010b 3) 的值
题型 3：已知一元二次方程两．根．的．关．系．，求方程中未知系数的取值
1． 关于 x 的一元二次方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0 的两个实根的平方和等于 9，求 k 的值
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一、一元二次方程根的判别式的常见题型 题型 1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
(1)5x2 4x 3 0; (2)3x2 2x 1 0; (3)2x2 3 2 6x.
题型 2：证明一元二次方程根的情况
求证：无论 k 取何实数，关于 x 的一元二次方程： x2 (k 1)x k 4 0 总有两个不等实根。
题型 3：已知一元二次方程根的情．况．，求方程中未知系数的取值范围
1．（ 2011·重庆）已知关于 x 的一．元．二．次．方．程．(a－1)x2－2x+1=0 有两．个．不．相．等．的．实数根,则 a 的
取值范围是(
)
A.a<2
B,a>2
C.a<2 且 a≠1
D.a<－2·
变式 1：（2010·安徽芜湖）关于 x 的方．程．(a －5)x2－4x－1＝0 有．实．数．根．，则 a 满足（）
6. （2010·孝感）已知关于 x 的方程 x2－2（k－1）x+k2=0 有两个实数根 x1，x2.
（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1 x2 x1x2 1，求 k 的值.
A．a≥1 B．a＞1 且 a≠5 C．a≥1 且 a≠5
D．a≠5
注意：要特别注意二次项系数是否为 0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式 2：（2010 ·成都）若关于 x 的一元二次方程 x2 4x 2k 0 有两个实数根，求 k 的取值 范围及 k 的非．负．整．数．值.
变式 3：已知关于 x 的一元二次方程 (1 2k)x k x 1 0 有两个实数根，求 k 的取值范围
变式 2：（2010·中山）已知一元二次方程 x2 2x m 0 ．（1）若方程有两个实数根，求 m 的
范围；（2）若方程的两个实数根为 x1 ， x2 ，且 x1 +3 x2 =3，求 m 的值。
三、综合练习
1．（2010·贵州毕节）已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 1)x m2 0 有两个实数根 x1 和 x2 ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 x12 x22 0 时，求 m 的值．
4．（2010·孝感）关于 x 的一元二次方程 x 2 x p 1 0有两实数根 x1 、 x2 . （1）求 p 的取值范围； （2）若[2 x1 (1 x1 )][2 x2 (1 x2 )] 9,求p 的值.
2. （2011·四川南充市）关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2。 （1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2－x1x2＜－1 且 k 为整数，求 k 的值。
5．（2011·四川乐山）已知关于 x 的方程 x2 2(a 1)x a2 7a 4 0 的两根为 x1 、 x2 ，且
满足
x1x2
3x1
3x2
2
0
.求
(1
4 a2
) 4
a
a
2
的值。
3．（2010·绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为 x1，x2． （1）求 m 的取值范围； （2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．
变式 1： （2011·荆州）关于 x 的方程 ax2 (3a 1)x 2(a 1) 0 有两个不相等的实根 x1 、
x2 ，且有 x1 x1x2 x2 1 a ，则 a 的值是（ ）
A．1 B．－1
C．1 或－1
D． 2
注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。故最后需验根
二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型
题型 1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数 k 的值
已知 2 3 是方程 x2 kx 1 0 的一根，则方程的另一根是
，k =
。
题型 2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；
1. 已知 x1, x2 是方程 2x2 4x 3 0 的两根，计算： （1）x12 x22 ； ⑵