必修二第三章直线与方程知识点总结及练习答案

必修二 第三章 直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向

或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x , α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[

)

ο

ο90,0∈α时，0≥k ； 当(

)ο

ο180,90∈α时，0

90=α时，k 不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P

1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

1

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组⎩⎨

⎧=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

直线的方程

1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3

）、B （b ，b 3

）、C （c ，c 3

）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴c

a c a

b a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+a

c +c 2

，

∴b 2-c 2

+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0. 2.若实数x ,y 满足等式(x -2)2

+y 2

=3，那么

x

y

的最大值为 （ ）

A .2

1

B .

3

3 C .

2

3

D .3

答案D

3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-5

2

x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为

a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-2

1

， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.

4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.

解 方法一 设直线l 的方程为1=+b

y

a x （a ＞0,

b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=.123,

24b

a a

b 解得⎩⎨⎧==.4,6b a

∴所求的直线方程为

4

6y

x +=1,即2x +3y -12=0. 方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k

2

,令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3).即2x +3y -12=0.

9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.

解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=2

3

， 则-m 1≥2

3

或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤2

1

且m ≠0.又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取

值范围是-

32≤m ≤2

1

. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +3

4

,代入x+my +m =0, 整理，得x =-

37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤2

1

.

两直线方程

例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2

-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.

解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1不平行于l 2;

当a =0时，l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;

当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a

-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩

⎪⎨⎧+-≠--=

-)1(3112a a a ，解得a =-1,

综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2

-1)-1×6≠0,

∴l 1∥l 2⇔⎪⎩

⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(0

21)1(2a a a a

⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6

)1(0

222a a a a ⇒a =-1,

故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不垂直，故a =1不成立.

当a ≠1时，l 1:y =-

2a x -3,l 2:y =x a -11-(a +1), 由⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ·a

-11=-1⇒a =32.