粉笔的材料力学分析

粉笔的材料力学分析

粉笔是日常生活中广为使用的工具，一般用于书写在黑板上。一般的粉笔约2寸长，一头粗、一头细的圆台形，是典型的脆性材料。形状如图一所示。

粉笔在使用过程中会收许多力，本文将应用材料力学知识来分析粉笔的受力。用粉笔书写时主要有三种方式，1.垂直压缩 2.扭转 3.剪力和弯矩，以及以上情况的叠加。并且在研究过程中采用材料力学中的均匀、连续、各向同性假设。

1.单压

粉笔使用过程中，有时候会出现垂直压缩的情况，它的受力是受两个相对的力。如图所示，取出单元体研究

由于正许用应力[σ]比较大，而许用切应力[τ]比较小，故当F逐渐增大的时候，首先达到[τ]，所以断裂的地方是右断面，并且与水平轴成45度角。但是因为这种情况断裂很少。

2.扭转

在书写过程中，容易产生扭转，具体变现为手拿粉笔在黑板上边压边转动。其力学模型为悬臂梁一端加了一个扭矩

如图所示：

受力简化得：

横截面受力图为：

每一点的切应力其中积惯性矩

鉴于粉笔是圆台体，所以半径越大，切应力越小，故半径最小的地方切应力最大，所以半径最小的地方最容易断裂。

3.剪力与弯矩

用粉笔写字的时候最常见的就是出现剪力和弯矩这种情况。其模型可简化为

其剪力图和弯矩图为

由图可知，力F的作用点的弯矩和剪力最大，由于粉笔圆台的梯度不大，这里把它看作圆柱来研究，可知

在最边缘的地方正应力最大，上边缘为压缩正应力，下边缘为拉伸正应力，这两个地方容易达到许用应力。同时要求不断裂，需要不超过许用剪应力。