八年级初二数学 二次根式知识点及练习题及解析

由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、 不能合并，故A错误；
B、 ，故B正确；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
9．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
12．﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
解析：﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质 ，二次根式的性质，负整指数幂的性质 ，可知（π-3）0 =1﹣（3﹣2 ）﹣4× ﹣4=1﹣3+2 ﹣2 ﹣4=﹣6.
【详解】
解：A.3+ 不是同类项无法进行运算，故A选项错误；
B. ＝3，故B选项正确；
C. ，故C选项错误；
D． ，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
当 为正整数时，若 ，则有 ，所以 ， .
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 为正整数时，若 ，请用含有 的式子分别表示 ，得： ， ；
（2）填空： = - ；
（3）若 ，且 为正整数，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） 或46.
【解析】
试题分析：
（1）把等式 右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
10．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．
【详解】
解:A． 无意义,不是二次根式；
B． 在x＜0时无意义,不一定是二次根式；
C． 在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；
D． 中a2≥0,一定是二次根式；
故选：D．
【点睛】
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
【答案】见解析
【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【详解】
根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得 ， .
6．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（）．
A．5B．4C．3D．2
7．若化简|1-x|- 的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意实数B．1≤x≤4C．x≥1D．x≤4
8．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
9．下面计算正确的是（ ）
当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；
当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，
据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
8．B
解析：B
【分析】
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式＝
＝
＝
＝ ；
（2）原式＝3﹣4+12﹣4 +1
＝12﹣4 ．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有： .
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据最简二次根式的特点解答即可.
【详解】
A、 = ，故该选项不符合题意；
B、 = ，故该选项不符合题意；
C、 = ，故该选项不符合题意；
D、 不能化简，即为最简二次根式，
故选：D.
【点睛】
此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
B. = ;C. = ; D. .故选A.
2．B
解析：B
【分析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵ 是最简二次根式，
∴a≥0，Байду номын сангаасa为整数， 中不含开的尽方的因数因式，
故选项中-2， ，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
20．若 与最简二次根式 能合并成一项，则a=______．
三、解答题
21．像( +2)( ﹣2)＝1、 • ＝a(a≥0)、( +1)( ﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
A． B． C． D．
10．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知 ，则 ________．
12．计算（π-3）0 的结果为_____．
13．甲容器中装有浓度为a的果汁 ，乙容器中装有浓度为b的果汁 ，两个容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若 是最简二次根式，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
4．在实数范围内，若 有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠2B．x -2C．x -2D．x≠-2
5．若 则（ ）
A． B． C． D．
（2）由（1）中结论可得： ，结合 都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到： ；
（3）将 右边展开，整理可得： ， 结合 为正整数，即可先求得 的值，再求 的值即可.
试题解析：
（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）中结论可得： ，
∵ 都为正整数，
∴ 或 ，
∵当m=1，n=2时， ，而当m=2，n=1时， ，
24．已知a＝ + ，b＝ ﹣ ．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求 + 的值．
【答案】（1）4 ；（2）10
【分析】
(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.
【详解】
解：解不等式 得x＞m，
解不等式 得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子 的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；
当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；
故答案为﹣6．
13．【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．
【详解】
(1)∵a＝ + ，b＝ - ，
∴a+b＝ + + ﹣ ＝2 ，
a﹣b＝ + ﹣ + ＝2 ，
∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝2 ×2 ＝4 ；
(2)∵a＝ + ，b＝ ﹣ ，
∴ab＝( + )×( ﹣ )＝3﹣2＝1，
则原式＝ ＝ ＝ ＝10．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
【详解】
解:∵ ，
∴a-b=-a-b，或b-a=-a-b
∴a= -a，或b=-b,∴a=0,或b=0,∴ab=0,∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为 可得出m≤2，再由式子 的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
25．（1）计算：
（2）已知 ， 是正数， ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
， 为正数，
原式
把 ， 代入，则
原式 ；
【点睛】
【详解】
设m＝ ，n＝ ，
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝( )2＋( )2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n−15＝0，
解得：n＝−5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
所以 ＝n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
26．已知长方形的长 ，宽 .
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1） ；（2）长方形的周长大.
【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
14．计算：( ＋ )2015·( － )2016＝________．
15．有一列数 ， ， ， ， ， ，则第 个数是_______．
16．若实数 ，则代数式 的值为___.
17．化简 的结果为_________.
18．下列各式：① ② ③ ④ 是最简二次根式的是:_____（填序号）
19．要使 有意义，则x的取值范围是_____
本题主要考查二次根式的定义,一般地,我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】（1） （2）2+2 + （3）＜
【解析】
分析：（1）由 × =1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为 与 ， 与 ，然后分母有理化后计算即可；
（3）确定 与 的有理化因式为 与 ，得到 与 ，然后比较即可.
4．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．
【详解】
由 有意义，得：
，
解得： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．
详解：(1) 原式= = ；
（2）原式= = ；
（3）根据题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 .
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
22．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如： .善于动脑的小明继续探究：
∴m=2，n=1，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ， ，
又∵ 为正整数，
∴ ， 或者 ，
∴当 时， ；当 ， ，
即 的值为：46或14.
23．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
先把分式化简，然后将x、y的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】
原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
试题解析：
(1)
∴长方形的周长为 .
(2)长方形的面积为：
正方形的面积也为4.边长为
周长为：
∴长方形的周长大于正方形的周长．
27．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值；