数列极限的收敛准则讲解
数列极限性质收敛准则
取 M max a1 , a 2 , , a N , 1 | a |
an a a 1 a
an M ( n 1 , 2 , ) . 由此证明收敛数列必有界.
则有
推论
若数列an 无界，则数列 an 发散.
性质2反过来不一定成立. 例如, ( 1 ) n 1 有界但发散.
bn 发散.
定理得证.
( n 1 n ) 0 . （P32. 2(3)） 例4. 证明: lim n
分析: | n 1 n 0 | n 1 n 1 1 1 n 1 n 2 n n 欲使 | n 1 n 0 | 只要 1 即 n 12 n
§2
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.1
数列极限的定义
引例. 刘徽割圆术 求半径为 r 的圆面积 S.
作圆内接正 n 边形，其面积
n
r
则当 n 无限增大时, 无限逼近圆面积S . 极限思想：用已知逼近未知 , 用无限近似逼近精确.
数学语言： An S ( n )
n
2 lim 3n n
n
a0 m m 1 a 0 n a1n a m 1n a m b0 , m k lim k k 1 n b n b n bk 1n bk 0 1 0, m k
3 1 1 m 1 1 m 9 n n 1 nlim ( a 0 a1 n a m 1 ( n ) a m ( n ) ) 例 10. 0 lim n 4 5 2 k 1n n 1 k 1 1 k 2 n 3 n n (b0 b1 n bk 1 ( n ) bk ( n ) )
数列的极限讲解
a = (1 n )n 1 nn n n
a λn n
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近 ;
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
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2. N与任意给定的正数有关.
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xn a N定义 : lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。
这个极限值被称为该数列的极限。
柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。
我们可以通过柯西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。
步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。
步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。
步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。
这是因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。
步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有项都在一个有界的区间内。
步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。
步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限等于c。
数列极限的柯西收敛准则
数列极限的柯西收敛准则柯西准则是柯西极限存在准则，又叫柯西收敛原理。
其是可以用来判断某个式子是否收敛的充要条件包括但是不限于数列，主要应用在数列，数项级数，函数，反常积分，函数列和函数项级数等方面。
每个方面都对应一个柯西准则，不同方面的柯西准则要用不同样式的柯西极限存在准则来进行计算。
柯西准则是数学的一方面，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察而产生。
数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。
它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。
数学家也研究纯数学，就是数学本身的实质性内容，而不以任何实际应用为目标。
中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学．中国古代的算术是六艺之一（。
数学源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代已经开始已经累积了一定的数学知识，并能够应用领域实际问题．从数学本身看看，他们的数学知识也只是观测和经验税金，没综合结论和证明，但也必须充分肯定他们对数学所作出的贡献．基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态．代数学可以说道就是最为人们广为拒绝接受的“数学”．可以说道每一个人从小时候已经开始学数数起至，最先碰触至的数学就是代数学．而数学做为一个研究“数”的学科，代数学也就是数学最重要的组成部分之一．几何学则就是最早已经开始被人们研究的数学分支．。
第4讲数列极限收敛准则
1 1 1 1 1 1 1 故 lim ( + + + L + 2 ) = lim 1 − = . n→+∞ 3 15 4n − 1 n→+∞ 2 2n + 1 2 35
例*
n 求 lim n . n→+∞ n !
n
几何平均值极限公式
n→+∞
lim n x1 ⋅ x2 ⋅ ⋅ xn = lim xn L
解 由于
n n +n
2
<
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
<
n n2 + 1
而
n→+∞
lim
n n +n
2
= 1 , lim
n n +1
2
n→+∞
=1
想得通吧？ 想得通吧？
1 1 1 故 lim 2 + 2 +L+ 2 =1 n→+∞ n + 1 n +2 n + n
n
n
n
n
1 + 2 = e 2 , 而 lim n→+∞ n
1 + 2 = e 2 , lim n→+∞ n − 1
夹逼定理
n
1 + 2 + 2 = e 2 . 故 lim 2 n→+∞ n n
有界数列的重要性质
定理
由任何有界数列必能选出收敛的子数列. 由任何有界数列必能选出收敛的子数列.
2.3数列极限存在的条件——收敛准则
14
1 1 n
n
1 1 1 1 1 2! 3! n!
1 n 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 3 n 1 3 1 2 2 2 2 1 2 n 1 合上 xn 1 ，单增有界。 n 1
n n
1 1 n
n1
1 n n 2 n1
n 2
n1
1
n 2
1 n 1 ( n 1 ) n1 n 2
n 2
2 n n1
n 2
n1
1 xn 1 n 1 limxn lim 1 e n n n
1 lim yn lim 1 n n n
n1
1 第二个重要极限的特点：无穷小量 n 与无穷大量n 的乘积=1。
19
§2.4.3 数列的子列
若数列{yn} 单调，当数列{yn}再增加有界这个条件， 则数列{yn} 必收敛。 对于单调数列{yn} ，还可以增加什么条件，代替 有界条件，仍然保证数列{yn} 收敛。 另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何 使研究其收敛性问题得到简化？ 例如，数列xn= si n
1 1 n1
n1 1 表明数列 1 单调减 n
16
于是
1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 n1 n2
n
β β 1 1 β
β β2 1 2β
所以
1 1 4 1 0 β (1 5 ) 2 2
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列的极限是指当序列的项趋向无穷时，序列的最终趋势。
而数列的收敛性则是指当序列逼近其极限时，序列的值逐渐趋于稳定。
本文将探讨数列的极限与收敛性的相关概念以及数列收敛的判定方法。
一、数列的极限数列的极限是指当数列中的项趋向无穷时，序列的最终趋势。
记作lim(n→∞)an = A，其中an表示数列中的第n个数，A表示数列的极限。
当数列的极限存在时，有以下几种可能情况：1. 若数列的极限A存在有限值，即lim(n→∞)an = a，则该数列为收敛数列。
2. 若数列的极限不存在有限值，即lim(n→∞)an = ∞或lim(n→∞)an= -∞，则该数列为发散数列。
3. 若数列的极限不存在，既不是有限值也不是无穷值，则该数列为不存在极限的数列。
在求解数列的极限时，可采用数列的通项公式或递推关系进行分析推导。
通过不断逼近数列中的项，可以确定数列的极限并判断其收敛性。
二、数列的收敛性判定方法针对数列的收敛性，常用的判定方法有以下几种：1. 夹逼定理：若对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an = lim(n→∞)cn = A，则数列{bn}的极限存在且等于A。
夹逼定理可用于判定数列的收敛性，通过找到两个夹逼数列，其中一个逼近极限A，另一个逼近A的同时，数列{bn}也逼近A。
2. 单调有界原则：对于单调递增（递减）的数列，若该数列有上（下）界，则该数列必为收敛数列。
单调有界原则通过观察数列的变化趋势，若数列单调递增且上界有限，或数列单调递减且下界有限，可判断该数列为收敛数列。
3. 递推关系法：当数列的通项公式较难推导时，可通过数列的递推关系判断其收敛性。
递推关系法思路是通过递推公式不断迭代计算数列的项，直至数列趋于稳定。
递推关系法需要根据数列的特点，寻找递推公式，并进行递归计算，直到数列的项逐渐趋于稳定。
数列极限的收敛准则讲解
n! nn
0.
2 , 3 ,, n 1 均小于1. nn n
1
例4 求 lim (1 2n 3n )n.
n
1
解
(1
2n
1
3n )n
3
1 3
n
2 n
3
n 1
而
1
1 n
3
2 n
3
1
3
sin( 2k
)
2 lim
1
2 1.
2
n
2 n
故由推论可知: { sin n } 是发散的(即极限不存在) .
8
一、数列极限收敛准则 1.单调收敛准则
单调增加有上界的数列必有极限 . 单调减少有下界的数列必有极限 .
通常说成：单调有界的数列必有极限.
例1
证明数列
1
a xn a
由此, 你认为可能得到什么结论 ?
3.保号性定理
若
lim
n
xn
a,
a
0
(a
0),
则 N
0,
当 n N 时, 有 xn 0 (xn 0).
证
设
lim
n
xn
a,
且a
0,
则由极限的定义 ,
取 a 0 时, N 0, 当n N 时, 有
故
lim 1 n
2 n
2 n2
e2.
夹逼定理
例6
解
数列极限的收敛准则及其计算
数列极限的收敛准则及其计算一、单调有界准则：若数列{an}单调递增且有上界，则该数列收敛。
若数列{an}单调递减且有下界，则该数列收敛。
计算方法：1. 若数列{an}单调递增且有上界，可以用逐项逼近的方法计算极限。
这种方法是将该数列中的数从前往后不断逼近极限值。
2. 若数列{an}单调递减且有下界，也可以用逐项逼近的方法进行计算，只不过逼近的方向是从后往前。
二、夹逼准则：若对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则该数列{bn}的极限也为L。
计算方法：夹逼准则通常用于求解一些特殊的数列极限，特别是那些无法使用逐项逼近的方法计算的情况。
可以通过找到两个逐项逼近的数列来确定原数列的极限值。
三、柯西收敛准则：柯西收敛准则是描述了数列中相邻两项之差的极限与数列本身的极限之间的关系。
若对于数列{an}，对于任意正数ε，存在正整数N，使得当m≥n≥N 时，an - am，< ε，则该数列收敛。
计算方法：要判断数列是否满足柯西收敛准则，需要找到一个递增函数N(n)，使得对于大于等于N(n)的n值，数列中相邻两项之差的绝对值小于一些正数ε。
四、收敛无穷小的刻画：若数列{an}的极限为0，则该数列是无穷小数列。
计算方法：要判断数列是否为无穷小数列，只需要计算该数列的极限，若极限为0，则该数列是无穷小数列。
综上所述，数列极限的收敛准则是判断数列是否收敛并计算其极限的一组重要准则，其中包括了单调有界准则、夹逼准则、柯西收敛准则和收敛无穷小的刻画。
不同的数列可以运用不同的准则进行判断和计算，选择适当的方法可以更快地求解数列的极限值。
数列的极限与收敛性
数列的极限与收敛性极限和收敛性是数学中重要的概念，涉及到数列的性质和趋势。
在本文中，我们将探讨数列的极限和收敛性，并给出相应的定义和例子。
一、极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数。
我们首先给出数列极限的定义：定义1：对于一个数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$，则称$a$为数列${a_n}$的极限，记作$a=\lim_{n\to \infty}a_n$。
根据这个定义，我们可以得到数列极限的一些性质：性质1：如果数列${a_n}$收敛，则它的极限是唯一的。
性质2：如果数列${a_n}$收敛，则它必定有界。
性质3：如果数列${a_n}$收敛，并且其极限为$a$，则对于任意的$k \in \mathbb{N}$，有$a_k \to a$。
二、数列极限的判定方法在确定数列极限时，我们可以使用以下几种判定方法：方法1：直接利用极限的定义进行证明。
方法2：利用数列的性质和运算法则。
方法3：使用夹逼定理。
方法4：利用数列的单调性和有界性。
举例来说，我们来看几个数列极限的求解过程。
例1：考虑数列${a_n}=\frac{1}{n}$，我们要求证该数列的极限为0。
证明：对于任意给定的正数$\varepsilon$，我们需要找到正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|\frac{1}{n}-0|<\varepsilon$。
显然，当$n>\frac{1}{\varepsilon}$时，有$|\frac{1}{n}-0|<\varepsilon$成立。
因此，我们可以取$N=\lceil \frac{1}{\varepsilon}\rceil$作为满足条件的正整数。
由此可见，数列${a_n}=\frac{1}{n}$的极限为0。
例2：考虑数列${a_n}=(-1)^n$，我们要求证该数列的极限不存在。
04-第4讲数列极限收敛准则64251
十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国， 如他在1748年出版的《无穷分析引论》。
2.数列极限的夹逼定理
设数列 { xn}, { yn}, { zn} 满足下列关系: (1) yn xn zn , n Z+ (或从某一项开始) ;
而11 3n3 2n13,
1
1
故 3(12n3 n)n33n, 夹逼定理
1
又 lim (33n)3, n
1
由夹 ,得 逼 li(1 m 定 2 n 3 n 理 )n 3 . n
例5
解
求nl im 1n2n22n. 当 n 1 时 ,
请自己做!
1
1 n
1 2 n
2 n2
12 2 12, n n(n1) n1
故 1 n 2 n 1 n 2 n 2 2 n 1 n 2 1 n ,
而 n l i 1 m n 2 n e 2 , n l i 1 m n 2 1 n e 2 ,
故nl im 1n 2n22e2.
夹逼定理
有界数列的重要性质
定理 由任何有界数列必能选出收敛的子数列.
欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学 士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。
欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥（D. F. J. Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不 费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”
(2) n l iy m n n l iz m n a , 则 nl imxn a
柯西收敛准则
u 'n V W ,
n 1
这就表明了更序级数
' '
v n和 w n 分别为级数 v n 和 w n 的更序级数 再设 n 1 n 1 n 1 n 1
n1
u ' n 是绝对收敛的.
由(i)的结论知道
v 'n
n 1
n 1
v n V , w 'n
(1) yn xn zn ( n 1, 2, 3) (2) lim yn a , lim zn a ,
n n
xn a . 则数列 x n的极限存在,且 lim n
2 单调有界准则 单调有界数列必有极限.
一 数列极限的柯西收敛准则
收敛 柯西列： 对于数列 为柯西列
高阶微分
一阶微分 d y f ( x )d x 是 x 的函数, 则当 f 二阶可导时, dy 关于 x 的微分为
d 3 y d ( d 2 y ) d ( f ( x )dx 2 ) f ( x )dx 3 .
一般地，
d n y d ( d n 1 y ) d ( f ( n1) ( x )dx n1 ) f ( n ) ( x )dx n ,
n 1 n 1
由wn vn un可知， wn也收敛，
而
n 1
(1)若级数 un 绝对收敛, 则级数 vn (2)若级数 un 条件收敛,则级数
n 1
wn 都收敛;
n 1
n1
un
v n w n，所以 un 绝对收敛 n1 n1
证明数列收敛的方法
证明数列收敛的方法数列是数学中常见的一个概念，它是由一系列的数按照一定的顺序排列而成。
在数学中，我们经常会遇到需要证明某个数列是否收敛的问题。
那么，如何证明数列收敛呢？接下来，我将介绍几种常见的方法来证明数列的收敛性。
一、数列的极限定义。
数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列{an}的值趋于一个确定的常数L。
也就是说，对于任意一个小的正数ε，存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an-L|<ε成立。
这就是数列收敛的极限定义。
二、数列的单调有界准则。
如果数列{an}是单调递增的，并且它有上界，那么这个数列就是收敛的。
同样地，如果数列{an}是单调递减的，并且它有下界，那么这个数列也是收敛的。
这是因为单调有界准则保证了数列的收敛性。
三、柯西收敛准则。
柯西收敛准则是判定数列收敛的重要方法之一。
柯西收敛准则指出，对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当m、n大于N时，|am-an|<ε成立。
也就是说，数列中的任意两项的差值都可以尽量小。
如果一个数列满足柯西收敛准则，那么它就是收敛的。
四、夹逼定理。
夹逼定理是证明数列收敛的另一种重要方法。
如果数列{an}和{bn}都收敛于同一个极限L，并且存在另一个数列{cn}，使得对于所有的n，都有cn≤an≤bn成立，那么数列{an}也收敛于L。
夹逼定理利用了数列的夹逼性质，从而证明了数列的收敛性。
五、数列的通项公式。
有时候，我们可以通过数列的通项公式来证明数列的收敛性。
通过对数列的通项公式进行分析，我们可以得到数列的极限，从而证明数列的收敛性。
综上所述，证明数列收敛的方法有很多种，每一种方法都有其适用的场景。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来证明数列的收敛性。
通过对数列的收敛性进行分析，我们可以更深入地理解数列的性质，从而为解决实际问题提供数学上的支持。
希望本文介绍的方法能够帮助读者更好地理解数列的收敛性，为数学学习提供一定的帮助。
数列的极限与数列的收敛性总结
数列的极限与数列的收敛性总结在数学中，数列是由一系列按照特定规则排列的数字所组成的序列。
研究数列的极限和收敛性是分析数学中的重要部分。
本文将总结数列的极限和数列的收敛性，并探讨其在数学领域中的应用。
1. 数列的极限数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列中的数字所逼近的值。
用数学符号表示，数列的极限可以表示为lim(n→∞)an = L，其中an表示数列的第n个项，L表示极限值。
数列的极限有以下几种情况：- 收敛：当数列的极限存在且唯一时，称该数列收敛。
例如，数列an = 1/n，当n趋于无穷大时，数列的极限为0，因此该数列收敛于0。
- 发散：当数列的极限不存在时，称该数列发散。
例如，数列an = (-1)^n，当n趋于无穷大时，数列的极限不存在，因此该数列发散。
- 无穷大：当数列的极限为正无穷大或负无穷大时，称该数列极限为无穷大。
例如，数列an = n，当n趋于无穷大时，数列的极限为正无穷大。
2. 数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否有极限存在。
根据数列的极限定义，我们可以判断数列的收敛性。
数列的收敛性有以下几种情况：- 收敛数列：当数列的极限存在时，称该数列为收敛数列。
收敛数列中的项逐渐趋近于某个确定的值。
例如，数列an = 1/n，当n趋于无穷大时，数列的极限为0，因此该数列是收敛数列。
- 发散数列：当数列的极限不存在时，称该数列为发散数列。
发散数列中的项没有趋近于特定值的趋势。
例如，数列an = (-1)^n，当n趋于无穷大时，数列的极限不存在，因此该数列是发散数列。
3. 数列的应用数列的极限和收敛性在数学领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：- 数列的极限可以用来求解一些数学问题中的未知变量。
例如，在微积分中，利用数列极限的概念可以求解函数的导数和积分。
- 数列的收敛性可以用来描述自然界中的一些现象和过程。
例如，在物理学中，利用数列的收敛性可以描述物体在运动中的加速度和速度的变化。
数列极限收敛准则(单调有界收敛准则)
数列极限
§2.1 数列极限的定义 §2.2 收敛数列的性质
§2.3 极限存在准则
§2.3
数列极限存在的准则
夹逼准则
2 3
单调有界准则
数列及子数列
1
Hale Waihona Puke 收敛准则 1 lim 1 e n n
n
定理5（单调有界准则） 单调有界数列必有极限
{a n }
单调递增有上界M 单调递减有下界N
而 lim n
1 0, 则由夹逼准则, n 2
lim a n 3
n
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 an 1 an 存在,并求其值. 求证: lim n
2k 2k 2 3( a 2 k a 2 k 2 ) , a 2 k 2 a 2 k 与 a 2 k a 2 k 2同 号 , ( 2 a 2 k 3)( 2 a 2 k 2 3) 7 ) ( 2 3 ) 0, a a ( 2 a a 与 a a 同 号 , 以此类推 2 k 2 2 k 4 2 4 2 16 2
则x n 递 增 .
再证数列有上界,即 x n 1 c 设n = k 时成立, 即 x k 1 c 当n = k+1时,
1 c 也成立. 则数列有上界.
例13 c 0, x n c c c 证明数列 收敛, n个 并求极限 (P27 例18) 证: 1)递推公式：x1 c , x n 1 c x n ( n 1, 2 , ), 2)利用数学归纳法证明：数列递增有上界, 则数列收敛.
3 , ,a 2 3 , , 例15. 设 a1 2, a2 2 a n 1 a
第十讲 柯西收敛准则
第十讲、柯西收敛准则定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{}n x 极限存在的充要条件是:对于0ε∀>存在正数 N , 使当n N >时, 对于一切p +∈ 有||n p n x x ε+−<注记10.1. （I ）柯西准则的意义是：数列{}n x 是否有极限可以根据其一般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。
（II ）定理10.1的逆否命题为：（柯西收敛准则）数列{}n x 极限不存在的充要条件是: 00ε∃>，使得对 +N ∀∈ , 均存在n N >时, 存在p +∈ ，使得0||n p n x x ε+−≥例子10.1设sin 2n n x n =，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。
证明：注意到sin 2()sin 2sin 2()sin 2||=112n p n n p n n p n x x n p n n p nn p n n +++−−≤+++≤+≤+于是，对0ε∀>，取正数 2=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有2||n p n x x n ε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知sin 2lim n n n →∞存在。
证毕。
例子10.2.设222111123n x n =++++ ，证明数列{}n x 收敛。
证明：注意到222111||=(1)(2)()111(1)(1)(2)(1)()1111111121111n p n x x n n n p n n n n n p n p n n n n n p n p n n p n+−++++++≤+++++++−+ =−+−++− ++++−+=−<+ 于是，对0ε∀>，取正数 1=N ε, 则当n N >时, 对于一切p +∈ 有1||n p n x x nε+−≤<。
故由定理10.1柯西收敛准则可知222111lim 123n n →∞ ++++ 存在。
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