电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量

得：
γ L = −m0 c + q Α µ U µ
3
上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。
② 自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度 因此
γ L 只能是一个洛伦兹不变量，当 v << c定。
时，则自有粒子的拉格朗日
函数为：
v 1− 2 c
之外，还依赖于四维势
在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为： F = q E + v× B
(
)
v 因 K = 1− 2 q( E + v × B) 为 c
所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。
2
dp 综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为： = q ( E + v × B) dt
2，拉格朗日形式
在理论力学中，拉格朗日的基本形式 d ∂T ∂T − = Q∂ (α = 1, 2,..., s ) 为： • dt ∂ q ∂qα α
把（3）和（4）代入（1）式中，得 （ ） （ ） （ ）
（3） ）
（4） ）
dp ∂Α = q −∇ (ϕ − v • Α ) − − v • ∇Α dt ∂t
由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量 因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：
（5） ）
dx • ∇Α
（6） ）
dΑ ∂Α = + v •∇Α dt ∂t
d 所以（5）可写为： （ ） ( p + q Α ) = − q ∇ (ϕ − v • Α ) dt
动量p和矢势A可以写为
（7） ）
∂ pi = ∂vi
v2 −m0 c 2 1 − 2 c
∂ Αi = v•Α ∂vi
•
q
d ∂L 所以得到保守力系下的拉格朗日方程为： dt ∂ q• α
− ∂L = 0 (α = 1, 2,..., s ) ∂qα
在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格 朗日方程。
电磁场中的带电粒子的运动方程为：
dp = q ( E + v × B) dt
2
③ 当粒子在电磁场中运动时，除了U µ 构成一个不变量 量L为（8） （ ）
U µ Αµ
Α µ ，则它们可以
，因此，当v<<c时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗
3，哈密顿形式
对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量
pi
定义为
Pi =
∂L ∂ qi
•
（10） ）
则系统的哈密顿量为： Η
= ∑ pi qi − L
i
•
（11） ）
用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：
∂H qi = ∂pi
•
（12） 和 ）
∂Η Pi = − ∂qi
•
（13） ）
对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是： （ ）
∂L Pi = = ∂ vi
m 0 vi v 1− 2 c
2
+ qΑi
即
P = p + qΑ
（14）
（1） ）
其中粒子的机械动量p是：p
=
m0 v v 1− 2 c
2
（2） ）
现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。 （ ）
∂Α 由(1) 得：E+v × B = −∇ϕ − + v × (∇ × Α) ∂t 因为∇算符不作用v的函数上， 则：v × ( ∇ × Α ) = ∇ ( v • Α ) − v • ∇Α
电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈 密顿量
1，电磁场中带电粒子的运动方程 2，拉格朗日形式 3，哈密顿形式 4，非相对论情形
1，电磁场中带电粒子的运动方程
在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式： µ = K
dpµ dt
其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。 在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力
∂T
其中
•
∂ qα
•
为广义动量， α 为广义速度，Qa为广义力。
q
d ∂T 对保守力系来讲： dt ∂ q• α
− ∂T = − ∂V (α = 1, 2,..., s ) ∂qα ∂qα
因为势能V中一般并不包含广义速度 ，所以令L=T-V来代表体系的动能与 α 势能之差。
由（11）式，带电粒子的哈密顿量为: Η
= P•v − L =
m0 c 2 1− v c2
2
+ qϕ
（15）
但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：
Η=
( P − qΑ )
2
c + m c + qϕ
2 2 4 0
（16）
引入四维正则动量：
Pµ = pµ + q Α µ
（17） 17
i 矢量 Kµ = K, K • c c
dp dw k ，k • v = 所以，在相对论协变的力学方程包括： = dt dt
v2 dp v2 dw 上式可改写为： 1 − •k = , 1− 2 • (k • v) = 2 c dt c dt
dp 2 F = dt v 定 ： = 1− 2 K ⇒相 论 学 程 义 F 对 力 方 为 c F ⋅ v = dW dt
i 则哈密顿量H与P 的第四分量联系： P = P， Η µ c
u
（18）
不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）
4，非相对论情形
当v<<c时，以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形 下相应的量。 拉格朗日量（8）式当v<<c时变为：
1 2 L = m0 v − q (ϕ − v • Α ) 2
哈密顿量（16）式变为：
（19）
1 2 Η= ( P − qΑ ) + qϕ 2m0
（20）
可以看出H和L仍然满足关系式（11），
Η = P•v − L
所以非相对论的情形下，拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形。
所以拉格朗日量L为：
L = −m0 c 2
v2 1 − 2 − q (ϕ − v • Α ) c
（8） ）
d ∂L ∂L 则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式： （ ） =0 − dt ∂vi ∂xi
（9） ）
的几点说明： 对L的几点说明： 的几点说明
①
v2 把（8）式乘以 γ = 1 − c2