数列极限的收敛准则讲解

欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与 他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。
欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年） 曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理 数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。
欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未 出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书 和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。
想得通吧？
故
lim
n

1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n


1
例3
求
lim
n
n! nn
,
n Z .
解
由于
0
n! nn

123 nnn

n 1n nn

1, n
而 lim 1 0, lim 0 0,
n n
n
故
lim
n
n! nn

0.
2 , 3 ,, n 1 均小于1. nn n
1
例4 求 lim (1 2n 3n )n.
n
1
解
(1
2n

1
3n )n

3
1 3
n


2 n
3

n 1

而
1

1 n

3


2 n
3

1

3
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（1）
—— 一元微积分学
第三讲 数列的极限的性质与收敛准则
授课教师：王利平
第一节 数列的极限 一、数列及其简单性质√ 二、数列的极限√ 三、数列极限的性质√ 四、数列的收敛准则
回想数列的极限
lim
n
xn

a:
0, N 0,当n N 时, 有
(2)
lim
n
yn

lim
n
zn

a,
则
lim
n
xn
a
想想：如何证明夹逼定理?
因为
lim
n
yn

lim
n
zn
a,
所以
0, N1 0, 当 n N 时, | yn a | ,
0, N2 0, 当 n N2 时, | zn a | ,
lim
n
xn

a.
例2
求
lim
n

1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
.
解 由于
n 1 1 1 n
n2 n n2 1 n2 2
n2 n n2 1
而
lim
n
n 1, lim
n2 n
n
n 1 n2 1
| xn a | 即 xn a
a xn a
由此, 你认为可能得到什么结论 ?
3.保号性定理
若
lim
n
xn

a,
a
0
(a
0),
则 N
0,
当 n N 时, 有 xn 0 (xn 0).
证
设
lim
n
xn
a,
且a
0,
则由极限的定义 ,
取 a 0 时, N 0, 当n N 时, 有
2
|
xn

a
|


a, 2
a<0的
由绝对值不等式的知识, 立即得 情形类似可
0

a

a 2

xn .
证, 由学生 自己完成 .
保号性定理的推论1：
若 xn 0 (xn 0) , 且
lim
n
lim
n
yn
b
(a

lim
n
xn

lim
n
yn
b) .
在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也 要改为不严格不等号.
例1
证
证明：如果{xn} 满足
lim
n
xn

a
(n 2m),
lim
n
xn

a
(n 2m 1),
取 N max{N1, N2}, 则当 n N 时, 有
| yn a | , | zn a | .
已知 yn xn zn n Z (或从某一项开始), 故有
a yn xn zn a (n N )
即当 n N 时, 有 xn a , 由极限定义得
而 lim n k 1, 故由夹逼定理得 n
lim n
n
a1n
a2n
akn

a

max{a1, a2 ,, ak }.
除最大的一个外, 其余的均取为零.
3. 柯西收敛准则
lim
n
xn
a
(即数列{xn} 收敛)

0, N 0, 当 m, n N 时, | xm xn | .
1 n


31! 1

1 n
1

2 n




n1! 1

1 n
1

2 n
1

n
n
1Baidu Nhomakorabea
,
类似地, 有
xn1

1
n
1
n1

1

1

1
21！1

n
1
1

31! 1

n
1
11
此时
8 lim
sin( 2k


)
2 lim
1
2 1.
2
n
2 n
故由推论可知: { sin n } 是发散的(即极限不存在) .
8
一、数列极限收敛准则 1.单调收敛准则
单调增加有上界的数列必有极限 . 单调减少有下界的数列必有极限 .
通常说成：单调有界的数列必有极限.
例1
欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学 士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。
欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥（D. F. J. Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不 费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”
表示对应的三个角( 1748 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )； 提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数 的底；还用y 表示差分等等。
十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国， 如他在1748年出版的《无穷分析引论》。
2.数列极限的夹逼定理
设数列 { xn}, { yn}, { zn} 满足下列关系: (1) yn xn zn , n Z+ (或从某一项开始) ;
证明数列
1

1 n

n

收敛.
证 由中学的牛顿二项式展开公式
xn

1
1 n
n

1 n 1 1! n

n(n 2!
1)

1 n2

n(n
1)(n 3!

2)

1 n3


n(
n

1)(n n!

(n

1))

1 nn

1

1

21！1

,
1
1
故 3 (1 2n 3n )n 3 3n , 夹逼定理
1
又 lim (3 3n ) 3 , n
1
由夹逼定理, 得 lim (1 2n 3n )n 3. n
例5
解
求
lim 1 n

2 n

2 n2
n
.
当 n 1 时,
1
2 n
xn xn1 即{xn} 是单调增加的.
又
xn
11
21！1
1 n


1 3!
1

1 n
1

2 n


每个括号 小于 1 .

1 n!
1

1 n
1

2 n
1

n
n
1
放大不等式
11 1 1 1
取 N max{N1, N2}, 则当n N 时, 恒有 | xn a | ,
故由极限定义得：lim n
xn

a.
逆命题成立吗？
例2
设
xn

n n
n
1, 1,
当 n 为偶数,
当 n 为奇数,
证明
:
lim
n
xn
1.
n
证 0,
要 n 1 1 , 即要 n 1 n 1 ,
xn
a
存在 ,
则 a 0 (a 0) .
这里为严格不等号时
此处仍是不严格不等号
保号性定理的推论2：
若 xn yn ( xn yn ) n N (或 N0 0, 当 n N0 时) ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b
存在,
则
a

lim
n
xn

n
n
n
故取 N1 [1 ], 则当 n N1 , n 为偶数时, 有 n 11 ;
n
同理, 要 n 1 1 , 即要 n 1 n 1 ,
n
n
n
故取 N2 [1 ], 则当 n N2 , n 为奇数时, 有
n 11 ;
n
取 N max{N1, N2}, 则当 n N 时,
故
lim 1 n

2 n

2 n2


e2.
夹逼定理
例6
解
求
lim n
n
a1n

a2n
akn ,
(其中a1, a2,, ak为正常数, k Z .)
记 a max{a1, a2,, an}, 则有
a n an n a1n a2n akn n kan a n k ,

n
2
1



n1! 1
n
1
11

n
2
11

n n
11

(n
1 1)
!
1

n
1
11

n
2
11

n
n
1
比较 xn 与 xn1 的展开式可以看出, 除前面 两项外, xn 的每一项都小于 xn1 的对应项, 并且 xn1 还多了最后的大于零的一项, 因此
有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的 和，加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。 为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地 找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使 牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。
欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C
则
lim
n
xn

a,
其中 m Z .
0,
由 lim n
xn

a
(n 2m), N1 0,
当n N1 时,
| xn a | (n 2m);
由 lim n
xn

a
(n 2m 1), N2 0,
当n N2 时,
| xn a | (n 2m 1),
{ sin n } {sin k }: sin , sin 2 , , sin k ,
8
由于 sin k 0, k N, 所以 lim sin k lim 0 0.
n
n
(2) 令 n 16k 4, k N, 得子数列：
{ sin n } { sin(2k ) }: sin 5 ,,sin(2k ),
n

e.
e 称为欧拉常数. e 2.718281828459045
以 e 为底的对数, 称为自然对数, 记为: y ln x.
e 的计算公式为
e 1 1 1 1 1
1! 2! 3!
n! nn!
其中, 0 1.
欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年 的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741 －1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。
2! 3!
n!
11
1 2

1 22

1 2 n 1

1

1

1 2n
1 1

3

1 2n1
3,
2
从而 {xn} 有界.
等比数列求和
综上所述, 数列{xn}是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限
存在, 通常将它记为 e, 即
lim 1 n
1 n
n 1 1 与 n 1 1 同时成立,
n
n
所以, 当 n N 时, | xn 1| 成立, 即
lim
n
xn
1.
例3
判别
{xn}
{ sin
n
8
}
的敛散性 .
解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列:
(1) 令 n 8k, k N, 得子数列：
1
2 n

2 n2
1
2 n

2 n(n 1)
1
2, n 1
故
1
2 n
n


1
2 n

2 n2
n

1
n
2
n 1
,
而
lim 1 n
2 n
n


e2,
lim 1 n
2 n n 1

e2,