第六章 信道编码1
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信道编码
第6章 有噪信道编码 章
6.1 信道编码的概念
6.1.1 信道编码的作用与分类 广义的信道编码是为特定信道传输而进行的传输信号设 计与实现。 描述编码：对特定信号的描述，如NRZ码。 描述编码 约束编码：对特定信号特性的约束，如HDB-3码。 约束编码 扩频编码：用于扩展信号频谱为近似白噪声谱并满足某 扩频编码 些相关特性，如m序列。 纠错编码（狭义的信道编码）：用于检测与纠正信号 纠错编码 传输过程中因噪声干扰导致的差错，如分组码，重复 码，卷积码。
我们要尽可能的提高信息传输率，并控制传输误差。信源 编码以提高 传输效率 作为主要考虑因素，信道编码以提高 传输可靠性 作为主要考虑因素。这一章讨论信道编码的一 些基本概念及信道编码定理。
信道编码的基本思想： 信道编码的基本思想： 根据一定的规律在待发送的信息码元中加入一些 多余的码元，以保证传输过程的可靠性，即构造出以 最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。 纠错编码的目的： 纠错编码的目的： 引入冗余度，即在传输的信息码元后增加校验元 （监督元），以使受损或出错的信息仍能在接受端恢复。
（1）检测e个错码，则要求最小码距：dmin≥e＋1; 或者说，若一种编码的最小距离为dmin，则它最多 能检出（dmin-1）个错码。 图中C表示某码字，当误码不超 过e个时，该码字的位置将不超 出以码字C为圆心以e为半径的圆 (实际上是多维的球)。
只要其他任何许用码字都不落入此圆内，则C码字 发生e个误码时就不可能与其他许用码字相混。这就证明 了其他许用码字必须位于以C为圆心，以e＋1为半径的圆 上或圆外，所以，该码的最小码距dmin为e＋1。
将信道用下图所示的模型表示。 m c r 信道编码器 信道 信道模型 C=(c0,c1, …,cn-1) ci∈{0,1} r=(r0,r1, …,rn-1) ri∈{0,1}
第6章信道编码
分组码：将信息序列分割成k位一组后独立编解码， 分组间无关。
卷积码：编解码运算不仅与本组信息有关，还与前 面若干组有关。
按照码元与原始信息位的关系，分为线性码和 非线性码。
线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合，编 码器不带反馈回路。
非线性码：码元并不都是信息元的线性组合，可能 还与前面的码元有关，编码器可能含反馈回路。
例：R=(110000)，C=(100001)
E＝C⊕R=(010001)，表明接收符号系列的第 2位和第6位出现了错误。
2020/1/21
14
检错、纠错能力
差错的产生
码字集合是N维矢量空间XN中的一个子集。 若传输无误，接收到的码字应在码字集合内。 若出现差错，有两种可能：
2020/1/21
9
检错与纠错方式
自动请求重发方式（ARQ）
译码设备不复杂，对 突发错误特别有效
发送端发送检错码
接收端译码器判断当前码字传输是否出错
当有错时，按某种协议通过一个反向信道 请求发送端重传已发送的全部或部分码字
2020/1/21
10
检错与纠错方式
混合纠错（HEC）
检错、纠错能力强，译
不重复：用0代表A，1代表B。 既不检错，又不纠错 重复一次：用00代表A，11代表B。 检错但不纠错
增加一位码元，传送效率降低一倍。 重复两次：用000代表A，用111代表B。
增加两位码元，效率降低两倍。 既检错又纠错
2020/1/21
6
纠错码分类
按照对信息序列的处理方法，有分组码和卷积 码两种。
如加性高斯白噪声
突发差错
由突发噪声引起的前后相关、成堆出现的差错。 数学模型：双状态一阶马尔可夫链模型
卷积码：编解码运算不仅与本组信息有关，还与前 面若干组有关。
按照码元与原始信息位的关系，分为线性码和 非线性码。
线性码：所有码元均是原始信息元的线性组合，编 码器不带反馈回路。
非线性码：码元并不都是信息元的线性组合，可能 还与前面的码元有关，编码器可能含反馈回路。
例：R=(110000)，C=(100001)
E＝C⊕R=(010001)，表明接收符号系列的第 2位和第6位出现了错误。
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检错、纠错能力
差错的产生
码字集合是N维矢量空间XN中的一个子集。 若传输无误，接收到的码字应在码字集合内。 若出现差错，有两种可能：
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检错与纠错方式
自动请求重发方式（ARQ）
译码设备不复杂，对 突发错误特别有效
发送端发送检错码
接收端译码器判断当前码字传输是否出错
当有错时，按某种协议通过一个反向信道 请求发送端重传已发送的全部或部分码字
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检错与纠错方式
混合纠错（HEC）
检错、纠错能力强，译
不重复：用0代表A，1代表B。 既不检错，又不纠错 重复一次：用00代表A，11代表B。 检错但不纠错
增加一位码元，传送效率降低一倍。 重复两次：用000代表A，用111代表B。
增加两位码元，效率降低两倍。 既检错又纠错
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纠错码分类
按照对信息序列的处理方法，有分组码和卷积 码两种。
如加性高斯白噪声
突发差错
由突发噪声引起的前后相关、成堆出现的差错。 数学模型：双状态一阶马尔可夫链模型
6信道编码1
纠随机差错与突发差错码
• 按照纠正差错类型可分为纠随机差错码、纠突 发差错码、介于中间的纠随机/突发差错(混合 差错)码等。 • 一般来说，针对随机错误的编码方法与设备比 较简单，成本较低，而效果较显著；而纠正突 发错误的编码方法和设备较复杂，成本较高， 效果不如前者显著。 • 因此，要根据错误的性质设计编码方案和选择 差错控制的方式。
• 分组码又可分为循环码和非循环码两种类型。 循环码的特点是，若将其全部码字分成若干组， 则每组中任一码字的码元循环移位后仍是这组 的码字。非循环码是任意1个码字中码元循环 移位后不一定再是该码书中的码字。 • 在卷积码中，每组的监督码元不但与本码组的 信息码元有关，而且还与前面若干组信息码元 有关，即不是分组监督，而是每个监督码元对 它的前后码元都实行监督，前后相关，因此有 时也称为连环码。
6.1.3 随机编码
• 编码的分析、设计的途径： • 一、根据特定的数学理论，分析和设计一种特 定的编码方法。 • 二、不涉及具体编码方法的设计，运用概率统 计方法在特定信道条件下对编码信号的性能作 出统计分析，求出差错概率的上、下限边界， 其中最优码所能达到的差错概率上界称作随机 码界。 • 用这种方法不能得知最优码是如何具体编出来 的，却能得知最优码可以好到什么程度，并进 而推导出有扰离散信道的编码定理，对指导编 码技术具有特别重要的理论价值。
6.1 信道编码的基本概念
• 信道编码的目的是为了改善数字通信系统的传 输质量。 • 由于实际信道存在噪声和干扰的影响，使得发 送的码字与经信道传输后所接收的码字之间存 在差异，我们称这种差异为差错。 • 一般，信道噪声/干扰越大，码字产生差错的 概率也就越大。
1.差错符号与差错比特
• 信号差错与信息差错既有联系又有区别，分别 用差错符号与差错比特来描述。 • 差错符号：由符号发生差错引起，也叫信号差 错，信号差错概率通常用符号差错概率（误码 元率）表示。
6.1 信道编码的概念
对 i
,r ,
则最大后验概率准则转变为最大似然译码准则
p( y j | x * ) ≥ p( y j | xi )
对 i
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最大似然译码准则-定义
定义 6.1.3 选择译码函数 条件
p( y j | x* ) p( x* ) ≥ p( y j | xi ) p( xi ) i
F ( y j ) = x * ,使之满足
3
信道编译码的理论基础
信道的特征是由信道传递概率p(Y|X)来描述的.由p(Y|X)可以算 出信道容量C,只要在信道中实际传送的信息率R<C,在接收端就 能够无差错地译出发端所输送的信息.
– 信道输入符号序列X代表M种信源符号,信源符号也可以 是已经经过信源编码的M种码字,使从信道输出符号序列 Y能正确地译出这M种码字, – 问题就在于如何用X组成这M种码字,才能达到无差错地 传送,这就要编码.这种编码实质上是希望信源与信道特 性相匹配,所以称为信道编码.
XY Y XY Y Y XY Y Y , X x*
∑
p( xy )
若用条件概率表示,则可以写成 pE = ∑ * p( y | x) p( x) Y ,X x 平均正确概率则可以写成 pE = 1 pE = ∑ p[ F ( y ), y ] = ∑ p ( x* y )
Y Y
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等概率分布时的译码平均错误概 率
j =1
s
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最大后验概率译码准则-定义
定 义 6 .1 .2 p 选 择 译 码 函 数 F (y y
j
j
) = x*, 使 之 满 足 条 件
(x *
)≥
p
(x
i
y
j
)
06-信道编码1
2013年12月10日星期 二
电子信息工程教研组 刘颖娜
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按照适用的差错类型,分成:
纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力 用码组内允许的独立差错的个数来衡量。 纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能 力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量
2013年12月10日星期 二
电子信息工程教研组 刘颖娜
2013年12月10日星期 二
电子信息工程教研组 刘颖娜
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编码
信源编码
提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩)
信道编码
提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输 特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生 误码。
电子信息工程教研组 刘颖娜
0:传输中无错 1:传输中有错
2013年12月10日星期 二
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2、差错图样类型
随机差错：
差错是相互独立的,不相关 存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道 指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个 差错往往要影响到后面一串字
突发差错：
E: 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
2013年12月10日星期 二
电子信息工程教研组 刘颖娜
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每个矢量空间必然包含0矢量
构成矢量的元素的个数称为“重数”， 成空间的基底的个数称为“维数”
张
一般情况下重数和维数一致，但有子空间概念后， 维数可能降低。子空间例 若两矢量的点积为0，即V1· 2＝0则称V1· 2正交。 V V 若两个矢量空间的基底正交，则这两个空间正交。 正交的两个子空间互为对偶空间，一空间是另一码
信息论与编码_第6章信道编码概述
按照编码函数f的线性性 线性码：编码函数f ( f1,f2,…,fn)是线性函数 非线性码：否则，称为非线性码。
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6.2 信道编码概念
按照编码函数对信息元处理方法: 分组码与卷积码
分组码 设k, n是正整数，k n，则把从EAk到An的编码函数 f : EAn 称为一个(n, k)分组码编码器，或称为(n, k)编码函数。全体 码字构成的集合 C={c =f (m): mE} 称为一个q元 (n, k)分组码 (block code)，或简称为(n, k)码。
23
6.3 信道译码准则
设 x= x1x2…xn, y= y1y2…yn是两个二元码字，容易验证以 下等式成立:
d ( x, y )
n
xi yi ,
i 1
其中是模二加法 汉明距离的性质 定理6-1 设x、y与z是长为n的码字，那么汉明距离满足 以下性质： (1) 非负性：d(x, y) 0。且d(x, y) = 0的充分必要条件是 x = y； (2) 对称性：d(x, y) = d(y, x)； (3) 三角不等式：d(x, y) d(x, z)+ d( z, y)。
7
第6章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
信道编码
信道差错概率 信道编码概念 信道信道译码准则 码的检错与纠错能力 信道编码定理
8
6.2 信道编码概念
信道编码器是一个映射f，它把信源符号序列m变换成 信道符号序列c = f (m)，f称为信道编码函数，或称为纠 错编码函数。信道编码也称为纠错编码。
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6.2 信道编码概念
例6.1 重复码 重复码是一个(n, 1)分组码，其编码规 则是将每位信息元重复n 1次，也称为n次重复码。 即C ={00…0, 11…1}。对重复码，可以采用大数准 则译码。即如果接收序列中0的个数多于1的个数， 则译为0；否则，译为1。 例如，2元3次重复码的编码规则如下： “0” “000”， “1” “111”。 它是一个2元(3, 1)分组码C={000, 111} 。
第6章信道编码
➢ 循环码：的特点是，若将其全部码字分成若干组，则 每组中任一码字的码元循环移位后仍是这组的码字
➢ 非循环码：任意一个码字中码元循环移位后不一定再 是该码中的码字
卷积码：每组的校验码元不但与本码组的信息码元有关，
而且还与前面若干组信息码元有关，即不是分组的特点，
而是每个校验码元对它的前后码元都实行校验，前后相连，
道又称为 2 进制软判决信道
c
r
z
rc+z z 为 均 值 为 0 的 高 斯 白 噪 声
p(z)
1z2e22 Nhomakorabeaz ( ,+ )
2π2
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译码规则
消息 m 信 道
码字 c
{m 1 ,m 2 , ,m M }编 码 f {c1,c2, ,c2n}
信道
接收向量r 信 道
{r1,r2, ,r2n} 译 码 F
P C 0 .40 .6
0 .90 .1 P R |C 0 .10 .9
0 .3 60 .0 4 P R C 0 .0 60 .5 4
译码规则
F1
:
F1 F1
(0) (1)
0 0
p w F 1 e1 {p [F (0 )0 ]+p [F (1 )1 ]} 1p (0 0 )p (0 1 )10 .3 60 .0 40 .6
按信息码元在编码后是否保持原 形式不变
系统码：信息码元与监督码 元在分组内有确定位置，编 码后的信息码元保持不变 非系统码：信息位打乱，与 编码前不同 按编、译码理论所用数学工具分 代数码：近世代数 几何码：投影几何 算术码：数论和高等算术 组合码：排列组合和数论
8
6.1.2 编码信道
6.1信道编码简介资料
m序列 Gold序列
2018/11/1
7
扩频编码 示例
P(t)
扩频码
t
P(t)
窄带信号
宽带信号
t P(t)
t
噪声
噪声与信 号的合并 信号
信号与噪声分离
P(t)
噪声+宽带信号
P(t)
扩频码
t
t
CDMA扩频技术
2018/11/1 8
2、纠错编码的分类
检错码:只能检测到所接收信号发生差错的编码。 纠错码：既能检测到错误，又能纠正错误的编 码。
dmin用于最佳译码：即若发送码集合c中的任一码 字，收到向量r，则r应译成dmin=min d(c*,r)， 此时的差错概率最小。
2018/11/1
16
例：发送码集合为C
C={111000，001011，010110，101110}，
接收到的向量r为110110， 问：将r译码为哪个发送码字错误概率最小？
解：分别计算r和码集合中的各码字的码距，取码距 最小的作为译码结果。
d(111000， 110110)=3
d(001011 ，110110)=5
d(010110 ，110110)=1 最小，因此应译为010110 d(101110 ，110110)=2
2018/11/1
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检错与纠错原理
若纠错码的最小距离为dmin，则最小汉明距离与纠 错检错能力之间的关系 ：
第6章 信道编码
2018/11/1
1
第6章 信道编码
教学内容：
线性分组码的概念、编码、译码、性能分析 线性分组码的最小码距、检错和纠错能力Βιβλιοθήκη 线性分组码的生成矩阵、校验矩阵
6信道编码1-PPT课件
• 若 Pe 0 ，就必然存在一批码集 Pe ({c}m ) 0 即差错概率趋于零的好码一定存在 。
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
4
6.1.3随机编码
• 码集点数M=qK占N维矢量空间总点数qN的比例是 F =qK / qN = q-(N-K) • 当K和N的差值拉大即冗余的空间点数增加时，平均而言 码字的分布将变得稀疏，码字间的平均距离将变大，平 均差错概率将变小。 • 当F0 即(N-K)时，能否让平均差错概率 Pe 0 ？
6.1.3随机编码
• 最典型的方法是计算统计平均，因为是平均，总有一部分
码的性能优于平均值而另一部分劣于平均值。因此只要求 出统计平均，就可断言必然存在着一些优秀的编码，其性 能优于平均值。 • 用这种方法不能得知最优码是如何具体编出来的，却能得 知最优码可以好到什么程度，并进而推导出有扰离散信道 的编码定理，对指导编码技术具有特别重要的理论价值。
2019/3/9 Chapter 6 信道编码 10
R 0
R1 < R2 C1 < C2
增大E(R)的途径
减小差错概率的措施
• 增大信道容量C （传统设计方法）
– 扩展带宽 – 加大功率 – 降低噪声
• 减小码率R （纠错编码方法的基础）
– Q、N不变而减小K – Q、K不变而增大N – N、K不变而减小Q
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
8
6.2 纠错编译码的基本原理与分析
• 纠错编码的基本思路
• 译码方法－最优译码与最大似然译码
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
9
6.2.1纠错编码的基本思路
Pe e
信道编码
第6章信道编码教学内容：信道编码的概念、信道编码定理、线性分组码、循环码6.1信道编码的概念教学内容：1、信道编码的意义2、信道编码的分类3、信道编码的基本原理4、检错和纠错能力1、信道编码的意义由于实际信道存在噪声和干扰，使发送的码字与信道传输后所接收的码字之间存在差异，称这种差异为差错。
信道编码的目的是为了改善通信系统的传输质量。
基本思路是根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些多余的码元，以保证传输过程的可靠性。
信道编码的任务就是构造出以最小冗余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。
2、信道编码的分类纠错编码的目的是引入冗余度，即在传输的信息码元后增加一些多余的码元（称为校验元，也叫监督元），以使受损或出错的信息仍能在接收端恢复。
一般来说，针对随机错误的编码方法与设备比较简单，成本较低，而效果较显著；而纠正突发错误的编码方法和设备较复杂，成本较高，效果不如前者显著。
因此，要根据错误的性质设计编码方案和选择差错控制的方式。
3、信道编码的基本原理可见，用纠（检）错控制差错的方法来提高通信系统的可靠性是以牺牲有效性的代价来换取的。
在通信系统中，差错控制方式一般可以分为检错重发、前向纠错、混合纠错检错和信息反馈等四种类型。
香农理论为通信差错控制奠定了理论基础。
香农的信道编码定理指出：对于一个给定的有干扰信道，如信道容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息(R为编码器输入的二元码元速率)，则一定存在一种编码方法，使编码错误概率p随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值。
这就是说，可以通过编码使通信过程实际上不发生错误，或者使错误控制在允许的数值之下。
4、检错和纠错能力举例：A、B两个消息a、没有检错和纠错能力：0、1b、检出一位错码的能力：00、11c、判决传输有错：000、111（大数法则）一般来说，引入监督码元越多，码的检错、纠错能力越强，但信道的传输效率下降也越多。
人们研究的目标是寻找一种编码方法使所加的监督码元最少，而检错、纠错能力又高且又便于实现。
信息论与编码第六章课后习题答案(曹雪虹)(word文档良心出品)
第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容)1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理：-()NE R e P e （掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。
2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。
作业：6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个，它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1)，它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元素个数为22个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。
(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下：736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注：系统码高四位与信息位保持一致，u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V =U G ，其中V 为码字构成的矢量，即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0)，U 为信息位构成的矢量，即U =( u 3,u 2,u 1,u 0)，观察方程组可得系统生成矩阵为：[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得：4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出，矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0)，但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列，这四列之和为0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4，从而得该线性分组码的最小码距为4。
第六章 信道编码
BSC编码信道
BSC输入输出关系等效为
e=1表示差 错,e=0表示正确
rce mod2 p(e1)pb,p(e0)1pb
差错图案：指n长的随机序列e=(e0,e1,…, en-1).
称e=(e0,e1,…, en-1)中ei=1为第i位上的一个随机错误.
第i至第j位之间有很多错误时,称为一个j-i+1长的 突发错误.
i
•如:
发送序列c: (1111011000)
接收序列的r: (0110010110)
比较c和r，可写出另一个序列e：1001001110
r = c + e (mod 2)或e = r+c (mod 2)
对于一个BSC信道总有转移概率 p b 1/2，n比
特传输中发生差错数目越少，概率越大，即
i 1 p b n p b 1 p b n 1 p b t 1 p b n t p b n
冗余编码：为了实现检纠错,所以码字c的长度
n一定大于消息m的长度k。
纠错编码
m m 0 ,m 1 , ,m k 1
c c 0 ,c 1 , ,c n 1
编码码率R ：每个码字的序列符号（或码元） 平均传送的消息比特数,称为编码码率:
Rk/n
对检纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 实际中要根 据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编 码效率，并且易于实现。
•编码码率: Rs tsstt 1 1 1s st t1
t 1
pi,t mi, j mod2, j 0
s1
ps, j mi, j mod2, i 0
s1
t 1
ps,t mi,t ms, j
信道编码1
误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，
随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信
道，应采用不同的差错控制方式。
2.2
2.2.1纠错码的分类
检错与纠错原理
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不 仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。
(3) 纠正t个同时检测e(≥t)个随机错误，则要求码的最小
距离d0≥t+e+1。
3.
用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效
性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:
k R def n
其中, k是信息元的个数，n为码长。
（2-1）
对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码 效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于实现。
分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加 r个监督元，
组成长为 n 的码字。在二进制情况下，共有 2k 个不同的信息 组，相应地可得到 2k 个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。
在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简 称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码 组的汉明(Hamming)距离， 简称码距。例如 11000 与 10011之 间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为 码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。
第六章：信道编码定理
错误概率与译码准则、编码方法－ 错误概率与译码准则、编码方法－6
• 译码准则二：最大似然译码准则 译码准则二：
p( y | g( y)) = m p( y | xm) ax
m
• 最大后验概率译码准则 最大似然译码准则 最大后验概率译码准则&最大似然译码准则
– 输入等概时－－二者是一致的 输入等概时－－二者是一致的 －－
传输信息量大－－传输要有效 传输信息量大－－传输要有效 －－ 传输信息无差错－－传输要可靠 传输信息无差错－－传输要可靠 －－ 可靠性？ 可靠性？
§6.1:问题引出与定理描述
• 提出的与信道传输可靠性有关的问题： 提出的与信道传输可靠性有关的问题： 可靠性有关的问题
– 如何能使信息传输后发生的错误最少？ 如何能使信息传输后发生的错误最少？ • 错误概率与那些因素有关？ 错误概率与那些因素有关？ • 有无办法控制？ 有无办法控制？ 具体信道编码技术 • 能控制到什么程度？ 能控制到什么程度？ – 无误传输可达的最大信息率是多少？ 无误传输可达的最大信息率是多少？
错误概率与译码准则、编码方法－ 错误概率与译码准则、编码方法－8
• 选择好的译码规则可以降低错误概率 • FANO不等式说明 无论什么译码规则 对减少误码 不等式说明,无论什么译码规则 不等式说明 无论什么译码规则,对减少误码 率的作用有限,误码率受信道特性的影响严重。 误码率受信道特性的影响严重 率的作用有限 误码率受信道特性的影响严重。 • 增加码空间 ，并选择适当的编码方法,可以既使 增加码空间M，并选择适当的编码方法 可以既使 错误概率降低,又使码率保持较大 又使码率保持较大。 错误概率降低 又使码率保持较大。 • 适当的编码方法就是适应信道特性的方法即 信道 适当的编码方法就是适应信道特性的方法即:信道 编码
信息论与编码第6章信道编码
素(既约)多项式
若 p( x) f ( x), deg( p( x)) 1且p( x)在F[ x] 中只有因式 c和cp( x) 则称 p( x) 为域F上的不可约多项式。
的集合
余类环
多项式剩余类环 n n1 f ( x) an x an1x ... a1x a ai Fq 用 Fq [ x] 或者 GF (q)[ x] 表示所有这样多项式
纠错码的分类
根据监督码元与信息组之间的关系 系统码 信息码元是否发生变化 非系统码 代数码 几何码 算术码 线性码 非线性码 分组码 卷积码
构造编码的数学方法
根据监督码元和信息码元的关系
根据码的功能
按纠误的类型
检错码 纠错码 纠删码 纠随机差错码 纠突发差错码 纠混合差错码 二元码 多元码 等保护纠错码 不等保护纠错码
3 3 2 2 3 2 3 2
x x , x x, x x 1, x 1, x ,
3 3 3 3
x x 1, x x, x 1, x , x 1, x,1, 0
2 2 2 2
4．有限域的性质和代数结构
1）有限域 Fq 的结构 对 a Fq , a 0, 满足 na 0, 的最小正整 数 n ，称为元素 a 的周期。 定理6-6：在有限域 Fq中 (1) ( Fq , ) 是循环加群，它的非零元素的周期等于其 域的特征； (2) ( Fq* , ) 是循环乘群，共有 (q 1) 个乘群的生成 元。 a 乘群 ( Fq* , ) 的生成元 a 称有限域 Fq 的本原元， 的阶为 q 1 ，即 a q 1 e ，且 F * a
q
本原元性质定理6-7
* F (1) q
的元素的阶都是 q 1 的因子， Fq* 的所 q 1 x e 0 的根。 有元恰是 (2) 若 a 是 Fq 的本原元，则当且仅当(k , q 1) 1 k k a 时， 也是本原元。非本原元 a 的阶是
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无失真信源编码定理-香农第一定理 信道编码定理-香农第二定理 限失真信源编码定理-香农第三定理
差错控制编码（信道编码）在通信系统中的地位：
调制信道
x信源
编码
调制
信道
解调
解码
信宿
编码信道
差错控制系统分类
FEC ARQ HEC
发
收
可纠正错误的码
发 能够发现错误的码 收 应答信号
发 能够发现和纠正错误的码 收 应答信号
• 级联码
– 两个以上的编码器按一定方式组合而成的编码器
信道编码的分类
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码 循环码
编码与译码
• 对 二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数） 为2k，可用编码空间的点数为2n个。
• 任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射 都种是。一 如种 ，(共n有, k1)0码29。种因(1此0总0,共50可)码能。的编码方案有22kn
– 满足交换律的群
环——定义了两种运算的集 合
• 按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群 • 第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件
– 封闭性 – 结合律 – 与加法间满足分配律
域——一种特殊的环
• 乘法有恒等元（称为1元），且除了加法的恒 等元（称为0元）以外有逆的环
• 除0元外，对乘法构成交换群 • 无限域和有限域
便于译码 • 目前对线性系统的研究远比非线性系统充分
线性码的定义
• 码字集中的元之间的任意线性组合仍是合法码 字，即对线性组合运算封闭的码字集，称为线 性码
• 因此，为了构成线性空间，必须首先定义运算
群——定义了一种运算的集 合
•群
– 运算封闭 – 有恒等元 – 有逆元 – 满足结合律
• 交换群
– 直观的译码准则：最小距离译码
• Shannon第二定理
– 当信息速率R小于信道容量C时，总存在一种编码 方式使差错率低于任一给定值e
• 接近信道容量
信道编码的作用
• 信道编码的作用：在资源、可靠性和传信量之 间选择一个好的工作点（有时还要考虑延时）。
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
– 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括实 现复杂度
重复码
• 00…00 • 11…11
许用码字
• 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n， 信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码 率)R=1/n
n=2时 0
许用码组：00，11 禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 1
n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110 能够纠正一个错误，发现两个错误
• 译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对 一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50) 码，则为1017。几乎是不可能译码的。
为什么要引入线性码
• 发现或构造好码是信道编码研究的主要问题 • 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的 • 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个
子集中寻找局部最优 • 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，
– 一个好的编码就是要充分利用资源，传递尽可能 多的信息
Hale Waihona Puke 三种情形：– 给定资源和可靠性要求，通过信道编码尽量提高 传输速率
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，通过信道 编码尽量减少资源开销
– 给定资源和传输速率，通过编码提高可靠性
编码的实质 ——利用冗余降低差错概率
• 将所有可能的输入信息（消息）映射到信道符 号（波形）空间的点，而这个点的集合要小于 （包含于）全信道空间中。
发现三个错误
纠错码如何纠正错误？
在信息序列之后按照一定的规则添加一 定长度的保护比特(校验比特或监督比特)
信道编码
二、基本概念(p193) 1、汉明码重(hamming weight) 码字中码元“1”的个数。 例如： 100110 的码重是 3
w( 1100110)= ？
信道编码
2、汉明码距(hamming distance) 两个码字相对应位不同的个数。 例如：d(1011,0110)=3 d(0011,1011)=? 思考：码距和码重的关系？
– 有理数、实数和复数都是无限域
– 信道编码中用到的是有限域，GF(q)
– 两者在空间意义上有很强的可类比性
纠错码的发展概况
• 通信的数学理论，Shannon(1948) • 汉明码，Hamming (1950) • 级连码，Forney(1966) • 卷积码及有效译码, (60年代) • RS码及BCH码的有效译码(60年代) • TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) • Turbo码，Berrou(1993) • LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) • 空时编码,Tarokh(2000)
Coding and Information Theroy
信息论与编码技术
展爱云 Zayscj@
通信工程教研室
本课程的相关要求
• 课程基础（概率论） • 上课要求 • 学习要求 • 实验要求（C\C++)
本课程的重点
• 信息的基本概念 • 信息量的计算 • 典型的几种信源编码方法 • 典型的几种信道编码方法
几种常用的离散信道编码
• 分组码
– 将一个有限(k)维输入矢量映射到一个（n维）矢量的编码， 记为(n, k)分组码
• 卷积码
– 输入为一个无限长序列，每个节拍有k个符号送入编码器， 同时有n个符号向输出至信道，但每节拍的输出不仅与本 节拍的输入有关，还与之前L-1个节拍的输入有关，记为 (n, k, L)卷积码
信道编码
一、引言 思考：信道编码的目的是什么？
通信系统模型
• 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的
一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
信道
信道 译码
信源 译码
消息到波 形的映射
引入失真
判断是消 息集中的 哪个元素
从两个方面引入信道编码
• 检错和纠错：对付信道引入的差错
0.9
0
0.1
0.1
0.9
1
BSC信道
n=4时 许用码组：0000，1111
禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011
能够纠正一个错误同时发现两个错误
译码正确 译码失败 译码错误
差错控制编码（信道编码）在通信系统中的地位：
调制信道
x信源
编码
调制
信道
解调
解码
信宿
编码信道
差错控制系统分类
FEC ARQ HEC
发
收
可纠正错误的码
发 能够发现错误的码 收 应答信号
发 能够发现和纠正错误的码 收 应答信号
• 级联码
– 两个以上的编码器按一定方式组合而成的编码器
信道编码的分类
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码 循环码
编码与译码
• 对 二进制(n, k)码，信息数量（或合法码字数） 为2k，可用编码空间的点数为2n个。
• 任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射 都种是。一 如种 ，(共n有, k1)0码29。种因(1此0总0,共50可)码能。的编码方案有22kn
– 满足交换律的群
环——定义了两种运算的集 合
• 按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群 • 第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件
– 封闭性 – 结合律 – 与加法间满足分配律
域——一种特殊的环
• 乘法有恒等元（称为1元），且除了加法的恒 等元（称为0元）以外有逆的环
• 除0元外，对乘法构成交换群 • 无限域和有限域
便于译码 • 目前对线性系统的研究远比非线性系统充分
线性码的定义
• 码字集中的元之间的任意线性组合仍是合法码 字，即对线性组合运算封闭的码字集，称为线 性码
• 因此，为了构成线性空间，必须首先定义运算
群——定义了一种运算的集 合
•群
– 运算封闭 – 有恒等元 – 有逆元 – 满足结合律
• 交换群
– 直观的译码准则：最小距离译码
• Shannon第二定理
– 当信息速率R小于信道容量C时，总存在一种编码 方式使差错率低于任一给定值e
• 接近信道容量
信道编码的作用
• 信道编码的作用：在资源、可靠性和传信量之 间选择一个好的工作点（有时还要考虑延时）。
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
– 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括实 现复杂度
重复码
• 00…00 • 11…11
许用码字
• 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n， 信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码 率)R=1/n
n=2时 0
许用码组：00，11 禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 1
n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110 能够纠正一个错误，发现两个错误
• 译码运算量：如果直接用最大似然序列译码，对 一般性的编码而言，正比于n* 2k ，对(100,50) 码，则为1017。几乎是不可能译码的。
为什么要引入线性码
• 发现或构造好码是信道编码研究的主要问题 • 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的 • 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个
子集中寻找局部最优 • 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，
– 一个好的编码就是要充分利用资源，传递尽可能 多的信息
Hale Waihona Puke 三种情形：– 给定资源和可靠性要求，通过信道编码尽量提高 传输速率
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，通过信道 编码尽量减少资源开销
– 给定资源和传输速率，通过编码提高可靠性
编码的实质 ——利用冗余降低差错概率
• 将所有可能的输入信息（消息）映射到信道符 号（波形）空间的点，而这个点的集合要小于 （包含于）全信道空间中。
发现三个错误
纠错码如何纠正错误？
在信息序列之后按照一定的规则添加一 定长度的保护比特(校验比特或监督比特)
信道编码
二、基本概念(p193) 1、汉明码重(hamming weight) 码字中码元“1”的个数。 例如： 100110 的码重是 3
w( 1100110)= ？
信道编码
2、汉明码距(hamming distance) 两个码字相对应位不同的个数。 例如：d(1011,0110)=3 d(0011,1011)=? 思考：码距和码重的关系？
– 有理数、实数和复数都是无限域
– 信道编码中用到的是有限域，GF(q)
– 两者在空间意义上有很强的可类比性
纠错码的发展概况
• 通信的数学理论，Shannon(1948) • 汉明码，Hamming (1950) • 级连码，Forney(1966) • 卷积码及有效译码, (60年代) • RS码及BCH码的有效译码(60年代) • TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) • Turbo码，Berrou(1993) • LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) • 空时编码,Tarokh(2000)
Coding and Information Theroy
信息论与编码技术
展爱云 Zayscj@
通信工程教研室
本课程的相关要求
• 课程基础（概率论） • 上课要求 • 学习要求 • 实验要求（C\C++)
本课程的重点
• 信息的基本概念 • 信息量的计算 • 典型的几种信源编码方法 • 典型的几种信道编码方法
几种常用的离散信道编码
• 分组码
– 将一个有限(k)维输入矢量映射到一个（n维）矢量的编码， 记为(n, k)分组码
• 卷积码
– 输入为一个无限长序列，每个节拍有k个符号送入编码器， 同时有n个符号向输出至信道，但每节拍的输出不仅与本 节拍的输入有关，还与之前L-1个节拍的输入有关，记为 (n, k, L)卷积码
信道编码
一、引言 思考：信道编码的目的是什么？
通信系统模型
• 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的
一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
信道
信道 译码
信源 译码
消息到波 形的映射
引入失真
判断是消 息集中的 哪个元素
从两个方面引入信道编码
• 检错和纠错：对付信道引入的差错
0.9
0
0.1
0.1
0.9
1
BSC信道
n=4时 许用码组：0000，1111
禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011
能够纠正一个错误同时发现两个错误
译码正确 译码失败 译码错误