余弦定理(公开课)PPT
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余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
余弦定理优质课 ppt课件
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
第六章6.46.4.3第一课时 余弦定理PPT课件(人教版)
必修第二册·人教数学A版
sin (A－B)＝0. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴A＝B. 又∵C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
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1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思 想解决问题．一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角 之间的数量关系．(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 c2＝a2＋b2 或 b2＝a2＋c2. (2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2 且 b2＋c2>a2 且 c2＋a2>b2. (3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2 或 b2＋c2<a2 或 c2＋a2<b2. (4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π2.
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16＝12，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角．
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二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用 ►逻辑推理、数学运算 在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求解． [典例 2] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m＝(sin B,1 －cos B)与向量 n＝(2,0)的夹角 θ 的余弦值为12. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围．
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例2.在△ABC中，已知a=
A 60 2 2 2 2 2 2 a c b ( 6 ) ( 3 1) 2 cos B 2ac 2 6 ( 3 1)
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 2 为（ ）
b
2
2 ，则 △ABC的形状 c
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
知识提炼：
推论： cos A b c a 2bc
3
C 180 A B 90
解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC 的张角， BAC 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。
2 2 2
坐标法
余 弦 定 理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
b A
c
a
B
b2 c2 a2 推论：cos A 2bc
由向量减法的三角形法则得
2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
c a b
﹚
c a b 2ab cos C
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
同理：
2
a b 2ab cos C
2 2 2
a b c 2bc cos C 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA (bcosC,bsinC) 的夹角为∠C， 求边c. y
c (b cos C a ) 2 (b sin C 0) 2
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC中，已知b 3, c 2 3 , A 30 ,
求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
2 2 2
C a
B c
b
A
3 2 3 2 3 2 3cos30
2
2
a b a 3 由正弦定理 sin A sin B 得 1 3 b sin A 3 2 b c , B 60 sin B a 2 3
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
A b
bsinC
当ABC是直角三角形、钝角三角形呢？
c
C
2
bcosC
D
a
a-bcosC
B
2
c (b sin C ) (a b cos C )
2
b sin C a 2ab cos C b cos C
2 2 2 2 2
2 2
C
2
b A
2 2
a B
提炼：设a是最长的边，则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
B
8km
C
5km
解：BC 8 5 2 5 8 cos 60 49
2 2 2
A
BC 7
题型二、已知三角函数的三边解三角形
6 ,b=2,c= 3 1 , C b 解三角形(依次求解A、B、C). a 解：由余弦定理得 A B c 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 ) ( 6 ) cos A b c a 1 2bc 2 2 2 ( 3 1)
2 2 2
C
b
A c
a
B
剖析余弦定理：
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量； （2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例； （3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边； （4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C
﹚
(0，0)
(a,0) x
b 2 a 2 2ab cos C
则c a b 2ab cos C
2 2 2
同理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取
小结:
余弦定理：
2 2 2 b c a 2 2 2 cos A a b c 2bc cos A 2bc 2 2 2 b a c 2ac cos B c2 a 2 b2 cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C 2ca a 2 b2 c2 cos C 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab
一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最 BAC 60 后通过计算求出山脚的长度BC。
B
8km
变式训练：
60 在三角形ABC中，若a 3, b 1, c 2, 则A __________
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 4 2 52 6 2 1 （ 1 ） cos C 0 2ab 2 45 8
C
5km
A
思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？
二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C 求：c（即AB）
A
b
C a
c=?
B
三、证明问题 探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C， 求边c.
设 CB a, CA b , AB c
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
推论:
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状源自数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P10 A组
3 、4
a 2 c2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cos C 2ab
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 同理： 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
A 60 2 2 2 2 2 2 a c b ( 6 ) ( 3 1) 2 cos B 2ac 2 6 ( 3 1)
2 B 45 2 C 180 A B 180 60 45 75
C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 2 为（ ）
b
2
2 ，则 △ABC的形状 c
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
知识提炼：
推论： cos A b c a 2bc
3
C 180 A B 90
解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC 的张角， BAC 60 最 后通过计算求出山脚的长度BC。
2 2 2
坐标法
余 弦 定 理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
b A
c
a
B
b2 c2 a2 推论：cos A 2bc
由向量减法的三角形法则得
2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
c a b
﹚
c a b 2ab cos C
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
同理：
2
a b 2ab cos C
2 2 2
a b c 2bc cos C 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA (bcosC,bsinC) 的夹角为∠C， 求边c. y
c (b cos C a ) 2 (b sin C 0) 2
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC中，已知b 3, c 2 3 , A 30 ,
求角B、C和边a的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
2 2 2
C a
B c
b
A
3 2 3 2 3 2 3cos30
2
2
a b a 3 由正弦定理 sin A sin B 得 1 3 b sin A 3 2 b c , B 60 sin B a 2 3
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
A b
bsinC
当ABC是直角三角形、钝角三角形呢？
c
C
2
bcosC
D
a
a-bcosC
B
2
c (b sin C ) (a b cos C )
2
b sin C a 2ab cos C b cos C
2 2 2 2 2
2 2
C
2
b A
2 2
a B
提炼：设a是最长的边，则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
B
8km
C
5km
解：BC 8 5 2 5 8 cos 60 49
2 2 2
A
BC 7
题型二、已知三角函数的三边解三角形
6 ,b=2,c= 3 1 , C b 解三角形(依次求解A、B、C). a 解：由余弦定理得 A B c 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 ) ( 6 ) cos A b c a 1 2bc 2 2 2 ( 3 1)
2 2 2
C
b
A c
a
B
剖析余弦定理：
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量； （2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例； （3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边； （4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
b 2 cos2 C 2ab cosC a 2 b 2 sin 2 C
﹚
(0，0)
(a,0) x
b 2 a 2 2ab cos C
则c a b 2ab cos C
2 2 2
同理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取
小结:
余弦定理：
2 2 2 b c a 2 2 2 cos A a b c 2bc cos A 2bc 2 2 2 b a c 2ac cos B c2 a 2 b2 cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C 2ca a 2 b2 c2 cos C 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab
一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最 BAC 60 后通过计算求出山脚的长度BC。
B
8km
变式训练：
60 在三角形ABC中，若a 3, b 1, c 2, 则A __________
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 4 2 52 6 2 1 （ 1 ） cos C 0 2ab 2 45 8
C
5km
A
思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？
二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C 求：c（即AB）
A
b
C a
c=?
B
三、证明问题 探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C， 求边c.
设 CB a, CA b , AB c
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2 2 2
a 2 b 2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
推论:
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状源自数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P10 A组
3 、4
a 2 c2 b2 cos B 2ac
a2 b2 c2 cos C 2ab
余 弦 定 理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 同理： 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C