《运筹学》 第四章习题及 答案
运筹学习题答案(第四章)
满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
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第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
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第四章习题解答
(1) 用单纯形法求问题的满意解；
解：x1 70, x2 20, d 3 25, d1 10
满足P、P2 , 不满足P3 1
(2)若目标函数变为:
min
P d
1 1
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第四章习题解答
4.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数， 其逻辑是否正确？为什么?
(1) max 不正确 (3) min 正确 (5) max
d d d
d d d
(2) max 不正确
d d d
d d d
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第四章习题解答
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学第四章
运筹学第四章习题答案4.1若用以下表达式作为目标规划的目标函数，其逻辑是否正确？为什么？ （1）max ｛-d -+d ｝ （2）max ｛-d ++d ｝ （3）min ｛-d ++d ｝ （4）min ｛-d -+d ｝（1）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最小值时，-d -+d 取最大值合理。
(2)不合理，+d 取最大值时，f （x ）取最大值，-d 取最大值时，f （x ）应取最小值 （3）合理，恰好达到目标值时，-d 和+d 都要尽可能的小。
（4）合理，令f （x ）+-d -+d =b,当f （x ）取最大值时，-d -+d 取最小值合理。
4.2用图解法和单纯形法解下列目标规划问题（1）min ｛P 13+d ，P 2-2d ，P 3（-1d ++1d ）｝24261121=-+++-d d x x 52221=-+++-d d x x155331=-++-d d x3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i（2）min{P 1(+++43d d ),P 2+1d ,P 3-2d ,P 4(--+435.1d d )} 401121=-+++-d d x x1002221=-++--d d x x30331=-++-d d x 15442=-++-d d x4,3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i i(1)图解法0 A B C X 1由图可知，满足域为线段EG,这就是目标规划方程的解，可求得：E,G 的坐标分别为（0，12），（3,3） 故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a(2)图解法 21由图可知，满足域为线段AB A(25,15),B(30,10)故该问题的解可表示为)1015,3025()10,30()15,25(212121a a a a a a ++=+ )1,0(212,1=+≥a a a a(1)单纯形法0 0 P1 0 0 P2 P3 P3CB XB x1 x2 bP3 P2 06 2 0 0 0 0 -1 1 245152 1 0 0 -1 1 0 05 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 0-1 -1 0 0 1 0 0 0-6 -2 0 0 0 0 2 0P3P20 x1 0 2 1.2 -1.2 0 0 -1 1 6230 1 0.2 0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1 P2 P3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 -0.2 0.2 1 0 0 0 0 -2 -1.2 1.2 0 0 2 0P30 0x2x10 0 0.8 -0.8 2 -2 -1 1 2230 1 0.2 -0.2 -1 1 0 01 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 -0.8 0.8 -2 2 2 00 0x2x10 0 0.4 -0.4 1 -1 -0.5 -0.5 1330 1 0.6 -0.6 0 0 0.5 0.51 0 -0.2 0.2 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 10 0 x22 0 0 0 1 -1 -0.5 -0.5 71253 1 0 0 0 0 0.5 0.55 0 -1 1 0 0 0 0P1P2P30 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 1故该问题的解为)312,3()3,3()12,0(21221a a a a a +=+ )1,0,(2121=+≥a a a a（2）P2P3P1P4P11.5P4CB XB x1 x2b 0 1 1 -1 1 00 0 0 0 0 401 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 100 1 0 0 0 0 0 -1 1 00 301-1115P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0P21P3 -1 -11 00 0 P4-11.5 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 251 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 85 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 30 0x2 0 115P1 0 0 00 0 0 1 0 1 0P20 0-1 0P3 -1 01-1 1 P4 -1 00 51 0 x110 -1 1 0 0 0 0 1 -11-1-110 0 1 -1 0 0 -1 1 -1 1 30 0 x2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 P2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 P3 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0P4-1111.54.3某商标的酒是用三种等级的酒兑制而成。
运筹学习题答案(第四章)
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第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标 红、黄、蓝)，都是由 某成品酒有三种商标(红 ， 三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。 三种原料酒 等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。 三种等级的原 兑制而成 料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒 料酒的日供应量和成本见表 ， 的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定 ： 首先必须 的兑制要求和售价见表 。 决策者规定： 严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大； 严格按规定比例兑制各商标的酒 ； 其次是获利最大 ； 再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问 再次是红商标的酒每天至少生产 。 题的数学模型。 题的数学模型。
13 page 13 23 May 2012
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第四章习题解答
已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆 固醇含量等有关数据见表4 15。 固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食 并且设立了下列三个目标： 物，并且设立了下列三个目标： 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第三，使每日购买食品的费用最少。 第三，使每日购买食品的费用最少。 要求建立问题的目标规划模型。 要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
电力出版社运筹学答案 第四章
第4章训练题实践能力训练1．某工厂生产A 、B 两种产品，产品A 每件利润为$10，而产品B 每件利润为$8，产品A 每件需3小时装配时间，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。
工厂允许加班，但加班生产出来的产品的利润得减去1美元，根据最近合同，厂商每天至少得向用户提供两种产品各30件。
通过与厂商经理交谈，确认如下事实：（1）与用户签定的合同必须遵守，且工厂正常工作时间只有120小时； （2）尽可能不加班；（3）求利润最大； 试建立此问题的数学模型。
1．设正常生产A 产品1x 件，B 产品3x 件，加班生产A 产品2x 件，B 产品4x 件。
则},,{m in 5443321ηρ-ηρ-η+η+η=a lex30..1121=ρ-η++x x t s 302243=ρ-η++x x 120233331=ρ-η++x x0234442=ρ-η++x x54078910554321=ρ-η++++x x x x0,,41≥x x 且为整数2．考虑双A 牌啤酒的混合问题。
D 厂用三种级别的白兰地（一，二，三）来生产三种混合酒(DT ,DTA ,QL )，三种级别的白兰地酒供应量受到严格限制，他们的供应量和成本如下： 一级 1,500加仑/日 $6.00 /加仑 二级 2,100加仑/日 $4.50 /加仑 三级 950 加仑/日 $3.00 /加仑双A 牌酒的信誉很高，为了保证质量，其生产配方受到严格控制，其配方如右表所示。
在此题中，把日供应量和混合比例设为硬约束，其余按其优先顺序表示如下：（1）求利润极大；（2）每日至少生产2，000加仑DT 酒。
试建立此问题的数学模型。
2．变量假设如表：},,{m in 1110987654321ηηη+ρ+η+ρ+η+ρ+ρ+ρ+ρ=a lex 1500..11312111=ρ-η+++x x x t s 210022322212=ρ-η+++x x x 95033332313=ρ-η+++x x x1.04413121112=ρ-η+++x x x x5.05513121111=ρ-η+++x x x x6.06623222123=ρ-η+++x x x x2.07723222121=ρ-η+++x x x x5.08833323133=ρ-η+++x x x x1.09933323131=ρ-η+++x x x x13650)(3)(5.4)(6)(5)(5.5)(61010332313322212312111333231232221131211=ρ-η+++-++-++-++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x20001111131211=ρ-η+++x x x .3,2,1,,0=≥j i x ij3．动力公司生产单一类型的机动自行车（即小型汽油机动摩托车），称为美洲神风，这家公司同时也进口意大利的安全牌机器摩托车，神风牌每辆售价为$650，安全牌$725，需求情况是厂家生产或进口摩托车都能轻易地卖出去。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
运筹学复习题及答案
第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。
20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。
21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，a ij表示该元素位置在i行j列。
二、单选题1．如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m<n)，系数矩阵的数为m，则基可行解的个数最为_C_。
运筹学第四章(完整版)
13物流工程3班第四组组员：李鲁超胡军李康郭优沈西王伟第四章1.讨论面向顾客设计思想的重要性。
P112-113顾客需求的多样化和个性化，使得市场演变和产品更新的速度越来越快，产品的生命周期越来越短。
通过与顾客的交流，倾听顾客的心声，听取他们对改进产品的建议，以此来分析顾客的需求，挖掘新产品创意。
2.讨论产品开发在企业战略中的重要地位。
P135一、21世纪企业产品设计的背景特征：（1）新产品开发是实现企业竞争战略的需要技术进步和需求多样化使得产品寿命周期不断缩短，企业面临着缩短交货期、提高产品质量、降低成本和改进服务的多重压力。
新产品开发是企业经营战略的核心内容之一，也是生产运作战略的出发点，产品开发智能的目的就是要研究、开发、设计出能满足市场需求并具有竞争力的产品。
（2）技术进步越来越快科学技术飞速发展，并被迅速而广泛地应用于实践中，推动着新产品的开发，也使得产品更新换代的速度越来越快，产品生命周期越来越短。
（3）用户的要求越来越苛刻随着时代的发展，大众知识水平的提高和激烈竞争带给市场越来越多、越来越好的产品，使用户的要求越来越高。
（4）产品研制开发的难度越来越大越来越多的企业认识到新产品开发对企业创造收益的重要性，特别是那些大型、结构复杂，技术含量高的产品在研制中一般都需要各种先进的设计技术。
（5）可持续发展的要求人类社会在经济快速发展的同时，由于忽略了环境保护，也带来了污染、酸雨、土地沙化，臭氧层破坏等恶果。
各国政府将环境保护问题纳入发展战略，这对企业提出了更高的要求。
二、新产品开发的重要性（1）有利于增强企业的核心竞争力（2）有利于扩大市场份额（3）适应个性化定制生产的需要（4）产品更新换代的需要3.讨论新产品开发的重要性？P109在企业竞争激烈的环境下，大多数企业面临着产品生命周期越来越短的压力。
企业要在同行中保持竞争力并能够占有市场份额，就必须不断地开发出新产品，并快速推向市场，满足多变的市场需求。
运筹学第四章作业的参考答案
第四章作业的参考答案151P 5、判断下列函数是否为凸函数.（3）31322123222126293)(x x x x x x x x x x f ++-++=解： )(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇1862662222)(2x f .)(2x f ∇的各阶主子式分别为.01862662224,07218666,03418222,086222,018,06,02=-->=>=>=-->>>因而)(2x f ∇为半正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
152P 9、用0.618法求以下问题的近似解 5060212)(min 230+-+-=≥t t t t t ϕ已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0=ε。
解：迭代过程用下表给出：第三轮迭代开始时有ε=<=-=-8.0708.0646.1354.2a b 。
所以近似最优解为084.2*=t 。
152P 14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）2122122211620)(2)(min x x x x x x x f --+++=解：化简目标函数，得.1620223)(21212221x x x x x x x f --++=所以，)(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇4226)(2x f . 因为)(2x f ∇是正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
另一方面，目标函数的梯度向量为 .)1624,2026()(1221Tx x x x x f -+-+=∇ 令0)(=∇x f ，即⎩⎨⎧=-+=-+01624020261221x x x x ， 求得目标函数的驻点为T x )514,512(*=. 所以，原问题的最优解为T x )514,512(*=.152P 16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。
（1）22212131min x x +，取初始点.)2,3(0T x = 解：由题意知.),32(),()(2121T T x x x f x f x f =∂∂∂∂=∇ 第一轮迭代：T x f p )2,2()(00--=-∇=。
《运筹学》 第四章习题及 答案
《运筹学》第四章习题一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于1-+n m ？2． 用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3． 最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到 运输问题的最优方案？4． 沃格尔法（V ogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5． 试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6． 用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7． 试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8． 试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9． 如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（1-+n m ）个非零的{}j i x ，且满足∑==nj i j i a x 1，∑==mi j j i b x 1，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学第四章习题答案
即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
s、t
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2－x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6
运筹学温习题及答案
四、把以下线性计划问题化成标准形式：二、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
成立线性计划数学模型一、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量和这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：依照客户定货，三种产品的最低月需要量别离为200，250和100件，最大月销售量别离为250，280和120件。
月销售别离为250，280和120件。
问如何安排生产打算，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问如何下料，才能使所利用的原材料最省?1．某运输公司在春运期间需要24小时日夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数2—66—1010一1414—1818—2222—248107124每一个工作人员持续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既知足以上要求，又使上班人数最少?五、别离用图解法和单纯形法求解以下线性计划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪个极点。
六、用单纯形法求解以下线性计划问题：七、用大M法求解以下线性计划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性计划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10X l X2X3X4—10 b -1 f gX3 2 C O 1 1／5X l a d e 0 1(1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是不是为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性计划的对偶理论五、写出以下线性计划问题的对偶问题1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性计划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性计划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
运筹学习题答案(第四章)(课堂PPT)
Ⅰ
1500
6
Ⅱ
2000
4.5
Ⅲ
1000
3
page 9 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
表4-14
商标
兑制要求
售价（元/kg）
红
Ⅲ少于10% Ⅰ多于50%
5.5
黄
Ⅲ少于70% Ⅰ多于20%
5.0
蓝
Ⅲ少于50% Ⅰ多于10%
4.8
解：x11 1125, x12 300, x13 75, x21 1125,
x2
d1
d
2
d3
d1
d
2
d3
150 40 40
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0, i
1,2,3
解：x1
55, x2
40,
d
2
15
满足P1，不满足P2
page 3 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
min
P1
(d
3
d
4
第四章习题解答
解：目标规划模型如下：
min
P1d1
,
P2
(d
2
d
3
d
4
),
P3d
5
,
P4
d
6
x1 x2 x3 1000
x1
d1
d1
300,
x2
d
3
d
3
350,
x1
运筹学第四章作业答案1.
max Z = 2x 1 + x 2 x 1 ≤ 10 + 2λ x 1 + x 2 ≤ 25 - λ s.t. x 2 ≤ 10 + 2λ x , x ≥ 0 1 2
X = (10,10,0,5,0)T
2 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 1 0 2 2 0 X1 X4 1 0
3
试分析下列参数线性规划问题，当 0 参数时 最优解的变化。
max Z = (3 + 2λ)x 1 + (5 - λ)x 2 x1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 s.t. 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 x , x ≥ 0 1 2
X (2,6,2,0,0)T
3 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 0 3 3 0 5 X3 X2 1 0
b1=45
5 b1 / 3 0 3 b1 / 5 0
60 30 b1
（３）由于技术上的突破，每单位产品B原材料的需 要减少为２单位，这时是否需要改变生产计划？为什么？
1 / 3 1 / 3 3 1 j c j CB B Pj 1 3 5 1 0 1 / 5 2 / 5 2
当a的右端常数变 为30时，最优解将 改变。
1
0 b1 22.5
1 0 30 30 B b 4 1 90 30
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
0 13
S1 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16 -23/5 6/5 -20
不需要改变生产计划
（４）假如这时，又试制成新产品D，生产一个单位新 产品D需要劳动力４单位，原材料３单位，而每单位的新 产品D的利润为1元，请问这时生产计划是否要进行修改？ 为什么？
运筹学基础(第2版)何坚勇 第四章习题答案
表4.7.1
10 CB 4 XB x2 b¯ 3/2 x1 0 5 x2 1 0 x3 0 x4
[5/14] -3/14
12
x1 -Z
1 -35/2
1 0
0 0
-1/7 2/7
2/7 -18/7
表4.7.2
第四章习题
4.2
• 已知线性规划问题 max z=3x1+2x2 s.t -x1+2x2 4 min f=4w1+14w2 +3w2 s.t -w1+3w2 +3w2 3 2w1+2w2 -w2 2 w1，w2 ，w2 0
3x1 +2x2 14
x 1- x 2 3
x1,x2 0
（2）
• 如果愿问题与对偶问题都有可行解，则 二者都有最优解。 • 由原题可见，下列解是原问题与对偶问 题的可行解。 • X（0）=（0，0）T • W（0）=（0，1，0）T
4.3
min z=2x1-x2 +2x3 s.t -x1+x2 +x3 = 4 -x1+x2 -Kx3 6
X1 0，X2 0, X3无约束
5 2 0
=（ C'1 ，5，0，0）-[C'1 ，5，(25-2 C'1 )/14 ， (4 C'1 - 25)/14 ]
矩阵乘法的性质
• (AB)C=A(BC)
• (A+B)C=AC+BC
• C(A+B)=CA+CB
• K(AB)=(KA)B=A(KB)
(2)约束右端项b1
• 约束右端项b1，b2当一个不变时，另一个在什 么范围变化时，原问题的最优解保持不变。
《管理运筹学》第四版第4章线性规划在工商管理中的应用课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第4章线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式1234567891011121314s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。
2．解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)s.t．x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
运筹学课后习题答案
s1 = 2, s2 = 0
5 、解： 标准形式： min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
10x1 + 2x2 − s1 = 20 3x1 + 3x2 − s2 = 18 4x1 + 9x2 − s3 = 36 x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 13 6 、解：
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。 d 3 车间，因为增加的利润最大 e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变
f 不变 因为在 [0,500]的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440]变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件）
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型： min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9 x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
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《运筹学》第四章习题及答案一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于m，n,1？2．用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？ 3．最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到运输问题的最优方案？4．沃格尔法（Vogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5．试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6．用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7．试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8．试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9．如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（,,xijm，n,1）个非零的，且满足nmx,aijix,b,,ijjj,1 i,1，，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
8．用位势法计算检验数时，先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先给出的位势值必须是正的。
9．用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验数是唯一的。
10．当所有产地的产量和销地的销量都是整数时，运输问题的最优解也是整数。
三、求解下列产销平衡的运输问题，下表中列出的为产地到销地之间的运价。
（1）用左上角法、最小元素法、沃格尔法求初始基本可行解；（2）由上面所得的初始方案出发，应用表上作业法求最优方案，并比较初始方案需要的迭代次数。
销地产地 BBBB产量 12341 3 11 3 12 72 1 9 2 8 43 74 105 9销量 3 6 5 6 20四、用表上作业法求下列产销平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的运价，M为任意大的正数，表示不可能有运输通道）（1）销地甲乙丙丁产量产地1 10 5 6 7 252 8 2 7 6 253 9 34 8 50销量152****5100（2）销地甲乙丙丁产量产地1 7 9 52 172 3 5 8 6 153 4 3 10 4 23销量 10 15 20 10 45 （3）销地甲乙丙丁戊产量产地1 2 5 4 5 3 302 3 4 1 7 5 203 2 1 9 8 7 204 5 4 3 6 8 30销量 10 15 25 20 30 100 （4）产地甲乙丙丁戊销量销地1 72 1 6 7 202 4 6 7 M 6 203 5 7 M 3 7 104 8 8 6 2 6 15产量 10 15 12 10 18 65 （5）产地甲乙丙丁戊销量销地1 10 12 11 12 7 102 6 10 9 11 10 113 5 9 12 12 11 10产量 5 6 5 7 8 31 (6)产地甲乙丙丁戊销量销地1 8 6 3 7 5 302 6 M 8 4 7 403 10 3 19 6 8 30产量 25 25 20 10 20 31五、用表上作业法求下列产销不平衡的运输问题的最优解：（表上数字为产地到销地的里程，M为任意大的正数，表示不可能有运输通道）。
（1）产地甲乙丙丁戊销量销地1 10 16 23 17 22 1002 13 M 18 14 16 1203 0 3 19 16 M 1404 9 11 23 8 19 805 24 28 36 30 34 60产量 100 120 100 60 80 31 （2）产地甲乙丙丁戊销量销地1 10 4 10 7 5 802 7 M 4 4 7 403 8 5 12 6 8 60产量 50 40 30 60 20 （3）产地甲乙丙丁戊己销量销地1 M 21 14 11 28 13 1002 3 6 11 3 12 M 1203 9 11 M 18 19 24 160产量 90 70 80 50 70 60 （4）产地甲乙丙丁戊销量销地1 7 3 9 4 11 302 4 2 5 6 10 243 6 8 12 2 5 36产量 12 18 21 14 15六、某农民承包了5块土地共206亩，打算小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同的农作物的亩产数量（公斤）见下表，试问怎样安排种植计划可使总产量达到最高？土地块别计划播甲乙丙丁戊作物种类种面积1 500 600 650 1050 800 862 850 800 700 900 950 703 1000 950 850 550 700 50土地亩数 36 48 44 32 46二、（1）? （2）X （3）X （4）?(5) ?（6）?（７）X（8）X（9）X（10）?三、解：（1）西北角法：运费为 Z = 135 。
销地产量 BBBB1234 产地1 3 4 72 2 2 43 3 6 9销量 3 6 5 6 20 （2）最小元素法：运费为 Z = 92销地B产量 BBB产地 12341 4 3 72 3 1 43 6 3 9销量 3 6 5 6 20 （3）沃格尔法：运费 Z = 85销地BBBB产量产地 12341 2 5 72 13 43 6 3 9销量 3 6 5 6 20 （4）最优调运方案：最少运费 Z = 85 销地BBBB产量产地 12341 2 5 72 13 43 6 3 9销量 3 6 5 6 20 四、各题的最优调运方案如下：（1）最少运费为： 535 。
销地甲乙丙丁产量产地1 25 252 15 10 253 15 5 30 50销量152****5100（2）最少运费为：226销地甲乙丙丁产量产地1 152 172 10 5 153 15 8 23销量 10 15 20 10 45 （3）最少运费为：295 销地甲乙丙丁戊产量产地1 30 302 5 15 203 5 15 204 10 20 0 30销量 10 15 25 20 30 100（4）最少运费为：248产地甲乙丙丁戊销量销地1 8 12 202 10 10 203 7 3 104 105 15产量 10 15 12 10 18（5）最少运费为：260产地甲乙丙丁戊销量销地1 2 8 102 1 5 5 113 5 5 10产量 5 6 5 7 8 31(6) 最少运费为：450产地甲乙丙丁戊销量销地1 20 10 302 25 10 5 403 0 25 5 30产量 25 25 20 10 20 31五、解：各题的最优调运方案如下：（1）最短运程为：5240产地甲乙丙丁戊己销量销地1 60 40 1002 40 80 1203 40 100 1404 20 60 805 20 40 60 产量 100 120 100 60 80 31 （2）最短运程为：980产地甲乙丙丁戊销量销地1 40 20 20 802 30 10 403 30 30 604 20 产量 50 40 30 60 20（3）最短运程为：3870产地甲乙丙丁戊己销量销地1 40 60 1002 40 50 30 1203 90 70 1604 40 产量 90 70 80 50 70 60（4）最短运程为：330产地甲乙丙丁戊己销量销地1 2 18 10 302 3 21 243 7 14 15 36 产量 12 18 21 14 15六、解：最优种植计划为：最高总产量为 180900公斤。
土地块别计划播甲乙丙丁戊作物种类种面积1 44 32 10 862 34 36 703 36 14 50土地亩数 36 48 44 32 46。