三大抽样分布及常用统计量的分布

2
( n )
2 的点 (n)为 2 (n)分布的上侧 分位点。
其几何意义见图5-5所示.
f(x )
其中f(x)是 2分布的概率密度。
显然，在自由度n取定以后， O 图5-5
2

(n) x
(n) 的值只与 有关。
2
例如：当 n = 21，
2 0.05
= 0.05 时，由附表3可查得，
2
～ 2 ( n2 1)
2 且S12与S 2 相互独立，由 2分布的性质知
( n1 1) S12
2

2 ( n2 1) S 2
2
～ 2 ( n1 n2 2)
再由定义3知 X Y ( 1 2 ) T ～t (n1 n 2 2) 1 1 Sn n1 n2
t分布的密度函数的图象相似于标准正态分布的密度
函数。当n较大时， t 分布近似于标准正态分布。
F分布
定义5.5 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且 X 与
X n1 Y 相互独立，则称随机变量 F Y n2
记作
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，
F～F(n1，n2).
n=1 n=4 n=10
图5-4
其图形随自由度 n 的不同而有所改变. x
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17
性质1： 2分布的数学期望与方差
设 X ～ n ，则E( X ) = n，D( X ) = 2n.
2
性质2： 2分布的可加性
设 X1 ~ (n1), X 2 ~ (n2), 且 X1 , X 2 相互独立，
2 1 n X X i ~ N , n i 1 n
2 —分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X 2 ,..., X n 是 X
2 2 的一个样本, 则称统计量 2 X12 X 2 服从自 X n
2 2 2 由度为 n 的 分布，记作 ~ (n) .
( n 1) 2 t 2 f(t) (1 ) n n ( n) 2
n1 2
,
( t )
定理4
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则统计量
X T ～t (n 1) S/ n 证： 由于 X 与S 2相互独立，且 2 X ( n 1) S 2 U ~ N(0,1), ~ (n 1) 2 n
由定义3得
X n X T ~ t(n 1) 2 S n (n 1)S (n 1) 2

定理5
分别是来自正态总体N(1 ，2) 和 N(2 ，2)的样本， 且它们相互独立，则统计量
设(X1，X2，…，Xn1) 和 (Y1，Y2，…，Yn2)
X Y (1 2) T ~ t(n1 n2 2) Sn 1 1 n1 n2
其中Sn
(5.10)

2 (n1 1)S1
2 2 S1、S2 分别为两总体的样本方差。
n1 n2 2

2 (n2 1)S2
,
证明：由例知 ( n1 1) S12
X Y ( 1 2 )

2
n1


2
～N (0,1)

2
～ 2 ( n1 1),
n2 2 ( n2 1) S 2
第四节 三大抽样分布及常用统计量的分布
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布
t 分布
F分布
数理统计的三大分布(都是连续型). 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2 分布、
t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用。
三大抽样分布是后面各章的基础。
(X X ) X nX =0
i 1
的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3：
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则 2相互独立； (1) 样本均值 X 与样本方差 S n
对于给定的 (0< <1)，称满足条件 P T t(n) f(t)dt t (n)
t 分布的上侧分位点


பைடு நூலகம்
的点t(n)为 t 分布的上分位点。 其几何意义见图5-7.
f(t)

O 图5-7
t(n) t
t 分布的双侧分位点
由于t分布的对称性，称满足条件
P T t 2(n)
从表面上看，
n
2 i 1 i
(n 1)S 2
2
(X X )
i 1 i
2

2
~ (n 1)
2
(4.1)
(X X ) 是n个正态随机变量 Xi X 的平方和，
n i i 1 i
但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下
（n1) n1 ~ F n1, n2 2 （n2) n2
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单 随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？ 3
自由度是指独立随机变量的个数， df
n
n 个相互独立的标准正态分布之平方和服从自由度
为 n 的 分布。
2
t— 分布
定义5.4
Y ～ 2(n) ，且 X 设随机变量 Y ～N(0, 1)，
Y n
与 Y 相互独立，则称统计量 T X
服从自由度为n的t分布或学生分布，记作 T～t(n).
N 0,1 ~ t(n) 2 (n) n
2
(21) 32.67，即 P (21) 32.67 0.05.
二、 t 分布
定义3: 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，且
X与Y相互独立，则称统计量 T X Y n
服从自由度为 n 的 t 分布， 记作 T～t(n). t分布的概率密度函数为
其图象如图 5-6 所示，其形状类似于标准正态分布 的概率密度函数的图象。 当 n 较大时， t 分布近似于标准正态分布。
(2)
(n 1)S 2
2
(X X )
i 1 i
2

2
~ (n 1)
2
(4.1)
与以下补充性质的结论比较： 性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(X i ) i 1
n
2

2
~ (n)
2
2分布的上侧分位点
定义2：设 X ～ (n), 对于给定的正数（0 1 ）称 , 满足条件 2 P X (n) 2 f ( x)dx
Xi i 1
2 n
2
(X i ) i 1
n
2

2
~ (n).
2
定理3 :
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则 2相互独立； (1) 样本均值 X 与样本方差 S n (2)
(4.1)式的自由度为什么是 n- 1 ？ n
定义5.5
与相互独立，则称随机变量 F
X n1 Y n2 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，
记作
三、F分布 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且
F～F(n1，n2)，
其概率密度函数为：
n1 n1 n2 1 Ay 2 (1 n1 y) 2 , y 0 f(y) n2 y0 0, n1 n2 ( ) n n1 2 其中 A ( 1 ) 2 , 其图形见图5-9 (P108)。 n1 n2 n2 ( )( ) 2 2
定理1 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
的样本，则
(X i ) i 1
n
2

2
~ (n)
2
证明： 由已知，有
Xi X i 则 ~ N(0, 1) ，且各 相互独立，
由定义1 :得
Xi ～ N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
2 2
则
X1 X 2 ~ 2(n1 n2)
性质3：设 X ～ n , 则对任意实数 x 有 t2 x 1 X n 2 lim P x e dt n 2 2n
2
这个性质说明当 n 很大时，自由度为 n 的 2分布趋 于正态分布N （n, 2n） .
其中f (y)是F分布的概率密度。 O 图5-7

F(n1, n2) x
F 分布的上侧分位点 F(n1, n2)的值可由F 分布表查得. 附表5、6、7(P258～P266 )分 =0.1、 =0.05、 =0.01给出了F分布的上分位数.
查表时应先找到相应的 值的表.
当时n1=2, n2=18时，有 F
2 称统计量 X X X 服从自由度为 n 的 分 2 2 布，记作 ~ (n).
2 2 1 2 2 2 n
其中(t )

0
xt 1e x dx(t 0)为函数。
注：自由度是指独立随机变量的个数，df
2
n
n 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
其几何意义如图5-8所示.


(5.12)
f(t)
的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。
/2 - t/2(n)
/2
O t/2(n) 图5-8
t
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表。
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15) =1.753 , t0.05/2(15) = 2.131 其中t0.05/2(15)可由P{t(15) ≥ t0.025(15)}=0.025查得。 但当n>45时，如无详细表格可查，可以用标准 正态分布代替t分布查t(n)的值. 即 当 n>45时， t(n) u 一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当 n>30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.
0.01(2,
18)= 6.01
在附表5、6、7中所列的值都比较小，当 较大 时，可用下面公式 F1(n1, n2)
1 F(n2, n1) 1 1 例如， F0.99(18, 2) ≈0.166 F0.01(2,18) 6.01
量和样本方差； 且两个样本相互独立，则统计量
2 2 定理5.4 设 n1, S1 为正态总体 N( 1, 1 ) 的样本容 2 2 量和样本方差；n2, S2 为正态总体 N( 2 , 2 )的样本容

S S
证明 由已知条件知
2 (n1 1)S1 2 1
2

2 1 2 1
2 2 2 2
~ F(n1 1, n2 1)
2 (n2 1)S2 2 2
~ (n1 1),
(n1 1) (n2 1)
2 S1 2 1
~ (n2 1)
2
且相互独立，由F分布的定义有
性质：若X～F(n1，n2)，则 1 ～F(n2，n1)。
X
一、F分布的上侧分位点 对于给定的 (0< <1)，称满足条件
P F(n1, n2) F(n1, n2)
F (n1, n2)
f(y)dy
的数F (n1，n2)为F分布的上侧分位点。
其几何意义如图5-7所示。 f (y)
2 (n1 1)S1 2 1 2 (n2 1)S2 2 2

2 S2 2 2
~ F(n1 1, n2 1)
U—分布 正态总体样本均值的分布
设总体 X ~ N ,

2
， X , X ,..., X 是 X 的一
1 2 n
个样本, 则样本均值服从正态分布
1 n Xi X n i 1 U ~ N 0,1 n n
2(卡方) — 分布
定义1: 设总体 X ~ N 0, 1 , X1, X 2 , ... , X n 是 X 的
2 2 2 2 X X X 一个样本，则统计量 1 2 n
的概率密度函数为
n x 1 1 x 2 e 2 x 0 n f ( x ) 2 2 ( n ) 2 x0 0